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=  波の性質=
波には色々あるが、この節では波に共通する性質を学ぶ。<br/>
参考文献；
*[[wikibooks_ja:高等学校理科_物理I_波/波の性質|ウィキブックス（高等学校理科_物理I_波/波の性質）]]
== 波の次元  ==
張った弦の振動のように、一次元空間を伝わる波を一次元の波、<br/>
水面のような２次元の空間を伝わる波を'''２次元の波'''、　<br/>　　
空中や水中を伝わる音のように、３次元空間を伝わる波を'''３次元の波'''という。
==波面と波面の形　==
波線・波面；　波の山をつないだ図形や波の谷をつないだ図形のこと。<br/>　　
２次元の波では曲線になり'''波線'''という。<br/>
３次元の波では曲面になり'''波面'''という。　<br/>　<br/>　
波面が平面になる３次元の波を[[wikipedia_ja:平面波 |'''平面波''']]という。　<br/>また波面が球面になる３次元の波を[[wikipedia_ja:球面波 |'''球面波''']]という。 　<br/>
2次元の波で、波線が直線になるものを2次元の平面波、波線が円になるものを2次元の球面波と便宜的に呼ぼう。<br/>
一様で、方向性のない３次元の媒体中の一点に方向性に無い変位を与え波を発生させると、　<br/>
この点波源から全く同じ性質の波が、あらゆる方向に伝わっていくので、<br/>
波面は球面になる。<br/>
この球面波を波源から十分離れた場所で観測すると、<br/>
観測点の近くの限定された空間内では、平面波とみなせる。　<br/>　　

== 波の進行方向 と速度 ==
ある時刻ｔにおける波面$W(t)$を、その微小時間　$\delta t(>0)$後に観測すると、<br/>
その位置を少し変えている。その波面を$W(t+\delta t)$ とかく。<br/>
時刻　t　の波面の一点　P　から、
この波面に直行する直線をひき、波面$W(t+\delta t)$ との交点を　P'　とすると、P'　は波面$W(t)$上の一点Pが進行した場所と考えられる。<br/>
波の　PP'間における平均速度は、　$\frac{PP'}{\delta t}$　である。<br/>
$\lim_{\delta t \to 0}$　をとると、波面の一点Pにおける、時刻ｔの波の瞬時速度が得られる。

== 波の発生の仕組みと連続波とパルス波、縦と横波　==
変位に対して、もとに戻ろうとする力が生じる物質(注）では、　<br/>　　
ある場所にわずかな、変位が与えられると　<br/>　　
元の位置に戻ろうとして振動を生じ（波源）　<br/>　　
これが隣接する媒質に力を与えて隣接部に振動をおこし、　<br/>　　
物質（媒質）全体に振動が伝わっていく。<br/>　　
これが波である。<br/>　
===連続波とパルス波  ===
波源の振動の持続回数により、２種類の波がおこる。<br/>
波源が連続的に振動し続ける場合には、<br/>
波源から連続的に波が生み出され、媒質全体に伝わって行くので、<br/>
連続する波がが生じる。'''連続波'''という。<br/>
また波源が一回の振動で変位がなくなる場合には、<br/>
一つの山(ないし谷）の波が波源から放出され、媒質の中を伝わっていく。<br/>
'''パルス波'''という。<br/>
===縦波と横波 ===
媒質がどのような変形に対して復元力を持つかに応じて、異なった形の波動が生じる。
====縦波  ====
圧縮・膨張に対する復元力を持つ媒質では、波源が急激に変位すると、<br/>　
その変位方向の2つの隣接部分の一方$A_1$は、圧縮され(密度が大きくなり)、圧力は上がる。<br/>　
すると、$A_1$と隣接する波源の変位方向の部分$A_2$は<br/>
$A_1$部分の媒質からの圧力を受けて圧縮され、圧力をあげる。<br/>
このとき、$A_1$部分は膨張し、密度を下げる。<br/>
このメカニズムにより、密度の振動が伝搬していく。

他方、波源の変位により、膨張し密度を下げた側でも同じメカニズムで、媒質の粗密の振動が、波源の変位方向（向きは逆）に伝搬していく。<br/>

この波は、媒質の振動が波の進行方向と平行なので、<br/>　
'''縦波'''(longitudinal waves)という。　<br/>　
'''粗密波'''とも呼ばれる。

==== 横波 ====
媒質が横ずれに対して復元力を持つ場合では、別のタイプの波が生じる。<br/>　
この場合、波源が変位したとき、<br/>　
波源は、変位方向と直角（上下と表現する）の隣接部分と引き合って、引きずる。<br/>
このため、波源の左右への振動により、<br/>　
上下にある隣接部分もやや遅れて引きずられて
左右に振動しこれが媒質全体に伝わっていく。<br/>　
この波の進行方向（上下）と、媒質の振動方向（左右）は直交するので、<br/>　
'''横波'''(transverse waves)という。<br/>　
気体や液体中では、横ずれに対して復元力がないため横波は発生しない。

====横波でも縦波でもない波====
横波でも縦波でもない波もある。後述する水面の波が、その例である。　<br/>　

====弾性波====
媒質の変位により生じる波を'''弾性波'''と呼ぶ。
=====弾性波を生じない物質=====
2章で述べたように、かたい固体を理想化して、全く変形しない固体を考えて、剛体と名付けた。<br/>　
現実の固い物質を理想化した剛体は、<br/>
どんなに外力を加えても圧縮、変形が起こらないので、剛体の中には波は発生しない。
=====現実の物質は弾性波を生じる=====
現実の物質は圧力をかければ、<br/>
程度の差はあるが、圧縮し、元のもどろうとする力が発生するので、縦波はおこる。
=====弾性波でない波=====
光や電波は電磁波という波の一種だが、真空中でもこの波は発生する。<br/>
したがって、波の媒質はなく、弾性波ではない。<br/>
あえて言えば、電磁波では、真空という空間が媒質で、<br/>　　
空間の電気的なゆがみ（電場、磁場と呼ぶ。次章を参照のこと）の<br/>
振動が伝搬して起こるないと考えられる。<br/>　
電磁波は横波である。<br/>
次の記事も参考に。
*[[wikipedia_ja:縦波と横波|ウィキペディア（縦波と横波）]]

=== 波の例=== 
身の回りには色々な波が良く見られる。　<br/>　　
媒質が空気である波は音（あるいは音波）であり、縦波である。　　<br/>　　
媒質が水の場合は水面波や水中の音波となる。　<br/>　　
'''水面波'''は、<br/>
水面を伝わる、さざ波や小さな波のことである。<br/>　
この波は、水面の上昇や下降時に、水の表面張力や重力が復元力として働くため生じる。<br/>
ところが、ある場所の水面が上下振動しても、　<br/>　　
その鉛直下方にある水は殆ど膨張・圧縮されないので、　<br/>　　
水面上昇時には隣接する水面下の水が流れ込み、下降時には、鉛直下方の水が隣接する水面の下方に押し出され、<br/>　
波の進行方向する方向と平行の振動が起こる。<br/>　　
こうして水の表面部分は波が通過するとき、上下の振動に、<br/>
波の進行方向と平行な振動を合成した、円形の振動をする。<br/>
従って、縦波でも横波でもない。 <br/><br/>
固体は曲げやずれに対する復元力を持つので横波を起こすが、　<br/>　　
わずかとはいえ、圧縮・膨張して、強い復元力を生じるため、縦波も起こす。　<br/>　
例えば、[[wikipedia_ja:地震波|地震波]]は地殻の波だが　<br/>　　
最初に到達するP波は縦波で、　<br/>　　
遅れて到達するS波は横波である。　<br/>　　
地表へは、地震波は下方から到達するので、縦波のP波は上下動、横波のS波は横揺れになる。　<br/><br/>

===波形の数式による表示  ===
波を数式で表すには、<br/>
媒質の任意の場所ｘと時間ｔにおける媒質の変位量を数式で表示すればよい。<br/>
波を数式表示すると、数学を利用して、波の色々な性質を知ることができる。<br/>
====変位量について====
縦波では、媒質の平衡状態からの位置の変化量や密度や圧力の変化量を、<br/>
変位に取ることが多い。<br/>
横波は、媒質の位置の変化量を変位量とする。
====一次元波動の波形の数式表示====
3次元の波では、<br/>　
その波形は、独立変数が４つ(3次元空間の場所と時間)で、数式の扱いは難しくなり、<br/>　
図示は不可能である。<br/>
一次元の波では、その波形の数式表示は簡潔である。<br/>　
しかし、その応用範囲は広い。<br/>　
たとえば、<br/>　
張った弦や糸の振動などは一次元の横波である。<br/>　
また、3次元空間の平面波も進行方向をx軸にえらべば、<br/>　
この軸の上を伝わる一次元波動とみなせる。<br/>　
同様に球面波は、波源からあらゆる方向に<br/>　
速度も振動の仕方も全く同じ一次元波が放射されるので、<br/>　
ひとつの一次元波を解析すればよい。<br/>　　
=====　初期時刻の波形の表示  =====
時刻の原点（初期時刻）を考察しやすいように選ぶ。<br/>
波の進行方向をｘ軸の正方向にとる。<br/>
波の変位量（縦波では媒質の圧力や巨視的な位置の変位量、横波では、媒質の巨視的な位置の変化量）をｙ軸にとる。<br/>
一例として、後述する正弦波の波形を図示する。<br/>
実線は時刻ｔでの波形、<br/>
点線は、その微小時間後の時刻$t+\Delta t$の波形である。<br/>
波は、ｘ軸の正方向に進行している。
*[[File:GENPHY00010401-01.jpg|right|frame|図　正弦波の波形]]
一般の波の初期時刻における波形が<br/>
$y=f(x)\qquad \qquad (1)$<br/>
と数式表示されるとする。<br/>

=====　時刻ｔの波形の表示  =====
式（１）で与えられる波がｘ軸上を速度　$v$　で進行しているとき（注参照）、<br/>
任意の時刻ｔの波形はどのように表示されるだろうか。<br/>
命題　4.1<br/>
時刻０の波形を、<br/>
$y=ｆ(x)\qquad \qquad (2)$<br/>
とする。<br/>
この波が、x軸上を速度　$v$　で進行するとき、<br/>
その波は、<br/>
$y=f(x-vt)$<br/>
で表せる。<br/>
証明；<br/>
任意の時刻tの波形を　$y=g(x,t)$　とかく。
この波形は、式（２)の波形をｘ軸に沿って　$vt$　平行移動したものであるから、<br/>
式（２）の波形のｘでの変位量$f(x)$は、<br/>
時刻ｔの波形では、　$x+vt$ 　の位置になっている。<br/>
数式で書くと<br/>
$f(x)=g(x+vt,t)$　<br/>
$x$　に   $x-vt$　を代入すると<br/>
$y=g(x,t)=f(x-vt)\qquad \qquad (3)$<br/>
これが、速度ｖでｘ軸の正方向に進む１次元の波の一般形である。<br/>
(注)ｖが負の時は、ｘ軸の負の方向に進む。<br/>

=== 単振動と正弦波　===
媒質の振動のうちもっとも基本的なものは、<br/>
正弦関数にしたがって振動する単振動である。<br/>
媒質の任意の一点を固定し、その点の時刻ｔの変位ｙが正弦関数<br/>
$y=A\sin(\omega t+\theta)\qquad \qquad (4)$<br/>
で表せるとき、この点は、単振動を行うという。<br/>
2章の力学で、[[wikipedia_ja:フックの法則 |フックの法則]]（注参照）を満たす「ばね」につながれた<br/>
おもりの運動は単振動することを学んだ。<br/>
[[wikipedia_ja:自由振動|ウィキペディア（自由振動）]]　の　1 単振動 参照。<br/>
媒質の復元力がフックの法則を満たすならば、<br/>
外力を受けて変位した場所は単振動を起こし、これが媒質全体に伝搬していく。
（注）フックの法則；復元力は変位量に正比例するという経験則。
====単振動の振動数、周期と角速度　====
式(4)中の　<br/>
$\quad$ $A$　は、変位の絶対値の最大値を表すので、振幅(amplitude)、<br/>
$\quad$　$\omega t+\theta$　は、振動の位置を表す角で、位相(phase)あるいは位相角,<br/>
$\quad $ $\omega$　は単位時間あたりの位相角の変化量をあらわすので、角速度(angular velocity)<br/>
と呼ばれる。<br/>
定義
$T:=\frac{2\pi}{\omega} \qquad \qquad (5)$　<br/>
を、式(4)で表される単振動の周期という。<br/>
$\nu=\frac{\omega}{2\pi} \qquad \qquad (6)$<br/>
を、単振動の振動数という。<br/><br/>
この定義から、次の命題は明らかである。<br/>
命題4.2<br/>
$T=\frac{1}{\nu} \quad \nu=\frac{1}{T} \qquad \qquad (7)$<br/><br/>
周期と振動数の意味<br/>
$\quad$ $\sin\left(\omega (t+T)+\theta\right)=\sin\left(\omega (t+\frac{2\pi}{\omega})+\theta\right)$<br/>
$\quad$ $=\sin (\omega t+2\pi+\theta)=\sin (\omega t+\theta)$<br/>
$\quad$なので、周期は波が一回振動して元に戻るまでの時間である。<br/>
$\quad$ また、振動数は、振動運動が単位時間当たりに繰り返される回数であることが分かる。<br/>
$\quad$但し、$\omega \lt 0$　のときは、T　と　ν　を負数にして$\omega \gt 0$　の時と区別したものになっている。<br/><br/>
*[[wikipedia_ja:振動数|ウィキペディア（振動数）]]
*[[wikipedia_ja:角速度|ウィキペディア（角速度）]]

==== 正弦波　====
波形が正弦関数であらわせる連続波を'''正弦波'''という。<br/>
振幅が　$A(\gt 0)$　の正弦波の初期時刻　ｔ=0　の波形は,一般に<br/>
$y=f(x)=A\sin (kx+\theta)$<br/>
と書ける。<br/>
ここで、$\theta$　は、初期時刻ｔ=0の原点x=0での変位の位相であり、<br/>
'''初期位相'''という。<br/>
k　は正、負両方になりえるので'''波数ベクトル'''(wave number vector),省略して波数という（注参照）。<br/>
隣り合う山の距離（隣り合う、等位相の点の距離）を、波長と呼ぶ。<br/><br/>
（注）2次元や3次元の波の場合には、波数ベクトルは、波面と直交する、ベクトルと定める。<br/><br/>
この波はx　が　$\pm \frac{2\pi}{k}$　だけ変わると同じ値(等位相)になるので、<br/>
波長は　$\lambda=\frac{2\pi}{|k|}$　<br/>


この波がｘ軸上を速度ｖで進むとき、その波は、命題4.1により<br/>
$y=f(x-vt)=A\sin \left(k(x-vt)+\theta\right)
=A\sin \left(kx-kvt+\theta\right)\qquad \qquad (5)$<br/>
ここで、　<br/>
$\omega:=kv\qquad \qquad (6)$　<br/>
と置くと、<br/>
$y=f(x-vt)=A\sin \left(kx-\omega t+\theta\right)\qquad \qquad (7)$<br/>


命題4.3<br/>
１次元の正弦波の波形は、<br/>
$y=A\sin \left(kx-\omega t+\theta\right)\qquad \qquad (8)$<br/>
と表せる。<br/>
ここで、<br/>
$\quad $ $A(\gt 0)$　は波の振幅、<br/>
$\quad $ $k$　は波の波数(ベクトル)、<br/>
$\quad $ $\omega$　は,波の角速度<br/>
$\quad $ $\theta$　は,波の初期位相<br/>
である。<br/>
この波は、x軸上を　$v=\frac{\omega}{k}$　の速度で進む。<br/>
（証明）<br/>
式（7）より、<br/>
$y=A\sin \left(kx-\omega t+\theta\right)$<br/>
が得られる。<br/>
式（６）から、$\omega=kv$ なので、$v=\frac{\omega}{k}$<br/>
証明終わり。<br/><br/>

===== 周期的な波の波長、振動数、周期、速度の関係  =====
命題4.4<br/>
正弦波の<br/>
波長を$\lambda$、波数をｋ、周期を　$T$　、振動数を　$\nu$、角速度を　$\omega$　とかくと、次の関係が成立つ。<br/>
(1) $T=\frac{1}{\nu},\quad \nu=\frac{1}{T},\quad T=\frac{2\pi}{|\omega|},\quad \nu=\frac{|\omega|}{2\pi},\quad |\omega|=2\pi \nu $<br/>
(2) $\lambda=\frac{2\pi}{|k|}\quad $<br/>
(3) $v=\frac{\omega}{k}$、$|v|=\lambda \nu$<br/><br/>
証明；<br/>
(1)　一秒間に　$\nu$　回振動すれば、一回の振動にかかる時間(T)は　$\frac{1}{\nu}$。<br/>
これより、最初の2つの等式が成立つ。<br/>
一回の振動に要する時間Tは、位相角が　$\pm 2\pi$　変わる時間でもあるので、$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$。<br/>
一秒間に　$\nu$　回振動する波は、その間に位相角が　$2\pi \nu $　進むので、
$\omega=2\pi \nu $<br/>
(2)　波数がｋである正弦波は、一般に次の式（８）で記述できる。<br/>
$y=A\sin (kx-\omega t+\theta)\qquad \qquad (8)$<br/>
波を波長　$\lambda$だけ、x軸に沿って移動させても、波形は一致するので、<br/>
$A\sin (kx-\omega t+\theta)=A\sin \left( k(x+\lambda)-\omega t+\theta \right) $<br/>
これより、$k\lambda $　は、$2\pi$　の整数(ｎ)倍。<br/>
波長より短い距離を移動させても、波形は一致しないので、　$n=1$ か $n=-1$。<br/>
ｋが正数のとき波長も正数なので、$n=1$<br/>
ゆえに、$k\lambda =2\pi$<br/>
(3)　$y=A\sin (kx-\omega t+\theta)=A\sin \left(k(x-\frac{\omega}{k}t)+\theta\right)$<br/>
この波の位相角が　$\theta$　である位置ｘは、<br/>
時間とともに　$x=\frac{\omega}{k}t$に従って動く。<br/>
これより、波の速度は　$v=\frac{\omega}{k}$　。　　<br/>
　$v=\frac{\omega}{k}=\frac{\omega}{2\pi}\frac{2\pi}{k}$　<br/>
$\quad$ （１）と（２）の等式から、<br/>
$=\nu \lambda$<br/><br/>
命題4.5<br/>
任意の場所ｘで、正弦波を観測すると、<br/>
単振動を行う。<br/>
証明；<br/>
命題４から、正弦波は
$y=A\sin \left(\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt)+\theta\right) $<br/>
で表される。<br/>
この式で、xを固定し、ｔの関数　$h(t)$　としてみると<br/>
$y=h(t)=A\sin \left(-v\frac{2\pi}{\lambda}t+(\frac{2\pi}{\lambda}x+\theta)\right) $<br/>
この式で、$-v\frac{2\pi}{\lambda}$ を  $k$で、<br/>
$\frac{2\pi}{\lambda}x+\theta$ を   $\phi$　で表すと、<br/>
$y=h(t)=A\sin ((kt+\phi) $<br/>
であり、単振動であることが分かる。証明終わり。<br/>


====波の波長と周波数の関係   ====
波の速度の大きさが、媒質の性質だけで決まり、波長や周波数で変わらないので、<br/>
命題4.4　より、$|v|=\frac{|\omega|}{|k|}=2\pi \frac{\nu}{|k|}=constant$(定数）<br/>
これより、次の命題が成立つ。<br/><br/>
命題4.6　波数の絶対値|k|の等しい(あるいは波長$\lambda$の等しい)2つの波は、<br/>
振動数$\nu$（あるいは周波数$T$）も等しい。<br/><br/>

===波の重ね合わせの原理とその応用===
後述（4.4弾性波の力学的考察）するように、<br/>
波の運動方程式である波動方程式は[[wikipedia_ja:線形性|'''線形性''']]　をもつので、<br/>
次のような波の重ね合わせが出来る。<br/>
媒質のある場所に、１つの波が来たときの変位$ y_1$ と他の波が来たときの変位を$ y_2$　とすると、<br/>
この2つの波がこの場所に同時に来た時の媒質の変位は$ y=y_1+y_2$となる。<br/>
これを'''波の重ね合わせの原理'''という(注参照）。<br/>
重ね合わせて出来る波を'''合成波'''という。 <br/>
この原理は、多くの波の現象の分析・解析に応用できる。<br/>
（注）数式を用いて正確に述べると次のようになる。<br/>
一つの波を　$y_1=y_1(x,t)$、他の波を　$y_2=y_2(x,t)$　とすると、<br/>
この二つの波が同時に起きて出来る波　$y=y(x,t)$　は<br/>
$y=y(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t)$　
====　複雑な形の波　====
一般の複雑な形の波は、<br/>
周期や振幅の異なるいくつかの正弦波を重ね合わせたものと考えることができる。<br/>
これについては大学の専門課程で学ぶ（フーリエ解析と呼ばれる）。
====　干渉　====
一般に出会った２つの波の変位がともに正（負）ならば、<br/>
重ね合わせの原理より、合成波の変位の絶対値は、一層大きくなり、強めあう。<br/>
また一方の変位が正で他方が負の時は、合成波の変位の絶対値は小さくなり、弱めあう。<br/>
２つ（以上）の波が重なり合って強めあったり弱めあったりする現象を'''波の干渉'''という。<br/>
様々な干渉現象は、波の重ね合わせの原理によって分析できる。
*[[wikipedia_ja:干渉 (物理学)|ウィキペディア（波の干渉）]]
=====2つの波源からでる同一の振動数をもつ球面波の干渉=====
2つの波源からでる同一の振動数をもつ球面波の干渉を考察しよう。（注１参照のこと）<br/>
命題4.6　により、両者の波長は等しい。<br/>
2つの波源を含むひとつの平面上で考える（あるいは、2次元の球面波を考える）。<br/>
図参照。<br/>
球面波は波源からどの方向にも全く同じ（振幅、波長、速度の大きさ
[[File:GENPHY00010401-02.jpg|right|frame|図 ２つの波源から出た同波長、同位相の波の干渉]]
ある瞬間に、2つの波の山と山（緑と赤の円の交点）、谷と谷が重なり合った場所では<br/>
合成波は時間とともに大きく変動する。<br/>
このような点（無数にある）を、合成波の'''腹'''という。<br/>
一方の波の山と他方の波の谷が重なる場所では、合成波の変位は少ない（注２を参照のこと）。<br/>
このような点（無数にある）を、合成波の'''節'''という。<br/><br/>
（注１）2次元の球面波（波面が同心円状の波）は、水面に小石を落とした時に発生する。<br/>
また波源で方向性のある波を発生しても、<br/>
波源から十分離れた場所では球面波とみなしてもよいことが多い。

（注２）2つの波は振動数が同じなので、<br/>
2つの波の山と山が重なる点では、時間が進むにつれ、<br/>
同時に変位は０になり、次に、同時に谷になる。<br/>
こうして、合成波は腹の地点で大きな振幅で振動する。<br/>
2つの波の谷と谷が重なる点でも、同様に、合成波の振動は大きくなる。<br/>
他方、一方の山と他方の谷が重なる点では、<br/>
時間が経過しても絶えず正負が打ち消しあう関係にあるので、<br/>
振動に振幅は小さくなる。
=====2つの波源からの距離を用いた腹と節の条件式=====

==== 定常波と進行波====
定常波(standing waveまたはstationary wave)とは、<br/>
波形が進行せずその場に止まって振動しているようにみえる波動のことである。<br/>
定在波(ていざいは)ともいう。（下記のウィキペディアの記事の冒頭より）。<br/>

命題　4.5<br/>
2つの波を考える。<br/>
もし両者の<br/>
振幅$A_i(i=1,2)$が等しく、波数ベクトル$k_i(i=1,2)$が等しく、<br/>
速度$v_i(i=1,2)$が逆向き($v_1=-v_2$)<br/>
ならば、<br/>
この2つの波が重なると定常波となる。<br/>
証明；<br/>
2つの波の共通の振幅をA,波数ベクトルをｋとかくと、
命題4.4　より、<br/>
$y_1=A\sin {\left(k(x-vt)+\alpha \right) }$　(x軸の正方向に進行）<br/>
$y_2=A\sin {\left(k(x+vt)+\beta \right) }$　(x軸の負方向に進行）<br/>
で表せる。<br/>
両者が重なるときの波形は、重ね合わせの原理から、<br/>
$y=y_1 +y_2$<br/>
$=A\sin {\left(k(x-vt)+\alpha \right)}+A\sin {\left(k(x+vt)+\beta \right)}$<br/>
$\quad$ 三角関数の加法定理（注参照）を用いて、式を簡略化するために、<br/>
$\quad$ $\gamma:=\frac{\alpha + \beta}{2}$、$\delta:=\frac{\alpha - \beta}{2}$　という変数を導入すると、<br/>
$\quad$ $\alpha=\gamma + \delta $、$\beta=\gamma - \delta $　と表現される。<br/>
$\quad$ これらを、上式に代入して、計算を進めると、<br/>
$y=A\sin {\left(k(x-vt)+ \gamma + \delta \right)}+A\sin {\left(k(x+vt)+ \gamma - \delta \right)}$<br/>
$=A\sin {\left((kx+ \gamma)-(kvt - \delta) \right)}+A\sin {\left(kx+\gamma)+(kvt- \delta) \right)}$<br/>
$\quad$ $a:=kx+ \gamma$、$b:=kvt - \delta$　とおくと、<br/>
$y=A\sin{(a-b)} + A\sin{(a+b)}$<br/>
$\quad$ 三角関数の加法定理を適用すると<br/>
$=A\left( (\sin{a} \cos{b}-\sin{b}\cos{a})+ (\sin{a} \cos{b}+\sin{b}\cos{a}) \right)$<br/>
$=2A\sin{a} \cos{b}=2A\cos{(kvt - \delta)}\sin{(kx+ \gamma)} $<br/>
を得る。<br/>
これは波数ベクトルｋで、速度が０で、その振幅が　$2A\cos{(kvt - \delta)}$（時間とともに振動する）で与えられる定常波である。<br/>
証明終わり。<br/>

定常波とその腹と節については
*[[wikipedia_ja:定常波|ウィキペディア（定常波）]]
定常でない波は'''進行波'''という。<br/>

（注）<br/>
[[wikipedia_ja:三角関数の公式の一覧|三角関数の公式の一覧（ウィキペディア）]の加法定理を参照のこと<br/>

====媒質の端における波の反射、固定端と自由端　（RT)====
波が媒質の終端に達するとそこで反射し、逆方向にすすむ。<br/>
固定端では、媒質は固定されているので平衡状態からの変位は生じない。<br/>
自由端では媒質は自由に動けるので、圧縮や変形をおこさない。<br/>
この条件をみたす波動方程式の解を求めると反射波を求めることができる（大学で学ぶ）。<br/>
反射した波の形は、自由端と固定端では異なる。<br/>
後続の進行波と反射波の合成波が実際に観測される波の形である。<br/>
実際に観測されるのは合成波であり、固定端では節となり、自由端では腹となる。
*[[wikipedia_ja:反射|ウィキペディア（反射）]]
を参照のこと。

===波面の進行にかんするホイヘンスの原理　===
====　ホイヘンスの原理　====
*[[wikibooks_ja:高等学校理科_物理I_波/波の性質|ウィキブックス（高等学校理科 物理I 波）]]の5.2 ホイヘンスの原理

あるいは
*[[wikipedia_ja:ホイヘンス＝フレネルの原理|ウィキペディア（ホイヘンス＝フレネルの原理）]]
を 参照のこと。<br/>
この原理を用いると、波面の進行の仕方が分かり、<br/>
以下の反射、屈折の法則が導ける。<br/>

====反射の法則　====
反射の法則;平面状の壁にあたった波は、反射する。この時、波の入射角と反射角は一致する。
*[[wikipedia_ja:反射|ウィキペディア（反射）]]
この法則を、ホイヘンスの原理から導いてみよう。
====屈折にかんするスネルの法則　====
*[[wikipedia_ja:スネルの法則|ウィキペディア（スネルの法則）]]
この法則を、ホイヘンスの原理から導いてみよう。
====　回折　====
波がその進行方向にある障害物の背後に回り込んで伝わっていく現象のことを、回折という。
*[[wikipedia_ja:干渉 (回折)|ウィキペディア（回折）]]