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=9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析=
==多変数の実数値関数の微分   ==
${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n)  \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開区間 <br/>
$I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$を考える。<br/>
一変数関数の議論から類推するために<br/>
以後、${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。<br/>
この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。<br/>
一変数の微分から類推すると<br/>
微小なベクトル　$h=(h_1,h_2,,,h_n)$　を考え、極限<br/>
$\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }$<br/>
が存在するとき、関数ｆは微分可能と定義することが考えられる。<br/>
しかし残念ながら、<br/>
${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
===偏微分===
そこで、$f$　の変数　$\bf x$　の第i成分　$x_i$　だけを変数とし、<br/>
他の変数は固定　$\left(x_j=x_{j,0}(j\neq i)\right)$　して得られる一変数関数<br/>
$\phi^{i}(x_i)$
$:=f(\bf x),$  （ここで$\quad x_j=x_{j,0}(j\neq i)$）<br/>
を考える。<br/>
この関数は、一変数なので、その微分　<br/>
$\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }$<br/>　<br/>
を考えることができる。<br/><br/>
定義（偏微分）<br/>
変数　$\bf x$　の第i成分以外は、$x_j=x_{j,0}(j\neq i)$ 　に固定する。<br/>
もし、$\phi^i(x_i)=f(\bf x)$　が　$x_{i}=x_{i,0}$　で微分可能ならば、<br/>
関数ｆは、$\bf x=(x_{1,0}, x_{2,0},,,x_{n,0})$　において、$x_i$　に関して'''偏微分可能'''のであると言い,<br/>
$\frac{\partial f}{\partial x_i} :=\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}$<br/>
を、$f(\bf x)$　の　$\bf x=(x_{1,0},x_{2,0},,,x_{n,0}$　における、$x_i$ 　に関する'''偏微分係数'''という。<br/><br/>
定義（偏導関数）<br/>
$R^n$　のある集合　$G$　の内部の全ての点$\bf x$で<br/>
$f(\bf x)$ 　が　$x_i$　に関して偏微分可能であるならば、<br/>
$G$　の内部の全ての点$\bf x$に、そこでの　$x_i$　に関する偏微分係数を対応させると、新しい関数が得られる。<br/>
これを、$f(\bf x)$ 　の　$x_i$　に関する偏導関数といい、記号<br/>
$f_{x_[i]}(\bf x),\quad D_{x_i}f(\bf x),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\bf x),\quad \partial f/\partial x_i$<br/>
などで表示する。<br/><br/>
*[[wikipedia_ja:偏微分 |ウィキペディア(偏微分)]]
定理（合成関数の微分）<br/>
$R^2$　から　$R$　への関数$f(x,y)$　と<br/>
$R$　から　$R$　への関数$g(x,y)$　の合成関数　<br/>
$h(x,y)=g(f(x,y)$　<br/>
を考える。<br/>
もし、$f(x,y)$　が　$(x_0,y_0)$　で、ｘに関して偏微分可能で,<br/>
$\quad g(x,y)$　が、$z_0=f(x_0,y_0)$　において微分可能ならば、<br/>
$h(x,y)=g(f(x,y)$　は　$(x_0,y_0)$　で、ｘに関して偏微分可能であり,<br/>
====方向微分====

===微分(全微分）　===
定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数<br/>
定理１；<br/>
微分可能ならば、偏微分可能<br/><br/>
定理２<br/>
$C^{1}$級の関数は微分可能<br/>

== ベクトル解析　==
== 常微分方程式  ==