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=　８章の付録=
==　問の解答==
===　問   ===
$\lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$　が存在し、２より大きく３以下であることを証明する。<br/>
（１）準備；　２項定理;を用いた展開<br/>
$a_n\triangleq (1+\frac{1}{n})^{n} \qquad (n は自然数)$ とおく。<br/>
すると、
$2 \leq a_1=1+\frac{1}{1}=2\quad \lt a_2=(1+\frac{1}{2})^{2} =2\frac{1}{4}$である。<br/>
以下に、数列　$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$　が単調増大で、有界（２より大、３より小）である事を示す。<br/>
するとテキストの定理により、この数列は２より大きく、３以下のある実数に収束することが分かる。<br/>
nが３以上の自然数の時は、$a_n$を２項定理を用いて展開すると<br/>　 
$a_n=(1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{m=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{m}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m \qquad \qquad (1)$<br/>　
ここで　${}_n\mathrm{C}_{m}$　は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/>
mが１以上でn 以下の自然数の時は<br/>
${}_n\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}   \qquad \qquad (2)$<br/>
ここで、m が1以上の自然数の時は　$ m!\triangleq 1\cdot 2\cdot 3 \cdots (m-1)\cdot m$<br/>
mが零の時は　$\quad 0!\triangleq 1 $　と定義。<br/><br/>
すると、<br/>
${}_n\mathrm{C}_{0}=\frac{n!}{0!n!}=1\qquad \qquad (3)$　<br/>
$m \geq 1$のとき、${}_n\mathrm{C}_{m} =\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdots \Bigl(n-(m-1)\Bigr) }{m!} \qquad (4)$<br/>
式（１）に式（２）を代入し,式(３)、(４)を利用して計算すると<br/>
$a_n = 1+\sum_{m=1}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots \Bigl(n-(m-1)\Bigr)}{m!}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m $<br/>
$=2+\sum_{m=2}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}\qquad \qquad (5)$  <br/>
ここで、n　より小さい全ての自然数 i に対して<br/>
$0 \lt 1-\frac{i}{n} \lt 1 $ なので、<br/>
$ 2 \lt a_n \lt 2+\sum_{m=2}^{n}\frac{1}{m!} \qquad \qquad \qquad (6)$<br/><br/>（２）すべての2以上の自然数 n　に関して、<br/>
$ 2 \lt a_n \lt 3 \qquad \qquad \qquad (7)$<br/>
であることを示す。<br/>
式（6）から<br/>
$2\lt a_n$,<br/>
$a_n \lt 2+\sum_{m=2}^{n}\frac{1}{m!} \qquad \qquad (8)$<br/>
右辺の　m　は2以上の自然数なので、<br/>
$\frac{1}{m!} \leq \frac{1}{(m-1)m}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}$<br/>
である。故に、<br/>
$a_n \lt 2+\sum_{m=2}^{n}(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m})=2+(1-\frac{1}{n})=3-\frac{1}{n}\lt 3$<br/><br/>
（３）数列　$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$　は単調増加<br/>
$n \geq 2$ の時、常に　$a_n \lt a_{n+1}$　を示せばよい。<br/>
式(5)を利用すると(注参照）、<br/>
$a_{n+1}=2+\sum_{m=2}^{n+1}\frac{1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{m-1}{n+1})}{m!}$<br/>
すると、<br/>
$a_{n+1} - a_n = \sum_{m=2}^{n+1}\frac{1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{m-1}{n+1})}{m!} - \sum_{m=2}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!} $<br/>
$\quad$ 右辺の第一項の和を2つに分けると、<br/>
$= \frac{1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{n}{n+1})}{m!}$<br/>
$\quad  + \sum_{m=2}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{m-1}{n+1})}{m!} - \sum_{m=2}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}$<br/><br/>
$ = \frac{
1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{n}{n+1})
}{m!}$ <br/>
$\quad + \sum_{m=2}^{n}\frac{
1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{m-1}{n+1})
-1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}$<br/>
上の式で、全ての$i\in \{1,2,,,,n\}$に対して,$(1-\frac{i}{n+1})\gt 0$と$(1-\frac{i}{n+1})\gt (1-\frac{i}{n})$　なので、<br/>
$a_{n+1} - a_n \gt 0$<br/><br/>
（注）式（３）のｎに　ｎ＋１　を代入すればよい。

==　ネイピア数　e について  ==
定義；'''$e\triangleq \lim_{}(1+\frac{1}{n})^n$''' を'''ネイピア数'''と呼ぶ。<br/>
'''命題1'''<br/>
（１）$ 2 \lt e \leq 3$<br/>
（２）$e=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!} \qquad ただし、0!\triangleq 1,\quad m!\triangleq 1\cdot 2\cdot 3\cdots (m-1)\cdot m \qquad \qquad (9)$<br/>

==　三角関数の微分 ==
===　準備　===
次の命題が、三角関数の微分を求めるうえで中心的役割を果たす。　<br/>
'''命題２'''　<br/>
$\lim_{\theta\to 0,\theta\neq 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1$<br/>
証明<br/>
まず、$\theta$ を正に保ちながら零に近づける場合を考える。<br/>
すると、$ 0 \lt \theta \lt \pi/2 $　と考えて良い。<br/>
点Ｏを中心にし、半径1の円を考え、円周上に一点Ａをさだめる。<br/>
図のように、円周上の点Ｂを、線分ＯＢが直線ＯＡとなす角がｘ（ラジアン)となるようにとる。
*[[File:GENPHY00010803-01.pdf|right|frame|図]]<br/>
図から$\triangle{OAB} \subset 扇形OAB \subset \triangle{OAP} $<br/>
$\quad$ ここで、点PはＡを通り線分OAと垂直な直線と半直線OBの交点。<br/>
すると、<br/>
$\triangle{OAB}の面積 \lt　扇形OAB の面積　\lt　\triangle{OAP}の面積$<br/>
ここで、$\triangle{OAB}の面積=\frac{1\cdot \sin{\theta}}{2},\quad 扇形OAB の面積=\pi\cdot 1^{2}\cdot \frac{\theta}{2\pi}\quad \triangle{OAP}の面積=\frac{1\cdot \tan{\theta}}{2}$なので、<br/>
$\frac{\sin{\theta}}{2}　\lt  \frac{\theta}{2}\lt \frac{\tan{\theta}}{2}=\frac{\sin{\theta}}{2\cos{\theta}}\qquad $各項を2倍すると、<br/>
$\sin{\theta}\lt \theta \lt \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$<br/>
$\quad$ここで　$\sin{\theta}\gt 0$　なので、これで上式の各項を割ると、<br/>
$1 \lt \frac{\theta}{\sin{\theta}} \lt \frac{1}{\cos{\theta}}$<br/>
$1 \gt \frac{\sin{\theta}}{\theta} \gt \cos{\theta}$<br/>
故に、極限の性質から<br/>
$1 \geq  \lim_{\theta\to 0,\theta\neq 0}\frac{\sin \theta}{\theta} \geq \lim_{\theta\to 0,\theta\neq 0}\cos{\theta}=1$<br/>
これより、$\lim_{\theta\to 0,\theta\neq 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1$　が得られる。

'''定理１　三角関数の微分'''<br/>
（１）$\frac{d}{d\theta}\sin{\theta}=\cos{\theta}$<br/>
（２）$\frac{d}{d\theta}\cos{\theta}=-\sin{\theta}$<br/>
証明<br/>
（１）；　$\frac{d}{d\theta}\sin{\theta} \triangleq \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{\sin (\theta+h)-\sin \theta}{h}$<br/>
ここで、<br/>
$\sin (\theta+h)-\sin \theta = \sin \bigl((\theta + \frac{h}{2})+\frac{h}{2}\bigr) - \sin \bigl((\theta + \frac{h}{2})-\frac{h}{2}\bigr)$<br/>
サイン関数の加法定理を適用すると<br/>
$=\sin (\theta + \frac{h}{2})\cos \frac{h}{2} + \cos (\theta + \frac{h}{2})\sin \frac{h}{2} - \Bigl( \sin (\theta + \frac{h}{2})\cos \frac{h}{2} - \cos (\theta + \frac{h}{2})\sin \frac{h}{2} \Bigr) = 2\cdot \cos (\theta + \frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}$<br/>
故に、
$\frac{d}{d\theta}\sin{\theta} \triangleq \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{\sin (\theta+h)-\sin \theta}{h} = \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{2\cdot \cos (\theta + \frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}}{h}=\lim_{h\to 0,h\neq 0}\cos (\theta + \frac{h}{2})\frac{\sin \frac{h}{2}}{h/2}$<br/>
$=\lim_{h\to 0,h\neq 0}\cos (\theta + \frac{h}{2})\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{h/2}$<br/>
$\quad $ ここで、<br/>
$\quad \lim_{h\to 0,h\neq 0}\cos (\theta + \frac{h}{2}) = \cos \theta$<br/>
$\quad \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{h/2} = 1  \quad (上の命題２より）$<br/>
$\quad $なので、<br/>
$=\cos \theta$<br/>

== 指数関数と対数関数 ==
===　実数の累乗 ===
a を任意の実数、n　を2以上の自然数とする。<br/>
$a^1=a,\quad a^2=a\cdot a,\quad a^3=a^2\cdot a=a\dot a\cdot a \cdots a^n=a^{n-1}\cdot a,　\cdots$<br/>
を総称して、a　の'''累乗'''と呼ぶ。<br/>
$a^n$　を、a  の n 乗 、n　をその指数と呼ぶ。<br/>
'''命題１'''<br/>
a,b　を任意の実数、m,nを任意の自然数とすると、<br/>
(1)　$a^{m}a^{n} = a^{m+n} $<br/>
(2)　$(a^{m})^n =a^{m n}　$<br/>
(3)　$(ab)^n = a^n b^n $<br/><br/>
そこで次の累乗に関する計算規則を定義する。<br/><br/>
'''累乗に関する計算規則'''<br/>
a,b　を任意の正の実数、$\alpha,\quad \beta$を指数を表わす数とすると、<br/>
(1)　$a^{\alpha}a^{\beta} = a^{\alpha+\beta}   \qquad \qquad \qquad   (累乗規則１)$<br/>
(2)　$(a^{\alpha})^\beta =a^{\alpha \beta}   \qquad \qquad \qquad   (累乗規則２)$<br/>
(3)　$(ab)^\beta = a^\beta b^\beta   \qquad \qquad \qquad   (累乗規則３)$<br/><br/>
この計算規則(3)から、$1~\beta \equiv 1$　であることが分かる。<br/>
何故ならば　$b=1$の時、$(a・1)^\beta = a^\beta 1^\beta $　となり、 $a^\beta 1 \neq 0$　であるから。<br/>
そこで今後は $a \neq 1$　の場合だけを考える。<br/><br/>
'''命題２'''<br/>
（１）a　を1より小さい正の実数とすると、数列　$\{a^{n}\}_{n=1}^{\infty}$　は単調減少し、零に収束。<br/>
（２）a　を1より大きい正の実数とすると、数列　$\{a^{n}\}_{n=1}^{\infty}$　は単調増加し、いくらでも大きくなる（無限大に発散）。<br/><br/>
これより、累乗に関する３つの規則が、そのまま成り立つようにしながら、指数を実数まで拡げよう。<br/>
====　指数の整数への拡張 ====
まず指数を、累乗に関する３つの規則が成り立つようにしながら、整数に拡張する。<br/>
累乗の定義から、<br/>
$a \neq 0$　の時は、任意の自然数ｍ、ｎに対し、<br/>
$a^m \div a^n = a^{m-n}   \qquad (m\gt n)　\qquad \qquad (1)$<br/>
$\qquad \qquad = 1 \qquad (m = n)\qquad \qquad \qquad(2)$<br/>
$\qquad \qquad = \frac{1}{a^{n-m}} \qquad (m \lt n)\qquad \qquad (3)$<br/>
であることが分かる。<br/>
これを一つの式　$a^{m-n}$　で表わせるように、a　の指数を取決めたい。<br/>
そのためには、指数が零の時、$a^0 \triangleq 1$、 <br/>
指数　$m-n$　が負数の時　$a^{m-n} \triangleq \frac{1}{a^{n-m}}$　 <br/>
と定義すればよい。 <br/>
言い換えると、$a (\neq 0) $　の指数ｎが 零と負の整数のとき、<br/>
$a^0 \triangleq 1,  \qquad a^n \triangleq \frac{1}{a^{-n}}  \qquad (n\lt 0)\qquad \qquad (4)$<br/>
と定義する。<br/>
すると、指数が整数の時、３つの累乗規則を満たすことは、容易に確かめられる。
====　指数の有理数への拡張 ==== 
a　を任意の正の実数、　$\frac{m}{n}$　を任意の有理数のとき、<br/>
a　の有理数乗　$a^{\frac{m}{n}}$　を、次のような計算規則を満たすように定義しよう。<br/><br/>
$a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{-m}{-n}}$　なので、指数n　を任意の自然数（正の整数）、 m　を任意の整数と仮定してよい。<br/>
累乗規則（２）を満たすように定義するには、<br/>
$(a^{\frac{m}{n}})^{n} = (a^{\frac{m}{n}})^{\frac{n}{1}}  = a^{m}$　<br/>でなければならない。<br/>
そこで、 n乗すると、$a^{m}$　となる正の実数を$a^{\frac{m}{n}}$　と決めることが
自然であろう。<br/>
最初に、この定義できちんと正の実数が一つだけ決まることを証明しよう。<br/>

'''命題３'''<br/>
a　を任意の正の実数、m,n　を任意の整数とする。<br/>
すると、n乗すると　$a^{m}$　になる正の実数 b が存在し、ただ一つに限る。<br/>
証明；<br/>
$ f(x) \triangleq x^n $　という、零と正の実数の上で定義された、関数を考える。
<br/>
この関数はｘが増加するにつれて、連続的に、零から正の無限大に狭義に単調に増加（注参照）していく。<br/>
一方、$a^{m}$　は必ず正の実数である。<br/>
そのため、ｘが零のときは、 $ f(x) \lt a^{m}$ であり、<br/>
ｘを少し増加させても、同じ関係が成り立つ。<br/>
関数は単調に零から∞まで増加していくので、<br/>
ある正の実数（b　と書こう)まで、$ f(x) \lt a^{m}$ であり<br/>
ｂ以上の実数ｘに対しては、$ f(x) \geq a^{m}$　となることが分かる。<br/>
関数値は、x の変化につれて連続に変化するので$ f(b) = a^{m}$　である。<br/>
関数ｆが狭義単調増加なので,ｂ以外の正の実数ｘでは、$ f(x) \neq a^{m}$ である。
<br/>（証明終り）<br/>
(注)　関数ｆが狭義単調増加とは、$　x \lt y \Rightarrow f(x) \lt f(y) $　を満たすこと。<br/><br/>
'''命題４'''<br/>
任意の正の実数　$a$ にたいして、その有理数乗を上記のように定義すると<br/>
３つの累乗規則　(1)～(3)　が成り立つ。<br/>
証明；
①　累乗規則（１)が成り立つことを示す。<br/>
2個の有理数の指数を　自然数$n,\quad \tilde{n}$と整数$m,\quad \tilde{m}$　を用いて、<br/>
$\alpha = \frac{m}{n},\quad \beta = \frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}$と表現する。<br/>
すると、累乗規則（１)は、次のように表される。<br/>
$a^{\frac{m}{n}}a^{\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}} = a^{\frac{m}{n}+\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}} $<br/>
この左辺を　$b \triangleq a^{\frac{m}{n}}a^{\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}}$,<br/>
右辺を　$c \triangleq a^{\frac{m}{n}+\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}}$　とおく。<br/>
$b^{n \tilde{n}} = c^{n \tilde{n}} 　\qquad \qquad \qquad (A)$　<br/>
であることを示せば、$b = c$ が得られ,<br/>
累乗規則（１)が成立することが分かる。<br/>
まず左辺を考える。<br/>
$b^{n \tilde{n}} =　(a^{\frac{m}{n}}a^{\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}})^{n \tilde{n}}$<br/>
指数が自然数の累乗規則（３）から<br/>
$ = (a^{\frac{m}{n}})^{n \tilde{n}}(a^{\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}})^{n \tilde{n}}$<br/>
指数が自然数の累乗規則（２）から<br/>
$= \Bigl((a^{\frac{m}{n}})^{n}\Bigr)^{\tilde{n}}\Bigl((a^{\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}})^{\tilde{n}}\Bigr)^{n}$<br/>
実数の有理数乗の定義から、<br/>
$ = (a^{m})^{\tilde{n}}(a^{\tilde{m}})^{n}$<br/>
指数が整数の累乗規則（２）から<br/>
$ = a^{m \tilde{n}}a^{\tilde{m}n}$<br/>
指数が整数の累乗規則（１）から<br/>
$ =  a^{m \tilde{n} + \tilde{m}n}$<br/>
故に、$b^{n \tilde{n}} = a^{m \tilde{n} + \tilde{m}n}$<br/>
次に、右辺を考える。<br/>
$c^{n \tilde{n}}  = (a^{\frac{m}{n}+\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}})^{n \tilde{n}}$<br/>

$ =  (a^{ \frac{m\tilde{n}+n\tilde{m}}{n\tilde{n}}})^{n \tilde{n}}$<br/>
実数の有理数乗の定義から、<br/>
$ = a^{m\tilde{n} + n\tilde{m}} = b^{n \tilde{n}}$<br/>
これで、式（Ａ)が示され、累乗規則（１)が成り立つことが証明できた。<br/>
　

②　累乗規則（２)が成り立つことを示す。<br/>
③　累乗規則（３)が成り立つことを示す。<br/>
証明終わり。<br/><br/>
指数が有理数の場合,命題２は次のように拡張出来きる。<br/><br/>
'''命題５'''<br/>
有理数全体の上で定義される関数<br/>
$f_a(\alpha) \triangleq a^{\alpha}　\qquad (\alpha は有理数)$を考える。<br/>
（１）a　が1より小さい正の実数ととき、<br/>
$f_a$は単調減少し、<br/>
$\lim_{\alpha \to \infty}f_a(\alpha) = 0\quad \lim_{\alpha \to -\infty}f_a(\alpha) = \infty $ <br/>
２）a　を1より大きい正の実数とすると、<br/>
$f_a$は単調増大で<br/>
$\lim_{\alpha \to \infty}f_a(\alpha) = \infty　\quad \lim_{\alpha \to -\infty}f_a(\alpha) = 0 $ <br/>
３）a = 1　のとき、$f_a　\equiv　1$<br/>
証明<br/>
証明終わり<br/>
====　指数の実数への拡張 ====
任意の実数　$\alpha$　に対して　指数　$a^{\alpha}$　を次のように定義する。<br/><br/>
定義<br/>
$\{\alpha_n\}_{n=1}^{\infty}$ を　$\alpha$　に収束する有理数の単調増加数列とするとき、<br/>
$a^{\alpha} \triangleq \lim_{n \to \infty}a^{\alpha_{n}}$　<br/><br/>
この定義により、唯一の実数が必ず定まることが次のようにして分かる。<br/><br/>
命題６<br/>
$\alpha$　に収束する別の有理数の単調増加数列　$\{\beta_n\}_{n=1}^{\infty}$　に対して、<br/>
$\lim_{n \to \infty}a^{\beta_{n}} = \lim_{n \to \infty}a^{\alpha_{n}}$　<br/>
証明<br/>
証明終わり<br/>

===　対数と対数関数 ===
1と異なる正の実数　$a$　を考える。<br/>
指数関数　$f_{a}(x) = a^x$ は,命題２から、<br/>
${\bf R}$　から　$(0,\infty)$　の上への、一対一、連続関数である。<br/><br/>　
定義１<br/>
実数　$a$ を　$ a\gt 0,\ a\neq 1$　とする。この時、<br/>
任意の正の実数　Xに対して、<br/>
$a^x = X$ <br/>
を満たす実数ｘが唯一つ定まる。<br/>
このｘを　X　の'''$a$　を底とする対数'''と呼び、$\log_{a}X$ とかく。<br/><br/>
指数関数　$f_{a}(x) = a^x$ は<br/>
${\bf R}$　から　$(0,\infty)$　の上への、一対一関数<br/>
なので、逆関数を考えることができる。<br/>
*[[File:GENPHY00010804-01.pdf|right|frame|図　指数関数と対数関数]]　
*[[File:図１　指数関数と対数関数.jpg]]　
定義２<br/>
$a$　を1と異なる正の実数とする。<br/>
$\log_{a} a^x \triangleq x   \qquad \qquad \qquad (1)$　<br/>
この関数を、$a$ を底とする対数関数とよぶ。<br/><br/>　
定理１<br/>
$a$　を　1と異なる正の実数とする。<br/>
１）　$a$ を底とする対数関数　$\log_{a}$　は、<br/>
指数関数$f_{a}(x)=a^x$の逆関数であり、<br/>
$(\log_{a}\cdot f_{a})(x) = x \quad (x \in {\bf R})\qquad \qquad \qquad (2) $ <br/>
すなわち、<br/>
$\log_{a}(a^x) = x \quad (x \in {\bf R})\qquad \qquad \qquad (2') $ <br/>
と(注参照)、<br/>
$(f_{a}\cdot \log_{a})(y) = y \quad \bigl(y \in (0,\infty)\bigr)\qquad \qquad \qquad (3) $ <br/>
すなわち、<br/>
$a^{\log_{a}(y)}  = y \quad \bigl(y \in (0,\infty)\bigr)\qquad \qquad \qquad (3') $ <br/>
を満たす。<br/>
２）指数関数$f_{a}(x)=a^x$　は <br/>
$(0,\infty)$　から　${\bf R}$　の上への一対一で<br/>
連続な関数である。<br/>
(注)　2つの関数f、ｇに対して、その合成関数$(f\cdot g)$　は、<br/>
$(f\cdot g)(x)\triangleq f\bigl(g(x)\bigr)$　で定義される。<br/><br/>

定理２<br/>
$a$　を　1と異なる正の実数とする。<br/>
すると<br/>
1)　任意の2つの正の実数ｂ、ｃに対して, <br/>
$\qquad \log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}bc  \qquad \qquad \qquad (4)$<br/>
2)　任意の2つの正の実数 b,c に対して,<br/> 
$\qquad \log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\frac{b}{c} \qquad \qquad \qquad (5)$<br/>
3)　任意の正の実数 b と任意の実数 c に対して　 <br/>
$\qquad \log_{a}b^c = c \log_{a}b \qquad \qquad \qquad (6)$<br/> <br/> 
証明<br/>
1)　指数関数$f_{a}(x)=a^x$ の性質から、<br/> 
$a^{x_{b}}= b,\quad a^{x_{c}}= c \qquad \qquad \qquad (7)$　<br/> 
を満たす、実数 $x_{b} \quad x_{c}$ がそれぞれ唯一つ定まる。<br/> 
式(7)から対数関数の定義を用いると、<br/>
$\log_{a}b = x_{b} \quad \log_{a}c = x_{c}\qquad \qquad \qquad (8)$　<br/> 
すると、<br/> 
$\quad \log_{a}b + \log_{a}c = x_b + x_c \quad  (式(8)から)$<br/> 
$=\log_{a} a^{x_b + x_c } \quad (式(1)から)$<br/> 
$=\log_{a} (a^{x_b} a^{x_c }) \quad (指数関数の性質から)$<br/> 
$=\log_{a}(bc) \quad (式(7)から) $<br/> <br/>
2)も同様に証明できる。<br/> <br/>
３）$X \triangleq \log_{a}b^c$ とおく。すると、対数の定義から、<br/> 
$a^X = b^c$<br/> 
$\qquad $ ｂは正の実数なので、$x_b=\log_{a}b　とおくと、 a^{x_b}= b$なので、<br/> 
$= (a^{x_b})^c = a^{x_b c} \quad (指数関数の性質から）$<br/> 
故に<br/> 
$a^X = a^{x_b c}$<br/> 
指数関数が一対一関数なので、$X = x_b c = c \log_{a}b$<br/> 
X の定義から、$\log_{a}b^c = c \log_{a}b  \qquad \qquad \Box $<br/> <br/> 
定理３　底の変換公式<br/> 
任意の3つの正の実数　$a(\neq 1),b,c(\neq 1) $　に対して<br/> 
$\qquad \log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\qquad \qquad \qquad (9)$<br/> <br/> 
証明<br/>
定理１の式(3')から、<br/>
$ \quad a^{\log_{a}b} = b \qquad \qquad \qquad (10)$<br/>
底をｃとする対数をとれば、<br/>
$\log_{c}a^{\log_{a}b} = \log_{c} b$<br/>
$\qquad $定理２の式(6)から、$\log_{c}a^{\log_{a}b} = (\log_{a}b)(\log_{c}a)$なので、<br/>
$ (\log_{a}b)(\log_{c}a) = \log_{c} b$<br/>
$a,\quad c$ は、１と異なる正の実数であるため、$ \log_{c}a \neq 0$　となり、<br/>$\log_{a}b = \frac{\log_{c}b }{\log_{c}a}$<br/>
が得られた。<br/>
証明終わり。 $\qquad \qquad \qquad \Box $<br/>

===　対数関数 ===
1と異なる正の実数　$a$　を考える。<br/>　
指数関数　$f_{a}(x) = a^x$ は,命題２から、<br/>　
${\bf R}$　から　$(0,\infty)$　の上への、一対一、連続関数である。<br/>　
すると、その逆関数$\quad (0,\infty) \ni a^x \to x \in {\bf R}　$　が定義できる。<br/>
*[[File:GENPHY00010804-01.pdf|right|frame|図　指数関数と対数関数]]　
*[[File:図１　指数関数と対数関数.jpg]]　

定義<br/>
$a$　を1と異なる正の実数とする。<br/>
$\log_{a} a^x \triangleq x   \qquad \qquad \qquad (1)$　<br/>
この関数を、$a$ を底とする対数関数とよぶ。<br/><br/>　
定理１<br/>
$a$　を　1と異なる正の実数とする。<br/>
１）　$a$ を底とする対数関数　$\log_{a}$　は、<br/>
指数関数$f_{a}(x)=a^x$の逆関数であり、<br/>
$(\log_{a}\cdot f_{a})(x) = x \quad (x \in {\bf R})\qquad \qquad \qquad (2) $ <br/>
すなわち、<br/>
$\log_{a}(a^x) = x \quad (x \in {\bf R})\qquad \qquad \qquad (2') $ <br/>
と(注参照)、<br/>
$(f_{a}\cdot \log_{a})(y) = y \quad \bigl(y \in (0,\infty)\bigr)\qquad \qquad \qquad (3) $ <br/>
すなわち、<br/>
$a^{\log_{a}(y)}  = y \quad \bigl(y \in (0,\infty)\bigr)\qquad \qquad \qquad (3') $ <br/>
を満たす。<br/>
２）指数関数$f_{a}(x)=a^x$　は <br/>
$(0,\infty)$　から　${\bf R}$　の上への一対一で<br/>
連続な関数である。<br/>
(注)　2つの関数f、ｇに対して、その合成関数$(f\cdot g)$　は、<br/>
$(f\cdot g)(x)\triangleq f\bigl(g(x)\bigr)$　で定義される。<br/><br/>

定理２<br/>
$a$　を　1と異なる正の実数とする。<br/>
すると<br/>
1)　任意の2つの正の実数ｂ、ｃに対して, <br/>
$\qquad \log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}bc  \qquad \qquad \qquad (4)$<br/>
2)　任意の2つの正の実数 b,c に対して,<br/> 
$\qquad \log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\frac{b}{c} \qquad \qquad \qquad (5)$<br/>
3)　任意の正の実数 b と任意の実数 c に対して　 <br/>
$\qquad \log_{a}b^c = c \log_{a}b \qquad \qquad \qquad (6)$<br/> <br/> 
証明<br/>
1)　指数関数$f_{a}(x)=a^x$ の性質から、<br/> 
$a^{x_{b}}= b,\quad a^{x_{c}}= c \qquad \qquad \qquad (7)$　<br/> 
を満たす、実数 $x_{b} \quad x_{c}$ がそれぞれ唯一つ定まる。<br/> 
式(7)から対数関数の定義を用いると、<br/>
$\log_{a}b = x_{b} \quad \log_{a}c = x_{c}\qquad \qquad \qquad (8)$　<br/> 
すると、<br/> 
$\quad \log_{a}b + \log_{a}c = x_b + x_c \quad  (式(8)から)$<br/> 
$=\log_{a} a^{x_b + x_c } \quad (式(1)から)$<br/> 
$=\log_{a} (a^{x_b} a^{x_c }) \quad (指数関数の性質から)$<br/> 
$=\log_{a}(bc) \quad (式(7)から) $<br/> <br/>
2)も同様に証明できる。<br/> <br/>
３）$X \triangleq \log_{a}b^c$ とおく。すると、対数の定義から、<br/> 
$a^X = b^c$<br/> 
$\qquad $ ｂは正の実数なので、$x_b=\log_{a}b　とおくと、 a^{x_b}= b$なので、<br/> 
$= (a^{x_b})^c = a^{x_b c} \quad (指数関数の性質から）$<br/> 
故に<br/> 
$a^X = a^{x_b c}$<br/> 
指数関数が一対一関数なので、$X = x_b c = c \log_{a}b$<br/> 
X の定義から、$\log_{a}b^c = c \log_{a}b  \qquad \qquad \Box $<br/> <br/> 
定理３　底の変換公式<br/> 
任意の3つの正の実数　$a(\neq 1),b,c(\neq 1) $　に対して<br/> 
$\qquad \log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\qquad \qquad \qquad (9)$<br/> <br/> 
証明<br/>
定理１の式(3')から、<br/>
$ \quad a^{\log_{a}b} = b \qquad \qquad \qquad (10)$<br/>
底をｃとする対数をとれば、<br/>
$\log_{c}a^{\log_{a}b} = \log_{c} b$<br/>
$\qquad $定理２の式(6)から、$\log_{c}a^{\log_{a}b} = (\log_{a}b)(\log_{c}a)$なので、<br/>
$ (\log_{a}b)(\log_{c}a) = \log_{c} b$<br/>
$a,\quad c$ は、１と異なる正の実数であるため、$ \log_{c}a \neq 0$　となり、<br/>$\log_{a}b = \frac{\log_{c}b }{\log_{c}a}$<br/>
が得られた。<br/>
証明終わり。 $\qquad \qquad \qquad \Box $<br/>

== 指数関数と対数関数の微分 ==