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線形計画法(生産計画)
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'''生産計画''' ある製造会社があって, <math>x</math>と<math>y</math>という2種類の製品の製造販売をしている. これらを製造するには, 原材料<math>A</math>,<math>B</math>,<math>C</math>が必要で, <math>x</math>, <math>y</math>をそれぞれ1単位当 たり造るのに必要な量と, 使用できる在庫量が下の表のように決まっている. <math> \begin{center} \begin{tabular}{cccc} & x & y & (在庫量) \\ A & 10 & 20 & 400 \\ B & 20 & 10 & 600 \\ C & 15 & 40 & 1300 \end{tabular} \end{center} </math> <math>x</math>, <math>y</math>を販売するとそれぞれ1単位当たり2万円, 1万円の利益が得られる. 問題は, 表の在庫量の範囲で, <math>x</math>と<math>y</math>をそれぞれ何単位ずつ造れば利益が最大に なるかである。 これを数式化すると, <math>x</math>, <math>y</math>の製造量を<math>x</math>, <math>y</math>で表すとして: 原材料<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>についての制約から <math> 10x+10y\leq 400 \qquad (1) \\ 20x+10y\leq 600 \qquad (2) \\ 15x+40y\leq 1300 \qquad (3) </math> 負の生産量はないのであるから <math> 0\leq x \qquad (4) \\ 0\leq y \qquad (5) \\ </math> 利益は <math> 2x+y \qquad (6) </math> で結局, (6)を<math>(1)\sim (5)</math>の条件のもとで最大にすることになる。 下の図は関数<math>F(x,y)=2x+y</math>の図である。 \vspace{5cm} \par (図1.0)\\ 条件<math>(1)\sim (5)</math>を充たす点<math>P=(x,y)</math>は 下のような,凸多角形の境界線も含めた内部にある。 (図1.1)\\ この凸多角形の頂点を <math> P_0=(x_0,y_0),P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2),P_3=(x_3,y_3),P_4=(x_4,y_4) </math> とすると, 内部の点<math>P=(x,y)</math>はこれらの頂点<math>P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4</math>によって <math> (1) \qquad P=\lambda_0 P_0 + \lambda_1 P_1+\lambda_2 P_2+\lambda_3 P_3+\lambda_4 P_4 \\ (2) \qquad \lambda_0 + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4 =1 \\ (3) \qquad 0 \le \lambda_0 \le 1,~~0 \le \lambda_1 \le 1,~~2 \le \lambda_2 \le 1, 0 \le \lambda_3 \le 1,~~0 \le \lambda_4 \le 1 </math> で表される。これを<math>P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4</math>の凸結合という. <math> f(x,y)=2x+y \qquad (9) </math> には「線形性」が成り立っている. これは <math> P=(x,y),Q=(x',y') </math> と<math>\alpha,\beta</math>について, <math> f(\alpha P+ \beta Q)=f(\alpha (x,y)+\beta (x',y') =\alpha f(x,y)+\beta f(x',y')=\alpha f(P)+\beta f(Q) </math> という性質である。この線形性を使うと,以下の議論ができる。 まず各頂点での関数<math>f</math> <math> f(P_i)=f(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4 </math> のうち最大値を<math>f(P_*)=f(x_*,y_*)</math>とす。すると凸多角形の内の任意の 点<math>P=(x,y)</math>に対する<math>f(P)=f(x,y)</math>は <math>P</math>が<math>P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4</math>の凸結合で表されることから <math> f(P)=f(\lambda_0 P_0 + \lambda_1 P_1+\lambda_2 P_2+\lambda_3 P_3+\lambda_4 P_4)</math> さらに<math>f</math>の線形性から <math> 右辺=\lambda_0 f(x_0,y_0) + \lambda_1 f(x_1,y_1) +\lambda_2 f(x_2,y_2)+\lambda_3 f(x_3,y_3)+\lambda_4f(x_4,y_4) (fの線形性) </math> <math>f(P_*)=f(x_*,y_*)</math>が最大で,(3)のように各<math>\lambda_i</math>は正の数(<math>1 \ge \lambda_i \ge 0</math>)であるから, <math> 右辺\le (\lambda_0 + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4)f(x_*,y_*)\\ </math> さらに,(2)から <math> \lambda_0 + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4= 1 </math> で <math> f(P)=f(x,y) \le f(x_*,y_*)=f(P_*) </math> となる。結局,関数<math>f</math>の制約条件を表す凸多角形の内部(境界を含む)の点全てを調べる必要がなく、 頂点での関数<math>f</math>の値を調べれば良いことが判る. (図1.2) 線形化計画法の代表的な解法であるシンプレクス法は,制約条件を表す凸多角形の頂点での 関数<math>f</math>の値を効率的に調べる方法である。 適当な,頂点から始め,関数<math>f</math>の値が増大する頂点へ次々移動して,最大解を探す. この他に,凸多角形の内部の点から,最大解を与える頂点を探索する内点法もある。 ある企業では製品A,B,Cを原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ用いて生産している. 製品A,B,C の1単位当たり利益をそれぞれ80,110,95とする. また, 製品A,B,Cを1単位生産するのに必要な原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳのそれぞれ量と使用可能な上限が次の表で与えられる. これらの条件のもとに,利益を最大にするには製品A,B,Cをそれぞれ,どれだけ生産すれば良いか?. この問題は以下のように数学的に定式化される. '''線形計画法''' 製品A,B,Cをそれぞれ<math>x_1,x_2,x_3</math> 単位生産するとき<math>x_1,x_2,x_3</math>は以下の不等式を満たす. <math> 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \\ 1x_1+3x_2+9x_3 \leq 60 \\ 6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\ 4x_1+10x_2+1x_3 \leq 75 \qquad (1) </math> さらに各製品生産量は負ではないから <math> 0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3 \qquad (2) </math> この制約条件のもとに <math> L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 \qquad (3) </math> を最大にする<math>x_1,x_2, x_3</math>を求めよ. <math>(1)</math>式のように変数に関する制約条件式が1次式で与えられ, <math>(3)</math>式のように評価関数も1次式で与えられる問題は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E8%A8%88%E7%94%BB%E6%B3%95 線形計画法]と呼ばれる. この問題の解法には[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E6%B3%95 シンプレックス法]や[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%82%B9%E6%B3%95 内点法]がある. シンプレクス法は[https://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lecture/SE/opt/linear/linear.htm#1.2 [菅沼]]の解説が判りやすい. この問題を解くのにはMicrosoft Excelのソルバーや フリーソフトのOpen Office で提供されるソルバーと同等の機能をもつソフトを用いることができる. この問題のMicrosoft Excelのソルバーによる解法例を示す。 [[ファイル:生産計画.pdf]] [[ファイル:LP-Fig.1.jpg]]
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