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===　てこの原理の証明 ===
今までの回転力の議論から、梃子がつりあっているときは、<br/>
$x_2$(y)軸まわりの回転力が零であることが予想される。<br/>
このことをまづ論証する。<br/>
その準備のため、<br/>
剛体を膨大な個数Nの質点が互いに強固に結合した質点系と考える。<br/>
それらの質点に<br/>
以下に説明するように番号(i=0,1,2,,,N-1)をふり、第i番目の質点の質量を$m_i$、位置ベクトルを$\vec{r_i}$とおく。<br/>
梃子がつりあっているときは、各質点は静止している。<br/>
ニュートンの第2法則と力の合成則により、<br/>
各質点に作用する外部力と内部力のベクトル和は零である。<br/>
（１）質点に働く外力<br/>
てこの両端$P_1,P_2$と支点に作用する力と重力が外力となる。<br/>
点$P_1$の質点に番号１をふり、その質量を$m_1$と書く。<br/>
質点$m_1$に力$\vec{f_1}$が作用する。<br/>
その位置ベクトル$\vec{OP_1}$を$\vec{r_1}$と記す。<br/>
力$\vec{f_2}$が作用する質点を$m_2$とおく。<br/>
その位置ベクトルを$\vec{OP_2}=\vec{r_2}$とする。<br/>
梃子の支点が梃子に及ぼす力$\vec{f}_0$が作用する質点を$m_0$とする。<br/>
その位置ベクトルは、$\vec{r_0}=\vec 0$である。<br/>

その他の質点には、適当に番号(３からN-1まで）を振る。<br/>
質点$m_i,(i=3,4,,,N-1)$の位置ベクトルを$\vec{OP_i}=\vec{r_i}$とおく。<br/>
また各質点$m_i$に作用する重力は${m_i}g\vec{e_3}={m_i}g(0,0,1)$である。<br/>

（２）内部力<br/>
質点$m_i$が、質点$m_j$から受ける内部力を$\vec{f_{i,j}}$と書く。$(i,j=0,1,,,N-1.i\neq j)$。<br/>
質点$m_i$と$m_j$の間の相互力にも作用・反作用の法則が成り立つので、$\vec{f_{i,j}}=-\vec{f_{j,i}}$。<br/>
さらに剛体では、その２質点間に働く力は、両質点を結ぶ直線の方向に働くと仮定してよい。言い換えると$\vec{f_{i,j}} \parallel \vec{P_iP_j}=(\vec{r_j}-\vec{r_i})$。<br/>

（３）各質点に働く力の合力<br/>
各質点$m_i$に作用する力の総和を$\vec{F}_i$と置くと、<br/>
次の式が成り立つ。<br/>
$\vec 0=\vec{F}_i
=\vec{f}_i+m_{i}g\vec{e_3}
+\sum_{j=0,1,,,N-1,j\neq i}\vec{f_{i,j}},(i=0,1,2)   \quad \quad (3)$<br/>
$\vec 0=\vec{F}_i
=m_{i}g\vec{e_3}
+\sum_{j,j\neq i}\vec{f_{i,j}},(i=3,,,,N-1 )  \quad \quad (4)$<br/>
(4) 仮想仕事の原理<br/>
釣りあっている梃子に無限に小さい力を加え、<br/>
てこを回転軸($x_2$軸)まわりに微小角$\delta \theta$動かす時の<br/>
各質点の外力のなす仕事の総和は零である。<br/>

各質点の変位ベクトルを$\delta \vec{r_i}$とかくと、<br/>
$0=\sum_{i=0}^{N-1}(\vec{f_i}+m_{i}g\vec{e_3})\cdot\delta \vec{r_i}$<br/>
$=\sum_{i=0}^{N-1}
(\vec{f_i}+m_{i}g\vec{e_3})\cdot \left( \delta \theta \vec{e_2}\times \vec{r_i}
\right)$<br/>
$=\delta \theta \sum_{i=0}^{N-1}\vec{e_2}\cdot 
\left(\vec{r_i}\times (\vec{f_i}+m_{i}g\vec{e_3})\right)\qquad \qquad (5)$<br/>

ここで、$\vec{f_i}=0,\quad (i=3,4,,,,N-1)$<br/>
証明；<br/>
各質点に作用する合力$\vec{F_i}$　はすべて零ベクトルなので、<br/>
$0=\sum_{i=0}^{N-1}\vec{F_i}\cdot \delta \vec{r_i}$<br/>
合力を（３）に従って表現すると、<br/>
$=\sum_{i=0}^{N-1}
(\vec{f_i}+m_{i}g\vec{e_3}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{i,j}})\cdot\delta \vec{r_i}$<br/>
なので、$\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j\neq i}\vec{f_{i,j}}\cdot\delta \vec{r_i}=0$を示せば,式（５）の最初の等式が示せる。<br/>
$x_2$軸まわりに微小角$\delta \theta$動かす時のてこの点P(位置ベクトル$\vec{OP}=\vec r$)の変位$\quad \delta \vec r$は「1.2.7.2 軸周りの微小回転による変位のベクトル積表示」の命題により、<br/>
$\delta \vec r=\delta \theta \vec{e_2} \times \vec{r}$<br/>
なので、<br/>
$\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j\neq i}\vec{f_{i,j}}\cdot \delta \vec{r_i}
=\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j\neq i}\vec{f_{i,j}}\cdot 
(\delta \theta \vec{e_2} \times \vec{r_i})$<br/>
$=\delta \theta \left(\sum \sum_{i<j}
 \vec{f_{i,j}}\cdot ( \vec{e_2} \times \vec{r_i}) 
+\sum \sum_{i>j}　
\vec{f_{i,j}}\cdot ( \vec{e_2} \times \vec{r_i}) \right)\quad (6)$<br/>
和をとるときに使う変数は、どの変数名を使っても、和は同じになるので、<br/>
上式の括弧(　）内の第2項の変数名$\quad i,\quad j \quad $を
$\quad j ',\quad i ' \quad $に置き換えると、<br/>
$\sum \sum_{i>j}　
\vec{f_{i,j}}\cdot ( \vec{e_2} \times \vec{r_i}) 
=\sum \sum_{j '>i '}　
\vec{f_{j ',i '}}\cdot ( \vec{e_2} \times \vec{r_{j '}}) $<br/>
$=\sum \sum_{i'<j'}　
\vec{f_{j',i'}}\cdot ( \vec{e_2} \times \vec{r_{j'}}) $<br/>
内部力が作用反作用の法則を満たすことから<br/>
$=\sum \sum_{i'<j'}　
(-\vec{f_{i',j'}})\cdot ( \vec{e_2} \times \vec{r_{j'}}) $<br/>
内積とベクトル積のスカラー倍の性質を使って変形すると、<br/>
$=-\sum \sum_{i'<j'}
\vec{f_{i',j'}}\cdot ( \vec{e_2} \times \vec{r_{j'}}) 
=\sum \sum_{i'<j'}
\vec{f_{i',j'}}\cdot \left( \vec{e_2} \times (-\vec{r_{j'}}) \right)
$<br/>
変数 i'、 j' を変数 i、j に変えると<br/>
$=\sum \sum_{i<j}　
\vec{f_{i,j}}\cdot \left( \vec{e_2} \times (-\vec{r_j})\right) $<br/>
故に<br/>
$\sum \sum_{i>j}　
\vec{f_{i,j}}\cdot ( \vec{e_2} \times \vec{r_i})
=\sum \sum_{i<j}　
\vec{f_{i,j}}\cdot  \left( \vec{e_2} \times (-\vec{r_j})\right) $<br/>

この式を式（6）に代入し、内積とベクトル積の性質を使って整頓すると、<br/>
$\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j\neq i}\vec{f_{i,j}}\cdot \delta \vec{r_i}
=\delta \theta \sum \sum_{i<j}
\vec{f_{i,j}}\cdot \left( \vec{e_2} \times (\vec{r_i}-\vec{r_j})\right)$<br/>
ベクトル積の命題７から、<br/>
$=\delta \theta \sum \sum_{i<j}
\vec{e_2} \cdot \left( (\vec{r_i}-\vec{r_j})\times \vec{f_{i,j}}\right)$<br/>
$\vec{f_{i,j}} \parallel (\vec{r_i}-\vec{r_j})$なので<br/>
$(\vec{r_i}-\vec{r_j})\times \vec{f_{i,j}}=0$<br/>
故に、<br/>
$\sum \sum_{i>j}　
\vec{f_{i,j}}\cdot ( \vec{e_2} \times \vec{r_i})=0$<br/>
所望の結果がえられたので、式(5)の最初の等式<br/>
$0=\sum_{i=0}^{N-1}
(\vec{f_i}+m_{i}g\vec{e_3})\cdot\delta \vec{r_i}\quad $が証明できた。<br/>

$\delta \vec{r_i}=\delta \theta \vec{e_2} \times \vec{r_i}$を代入すると<br/>
$0=\sum_{i=0}^{N-1}
(\vec{f_i}+m_{i}g\vec{e_3})\cdot \left( \delta \theta \vec{e_2} \times \vec{r_i} \right)$<br/>
が得られる。<br/>
さらに、内積とベクトル積の性質を使い、変形すると<br/>
$0=\delta \theta \sum_{i=0}^{N-1}
\vec{e_2} \cdot \left(\vec{r_i} \times (\vec{f_i}+m_{i}g\vec{e_3}) \right)$<br/>これで式（５）をすべて示した。仮想仕事の原理の証明終わり。<br/>
(注1）ここまでの議論は、梃子の形状や各質点に働く外力$\vec{f_i}=0,\quad (i=3,4,,,N-1)$という仮定は、全く使用していない。<br/>
従ってこの命題は任意の剛体で成り立つ。<br/>
(注２）静止している剛体では、$\sum_{i=0}^{N-1}(\vec{r_i} \times (\vec{f_i}+m_{i}g\vec{e_3})=0$であることが、仮想仕事の原理を使わず、直接証明できる。後述する。
<br/>

(5)てこの原理 の証明<br/>

仮想仕事の原理から<br/>
$0=\sum_{i=0}^{N-1}\vec{e_2}\cdot 
\left(\vec{r_i}\times (\vec{f_i}+m_{i}g\vec{e_3})\right)$<br/>
内積とベクトル積の性質を利用して<br/>
$=\sum_{i=0}^{N-1}\vec{e_2}\cdot (\vec{r_i}\times \vec{f_i})
+\sum_{i=0}^{N-1}\vec{e_2}\cdot (\vec{r_i}\times m_{i}g\vec{e_3})$<br/>
この式に$\vec{r_0}=\vec 0,\vec{f_i}=\vec 0(i=3,4,,,N-1)$を
代入し変形すると<br/>
$=\sum_{i=1}^{2}\vec{e_2}\cdot (\vec{r_i}\times \vec{f_i})
+\sum_{i=0}^{N-1}\vec{e_2}\cdot (\vec{r_i}\times m_{i}g\vec{e_3})$
故に、
$0=\sum_{i=1}^{2}\vec{e_2}\cdot (\vec{r_i}\times \vec{f_i})
+\sum_{i=0}^{N-1}\vec{e_2}\cdot (gm_{i}\vec{r_i}\times \vec{e_3}) \qquad (7)$
<br/>
上式の第２項を、ベクトル積の性質７を用いて変形すると、<br/>
$\sum_{i=0}^{N-1}\vec{e_2}\cdot (gm_{i}\vec{r_i}\times \vec{e_3})
=\sum_{i=0}^{N-1}\left(gm_{i}\vec{r_i}\cdot (\vec{e_3}\times \vec{e_2})\right)$<br/>
$=-\sum_{i=0}^{N-1}(gm_{i}\vec{r_i}\cdot \vec{e_1})
=-g(\sum_{i=0}^{N-1}m_{i}\vec{r_i})\cdot \vec{e_1}$<br/>
これを式（７）も右辺に代入すると
$0=\sum_{i=1}^{2}\vec{e_2}\cdot (\vec{r_i}\times \vec{f_i})
-g(\sum_{i=0}^{N-1}m_{i}\vec{r_i})\cdot \vec{e_1} \qquad \qquad (8)$<br/>
上式の第２項の和 $\sum_{i=0}^{N-1}m_{i}\vec{r_i}$ を、<br/>
支点からみて、<br/>
$P_1$側の質点についての和$\sum_{i,\vec{r_i})_1<o}$と、<br/>
$P_2$側の質点についての和$\sum_{i, (\vec{r_i})_1>o}$と
真上にある質点についての和　$\sum_{i, (\vec{r_i})_1=o}$　に分ける。<br/>
すると、<br/>
$\sum_{i=0}^{N-1}m_{i}\vec{r_i}
=\sum_{i, (\vec{r_i})_1<o}m_{i}\vec{r_i}
+\sum_{i, (\vec{r_i})_1>o}m_{i}\vec{r_i}
+\sum_{i, (\vec{r_i})_1=o}m_{i}\vec{r_i}$<br/>
この右辺の第１項は、支点からみて梃子の$P_1$側の部分の質量$M_{-}$と<br/>
その部分の重心
$\vec{R_{-}}:=\frac{\sum_{i,(\vec{r_i})_1<o}m_{i}\vec{r_i}}{M_{-}}$を用いて<br/>
$\sum_{i,(\vec{r_i})_1<o}m_{i}\vec{r_i}=M_{-}\vec{R_{-}}$<br/>
同様に、第２項は、支点からみて梃子の$P_2$側の部分の質量$M_{+}$と<br/>
その部分の重心$\vec{R_{+}}$　を用いて、<br/>
$\sum_{i,(\vec{r_i})_1>o}m_{i}\vec{r_i}=M_{+}\vec{R_{+}}$<br/>
となる。梃子の真上の部分の質量は無視できるので、第3項は０としてよい。<br/>
故に<br/>
$\sum_{i=0}^{N-1}m_{i}\vec{r_i}=M_{-}\vec{R_{-}}+M_{+}\vec{R_{+}}$<br/>
この式を式（８）に代入すると、<br/>
$0=\sum_{i=1}^{2}\vec{e_2}\cdot (\vec{r_i}\times \vec{f_i})
-g(M_{-}\vec{R_{-}}+M_{+}\vec{R_{+}})\cdot \vec{e_1} $<br/>
$P_2$　側の部分を左辺に移行すると、
$-\vec{e_2}\cdot (\vec{r_2}\times \vec{f_2})+gM_{+}\vec{R_{+}}\cdot \vec{e_1}
=\vec{e_2}\cdot (\vec{r_1}\times \vec{f_1})-gM_{-}\vec{R_{-}}\cdot \vec{e_1} 
\quad  (9)$
<br/>
これまでは<br/>
天秤の棒の条件（太さは無視でき、単位長さ当たりの質量は一定で$\rho$）<br/>
を使わず議論してきたが、ここでこの条件を使う。<br/>
すると、<br/>
$\vec{r_1}=(-l_1,0,0),\quad \vec{r_2}=(l_2,0,0)$<br/>
$M_1=\rho l_1,\quad \vec{R_{-}}=(-\frac{l_1}{2},0.0)$<br/>
$M_2=\rho l_2,\quad \vec{R_{+}}=(\frac{l_2}{2},0.0)$<br/>
ここで均質な棒の重心はその中点になる事実を用いた。<br/>
これらを式（９）に代入して、ベクトル積と内積の計算を実行すると、<br/>
$l_2 (\vec{f_2})_3+\frac{l_2}{2}l_2\rho g =
l_1 (\vec{f_1})_3+\frac{l_1}{2}l_1\rho g$    <br/>
を得る。<br/>
梃子の原理の証明終わり。