物理/エネルギーと保存則(その2) - 変更履歴

Moderator: /* 運動量と保存則 */

2016-03-25T09:08:02Z

運動量と保存則

←前の版		2016年3月25日 (金) 09:08時点における版
68 行:		68 行:
	慣性系(原点O)からみた他の慣性系の原点は、等速度($\vec u$)　で運動するので、<br/>		慣性系(原点O)からみた他の慣性系の原点は、等速度($\vec u$)　で運動するので、<br/>
	原点Ｏ'の時刻ｔの位置ベクトルは<br/>		原点Ｏ'の時刻ｔの位置ベクトルは<br/>
-	$\vec{OO'(t)}=\vec{OO'(0)+\vec{u}t$<br/>	+	$\vec{OO'(t)}=\vec{OO'(0)}+\vec{u}t$<br/>
	故に、<br/>		故に、<br/>
	$\vec{r_i}(t)=\vec{OO'(0)}+\vec{u}t+\vec{r'_i}(t)$<br/>		$\vec{r_i}(t)=\vec{OO'(0)}+\vec{u}t+\vec{r'_i}(t)$<br/>
102 行:		102 行:
	\vec{v_i}(t)\cdot\vec{v_i}(t)+\vec u \cdot \vec u-2\vec{u} \vec{v_i}(t)\right)$<br/>		\vec{v_i}(t)\cdot\vec{v_i}(t)+\vec u \cdot \vec u-2\vec{u} \vec{v_i}(t)\right)$<br/>
	$=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v_i}(t)\\|^2 +\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec u\\|^2		$=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v_i}(t)\\|^2 +\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec u\\|^2
-	-2\vec{u}\sum_i m_i \vec{v_i}(t)$<br/>	+	-\vec{u}\sum_i m_i \vec{v_i}(t)$<br/>
	上式の第１項と３項は、仮定より時不変、第２項は定数なので、<br/>		上式の第１項と３項は、仮定より時不変、第２項は定数なので、<br/>
	$E'(t)$　は時不変であることが示された。<br/><br/>		$E'(t)$　は時不変であることが示された。<br/><br/>

Moderator: /* 運動量と保存則 */

2016-03-25T09:01:03Z

運動量と保存則

←前の版		2016年3月25日 (金) 09:01時点における版
92 行:		92 行:
	運動エネルギーの保存は慣性系によらないことを証明する。<br/>		運動エネルギーの保存は慣性系によらないことを証明する。<br/>
	慣性系　$\Sigma(O)$　からみた、<br/>		慣性系　$\Sigma(O)$　からみた、<br/>
-	慣性系　$\Sigma '$　の原点　Ｏ'　の時刻ｔの位置ベクトル　$\vec{OO'(t)}$は、<br/>ある速度ベクトル　$\vec u$　を用いて、<br/>	+	慣性系　$\Sigma '(O')$　の原点　Ｏ'　の時刻ｔの位置ベクトル　$\vec{OO'(t)}$は、<br/>ある速度ベクトル　$\vec u$　を用いて、<br/>
	$\vec{OO'(t)}=\vec{OO'(0)}+t\vec u$　と表せる。<br/>		$\vec{OO'(t)}=\vec{OO'(0)}+t\vec u$　と表せる。<br/>
	すると各質点の、両観測系から見た速度ベクトルには<br/>		すると各質点の、両観測系から見た速度ベクトルには<br/>
99 行:		99 行:
	$E'(t):=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v'}_i(t)\\|^2$<br/>		$E'(t):=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v'}_i(t)\\|^2$<br/>
	$=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v_i}(t)- \vec u \\|^2=\frac{1}{2}\sum_i m_i (\vec{v_i}(t)- \vec u )\cdot (\vec{v_i}(t)- \vec u )$<br/>		$=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v_i}(t)- \vec u \\|^2=\frac{1}{2}\sum_i m_i (\vec{v_i}(t)- \vec u )\cdot (\vec{v_i}(t)- \vec u )$<br/>
-	$=\frac{1}{2}\sum_i m_i \left(\vec{v_i}(t)\cdot\vec{v_i}(t)+\vec u \cdot \vec u-2\vec{u} \vec{v_i}(t)$<br/>	+	$=\frac{1}{2}\sum_i m_i \left(
		+	\vec{v_i}(t)\cdot\vec{v_i}(t)+\vec u \cdot \vec u-2\vec{u} \vec{v_i}(t)\right)$<br/>
	$=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v_i}(t)\\|^2 +\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec u\\|^2		$=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v_i}(t)\\|^2 +\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec u\\|^2
	-2\vec{u}\sum_i m_i \vec{v_i}(t)$<br/>		-2\vec{u}\sum_i m_i \vec{v_i}(t)$<br/>

Moderator: /* 運動量と保存則 */

2016-03-25T08:55:46Z

運動量と保存則

←前の版		2016年3月25日 (金) 08:55時点における版
65 行:		65 行:
	他の慣性系(原点Ｏ')から観測した各質点の位置ベクトルを		他の慣性系(原点Ｏ')から観測した各質点の位置ベクトルを
	$\vec{r'_i}=\vec{r'_i}(t)$　とかくと、<br/>		$\vec{r'_i}=\vec{r'_i}(t)$　とかくと、<br/>
-	$\vec{r_i}(t)=\vec{OP_i}=\vec{OO'}+\vec{O'P_i}=\vec{OO'}+\vec{r'_i}$<br/>	+	$\vec{r_i}(t)=\vec{OP_i}=\vec{OO'}+\vec{O'P_i}=\vec{OO'}+\vec{r'_i}(t)$<br/>
-	慣性系(原点O)~~からみた、他の慣性系の原点は、等速度~~($\vec u$)　で運動するので、<br/>	+	慣性系(原点O)からみた他の慣性系の原点は、等速度($\vec u$)　で運動するので、<br/>
	原点Ｏ'の時刻ｔの位置ベクトルは<br/>		原点Ｏ'の時刻ｔの位置ベクトルは<br/>
	$\vec{OO'(t)}=\vec{OO'(0)+\vec{u}t$<br/>		$\vec{OO'(t)}=\vec{OO'(0)+\vec{u}t$<br/>
	故に、<br/>		故に、<br/>
-	$\vec{r_i}(t)=\vec{OO'(0)+\vec{u}t+\vec{r'_i}$<br/>	+	$\vec{r_i}(t)=\vec{OO'(0)}+\vec{u}t+\vec{r'_i}(t)$<br/>
-	ここで$O'(t)$　は、時刻ｔの原点Ｏ'　~~の位置。~~<br/>	+	ここで$O'(t)$　は、時刻ｔの原点Ｏ'　を表す。<br/>
	故に<br/>		故に<br/>
	$\sum_{i}m_i \frac{d\vec{r'_i}(t)}{dt}		$\sum_{i}m_i \frac{d\vec{r'_i}(t)}{dt}
-	=\sum_{i}m_i(\frac{d\vec{r_i}(t)~~}{dt}~~-\vec{u})$<br/>	+	=\sum_{i}m_i \frac{d(\vec{r_i}(t)-\vec{u})}{dt}$<br/>
	$=\sum_{i}m_i\frac{d\vec{r_i}(t)}{dt}-\sum_{i}m_i \vec{u}$<br/>		$=\sum_{i}m_i\frac{d\vec{r_i}(t)}{dt}-\sum_{i}m_i \vec{u}$<br/>
	上の式の第１項は仮定により時間不変、第２項も時不変なので、<br/>		上の式の第１項は仮定により時間不変、第２項も時不変なので、<br/>
82 行:		82 行:
	これに関しては以下の命題が成り立つ。<br/>		これに関しては以下の命題が成り立つ。<br/>
	命題<br/>		命題<br/>
-	ある慣性系　$\~~sigma~~(O)$　からみて、	+	ある慣性系　$\Sigma(O)$　からみて、
	質点系　$\{m_i\}_{i}$　の<br/>		質点系　$\{m_i\}_{i}$　の<br/>
	運動量と運動エネルギーが保存されるならば、<br/>		運動量と運動エネルギーが保存されるならば、<br/>
-	他の慣性系　$\~~sigma~~ '(O')$　からみても、<br/>	+	他の慣性系　$\Sigma '(O')$　からみても、<br/>
	運動量と運動エネルギーは保存される。<br/>		運動量と運動エネルギーは保存される。<br/>
	証明<br/>		証明<br/>
91 行:		91 行:
	この条件のもとで、<br/>		この条件のもとで、<br/>
	運動エネルギーの保存は慣性系によらないことを証明する。<br/>		運動エネルギーの保存は慣性系によらないことを証明する。<br/>
-	慣性系　$\~~sigma~~(O)$　からみた、<br/>	+	慣性系　$\Sigma(O)$　からみた、<br/>
-	慣性系　$\~~sigma~~ '$　の原点　Ｏ'　の時刻ｔの位置ベクトル　$\vec{OO'(t)}$は、<br/>ある速度ベクトル　$\vec u$　を用いて、<br/>	+	慣性系　$\Sigma '$　の原点　Ｏ'　の時刻ｔの位置ベクトル　$\vec{OO'(t)}$は、<br/>ある速度ベクトル　$\vec u$　を用いて、<br/>
	$\vec{OO'(t)}=\vec{OO'(0)}+t\vec u$　と表せる。<br/>		$\vec{OO'(t)}=\vec{OO'(0)}+t\vec u$　と表せる。<br/>
	すると各質点の、両観測系から見た速度ベクトルには<br/>		すると各質点の、両観測系から見た速度ベクトルには<br/>
	$\vec{v_i}(t)=\frac{d\vec{r}_i(t)}{dt}=\frac{d(\vec{OO'(t)}+\vec{r'}_i(t))}{dt}=\vec u +\vec{v'}_i(t) \qquad (1)$<br/>		$\vec{v_i}(t)=\frac{d\vec{r}_i(t)}{dt}=\frac{d(\vec{OO'(t)}+\vec{r'}_i(t))}{dt}=\vec u +\vec{v'}_i(t) \qquad (1)$<br/>
-	慣性系　$\~~sigma~~ '$ からみた質点系の運動エネルギーＥ’は<br/>	+	慣性系　$\Sigma '$ からみた質点系の運動エネルギーＥ’は<br/>
	$E'(t):=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v'}_i(t)\\|^2$<br/>		$E'(t):=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v'}_i(t)\\|^2$<br/>
	$=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v_i}(t)- \vec u \\|^2=\frac{1}{2}\sum_i m_i (\vec{v_i}(t)- \vec u )\cdot (\vec{v_i}(t)- \vec u )$<br/>		$=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v_i}(t)- \vec u \\|^2=\frac{1}{2}\sum_i m_i (\vec{v_i}(t)- \vec u )\cdot (\vec{v_i}(t)- \vec u )$<br/>

Moderator: /* 運動量と保存則 */

2016-03-25T08:44:04Z

運動量と保存則

←前の版		2016年3月25日 (金) 08:44時点における版
45 行:		45 行:
	$=\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})$<br/>		$=\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})$<br/>
	上式の$\sum_{i<j}$は、すべての異なる$i<j$の組み合わせに関して和をとる意味である。<br/>		上式の$\sum_{i<j}$は、すべての異なる$i<j$の組み合わせに関して和をとる意味である。<br/>
-	作用反作用の法則により、$ \vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$()なので、<br/>	+	作用反作用の法則により、$ \vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$なので、<br/>
	$\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})=0$<br/>		$\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})=0$<br/>
	故に、<br/>		故に、<br/>
52 行:		52 行:
	$\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は時不変であり、保存される事が示された。<br/>		$\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は時不変であり、保存される事が示された。<br/>
	*[[wikipedia_ja:運動量保存の法則\|ウィキペディア（運動量保存の法則）]]		*[[wikipedia_ja:運動量保存の法則\|ウィキペディア（運動量保存の法則）]]
		+	====　保存則と座標系 ====
		+	質点系の運動量が保存されるか否かは、慣性系の選び方には無関係である。<br/><br/>
		+	命題；<br/>
		+	質点系が、ある慣性系(原点O)からみて運動量を保存する（時不変)ならば、<br/>
		+	他の慣性系からみても、運動量は保存する。<br/>
		+	証明<br/>
		+	質点系の各質点$P_i$の質量を$m_i $、<br/>
		+	慣性系(原点O)からみた、位置ベクトルを$\vec{OP_i}=\vec{r_i}(t)$ とし、<br/>
		+	運動量が時不変とする。<br/>
		+	すなわち、<br/>
		+	$\sum_{i}m_i \frac{d\vec{r_i}(t)}{dt}=$一定<br/>
		+	他の慣性系(原点Ｏ')から観測した各質点の位置ベクトルを
		+	$\vec{r'_i}=\vec{r'_i}(t)$　とかくと、<br/>
		+	$\vec{r_i}(t)=\vec{OP_i}=\vec{OO'}+\vec{O'P_i}=\vec{OO'}+\vec{r'_i}$<br/>
		+	慣性系(原点O)からみた、他の慣性系の原点は、等速度($\vec u$)　で運動するので、<br/>
		+	原点Ｏ'の時刻ｔの位置ベクトルは<br/>
		+	$\vec{OO'(t)}=\vec{OO'(0)+\vec{u}t$<br/>
		+	故に、<br/>
		+	$\vec{r_i}(t)=\vec{OO'(0)+\vec{u}t+\vec{r'_i}$<br/>
		+	ここで$O'(t)$　は、時刻ｔの原点Ｏ'　の位置。<br/>
		+	故に<br/>
		+	$\sum_{i}m_i \frac{d\vec{r'_i}(t)}{dt}
		+	=\sum_{i}m_i(\frac{d\vec{r_i}(t)}{dt}-\vec{u})$<br/>
		+	$=\sum_{i}m_i\frac{d\vec{r_i}(t)}{dt}-\sum_{i}m_i \vec{u}$<br/>
		+	上の式の第１項は仮定により時間不変、第２項も時不変なので、<br/>
		+	慣性系(原点Ｏ')からみた、質点系も運動量は保存される。<br/><br/>
		+
		+	しかし、質点系の運動エネルギーが保存されるか否かは、一般に慣性系の選び方に依存する。<br/>
		+	これに関しては以下の命題が成り立つ。<br/>
		+	命題<br/>
		+	ある慣性系　$\sigma(O)$　からみて、
		+	質点系　$\{m_i\}_{i}$　の<br/>
		+	運動量と運動エネルギーが保存されるならば、<br/>
		+	他の慣性系　$\sigma '(O')$　からみても、<br/>
		+	運動量と運動エネルギーは保存される。<br/>
		+	証明<br/>
		+	運動量の保存は、慣性系によらない性質であることは、前命題で証明済みであるので、<br/>
		+	この条件のもとで、<br/>
		+	運動エネルギーの保存は慣性系によらないことを証明する。<br/>
		+	慣性系　$\sigma(O)$　からみた、<br/>
		+	慣性系　$\sigma '$　の原点　Ｏ'　の時刻ｔの位置ベクトル　$\vec{OO'(t)}$は、<br/>ある速度ベクトル　$\vec u$　を用いて、<br/>
		+	$\vec{OO'(t)}=\vec{OO'(0)}+t\vec u$　と表せる。<br/>
		+	すると各質点の、両観測系から見た速度ベクトルには<br/>
		+	$\vec{v_i}(t)=\frac{d\vec{r}_i(t)}{dt}=\frac{d(\vec{OO'(t)}+\vec{r'}_i(t))}{dt}=\vec u +\vec{v'}_i(t) \qquad (1)$<br/>
		+	慣性系　$\sigma '$ からみた質点系の運動エネルギーＥ’は<br/>
		+	$E'(t):=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v'}_i(t)\\|^2$<br/>
		+	$=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v_i}(t)- \vec u \\|^2=\frac{1}{2}\sum_i m_i (\vec{v_i}(t)- \vec u )\cdot (\vec{v_i}(t)- \vec u )$<br/>
		+	$=\frac{1}{2}\sum_i m_i \left(\vec{v_i}(t)\cdot\vec{v_i}(t)+\vec u \cdot \vec u-2\vec{u} \vec{v_i}(t)$<br/>
		+	$=\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec{v_i}(t)\\|^2 +\frac{1}{2}\sum_i m_i \\|\vec u\\|^2
		+	-2\vec{u}\sum_i m_i \vec{v_i}(t)$<br/>
		+	上式の第１項と３項は、仮定より時不変、第２項は定数なので、<br/>
		+	$E'(t)$　は時不変であることが示された。<br/><br/>

	==エネルギーの単位==		==エネルギーの単位==

Moderator: /* 運動量と保存則 */

2016-03-25T02:59:49Z

運動量と保存則

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[[物理]]
＞ [[物理/力学|力学]]
＞ [[物理/エネルギーと保存則(その2)|エネルギーと保存則(その2)]]
==運動量と保存則==

===運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse) ===
質点に力$\vec{F}(t)$が作用しているとする。 
運動の第２法則$\vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$ の両辺を 
時間に関して$t_1$から $t_2$まで積分してみよう。ここで$\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)$は質点の運動量。 
すると、 
$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)$ 
となる。 
質点に作用する力を時間で積分した$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$を力積と呼ぶ。 
力積は、運動量の変化に等しい。

*[[wikibooks_ja:高等学校理科物理II 力と運動|ウィキブックス（高等学校理科物理Ⅱ）]] の1.1.2 運動量と力積 
質点系の運動量は、質点系の各質点の運動量の和で定義する。 
質点系の場合も、各質点の力積の和(質点系の力積）は質点系の運動量の変化に等しいことが、 
運動の第２法則から導ける。
===運動量保存則===
質点の場合、それに作用する外力の総和が零ならば、運動量は保存される(一定である)。 
次のように質点系にも拡張できる。 
'''運動量保存則'''( law of conservation of momentum ) 
質点系に作用する外力のベクトル和が零ならば、 
内力(質点系内の質点間に働く力)があっても、 
運動量は保存される。 
証明； 
質点系の質点数をＮ個とする。 
質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、 
質点$m_i$ に作用する外力を$\vec{f_i}$、 
$m_i$ に、質点系の他の質点$m_j $から作用する内力を 
$\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。 
すると、各質点に対して、運動の第２法則により、 
$\frac{d\vec{p}_i(t)}{dt}=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $　 
上の式を$i=1 \ldots N$について加え合わせると、 
$\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)}
=\sum_{i}(\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}})$ 
$=\sum_{i}\vec{f_i}+\sum_{i}\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}}$ 
外力のベクトル和が零という仮定から、 
$=\sum_{i}\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}}$ 
$=\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})$ 
上式の$\sum_{i<j}$は、すべての異なる$i<j$の組み合わせに関して和をとる意味である。 
作用反作用の法則により、$ \vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$()なので、 
$\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})=0$ 
故に、 
$\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} =0 $ 
が得られる。 
$\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は時不変であり、保存される事が示された。 
*[[wikipedia_ja:運動量保存の法則|ウィキペディア（運動量保存の法則）]]

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