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=８章の付録=
==問の解答==
=== 問   ===
（１）準備２項定理;を用いた展開<br/>
$a_n\triangleq (1+\frac{1}{n})^{n} \qquad (n は自然数)$ とおく。<br/>
すると、
$2 \leq a_1=1+\frac{1}{1}=2\quad \lt a_2=(1+\frac{1}{2})^{2} =2\frac{1}{4}$である。<br/>
以下に、数列　$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$　が単調増大で、有界（２より、３より小）である事を示す。するとテキストの定理により
nが３以上の自然数の時は、$a_n$を２項定理を用いて展開すると<br/>　 
$a_n=(1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{m=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{m}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m \qquad \qquad (1)$<br/>　
ここで　${}_n\mathrm{C}_{m}$　は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/>
mが１以上でn 以下の自然数の時は<br/>
${}_n\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}   \qquad \qquad (2)$<br/>
ここで、m が1以上の自然数の時は　$ m!\triangleq 1\cdot 2\cdot 3 \cdots (m-1)\cdot m$<br/>
mが零の時は　${}_n\mathrm{C}_{0}\triangleq 1$　、$\quad 0!\triangleq 1 $と定義する。<br/><br/> 
式（２）を式（１）に代入して計算すると<br/>
$a_n = 1+\sum_{m=1}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m $<br/>
$=1+\sum_{m=1}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}$  <br/>
$=2+\sum_{m=2}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}\qquad \qquad (3)$  <br/>
ここで、n　より小さい全ての自然数 i に対して<br/>
$0 \lt 1-\frac{i}{n} \lt 1 $ なので、<br/>
$ 2 \lt a_n \lt 2+\sum_{m=2}^{n}\frac{1}{m!} \qquad \qquad \qquad (4)$<br/><br/>（２）すべての2以上の自然数 n　に関して、<br/>
$ 2 \lt a_n \lt 3 \qquad \qquad \qquad (5)$<br/>
であることを示そう。<br/>
式(3)から、$ 2 \lt a_n $　は明らか。<br/>
式（４）から<br/>
$a_n \lt 2+\sum_{m=2}^{n}\frac{1}{m!} \qquad \qquad (6)$<br/>
右辺の　m　は2以上の自然数なので、<br/>
$\frac{1}{m!} \leq \frac{1}{(m-1)m}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}$<br/>
である。故に、<br/>
$a_n \lt 2+\sum_{m=2}^{n}(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m})=2+(1-\frac{1}{n})=3-\frac{1}{n}\lt 3$<br/><br/>
（３）数列　$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$　は単調増加<br/>
$n \geq 2$ の時、常に　$a_n \lt a_{n+1}$　を示せばよい。<br/>
式(3)を利用すると(注参照）、<br/>
$a_{n+1}=2+\sum_{m=2}^{n+1}\frac{1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{m-1}{n+1})}{m!}$<br/>
すると、<br/>
$a_{n+1} - a_n = \sum_{m=2}^{n+1}\frac{1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{m-1}{n+1})}{m!} - \sum_{m=2}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!} $<br/>
$\quad$ 右辺の第一項の和を2つに分けると、<br/>
$= \frac{1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{n}{n+1})}{m!}$<br/>
$\quad  + \sum_{m=2}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{m-1}{n+1})}{m!} - \sum_{m=2}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}$<br/><br/>
$ = \frac{
1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{n}{n+1})
}{m!}$ <br/>
$\quad + \sum_{m=2}^{n}\frac{
1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{m-1}{n+1})
-1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}$<br/>
上の式で、全ての$i\in \{1,2,,,,n\}$に対して,$(1-\frac{i}{n+1})\gt 0$と$(1-\frac{i}{n+1})\gt (1-\frac{i}{n})$　なので、<br/>
$a_{n+1} - a_n \gt 0$<br/><br/>
（注）式（３）のｎに　ｎ＋１　を代入すればよい。

==　三角関数の微分 ==
===　準備　===
次の命題が、三角関数の微分を求めるうえで中心的役割を果たす。　<br/>
'''命題'''　<br/>
$\lim_{x\to 0,x\neq 0}\frac{\sin x}{x}=1$<br/>
証明<br/>
まず、ｘを正に保ちながら零に近づける場合を考える。<br/>
すると、$ 0 \lt x \lt \pi/2 $　と考えて良い。<br/>
点Ｏを中心にし、半径1の円を考え、円周上に一点Ａをさだめる。<br/>
図のように、円周上の点Ｂを、線分ＯＢが直線ＯＡとなす角がｘ（ラジアン)となるようにとる。<br/>
[[File:GENPHY00010803-01.pdf|right|frame|図]]<br/>

== 指数関数と対数関数 ==
===　実数の累乗 ===
a を任意の実数、n　を2以上の自然数とする。<br/>
$a^1=a,\quad a^2=a\cdot a,\quad a^3=a^2\cdot a=a\dot a\cdot a \cdots a^n=a^{n-1}\cdot a,　\cdots$<br/>
を総称して、a　の累乗と呼ぶ。<br/>
$a^n$　を、a  の n 乗 、n　をその指数と呼ぶ。<br/>
この定義から次の規則が容易に導かれる。<br/>
命題<br/>
a,b　を任意の実数、m,nを任意の自然数とすると、<br/>
(1)  $a^{m}a^{n} = a^{m+n}   \qquad \qquad \qquad   (1)$<br/>
(2)　$(a^{m})^n =a^{m n}   \qquad \qquad \qquad   (2)$<br/>
(3)　$(ab)^n = a^n b^n   \qquad \qquad \qquad   (3)$<br/>
(4)　$a^m \div a^n = a^{m-n}   \quad (when\quad  m\gt n)$<br/>
$\qquad \qquad \qquad = 1  \quad    (when \quad  m = n)$<br/>
$\qquad \qquad \qquad = \frac{1}{a^{n-m}}  \quad    (when\quad   m \lt n)$<br/>
これから、この規則が成り立つようにしながら、累乗の定義を拡張し、指数が任意の実数にまで拡げよう。
==== 指数を整数まで拡張する  ====
==== 指数を有理数まで拡張する  ====
==== 指数を実数まで拡張する  ====
===　指数関数 ===
===　対数関数 ===
== 指数関数と対数関数の微分 ==