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=  極限と微分   =
==集合==
集合論の初歩の知識は前提にして記述するので、<br/>
なじみのない方は、下記を参考に、<br/>
集合の素朴な定義、集合の表記法、集合の和集合や共通集合、集合の包含関係<br/>
などについて学習してほしい。
*[[wikipedia_ja:集合 |ウィキペディア(集合）]]

== 実数の連続性と極限    ==
実数の連続性は、色々な極限の存在の根拠を与えるもので、<br/>
実数の持つ最も重要な性質の一つである。
===上界、下界と有界集合===
${\bf R}$を、全ての実数を要素とする集合とし、<br/>
$A$をその部分集合とする。<br/>
実数$u$が$A$の'''上界'''(upper bound)とは、<br/>
任意の$a \in A$に対して、$a \leq u$がなりたつこと。<br/>
実数$l$が$A$の'''下界'''(lower bound)とは、<br/>
任意の$a \in A$に対して、$l \leq a$がなりたつこと。<br/>
$U_A$を$A$の上界をすべて集めた集合、<br/>
$L_A$を$A$の上界をすべて集めた集合とする。<br/>
$U_A$が空集合$\emptyset$でない（すなわち、$A$の上界が少なくとも一つ存在する）とき、<br/>
$A$は'''上に有界'''であるといい、<br/>
$L_A\neq \emptyset$の時、$A$は'''下に有界'''であるという。<br/>
上に有界で、下にも有界な集合($\subset {\bf R})$は、'''有界'''という。

===実数の連続の公理と上限、下限===
$A \subset {\bf R}$とする。<br/>
実数の連続性の公理<br/>
もし、$U_A \neq \emptyset$ならば、$U_A$は、最小元を持つ。<br/>
もし、$L_A \neq \emptyset$ならば、$L_A$は、最大元を持つ。<br/><br/>
上限と下限の定義<br/>
$U_A$の最小元を$A$の'''上限(supremum)'''あるいは'''最小上界(least upper bound)'''という。<br/>
また、$L_A$の最大元を$A$の'''下限(infimum)'''あるいは'''最大下界(greatest lower bound)'''という。<br/><br/>

命題１<br/>
$u$が$A(\subset {\bf R})$　の上限となるための必要十分条件は、<br/>
ⅰ）$u$は$A$の上界。すなわち任意の$a\in A$にたいして$a \leq u$　　　<br/>
ⅱ）$x<u$である任意の$x$は$A$の上界ではない。すなわち、$x<a$となる$a\in A$が存在。<br/>
ⅲ）$A$が最大値を持つ場合には、上限は最大値と一致する。<br/>
同様に、$l$が$A$　の下限となるための必要十分条件は、<br/>
ⅰ）$l$は$A$の下界。すなわち任意の$a\in A$にたいして$l\leq a$　　　<br/>
ⅱ）$l<x$である任意の$x$は$A$の下界ではない。すなわち、$a<x$となる$a\in A$が存在。<br/>
ⅲ）$A$が最小値を持つ場合には、下限は最小値と一致する。<br/><br/>
$A$　の上限を$\sup A$、下限を$\inf A$と書く。<br/><br/>
証明は、上限、下限の定義から、明らかなので省略する。<br/>
例；$A=(0,1)$のとき、$\sup A=1$,$\inf A=0$。<br/>
これらは、ともに$A$の要素でないので、<br/>
上限１は$A$の最大元(最大値)ではなく、下限０は$A$の最小元(最小値)ではない。<br/>
$A=[0,1]$のとき、$\sup A=1$,$\inf A=0$。<br/>
これらは、ともに$A$の要素なので、<br/>
上限は最大限であり、下限は最小限となる。<br/>

命題２<br/>
$A \subset B \subset {\bf R}$で、$B$は有界集合とする。<br/>
このとき、$\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B$<br/>
証明は容易である。<br/><br/>
命題３<br/>
$A \subset {\bf R}$で、$A$は有界集合とする。<br/>
$s:=\inf A,\quad S:=\sup A,\quad d(A):=\sup_{x,y\in A}(x-y)$とおくと、<br/>
$S-s=d(A)$<br/>
証明<br/>
１）$d(A)\leq S-s$を示す。<br/>
下限と上限の定義から、任意の$a,b\in A$に対して、$s \leq a,b \leq S$<br/>
これより、$|a-b| \leq S-s$。故に$d(A)=\sup_{a,b\in A}(a-b)\leq S-s$<br/>
２）$S-s\leq d(A)$を示す。<br/>
$d(A)<S-s $だと仮定する。<br/>
この仮定から矛盾が生じれば、誤謬法により、２）が成立することが分かる。<br/>
仮定により、ある十分に小さい正数$\epsilon$を取れば、<br/>
$d(A)<S-s-\epsilon=(S-\frac{1}{2}\epsilon)-(s+\frac{1}{2}\epsilon)\qquad (1) $<br/>
が成り立つ。<br/>
$S-\frac{1}{2}\epsilon$はＡの最小上界$S$より小さいのでＡの上界ではない。<br/>
そのため、ある$a_{0}\in A$が存在して<br/>
$S-\frac{1}{2}\epsilon < a_{0} \qquad \qquad (2)$<br/>
$s+\frac{1}{2}\epsilon$は、同様に、Ａの下界ではないので、ある$b_{0}\in A$が存在して<br/>
$b_{0}<s+\frac{1}{2}\epsilon \qquad \qquad (3)$<br/>
式(1),(2),(3)から、<br/>
$d(A)<a_{0}-b_{0}$<br/>
これは、$d(A)=\sup_{a,b\in A}(a-b)$と矛盾する。<br/>
証明終わり。<br/><br/>

===実数列の収束と極限、極限の性質　===
順番に並んだ実数の列<br/>
$a_1,a_2,,,a_n,,,,,$<br/>
を実数列といい、<br/>
実数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty},\{a_n\}_{n\in {\bf N}}, \{a_n\}$<br/>
などとも書く。ここで${\bf N}$は、すべての自然数を要素とする集合である。<br/>
==== 数列の収束と極限      ====
定義<br/>
実数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$が実数$c$に収束するとは、<br/>
ｎを大きくしていくとき$a_n$が$c$に限りなく近づいていくこと(一致してもよい）。<br/>
厳密に述べると、<br/>
どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、<br/>
それに対応する自然数$n_{\epsilon}$が存在して、<br/>
$n\geq n_{\epsilon}$というどのような自然数ｎに対しても、<br/>
$|c-a_n|<\epsilon$<br/>
が成立すること。<br/>
この時、$c$を数列$\{a_n\}_{n}$の極限といい、$c=\lim_{n\to \infty}a_n$と記す。<br/>
=====極限の性質　=====
命題<br/>
$\alpha ,\beta$を任意の実数とし、<br/>
実数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$と実数列$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束すると仮定する。<br/>
このとき、以下の諸性質がある。<br/>
（１）実数列$\{\alpha a_n+\beta b_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束し、<br/>
$\lim_{n\to \infty}(\alpha a_n+\beta b_n)
=\alpha\lim_{n\to \infty}a_n +\beta \lim_{n\to \infty}b_n$<br/>
（２）実数列$\{ a_n b_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束し、<br/>
$\lim_{n\to \infty}a_n b_n=\lim_{n\to \infty}a_n\lim_{n\to \infty} b_n=$ <br/>
これらの性質は、極限への収束の定義から明らかである。


*[[wikipedia_ja:極限 |ウィキペディア(極限)]]
==== 有界な単調数列は収束する====
定義；単調数列<br/>
実数列$\{a_n\}$が単調増加とは$a_i\leq a_{i+1},(i=1,2,3,,,,)$がなりたつこと。<br/>
実数列$\{a_n\}$が単調減少とは$a_i\geq a_{i+1},(i=1,2,3,,,,)$がなりたつこと。<br/>
実数列$\{a_n\}$が単調とは、単調増加か単調減少のこと。<br/>
'''実数列の単調収束定理'''<br/>
１）上に有界な単調増加の実数列$\{a_n\}$は収束し、<br/>
その極限は$\sup_{n\in {\bf N}}a_n$に等しい。<br/>
２）下に有界な単調減少の数列$\{a_n\}$は収束し、<br/>
その極限は$\inf_{n\in {\bf N}}a_n$に等しい。<br/>
証明；<br/>
1)。上に有界な数列は、実数の連続の公理から、<br/>
上限$s=\sup_{n\in {\bf N}}a_n$を持つ。<br/>
上限の定義から、どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、<br/>
$s-\epsilon < a_{n_{0}}\leq s$をみたす数列の要素$a_{n_{0}}$が存在する。<br/>
数列は単調増加なので、$n\geq n_{0}$ならば$a_{n_{0}}\leq a_n \leq s$.<br/>
ゆえに、任意の正数$\epsilon$にたいして、ある番号$n_0$が存在して、<br/>
任意の$ n\geq n_{0}$にたいして、<br/>
$s-\epsilon < a_{n_{0}}\leq a_n \leq s$<br/>
が言えた。ゆえに、この数列はｓに収束する。<br/>
2)の証明も同様に行えるので省略。

====収束する部分列====
定義；<br/>
数列$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$が<br/>
数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$の部分列$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$であるとは、<br/>
全ての自然数を要素とする集合${\bf N}$から、${\bf N}$への
関数$g$が存在して、<br/>
$b_n=a_{g(n)},(n=1,2,3,,,)$となること。<br/>
ここで、$g$は $i \leq g(i)\leq g(i+1),(i=1,2,3,,,)$をみたすものとする。<br/><br/>

[[wikipedia_ja:ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 |'''ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理''']]<br/>
有界な実数列$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$は収束する部分列を持つ。<br/><br/>
証明；<br/>
数列の各項$x_n$を要素とする集合$\{x_1,x_2,x_3,,, \}$は有界集合なので、<br/>
実数の連続性の公理から、<br/>
上限$b:=sup\{x_n\mid n=1,2,3,,,\}$と<br/>
下限$a:=sup\{x_n\mid n=1,2,3,,,\}$をもつ。<br/>
$I:=[a,b]$という閉区間を考えると、数列の全ての要素はこの区間に含まれる。<br/>
１）閉区間Ｉを2等分し部分列の最初の項をきめる。<br/>
閉区間Ｉを２等分して<br/>
２つの閉区間$[a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]$に分ける。<br/>
どちらかの区間には数列$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$の項が無限に沢山含まれる。<br/>
それを$I_1=[a_1,b_1]$と表現する。<br/>
数列$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$の中で<br/>
$I_1$に含まれる、最も番号の小さいもの$x_g(1)$を取り出す。$g(1)\geq 1$である。<br/>
２）この手順を繰り返し部分列を作る。<br/>
次に$I_1$を2等分する。このどちらかの区間に数列$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$の項が無限に沢山含まれる。<br/>
そこで、数列要素を無限に多く含む方の区間を選び、$I_2=[a_2,b_2]$と表現する。<br/>$\{n\in {\bf N}\mid a_n\in I_2$のなかで、$g(1)$より大きいもののなかで最小のもの$g(2)$を取り出す。<br/>
これを無限に続けていくと、
数列の部分列$\{x_{g(i)}\}_{i=1}^{\infty}$が得られる。<br/>
ここで、作り方から、<br/>
$\quad g$は${\bf N}$から${\bf N}$への増加関数<br/>
$\quad a_1\leq a_2 \leq \cdots\leq a_n\leq \cdots\leq b_n \leq \cdots\leq b_2\leq b_1$<br/>
$\quad a_i\leq x_{g(i)}\leq b_i,(i=1,2,3,,,,,)$、すなわち$x_{g(i)}\in I_i,(i=1,2,3,,,)$<br/>
$\quad d(I_i)=b_i-a_i=\frac{b-a}{2^i}$<br/>
である。<br/>
$y_i:=x_{g(i)},(i=1,2,3,,,)$で数列$\{y_i\}_{i=1}^{\infty}$をきめる。<br/>
この数列は、数列$\{x_i\}_{i=1}^{\infty}$の部分列である。<br/>
３）部分列$\{y_i\}_{i=1}^{\infty}$は収束する<br/>
$a_i\leq x_{g(i)}=y_i \leq b_i,(i=1,2,3,,,,,) \qquad (1)$<br/>
数列$\{a_i\}_{i=1}^{\infty}$は有界な単調増加数列、<br/>
数列$\{b_i\}_{i=1}^{\infty}$は有界な単調減少数列<br/>
なので、単調収束定理により、<br/>
其々極限$s:=\lim_{i\to \infty}a_n$と$S:=\lim_{i\to \infty}b_n$に収束する。<br/>
$S-s\leq b_i-a_i=\frac{b-a}{2^i}$がすべての自然数ｉに対してなるたつので<br/>
$S=s  \qquad \qquad  (2)$<br/>
式（１）と(２)から、<br/>
$\lim_{i\to \infty}y_i=s=S$<br/>

==== コーシー数列は収束する====
コーシー数列の定義<br/>
実数列$\{a_n\}$が'''コーシー列とは、<br/>
どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、<br/>
ある番号$n_0$が存在して、<br/>
$m,n \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_n|<\epsilon$<br/>
となること。<br/>

定理（コーシー）<br/>
実数列$\{a_n\}$に対して<br/>
数列が収束する　$\Leftrightarrow$　コーシー列である。<br/>
証明；<br/>
（＝＞）実数列$\{a_n\}$が極限$s$に収束すると仮定する。
どんなに小さい正数$\epsilon$を選んでも、<br/>
ある番号$n_0$が存在して、<br/>
$n \geq n_{0}$ならば$|a_n-s|<\frac{\epsilon}{2}$<br/>
そこで、$m,n \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_n|\leq |a_m-s|+|s-a_n|<\epsilon$<br/>
ゆえに、コーシー列である。<br/>
（＜＝）実数列$\{a_n\}$がコーシー列とする。<br/>
１）数列は有界<br/>
何故なら、正数１に対して、ある番号$n_0$が存在して、<br/>
$m,n \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_n|<1$<br/>
これより、$m \geq n_{0}$ならば、$|a_m-a_{n_{0}}|<1$<br/>
これより、$a_{n_{0}}-1<a_m<a_{n_{0}}+1$<br/>
すると数列の全ての要素は<br/>
$M:=\max{a_1,a_2,,,a_{n_{0}-1},a_{n_{0}}+1}$<br/>
以下となり上に有界である。<br/>
下に有界であることも、同様にして分かる。<br/>
２）収束する部分列の存在<br/>
数列が有界なので、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理より、<br/>
収束する部分列$\{y_i:=x_{g(i)}\}_{i=1}^{\infty}$がある。<br/>
その極限を$s:=\lim_{i\to \infty}y_i$とおく。<br/>
３）$s:=\lim_{n\to \infty}a_n$を示す。<br/>
数列$\{a_n\}$がコーシー列なので、<br/>
どんなに小さい正数$\epsilon$をとっても、<br/>
ある番号$n_0$が存在して、$m,n\geq n_0$である自然数m、nに対して<br/>
$|a_m-a_n|\leq \epsilon$<br/>
$s=\lim_{i\to \infty}y_i$なので<br/>
ある番号$i_0$が存在して$j\geq i_0$である自然数$j$に対して、<br/>
$|y_j-s|\leq \epsilon$<br/>

すると、$i_1:=\min{i\in {\bf N}\mid g(i)\geq n_0,i\geq i_0}$とおくと、<br/>
$n\geq g(i_1)$である自然数nに対して<br/>
$|a_n-s|\leq |a_n-a_{g(i_1)}|+|a_{g(i_1)}-s|\leq 2\epsilon$<br/>
故に数列$\{a_n\}$は収束しその極限がｓであることが証明された。

====閉区間の中の数列の極限　　　　====
命題；<br/>
収束する実数列$\{a_n\}$の各項$a_n$が閉区間$I=[a,b]$に含まれれば、<br/>
その極限$x_0:=\lim_{n\to \infty}a_n$も$I$に含まれる。<br/>
証明<br/>
もし$x_0\notin [a,b]$とすると、$x_0>b$ か $x_0<a$である。<br/>
前者のとき、$\epsilon:=\frac{x_0-b}{2}$とえらぶと、<br/>
$x_0:=\lim_{n\to \infty}a_n$なので、<br/>
ある番号から先はすべて$|x_0-a_n|<\epsilon$,<br/>
これより$a_n >b$,$a_n\notin I$<br/>
となり$a_n\in I_n \subset I$に矛盾してしまう。<br/>
後者の場合も、同様に、矛盾が生じる。

== 関数の連続性       ==
関数の連続性の定義；<br/>
実数の区間$I$で定義された実数値あるいはベクトル値の関数 $f(x)$ がある点''' $x_0\in I$で連続'''であるとは、<br/>
$x\in I$が$x_0$ に限りなく近づくならば、$f(x)$ が $f(x_0)$ に限りなく近づく<br/>
ことを言う。<br/>
$\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$と記す。<br/>

これはイプシロン-デルタ論法(ε-δ論法)を用いれば次のように定式化できる。<br/>
（小さな）正の数 ε が任意に与えられたとき、<br/>
（小さな）正の数 δ を適切にえらべば、<br/>
$x_0$ と δ 以内の距離にあるどんな $x\in I$ に対しても、<br/>
$f(x_0)$ と $f(x)$ の差が ε より小さいようにすることができる。<br/>
記号でかくと$(|x-x_0|<\delta,x\in I) \implies |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$<br/>
（注）関数がn次元空間${\bf R^n}$の区間$I^n$で定義され<br/>
関数値がベクトルのときも、関数の連続性の定義は変わらない。<br/>
この場合には、$|\bullet|$は$\bullet$のノルムを表す。

==== 数列の極限を用いた連続性の表現====
命題<br/>
関数$f$は<br/>
n次元の開区間$I^n=\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]:=\{(x_1,x_2,,,X_n)\mid x_i\in [a_i,b_i],(i=1,2,,,n)\}$で定義され、<br/>
m次元ベクトルに値を取る関数とする。<br/>
すると任意の$a\in I^n$に対して、次の（１）と（２）は同値である。<br/>
（１）$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$<br/>
（２）$x_n\in I^n,(n=1,2,3,,,,)$を$a\in I^n$に収束する任意の点列とすると<br/>
$\lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(a)$<br/>
証明<br/>
（１）ならば（２）を示す。<br/>
（１）を仮定したとき、<br/>
任意の$\epsilon>0$に対して、ある番号$n_0$が存在し、<br/>
任意の自然数$n(\geq n_0)$に対して、$\|f(a)-f(x_n)\|<\epsilon$を示せばよい。<br/>仮定から、この$\epsilon$に対して、正数$\delta$が存在して、<br/>
$\|a-x\|<\delta$を満たす任意の$x\in I^n$に対して<br/>
$\|f(a)-f(x)\|<\epsilon \quad \qquad (1)$<br/>
$x_n\in I^n,(n=1,2,3,,,,)$は$a\in I^n$に収束するので、<br/>
ある番号$n_0$が存在して,$n\geq n_0$である任意の自然数ｎに対して、<br/>
$\|a-x_n\|<\delta$<br/>
故に、式（１）から$\|f(a)-f(x_n)\|<\epsilon$<br/>
（２）ならば(１)を示す。<br/>
背理法を用いる。
（１）が成り立たないと仮定する。
すると、


===連続関数の性質   ===
命題１.　
命題２．有界閉区間$I=[a,b]$で定義された実数値の連続関数$f$は有界である。<br/>
但し、$f$が有界とは$\{f(x)\mid x\in I\}$が有界集合のこと。<br/>
証明；<br/>
上に有界でないと仮定して矛盾が生じることを示せば良い。<br/>
下に有界でない場合も全く同じように証明できる。<br/>
ｆが上に有界でないので、任意の自然数ｎにたいして、
$f(x_n)\geq n$となる点$x_n\in I$が存在する。<br/>
数列$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$は有界なので
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理から、
収束する部分列$\{x_{g(i)}\}_{i=1}^{\infty}$が存在する。
その極限を$\xi$とおく。
すると関数値から作られる数列$\{f(x_{g(i)})\}_{i=1}^{\infty}$は、
関数の連続性から、収束し$f(\xi)=\lim_{i\to \infty}f(x_{g(i)})$
ところが、$f(x_{g(i)})\geq g(i)\geq i$なので、
この極限は存在せず無限大に発散。矛盾が生じる。
証明終わり。


命題３<br/>
$f$は、有界閉区間$I=[a,b]$で定義された実数値の連続関数とする。<br/>
すると、$f$は、Ｉ上で最大値と最小値を持つ。<br/>
証明；<br/>
１）命題２から$f$は有界関数なので、${\bf R(f)}:=\{f(x) \mid x\in I\}$は実数からなる有界集合。<br/>
実数の連続性の公理から、${\bf R(f)}$の下限と上限$m:=\inf {\bf R(f)},M:=\sup{\bf R(f)}$が存在。<br/>
２）Ｍは$f$のＩ上の最大値、<br/>
Ｍが${\bf R(f)}$の上界なので任意のIの要素ｘに対して$f(x)\leq M$。<br/>
<br/>
$f(\xi)=M$となる$\xi\in I$が存在することを証明すれば良い。以下に、これを示す。
１）任意の自然数ｎにたいして$M-\frac{1}{n}$は${\bf R(f)}$の上界でなくなるので、<br/>
$M-\frac{1}{n}<f(x_n)$を満たす$x_n\in I$が存在する。<br/>
これらの数の作る数列$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$は、有界なので、<br/>
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理から、<br/>
収束する部分列$\{x_{g(i)}\}_{i=1}^{\infty}$が存在する。<br/>
この極限を$\xi:=\lim_{i\to \infty}x_{g(i)}$とおく。<br/>
閉区間の数列の極限なので、すでに証明した命題から、<br/>
すると関数の連続性から、<br/>
$\xi\in I   \qquad \qquad (1)$<br/>
数列$\{f(x_{g(i)})\}_{i=1}^{\infty}$は収束し、その極限は<br/>
$f(\xi)=\lim_{i\to \infty}f(x_{g(i)})   \qquad \qquad  (2)$<br/>
ところが、全ての自然数nに対して、$M-\frac{1}{n}<f(x_n)\leq M$,$g(n)\geq n$なので<br/>
$M-\frac{1}{i}<f(x_{g(i)})\leq M,(i=1,2,3,,,)$<br/>
この式のｉについての極限をとると<br/>
$\lim_{i\to \infty}f(x_{g(i)})=M$<br/>
この式と式（２）から、<br/>
$f(\xi)=M　　\qquad \qquad  (3)$<br/>
式（１）と式（３）から、Ｍが最大値であることが示せた。<br/>
証明終わり。<br/>

== 実数値関数とベクトル値関数の微分       ==
このテキストを理解するための必要最小限のことを記述する。<br/>
以下の文献も必要に応じて参考にしてください。<br/>
一冊では不十分な内容なので色々あげてある。
*[[wikibooks_ja:高等学校数学II 微分・積分の考え|ウィキブックス（高等学校数学II 微分・積分の考え）]]
*[[wikibooks_ja:高等学校数学III 微分法|ウィキブックス（高等学校数学III 微分法）]]
*[[wikibooks_ja:物理数学I 解析学|ウィキブックス（物理数学I 解析学）]]
*[[wikibooks_ja:物理数学I ベクトル解析|ウィキブックス（物理数学I ベクトル解析）]]	

=== 実数値関数の微分       ===
実数の開区間$I=(a,b)$上で定義された実数値関数$y=f(x)$を考える。<br/>
定義;微分可能性<br/>
関数$f$が$s\in I$で微分可能であるとは、極限<br/>
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}\frac{f(s+h)-f(s)}{h}=c　\qquad \qquad (1)$<br/>
が存在することである。<br/>
この時$c$を$f$の$s$における微分係数あるいは導値といい、<br/>
$f'(s)、\frac{df}{dt}(s)、(Df)(s)$<br/>
などと書く。<br/>
$I=(a,b)$の各点で$f$が微分可能であるとき、$f$は'''微分可能関数'''(あるいは
微分可能）という。<br/>
この時、任意の$s\in I$に対して、$f'(s)$が定まるので、<br/>
関数$f'$が定まる。これを$f$の${\bf 導関数}$(derivative)という。<br/>


==== 微分係数の意味    ====
(1)$\frac{f(s+h)-f(s)}{h}$は、区間$[s,s+h]$における関数値の平均変化率である。<br/>
その極限である微分係数$f'(s)$は、関数値の$s$における瞬間的な変化率と考えられる。<br/>
(2)2次元空間(平面のこと)に直交座標座標系$O-xy$をいれ、<br/>
関数$y=f(x)$のグラフ$G=\{(x,y)\mid x\in I,y=f(x)\}$を描く。<br/>
すると、<br/>
$f'(s)$が存在することは、$x=s$においてグラフ$G$が接線をもつことと同等であり、<br/>
接線の方程式は<br/>
$y=f'(s)(x-s)+f(s)$である。<br/>
これは、[[wikipedia_ja:接線 |接線]]の定義からただちに分かる。<br/>
(3）$h$を零に近づけていったときの極限の意味をさらに深めるため<br/>
微分可能の定義を、それと同等の別の表現に変換しよう。<br/>
(1)式の右辺の定数を左辺に移行すると<br/>
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}\frac{f(s+h)-f(s)-ch}{h}=0$<br/>
次に、<br/>
$o_{s}(h):=\frac{f(s+h)-f(s)-ch}{h}\qquad \qquad (2)$<br/>
という、変数ｈの関数を定義する。<br/>
すると関数$f$が$s\in I$で微分可能で、微分係数が$c$である必要十分条件は<br/>
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0$<br/>
である。<br/>
(2)式を変形すると<br/>
$f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h$<br/>
ゆえに次の命題が証明できた。<br/>
命題；<br/>
次の３つの条件は同等である。<br/>
１）関数$f$は$s\in I$で微分可能で、微分係数は$c$である<br/>
２）関数$f$は、<br/>
$f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h  \qquad \qquad (3)$<br/>
と表現できる。<br/>
ここで、$o_{s}(h)$は<br/>
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0  \qquad \qquad (4)$<br/>
を満たす関数<br/><br/>
3)　関数$f$は、<br/>
$s$の近傍の点$x$で
$f(x)=f(s)+c(x-s)+\left(o_{s}(x-s)\right)(x-s)  \qquad \qquad (3)$<br/>
ここで、$o_{s}(x-s)$は<br/>
$\lim_{x \to s,x\neq s}o_{s}(x-s)=0  \qquad \qquad (4)$<br/>
を満たす関数<br/><br/>

この定理の3）により、<br/>
「関数が$s$で微分可能であり、微分係数がｃであること」は、<br/>
「この関数が$s$の近傍の点$x$で直線$y=f(s)+c(x-s)$で近似でき、<br/>
誤差$|f(x)-(f(s)+c(x-s))|=|\left(o_{s}(x-s)\right)(x-s)| $が,<br/>
$x$を$s$に近づけていくとき、$h=x-s$より高次で０に収束する(注参照)<br/>
ことと同等であることが分かる。<br/>
(注)$\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{o_{s}(h)h}{h}=0$
命題の系；関数が$s$で微分可能であれば、$s$で連続である。<br/>
証明；命題の２）を用いると、<br/>
$f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h $<br/>
この式から、$|f(s+h)-f(s)|=|(c+o_{s}(h))h|$<br/>
$\lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0$なので$\lim_{h \to 0,h\neq 0}|(c+o_{s}(h))h|=0$。<br/>
ゆえに、$\lim_{h \to 0,h\neq 0}|f(s+h)-f(s)|=0$<br/>
これは、関数が$s$で連続であることの定義そのものである。
====導関数の性質====
（１）$f,g$が$I=(a,b)$上で定義された、微分可能な実数値関数ならば<br/>
$\alpha f+\beta g$、$fg(s):=f(s)g(s)$は微分可能で<br/>
それらの導関数の間には、<br/>
$(\alpha f+\beta g )'=\alpha f'+\beta g'$（線形性）ここで$\alpha,\beta$は任意の実数。<br/>
(２) $(fg)'=f'g+fg'$<br/>
証明は、微分の定義式と極限の性質から容易に導ける。

====平均値の定理====
'''ロールの定理'''<br/>
$f$を有界閉区間$I=[a,b],(b>a)$で定義された実数値関数とする。<br/>
$f$が$I=[a,b]$で連続、開区間$I^{\circ}=(a,b)$で微分可能,しかも$f(a)=f(b)$ならば、<br/>
$f'(\xi)=0$を満たす$\xi\in (a,b)$が存在する。<br/>
証明；<br/>
「関数の連続性」の命題２から、閉区間上の連続関数は最大値Ｍと最小値ｍをもつ。<br/>
すると、$m \leq f(a)=f(b)\leq M$<br/>
1)$m =f(a)=f(b)=M$の場合<br/>
Ｉ上で$f\equiv f(a)$<br/>
すると、$f'\equiv 0$なのでこの定理は成り立つ。<br/>
２）$f(a)=f(b)<M$の場合<br/>
$f(\xi)=M$となる数$\xi\in (a,b)$が存在する。<br/>
$a<\xi+h<b$をみたす、絶対値が十分小さい数$h$にたいして<br/>
$f(\xi+h)\leq f(\xi)=M $なので、$f(\xi+h)-f(\xi)\leq 0$<br/>
$h$が正のとき<br/>
$\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\leq 0　　　\qquad \qquad (1)$<br/>
$h$が負のとき<br/>
$\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\geq 0 \qquad \qquad (2) $<br/>
関数は、$\xi\in (a,b)$で微分可能なので、<br/>
$\lim_{h\to 0,h>0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}=\lim_{h\to 0,h<0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}=f'(\xi)$<br/>
ところが式（１）から<br/>
$\lim_{h\to 0,h>0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}　\leq 0$<br/>
式（２）から<br/>
$\lim_{h\to 0,h>0}\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}　\geq 0$<br/>
なので<br/>
$f'(\xi)=0$<br/>
３）$f(a)=f(b)>m$の場合<br/>
２)と同様に証明できる。<br/>
証明終わり。<br/>

'''平均値の定理'''<br/>
$f$を有界閉区間$I=[a,b],(b>a)$で定義された実数値関数とする。<br/>
$f$が$I=[a,b]$で連続で、開区間$I^{\circ}=(a,b)$で微分可能ならば、<br/>
ある数$\xi\in (a,b)$が存在して、<br/>
$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$<br/>
証明；<br/>
関数ｇを次式で定義する。<br/>
$g(x):=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$<br/>
すると、<br/>
$g$は$I=[a,b]$で連続で、開区間$I^{\circ}=(a,b)$で微分可能<br/>
$g(a)=g(b)=f(a)$<br/>
$g$はロールの定理の仮定を満たす。<br/>
そこでロールの定理から、<br/>
$g'(\xi)=0$を満たす$\xi\in (a,b)$が存在する。<br/>
gの定義から<br/>
$g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$<br/>
故に、<br/>
$0=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$<br/>
が得られる。この式を整頓すると<br/>
$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$<br/>
証明終わり。<br/>

系；$f$が$I=(a,b)$上で定数$\Leftrightarrow$ $I$上で恒等的に$f'(t)=0$<br/>

===ベクトル値関数の微分===
実数の開区間$I=(a,b)$上で定義され,ｎ次元の実ベクトル($\in {\bf R^n}$)に
値をとる関数$\vec f$を考える。<br/>
定義;微分可能性<br/>
実数値関数の場合と同じである。<br/>

導関数の線形性の性質も成り立つ。<br/>
==== ベクトル値関数の微分とその成分関数の微分の関係==== 
関数値$\vec f(s)$は${\bf R^n}$の要素なので<br/>
$\vec f(s)=(f_1(s),f_2(s),\cdots f_n(s))$<br/>
と表示できる。<br/>
すると$\vec f$のｎ個の成分関数<br/>
$f_i,(i=1,2,\cdots n)$<br/>
が得られる。<br/>
命題；<br/>
$\vec f$が$s\in I$で微分可能$\Leftrightarrow$$f_i(i=1,2,\cdots n)$が$s\in I$で微分可能。<br/>
この時、${\vec f}'(s)=({f_1}'(s),{f_2}'(s)\cdots {f_n}'(s))$<br/>

====ベクトル積の微分     ====
命題<br/>
$ \vec{a(t)} $ と $\vec{b(t)} $は、開区間Ｉ上で定義され、
微分可能なベクトル値関数とする。すると、<br/>
$ \quad \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$ は微分可能で、<br/>
$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}) =(\frac{d}{dt}\vec{a(t)} )\times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times (\frac{d}{dt}\vec{b(t)})$
証明<br/>
すでにこのテキストで紹介した、ベクトル値関数の微分の定義<br/>
$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)})
=\lim_{\delta t \to 0}
(\vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)})/\delta t$ $\qquad $   (1)　　<br/>
を用いて証明する。<br/>
この極限が存在し、<br/>
$\frac{d}{dt}\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times \frac{d}{dt}\vec{b(t)}$<br/>
になることを示せば命題は証明できたことになる。<br/>
極限の計算が進むよう、右辺の式の分母は変形しよう。<br/>
関数の積の微分公式の証明と同じ技巧を用いる。<br/>
$ \vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}
  - \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$　　<br/>
$  = \vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}
    -\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)}
    +\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)}
  - \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$　　<br/>
ベクトル積の命題３を利用すると、　<br/>
$  = \left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right)
     \times 
     \vec b\left(t+\delta t\right)
    +\vec a\left(t\right)\times \left(\vec b\left(t+\delta t\right)- \vec b\left(t\right)\right)  $
  
この式を式(１)の右辺の分子の項に代入し整頓すると<br/>
$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)})
=\lim_{\delta t \to 0}
\frac{\vec a(t+\delta t)\times \vec b(t+\delta t)- \vec a(t) \times \vec b(t)}
     {\delta t}$  　<br/>
$=\lim_{\delta t \to 0}
\frac{\left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right)
     \times 
     \vec b\left(t+\delta t\right)
    +\vec a\left(t\right)\times \left(\vec b\left(t+\delta t\right)- \vec b\left(t\right)\right)     }
     {\delta t}
$ <br/>
ベクトル積の命題４を使い、<br/>
$=\lim_{\delta t \to 0}\left(
     \frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t}
     \times 
     \vec b\left(t+\delta t\right)
     +
    \vec a(t)\times \frac{\vec b(t+\delta t)- \vec b(t)}
     {\delta t}
\right)$ <br/>
極限の命題を使って、<br/>
$=\lim_{\delta t \to 0}
     \frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t}
     \times 
     \lim_{\delta t \to 0}\vec b(t+\delta t)
     +
    \vec a(t)\times 
    \lim_{\delta t \to 0}\frac{\vec b(t+\delta t)- \vec b(t)}{\delta t}
$ <br/>
式中の極限は、$\vec a,\vec b$が、微分可能なので存在し、 <br/>
$\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t}
=\frac{d\vec a(t)}{dt}$   <br/>
$\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec b(t+\delta t) -\vec b(t)}{\delta t}
=\frac{d\vec b(t)}{dt}$
==== $C^{1}$級の関数====
開$I=(a,b)$上の関数 $f$ が連続的微分可能（continuously differentiable）であるとは,<br/>
$I$上で導関数 $f'$ が存在して、しかも$f'$ が$I$上で連続であることをいう。<br/>
$I=(a,b)$上で連続的微分可能である関数を$C^{1}$級関数という。<br/>


===多変数の実数値関数の微分   ===
${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n)  \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ 
の開区間 
$I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$
を考える。
一変数関数の議論から類推しやすくするため、以後<br/>
${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。<br/>
この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。<br/>
最初に思いつくのは、一変数のときと同じ定義をもちいることであり<br/>
$\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }=c$<br/>
が存在するときｓで微分可能と定義すること。<br/>
しかし、<br/>
${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので割り算は不可能。
====方向微分====
そこで、${\bf p}\in {\bf R^n}、{\bf p}\neq 0$を用いて、<br/>
この方向にそって$h=t{\bf p}$が零に近づく($t \to 0$)ときの<br/>
関数値の瞬間的変化率を考える。

定義;${\bf p}$方向の微分可能性<br/>
関数$f$が${\bf s}\in I^n$で'''${\bf p}$方向に微分可能'''であるとは、極限<br/>
$\lim_{t \to 0,\neq 0}\frac{f({\bf s}+t{\bf p})-f({\bf s})}{t}=c　\qquad \qquad (1)$<br/>
が存在することである。<br/>
この時$c$を$f$の${\bf s}$における'''${\bf p}$方向の微分係数'''あるいは${\bf p}$方向の導値といい、<br/>
$\frac{\partial f}{\partial{\bf p} }({\bf s})、(D_{\bf p}f)({\bf s})$<br/>
などと書く。<br/>
$I^n=\prod_{i}(a_i,b_i)$の各点で$f$が${\bf p}$方向に微分可能であるとき、
$f$は'''${\bf p}$方向に微分可能関数'''という。<br/>
この時、任意の${\bf s}\in I^n$に対して、$\frac{\partial f}{\partial{\bf p} }({\bf s})$が定まるので、<br/>
関数$\frac{\partial f}{\partial{\bf p} }$が定まる。
これを$f$の${\bf p}$方向の${\bf 導関数}$という。<br/>
=====偏微分=====
${\bf R^n}$の自然基底${\bf e_1}=(1,0,\cdots 0),,,,,{\bf e_n}=(0,0,,,1)$を、<br/>方向に選んだときの方向微分は、良くつかわれる。<br/>
定義；偏微分<br/>
関数$f$が${\bf s}\in I^n$で'''${\bf e_i}$方向に微分可能'''であるとき、<br/>
$f$は、${\bf s}\in I^n$で第ｉ座標$x_i$にかんして偏微分可能という。<br/>
$(D_{\bf e_i}({\bf s})$を, $f$の ${\bf s}$における  $x_i$ についての偏微分係数といい、<br/>
$\frac{\partial f}{\partial x_i}({\bf s}),f_{x_{i}}({\bf s}),(D_if)({\bf s})$ 
などと書く。

*[[wikipedia_ja:偏微分 |ウィキペディア(偏微分)]]

==== $C^{1}$級の関数====
$I^n=\prod_{i=1}{n}(a_i,b_i)$上の関数 $f$ が連続的微分可能（continuously differentiable）であるとは,<br/>
$I$上ですべての偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x_i},(i=1,2,,,n)$ が存在して、しかも$I$上で連続であることをいう。<br/>
連続的微分可能な関数を$C^{1}$級関数という。<br/>
ｎ次元開区間$I^n$上の$C^{1}$級関数を全て集めた、(関数)集合を$C^{1}(I^n)$と記す。<br/>
定理；
$I^n$をｎ次元開区間<br/>
$f$を$I^n$で定義されたｎ変数の実関数<br/>
${\bf p}$をｎ次元の零でない任意のベクトル<br/>
とする。<br/>
もし$f\in C^{1}(I^n)$ならば、<br/>
（１）$f$は$I^n$上で${\bf p}$方向に微分可能<br/>
（２）$(D_{\bf p}f)({\bf s})=\sum_{i=1}^{n} p_{i}\frac{\partial f}{\partial x_i}({\bf s})$<br/>
ここで、$p_{i}$は ${\bf p}$の第ｉ成分。<br/>
証明<br/>


====微分(全微分）　====
定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数<br/>
定理１；<br/>
微分可能ならば、偏微分可能<br/><br/>
定理２<br/>
$C^{1}$級の関数は微分可能<br/>