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=  波の性質=
波には色々あるが、この節では波に共通する性質を学ぶ。
== 波の次元  ==
張った弦の振動のように、一次元空間を伝わる波を一次元の波、<br/>
水面のような２次元の空間を伝わる波を'''２次元の波'''、　<br/>　　
空中や水中を伝わる音のように、３次元空間を伝わる波を'''３次元の波'''という。
==波面と波面の形　==
波線・波面；　波の山をつないだ図形や波の谷をつないだ図形のこと。<br/>　　
２次元の波では曲線になり'''波線'''という。<br/>
３次元の波では曲面になり'''波面'''という。　<br/>　<br/>　
波面が平面になる３次元の波を'''平面波'''という。　<br/>　　
また波面が球面になる３次元の波を'''球面波'''という。 　<br/>
一様で、方向性のない３次元の媒体中の一点に変位を与え波を発生させると、　<br/>
この点波源から全く同じ性質の波が、あらゆる方向に伝わっていくので、<br/>
波面は球面になる。<br/>
この球面波を波源から十分離れた場所で観測すると、<br/>
観測点の近くの限定された空間内では、平面波とみなせる。　<br/>　　

== 波の進行方向 と速度 ==
ある時刻ｔにおける波面$W(t)$を、その微小時間　$\delta t(>0)$後に観測すると、<br/>
その位置を少し変えている。その波面を$W(t+\delta t)$ とかく。<br/>
時刻　t　の波面の一点　P　から、
この波面に直行する直線と波面$W(t+\delta t)$ の交点を　P'　と書くと、<br/>
P　点における波の進行方向は　$\vec{PP'}$ である。<br/>
また、波の　Ｐ点における伝達速度は、　$\frac{pP'}{\delta t}$　である。<br/>


== 波の発生の仕組みと連続波とパルス波、縦と横波　==
変位に対して、もとに戻ろうとする力が生じる物質(注）では、　<br/>　　
ある場所にわずかな、変位が与えられると　<br/>　　
元の位置に戻ろうとして振動を生じ（波源）　<br/>　　
これが隣接する媒質に力を与えて隣接部に振動をおこし、　<br/>　　
物質（媒質）全体に振動が伝わっていく。<br/>　　
これが波である。<br/>　
(注）変位に対して復元力の働く性質のことを弾性といい、
弾性が原因でおこる波を弾性波という。　
===連続波とパルス波  ===
波源の振動の持続回数により、２種類の波がおこる。<br/>
波源が連続的に振動し続ける場合には、<br/>
波源から連続的に波が生み出され、媒質全体に伝わって行くので、<br/>
連続する波がが生じる。'''連続波'''という。<br/>
また波源が一回の振動で変位がなくなる場合には、<br/>
一つの山(ないし谷）の波が波源から放出され、媒質の中を伝わっていく。<br/>
'''パルス波'''という。<br/>
===縦波と横波 ===
媒質がどのような変形に対して復元力を持つかに応じて、異なった形の波動が生じる。
====縦波  ====
圧縮・膨張に対する復元力を持つ媒質では、波源が急激に変位すると、<br/>　
その変位方向の2つの隣接部分の一方は、圧縮され密になり、他方は膨張し租になる。<br/>　
すると圧縮側の圧力がその隣接部分の圧力より高くなり、その部分を圧縮する。<br/>　こうして圧力の高い部分が媒質の振動方向の片側を伝わっていく。<br/>　
他方、媒質の変位により、膨張した側では、圧力がその隣接部分より小さくなり、<br/>隣接部分からおされて圧縮され圧力を回復していくが、隣接部分は圧力を下げる。<br/>こうして、圧力の低い部分が、媒質の振動方向の逆側を伝わっていく。<br/>　
この波は、媒質の振動が波の進行方向と平行なので、<br/>　
'''縦波'''(longitudinal waves)という。　<br/>　

==== 横波 ====
媒質が横ずれに対して復元力を持つ場合では、別のタイプの波が生じる。<br/>　
この場合、波源が変位したとき、<br/>　
波源は、変位方向と直角（上下と表現する）の隣接部分と引き合って、引きずる。<br/>
このため、波源の左右への振動により、<br/>　
上下にある隣接部分もやや遅れて引きずられて
左右に振動しこれが媒質全体に伝わっていく。<br/>　
この波の進行方向（上下）と、媒質の振動方向（左右）は直交するので、<br/>　
'''横波'''(transverse waves)という。<br/>　
気体や流体は、横ずれに対して復元力を持たないため、横波は発生しない。
====横波でも縦波でもない波====
横波でも縦波でもない波もある。後述する水面の波が、その例である。　<br/>　

====弾性波====
=====弾性波=====
媒質の変位により生じる波を'''弾性波'''と呼ぶ。
縦波、横波は弾性波である。
=====弾性波を生じない物質=====
2章で述べたように、かたい固体を理想化して、全く変形しない固体を考えて、剛体と名付けた。<br/>　
剛体では、圧縮、変形が起こらないので、剛体の中には波は発生しない。
=====現実の物質は弾性波を生じる=====
現実の物質は圧力をかければ、程度の差はあるが、圧縮し、元のもどろうとする力が発生するので、縦波はおこる。
=====弾性波でない波=====
光や電波は電磁波という波の一種だが、媒質はない。<br/>
真空中でもこの波は発生する。
あえて言えば、電磁波では、真空という空間が媒質で、<br/>　　
電気的な空間のゆがみ（電場、磁場）の振動が伝搬して起こる<br/>　
横波と考えられる（電磁波については10章で学ぶ）。<br/>
次の記事も参考に。
*[[wikipedia_ja:縦波と横波|ウィキペディア（縦波と横波）]]

=== 波の例=== 
身の回りには色々な波が良く見られる。　<br/>　　
媒質が空気である波は音（あるいは音波）であり、縦波である。　<br/>　　
媒質が水の場合は水面波や水中の音波となる。　<br/>　　
水面のさざ波や小さな波（'''水面波'''）は、<br/>
水の表面張力や重力が、ずれに対する復元力になるので，横波の成分をもつ。<br/>
ところが、ある場所の水面が上下振動しても、　<br/>　　
その鉛直下方にある水は殆ど膨張・圧縮されないので、　<br/>　　
水面上昇時には隣接する水面下の水が流れ込み、下降時には、鉛直下方の水が隣接する水面の下方に押し出され、<br/>　
波の進行方向する方向と平行の振動が起こる（注）。<br/>　　
こうして水の表面の水粒子は波が通過するとき、上下の振動に、<br/>
波の進行方向と平行な振動を合成した、円形（あるいは楕円形)の振動をする。<br/>
従って、縦波でも横波でもない。 <br/><br/>

音叉は媒質が金属で、其の一か所に打撃を与えて変位を起こすと、　<br/>　　
ずれや曲げに対する復元力から振動が起き、それが音叉全体に伝わる。　<br/>　
これは縦波である。　<br/>
この音叉の振動で周囲の空気が圧縮・膨張の振動を発生し、これが縦波となって、音波を生じさせる。　<br/>　
バイオリンは、弓で弦をひいて、弦の振動を引き起こし、この振動が横波となり弦全体や胴に伝達し、楽器全体を振動させる。<br/>
これが周りの空気の振動を引き起こし、音波として伝搬する。<br/>　
固体は曲げやずれに対する復元力を持つので横波を起こすが、　<br/>　　
わずかとはいえ、圧縮・膨張して、強い復元力を生じるため、縦波も起こす。　<br/>　　
[[wikipedia_ja:地震波|地震波]]は地殻の波だが　<br/>　　
最初に到達するP波は縦波で、　<br/>　　
遅れて到達するS波は横波である。　<br/>　　
地表へは、地震波は下方から到達するので、縦波のP波は上下動、横波のS波は横揺れになる。　<br/><br/>
例のまとめ；<br/>
縦波の例；音波、地震のP波（第一波）。媒質はそれぞれ空気と地殻。<br/>
$\qquad$媒質の圧縮と膨張により波が起き、伝達する。<br/>
横波の例；金属の振動、張った糸や弦の振動、地震のＳ波。媒質はそれぞれ、金属、糸、弦、地殻である。<br/>
$\qquad$媒質の横ずれに対する復元力から波が生じ、伝達する。<br/>
縦波でも横波でもない波の例；水面波<br/>

===波の数式による表示  ===
波は、任意の位置　$\vec x$　と任意の時刻　$t$　 　における,<br/>　
媒質の平衡状態（波がない静止状態）からの変位量であらわせる。<br/>　
==== 変位量について  ====
媒質を伝わる波は微視的にみれば、分子の振動の伝搬である。<br/>
しかし膨大な数の個々の分子の運動を求めたり、観測することは不可能である。<br/>
また我々が知りたいのは、波の圧力や速度や波高などの量なので、<br/>
個々の分子の軌道を求める必要もない。<br/>
こうした、圧力や波高などの変化は、<br/>
媒質の個々の分子運動の平均的な結果として生じる。<br/>
そこで、波の研究では、個々の分子の運動を決定することではなく、<br/>
それらの運動の全体から決まる、ある平均的な量（圧力や密度、波高など）が<br/>
任意の場所で、時間とともにどのように変化するかを数式で表わし、<br/>
その数式から波の諸性質を求めることを目的とする。<br/><br/>
（注)気体でも標準状態（一気圧、０℃）では１$cm~3$　の中に、約　$10^{19}$　個の分子がある。<br/><br/>

==== ある点での圧力、密度の意味  ====
ある点ｐでの圧力とか密度というのは、本来は粒子（原子・分子）からなる物質を　<br/>　
[[wikipedia_ja:連続体力学 |連続体]]とみなして定義した概念で、現実の理想化である。　<br/>　
物質を連続体とみなせば、　<br/>　
ある点ｐの圧力　$P(p)$　とは、　<br/>　
ｐ点を含む微小平面　$H(p)$　での圧力を　$P_{H(p)}$　,面積を　$|P_{H(p)}|$　と書くとき、　<br/>　
$P(p):=\lim_{|P_{H(p)}|\to 0}P_{H(p)}$　<br/>　
である。　<br/>　
しかし、現実には、あらゆる物質は原子・分子から構成されている粒子系であり、連続体ではない。　<br/>　
圧力（注１参照）は、　<br/>　
３章４節の気体の分子運動論で説明したように、膨大な個数の気体分子が、　<br/>　
熱運動で壁にぶつかり反射するときの、<br/>　
単位時間、単位面積当たり力積の和できまる。<br/>　
乱雑・無規則な衝突の壁にあたえる力は、<br/>　
少数の気体分子の場合には、時間的変動が大きく、<br/>　
その平均値である圧力は意味を持たない。<br/>　
しかし、膨大な個数の分子の壁への衝突では、<br/>　
時間的な変動が打ち消され、殆ど一様な力となるため平均値は意味を持ち、<br/>　
巨視的な測定もできる。<br/>　
そのため、極限をとる<br/>　
$\lim_{|P_{H(p)}|\to 0}P_{H(p)}$<br/>　
は、不可能である。<br/>　
現実には、圧力が意味を持つ最小の面積(注２参照）での圧力で近似値を定める。<br/><br/>　　

また、<br/>　
ある点ｐの時刻ｔでの密度とは、
時刻ｔのおけるｐ点の周りの単位体積当たりの質量のことだが

時刻ｔでの分子の質量の和を
その体積で割ったものとして定義する。
物質を連続体と考えれば、

（注１）気体の圧力Ｐは、単位時間、単位面積当たりの力積の和である。
厳密には、点ｐの時刻ｔでの圧力　$P_{p,t}$　とは、
時刻ｔから $t+\delta t$　の間に、ｐを含むある平面のｐを含む面素 $H(p)$　へ分子が与える力積の合計値を　$I(H(p),\delta t)$　とかくと、
$P_{p,t}:=\lim_{\delta t\to 0}\lim_{|H(p)|\to 0}\frac{I(H(p),\delta t)}{|\delta t||H(p)|}$
ここで、　$|H(p)|$　は面積を表す。
=====圧力を意味を持つにはどの程度の体積が必要か=====

そのため
実際には、ｐ点の周りの小さな体積での圧力、密度しか決められない。
一定の大きさの体積中の分子の状態の
平均的な量として決まる（例えばある点での密度とは、その点を含む巨視的には無視できるほど小さい体積であるが、分子から見ると十分大きな体積で膨大な数の分子が含まれるものを考え、その中にある分子数に分子の質量を掛けたもの。密度は、圧力については、３章で
変位量としては、縦波では、その位置の圧力の変化量や、<br/>　
平衡状態のとき$\vec x$にある媒質の、$\vec x$から見た実際の位置<br/>　
などが使われる。<br/>　
一次元の波では、波は数式でも、グラフでも表示は簡潔である。<br/>　
しかし、3次元の波では、<br/>　
独立変数が４つ(3次元空間の場所と時間)で、数式の扱いは難しくなり、<br/>　
図示は不可能である。<br/>　<br/>　

そこで、一次元の波で説明する。<br/>　
しかし、その応用範囲は広い。<br/>　
たとえば、<br/>　
張った弦や糸の振動などは一次元の横波である。<br/>　
また、3次元空間の平面波も進行方向をx軸にえらべば、<br/>　
この軸の上を伝わる一次元波動とみなせる。<br/>　
同様に球面波は、波源からあらゆる方向に<br/>　
速度も振動の仕方も全く同じ一次元波が放射されるので、<br/>　
ひとつの一次元波を解析すればよい。<br/>　<br/>　

====一次元波動の数式表示（未完） ====
x軸に
振動は、場所と時間によって、大きさが異なる。
したがって正確な表示は、場所（ある点を原点に選び、波の進行する方向にx軸をとり
x軸に、
その地点の媒質各部の（波がない時の位置からの）変位量をｙ軸にとり、
波を伝達する媒質の、位置
変位横波では横ずれ量、縦波では、波の振興方向と平行は向きの変位量を

一次元の波では、波は数式でも、グラフでも表示は簡潔である。<br/>　
しかし、3次元の波では、<br/>　
独立変数が４つ(3次元空間の場所と時間)で、数式の扱いは難しくなり、<br/>　
図示は不可能である。<br/>　<br/>　

そこで、一次元の波で説明する。<br/>　
しかし、その応用範囲は広い。<br/>　
たとえば、<br/>　
張った弦や糸の振動などは一次元の横波である。<br/>　
また、3次元空間の平面波も進行方向をx軸にえらべば、<br/>　
この軸の上を伝わる一次元波動とみなせる。<br/>　
同様に球面波は、波源からあらゆる方向に<br/>　
速度も振動の仕方も全く同じ一次元波が放射されるので、<br/>　
ひとつの一次元波を解析すればよい。<br/>　<br/>　

=== 単振動と正弦波　===
媒質の振動のうちもっとも基本的なものは単振動である。<br/>
代表例は、ばねにつながれたおもりの振動。
*[[wikipedia_ja:自由振動|ウィキペディア（自由振動）]]　の　1 単振動 参照。
====単振動の振動数、周期と角振動数（各速度）　====
*[[wikipedia_ja:振動数|ウィキペディア（振動数）]]
==== 正弦波　====
媒質が単振動してできる波を正弦波という。
*[[Wikibooks_ja:高等学校理科 物理I 波|ウィキブックス（高等学校理科 物理I 波）]]
の1.1.1.1 正弦波を参照
====　複雑な形の波　====
一般の複雑な形の波は、<br/>
周期や振幅の異なるいくつかの正弦波を重ね合わせたものと考えることができる。<br/>
これについては大学で学ぶ（フーリエ解析と呼ばれる）。

=== 定常波と進行波===
定常波とその腹と節については
*[[wikipedia_ja:定常波|ウィキペディア（定常波）]]
をみてください。</br>
定常でない波は進行波という。

===波の運動方程式と波の伝搬速度　===
気体や水や固体を伝わる波（音）の運動方程式は、<br/>
媒質を小さな部分に分割して,それら分割部分の<br/>
平衡状態からの変位と隣接する分割部分から受ける力の関係を求め、<br/>
ニュートンの運動法則を適用することで導出できる。<br/>
電磁波の運動方程式は、電磁気学の法則（マクスウェル方程式）を用いて得られる。<br/>
運動方程式から波の伝搬速度が得られる。<br/>
波の伝搬速度は、<br/>
媒質（平衡点からの変位と復元力の関係）と縦波か横波かで決まり、<br/>
振幅や振動数には無関係である。<br/>
これらについては大学で学ぶ。<br/>
興味のある方は、インターネットで、「波動方程式」を検索して、分かりやすい記事を探して読んでください。

===重ね合わせの原理===
前述の波の運動方程式は[[wikipedia_ja:線形性|線形性]]　をもつので、<br/>
波は重ね合わせが出来る。<br/>
一つの波が来たときの媒質の変位$ y_1$ と他の波が来たときの媒質の変位を$ y_2$　とすると、<br/>
この2つの波が同時に来た時の媒質の変位は$ y=y_1+y_2$となる。これを波の重ね合わせの原理という。<br/>
重ね合わせて出来る波を合成波という。 <br/>
この原理は以下のように、多くの現象の分析・解析に応用できる。
====　干渉　====
２つ（以上）の波が重なり合って強めあったり弱めあったりする現象で、<br/>
波の重ね合わせの原理によって分析できる。
*[[wikipedia_ja:干渉 (物理学)|ウィキペディア（波の干渉）]]

====媒質の端における波の反射、固定端と自由端　====
波が媒質の終端に達するとそこで反射し、逆方向にすすむ。<br/>
固定端では、媒質は固定されているので平衡状態からの変位は生じない。<br/>
自由端では媒質は自由に動けるので、圧縮や変形をおこさない。<br/>
この条件をみたす波動方程式の解を求めると反射波を求めることができる（大学で学ぶ）。<br/>
反射した波の形は、自由端と固定端では異なる。<br/>
後続の進行波と反射波の合成波が実際に観測される波の形である。<br/>
実際に観測されるのは合成波であり、固定端では節となり、自由端では腹となる。
*[[wikipedia_ja:反射|ウィキペディア（反射）]]
を参照のこと。

===波面の進行にかんするホイヘンスの原理　===

====　ホイヘンスの原理　====
*[[wikibooks_ja:高等学校理科 物理I 波|ウィキブックス（高等学校理科 物理I 波）]]の1.1.1.3 ホイヘンスの原理
あるいは
*[[wikipedia_ja:ホイヘンス＝フレネルの原理|ウィキペディア（ホイヘンス＝フレネルの原理）]]
を 参照のこと。</br>
この原理を用いると、波面の進行の仕方が分かり、以下の反射、屈折の法則が導ける。

====反射の法則　====
反射の法則;平面状の壁にあたった波は、反射する。この時、波の入射角と反射角は一致する。
*[[wikipedia_ja:反射|ウィキペディア（反射）]]
この法則を、ホイヘンスの原理から導いてみよう。
====屈折にかんするスネルの法則　====
*[[wikipedia_ja:スネルの法則|ウィキペディア（スネルの法則）]]
この法則を、ホイヘンスの原理から導いてみよう。


====　回折　====
波がその進行方向にある障害物の背後に回り込んで伝わっていく現象のことを、回折という。
*[[wikipedia_ja:干渉 (回折)|ウィキペディア（回折）]]

===　波のエネルギー===
弦の振動で生じる横波の正弦波を例に、波のエネルギーを考える。
====　単振動のエネルギー　====
正弦波を固定点で観測すると、媒質の単振動が得られろ。質量ｍ、ばね定数ｋの単振動する質点の力学的エネルギーは、
${{E=K+U=\frac{1}{2}kC^2}}$
詳しくは
*[[wikipedia_ja:自由振動|ウィキペディア（自由振動）]]　の1.4 調和振動子のエネルギー  を参照のこと。
====　波のエネルギー　====

電磁波（真空を媒質とする波）のエネルギーについては大学で学ぶ。