物理/多変数解析学 - 変更履歴

Moderator: /* 「9.1　多変数解析学」　 */

2018-05-15T04:54:50Z

「9.1　多変数解析学」　

←前の版		2018年5月15日 (火) 04:54時点における版
1 行:		1 行:
-	=「9.1　多変数解析学」　=	+	=「8.1　多変数解析学」　=
	==　序 ==		==　序 ==
	本章の冒頭の偏微分の導入部については下記の本も参考にしてください。<br/>		本章の冒頭の偏微分の導入部については下記の本も参考にしてください。<br/>

Moderator: /* 実数値多変数関数の微分可能性 */

2018-01-11T10:06:08Z

実数値多変数関数の微分可能性

←前の版		2018年1月11日 (木) 10:06時点における版
122 行:		122 行:
	$f$が点$(x_0,y_0)\in U$ で'''微分可能'''(あるいは'''全微分可能'''）とは、<br/>		$f$が点$(x_0,y_0)\in U$ で'''微分可能'''(あるいは'''全微分可能'''）とは、<br/>
	ある定数$c_1,\ c_2$が存在して、<br/>		ある定数$c_1,\ c_2$が存在して、<br/>
-	ノルムが微小な任意のベクトル$\textbf{h}$ $= (h_1,h_2)$に対して	+	ノルムが微小な任意のベクトル$\textbf{h}$ $= (h_1,h_2)$に対して<br/>
	$f(x_0+h_1,y_0+h_2) = f(x_0,y_0) + c_{1}h_1 + c_{2}h_2 + \delta(h_1,h_2)$（注１参照のこと）$\qquad (a)$<br/>		$f(x_0+h_1,y_0+h_2) = f(x_0,y_0) + c_{1}h_1 + c_{2}h_2 + \delta(h_1,h_2)$（注１参照のこと）$\qquad (a)$<br/>
	ここで、$\lim_{\bf{h}\to \bf{0}}\delta(h_1,h_2)/\\|{\bf h} \\| = 0 （注２参照のこと）\qquad (b)$ <br/>		ここで、$\lim_{\bf{h}\to \bf{0}}\delta(h_1,h_2)/\\|{\bf h} \\| = 0 （注２参照のこと）\qquad (b)$ <br/>
134 行:		134 行:
	このテキストの[[物理/平面と空間,ベクトルの性質#内積とノルム\|「1.4.3 　一般のノルムの定義とノルムの同等性」]]を参照のこと。<br/><br/>		このテキストの[[物理/平面と空間,ベクトルの性質#内積とノルム\|「1.4.3 　一般のノルムの定義とノルムの同等性」]]を参照のこと。<br/><br/>
	'''定理４'''<br/>		'''定理４'''<br/>
-	$f$が点$(x_0,y_0)\in U$ で微分可能ならば、~~<br/>~~<br/>	+	$f$が点$(x_0,y_0)\in U$ で微分可能ならば、<br/>
	１）$f$ は$(x_0,y_0)$ で偏微分可能で、<br/>		１）$f$ は$(x_0,y_0)$ で偏微分可能で、<br/>
	式(a)の$ c_{1}, c_{2} $　はそれぞれ、点$(x_0,y_0)$ でのｘ、ｙに関する偏微分係数である。<br/>		式(a)の$ c_{1}, c_{2} $　はそれぞれ、点$(x_0,y_0)$ でのｘ、ｙに関する偏微分係数である。<br/>

Moderator: /* 実数値多変数関数の微分可能性 */

2018-01-08T15:23:16Z

実数値多変数関数の微分可能性

←前の版		2018年1月8日 (月) 15:23時点における版
133 行:		133 行:
	（注２）ノルムとしては、どのｐ－ノルムを用いても良い。<br/>		（注２）ノルムとしては、どのｐ－ノルムを用いても良い。<br/>
	このテキストの[[物理/平面と空間,ベクトルの性質#内積とノルム\|「1.4.3 　一般のノルムの定義とノルムの同等性」]]を参照のこと。<br/><br/>		このテキストの[[物理/平面と空間,ベクトルの性質#内積とノルム\|「1.4.3 　一般のノルムの定義とノルムの同等性」]]を参照のこと。<br/><br/>
-
	'''定理４'''<br/>		'''定理４'''<br/>
	$f$が点$(x_0,y_0)\in U$ で微分可能ならば、<br/><br/>		$f$が点$(x_0,y_0)\in U$ で微分可能ならば、<br/><br/>
139 行:		138 行:
	式(a)の$ c_{1}, c_{2} $　はそれぞれ、点$(x_0,y_0)$ でのｘ、ｙに関する偏微分係数である。<br/>		式(a)の$ c_{1}, c_{2} $　はそれぞれ、点$(x_0,y_0)$ でのｘ、ｙに関する偏微分係数である。<br/>
	すなわち、$f'(x_0,y_0)=(f_{x}(x_0,y_0),f_{y}(x_0,y_0))$<br/>		すなわち、$f'(x_0,y_0)=(f_{x}(x_0,y_0),f_{y}(x_0,y_0))$<br/>
-	２）${\bf e}=(~~e_1~~,~~e_2~~)^{T}$　を任意のベクトルとすると、<br/>	+	２）${\bf h}=(h_1,h_2)^{T}$　を任意のベクトルとすると、<br/>
-	$f$ は点$(x_0,y_0)$ で ${\bf e}$方向に微分可能で、<br/>	+	$f$ は点$(x_0,y_0)$ で ${\bf h}$方向に微分可能で、<br/>
-	$ D_{\textbf{e}}f(x_0,y_0)=Df(x_0,y_0){\bf e}$<br/>	+	$ D_{\textbf{h}}f(x_0,y_0)=Df(x_0,y_0){\bf h}$<br/>
	証明<br/>		証明<br/>
	１）を示そう。<br/>		１）を示そう。<br/>
158 行:		157 行:
	１）の証明終わり<br/>		１）の証明終わり<br/>
	２）を証明しよう。<br/>		２）を証明しよう。<br/>
-	${\bf e} = {\bf 0}$　の時は、$D_{\textbf{e}}f(x_0,y_0)=0$であることは、方向微分の定義から直ちにわかるので、２）は成り立つ。<br/>	+	${\bf h} = {\bf 0}$　の時は、$D_{\textbf{h}}f(x_0,y_0)=0$であることは、方向微分の定義から直ちにわかるので、２）は成り立つ。<br/>
-	${\bf e} \neq \textbf{0}$　の時;<br/>	+	${\bf h} \neq \textbf{0}$　の時;<br/>
	方向微分の定義から<br/>		方向微分の定義から<br/>
-	$ D_{\textbf{e}}f(x_0,y_0)=\lim_{t\to 0,t\neq 0}\frac{f(x_0+~~te_1~~,y_0+~~te_2~~)-f(x_0,y_0)}{t} \qquad (a)$<br/>	+	$ D_{\textbf{h}}f(x_0,y_0)=\lim_{t\to 0,t\neq 0}\frac{f(x_0+th_1,y_0+th_2)-f(x_0,y_0)}{t} \qquad (a)$<br/>
	他方、ｆが　点$(x_0,y_0)$　で全微分可能なので、<br/>		他方、ｆが　点$(x_0,y_0)$　で全微分可能なので、<br/>
-	$ f(x_0 + ~~te_1~~,y_0 + ~~te_2~~)-f(x_0,y_0)=Df(x_0,y_0)t\textbf{e}+\delta(~~te_1~~,~~te_2~~))	+	$ f(x_0 + th_1,y_0 + th_2)-f(x_0,y_0)=Df(x_0,y_0)t\textbf{h}+\delta(th_1,th_2))
	\qquad (b)$<br/>		\qquad (b)$<br/>
-	ここで、$\frac{\delta(~~te_1~~,~~te_2~~)}{\\|t{\bf e}\\|} \to 0 \quad (\\|t{\bf e}\\| \to 0　のとき)$<br/>	+	ここで、$\frac{\delta(th_1,th_2)}{\\|t{\bf h}\\|} \to 0 \quad (\\|t{\bf h}\\| \to 0　のとき)$<br/>
	式(b)を式(a)の右辺の代入すると、<br/>		式(b)を式(a)の右辺の代入すると、<br/>
-	$D_{\bf {e}}f(x_0,y_0)=\lim_{t\to 0,t\neq 0}\Bigl(Df(x_0,y_0){\bf e}+\frac{\delta(~~te_1~~,~~te_2~~)}{t}\Bigr)=Df(x_0,y_0){\bf e}$<br/>	+	$D_{\bf {h}}f(x_0,y_0)=\lim_{t\to 0,t\neq 0}\Bigl(Df(x_0,y_0){\bf h}+\frac{\delta(th_1,th_2)}{t}\Bigr)=Df(x_0,y_0){\bf h}$<br/>
	これで２）が示せた。<br/>		これで２）が示せた。<br/>
	証明終わり<br/><br/>		証明終わり<br/><br/>
176 行:		175 行:
	ここで、ベクトルの右肩についているＴという記号は、転置演算を表す記号である。<br/>		ここで、ベクトルの右肩についているＴという記号は、転置演算を表す記号である。<br/>
	本テキストの[[物理/平面と空間,ベクトル#行列\|8.1 平面と空間,ベクトルの行列]]を参照のこと。		本テキストの[[物理/平面と空間,ベクトル#行列\|8.1 平面と空間,ベクトルの行列]]を参照のこと。
		+
	====　微分可能性の十分条件 ====		====　微分可能性の十分条件 ====
	'''定理５'''<br/>		'''定理５'''<br/>

Moderator: /* 　方向微分 */

2018-01-08T14:59:47Z

　方向微分

←前の版		2018年1月8日 (月) 14:59時点における版
103 行:		103 行:
	命題１<br/>		命題１<br/>
	(1)　$\vec{e_i}$　方向の微分は、$\vec{e_i}$　座標軸($x_i$座標軸）に関する偏微分である。<br/>		(1)　$\vec{e_i}$　方向の微分は、$\vec{e_i}$　座標軸($x_i$座標軸）に関する偏微分である。<br/>
-	ここで、$\vec{e_i}$　は$x_i$~~座標軸の正方向向きの単位長さのベクトル。~~<br/>	+	ここで、$\vec{e_i}$　は$x_i$座標軸の正方向に向いた単位長さのベクトル。<br/>
	式で書くと、<br/>		式で書くと、<br/>
	$\frac{\partial f}{\partial \vec{e_i}}(x) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) $<br/>		$\frac{\partial f}{\partial \vec{e_i}}(x) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) $<br/>

Moderator: /* 　実数値の多変数関数の高階偏微分 */

2017-12-29T02:46:55Z

　実数値の多変数関数の高階偏微分

←前の版		2017年12月29日 (金) 02:46時点における版
375 行:		375 行:
	==　実数値の多変数関数の高階偏微分 ==		==　実数値の多変数関数の高階偏微分 ==
	（１）二階偏微分<br/>		（１）二階偏微分<br/>
-	~~定義　一階偏微分可能~~<br/>	+	'''定義'''　一階偏微分可能<br/>
	$f({\bf x})$ を、ｎ次元空間 ${\bf R^n}$の開集合$U$上で定義され、<br/>		$f({\bf x})$ を、ｎ次元空間 ${\bf R^n}$の開集合$U$上で定義され、<br/>
	実数に値をとる関数とする。<br/>		実数に値をとる関数とする。<br/>
381 行:		381 行:
	$f_{x_{i}}({\cdot})\quad (i=1,2,\cdots,n)$<br/>		$f_{x_{i}}({\cdot})\quad (i=1,2,\cdots,n)$<br/>
	を持つと仮定する。<br/>		を持つと仮定する。<br/>
-	この時　この関数を'''一階偏微分可能'''であるという。	+	この時　この関数を,U　上で'''一階偏微分可能'''であるという。

-	~~定義　二階偏微分係数~~<br/>	+	'''定義'''　二階偏微分係数<br/>
	もし、点${\bf x^0}(\in U)$　で、偏導関数$f_{x_{i}}(\cdot)\bigl(\frac{\partial f}{\partial x_i}(\cdot)とも書く\bigr)$が、変数$x_{j}$に関して偏微分可能の時、その偏微分係数を$f_{x_i,x_j}({\bf x^0})\bigl(\frac{\partial ^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}({\bf x})とも書く\bigr)$と表わす（$i,j=1,2,\cdots,n $ )。<br/><br/>		もし、点${\bf x^0}(\in U)$　で、偏導関数$f_{x_{i}}(\cdot)\bigl(\frac{\partial f}{\partial x_i}(\cdot)とも書く\bigr)$が、変数$x_{j}$に関して偏微分可能の時、その偏微分係数を$f_{x_i,x_j}({\bf x^0})\bigl(\frac{\partial ^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}({\bf x})とも書く\bigr)$と表わす（$i,j=1,2,\cdots,n $ )。<br/><br/>
	物理学や他の数理的分野で、<br/>		物理学や他の数理的分野で、<br/>
397 行:		397 行:
	この定理は次の定理の特殊な場合なので証明は略す。<br/><br/>		この定理は次の定理の特殊な場合なので証明は略す。<br/><br/>

-	定理９<br/>	+	'''定理９'''<br/>
	${\bf R^n}$の開集合$U$で定義された一階偏微分可能な実数値関数ｆに対し、<br/>		${\bf R^n}$の開集合$U$で定義された一階偏微分可能な実数値関数ｆに対し、<br/>
	点${\bf a} \in U$ の近傍Ｗ($\subset U$)上で２階偏導関数$f_{x_i,x_j}$　が存在し、<br/>		点${\bf a} \in U$ の近傍Ｗ($\subset U$)上で２階偏導関数$f_{x_i,x_j}$　が存在し、<br/>
407 行:		407 行:
	定理９は、２つの変数$x_{i},x_{j}$以外の (n-2)個の変数は固定して考えるので、<br/>実質的には２変数関数にかんする命題であり、<br/>		定理９は、２つの変数$x_{i},x_{j}$以外の (n-2)個の変数は固定して考えるので、<br/>実質的には２変数関数にかんする命題であり、<br/>
	簡略バージョンの証明はそのまま定理９の証明になっている（ただし、記述が複雑になる）。<br/>		簡略バージョンの証明はそのまま定理９の証明になっている（ただし、記述が複雑になる）。<br/>
-	~~定理９’（定理９の２変数関数バージョン）~~<br/>	+	'''定理９d'''（定理９の２変数関数バージョン）<br/>
	${\bf R^2}$の開集合$U$で定義された一階偏微分可能な実数値関数ｆに対し、<br/>		${\bf R^2}$の開集合$U$で定義された一階偏微分可能な実数値関数ｆに対し、<br/>
	点${\bf a}=(a_1,a_2) \in U$ の近傍Ｗ($\subset U$)上で２階偏導関数$f_{x_1,x_2}$　が存在し、<br/>		点${\bf a}=(a_1,a_2) \in U$ の近傍Ｗ($\subset U$)上で２階偏導関数$f_{x_1,x_2}$　が存在し、<br/>
473 行:		473 行:
	$g(h_1,h_2)\triangleq \frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2}$　と置くことにより<br/>		$g(h_1,h_2)\triangleq \frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2}$　と置くことにより<br/>
	式(a)が得られる。<br/>		式(a)が得られる。<br/>
-	補題<br/>	+	'''補題'''<br/>
	2変数関数 $g(h_1,h_2)$ が、$\{(h_1,h_2)\in B_{\gamma }({\bf 0})\|h_1h_2 \neq 0\}$上で定義されているとする。<br/>		2変数関数 $g(h_1,h_2)$ が、$\{(h_1,h_2)\in B_{\gamma }({\bf 0})\|h_1h_2 \neq 0\}$上で定義されているとする。<br/>
	もし、<br/>		もし、<br/>
487 行:		487 行:
	$\|h_1\|\lt \delta(\epsilon),h_1\neq 0$ を満たす任意の実数 $h_1$ では<br/>		$\|h_1\|\lt \delta(\epsilon),h_1\neq 0$ を満たす任意の実数 $h_1$ では<br/>
	$\|\alpha (h_1)-\alpha\| \lt \epsilon$ が成り立つことを示せばよい。<br/>		$\|\alpha (h_1)-\alpha\| \lt \epsilon$ が成り立つことを示せばよい。<br/>
-		+	仮定した式(h)から、<br/>
-		+	任意の正数$\epsilon$ に対して、これに依存して決まるある正数$\delta(\epsilon)$ が存在して<br/>
-		+	${\bf h}=(h_1,h_2)$　が
-		+	$\\|(h_1,h_2)\\| \lt \delta(\epsilon) $　を満たすならば、<br/>
-		+	$\| \alpha - g(h_1,h_2) \| \lt \frac{\epsilon}{2} \qquad \qquad (j)$<br/>
-		+	他方、仮定した式(i)から、<br/>
-		+	任意の非零の$h_1$に対して、ある正数$\delta'(h_1,\epsilon)$が定まって、<br/>
-		+	$ \| h_2 \| \lt \delta'(h_1,\epsilon) $　ならば<br/>
-		+	$ \| \alpha(h_1) - g(h_1,h_2) \| \lt \frac{\epsilon}{2} \qquad \qquad (k)$<br/><br/>
-		+	非零で絶対値が $\frac{\delta(\epsilon)}{2}$ より小さい任意の実数$h_1$をとれば、<br/>
-		+	$ \|h_2\| \lt \min\Bigl(\delta'(h_1,\epsilon),\frac{\delta(\epsilon)}{2}\Bigr)$を満たす
-		+	任意の実数$h_2$に対して、<br/>
-	証明終わり。	+	式(j)、(k)　が同時に成り立つ（注参照）。<br/>
		+	故に、<br/>
		+	$ \|\alpha - \alpha(h_1) \| \leq \|\alpha - g(h_1,h_2)\| + \| g(h_1,h_2)-\alpha(h_1)\| \lt \epsilon $<br/>
		+	これで、
		+	任意の正数$\epsilon$ に対して、これに依存して決まるある正数$\delta\triangleq \frac{\delta(\epsilon)}{2}$ が存在して<br/>
		+	$ \|h_1\| \lt \delta $ を満たす任意の非零数　$h_1$ に関して<br/>
		+	$ \|\alpha - \alpha(h_1) \| \lt \epsilon $<br/>
		+	が証明できた。<br/>
		+	証明終わり。<br/>
		+	（注）<br/>
		+	$　\|h_1\| \lt \frac{\delta(\epsilon)}{2}　\quad \|h_2\| \lt \frac{\delta(\epsilon)}{2}$ なので、<br/>
		+	$\\|(h_1,h_2) \\| \leq \|h_1\| + \|h_2\| \lt \delta(\epsilon) $<br/>
		+	が成り立ち、式(j)が成り立つ。

	==== $C^{2}$級の関数 ====		==== $C^{2}$級の関数 ====
	定義<br/>		定義<br/>
	定理１０<br/>		定理１０<br/>

Moderator: /* 　実数値の多変数関数の高階偏微分 */

2017-12-28T16:43:40Z

　実数値の多変数関数の高階偏微分

←前の版		2017年12月28日 (木) 16:43時点における版
470 行:		470 行:
	$=f_{x_2}(a_1+h_1,a_2) - f_{x_2}(a_1,a_2)$<br/>		$=f_{x_2}(a_1+h_1,a_2) - f_{x_2}(a_1,a_2)$<br/>
	が得られる。<br/><br/>		が得られる。<br/><br/>
-	~~２）次の補題が示されれば、式~~(a)が得られる。<br/>	+	２）次の補題が示されれば、<br/>
		+	$g(h_1,h_2)\triangleq \frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2}$　と置くことにより<br/>
		+	式(a)が得られる。<br/>
	補題<br/>		補題<br/>
		+	2変数関数 $g(h_1,h_2)$ が、$\{(h_1,h_2)\in B_{\gamma }({\bf 0})\|h_1h_2 \neq 0\}$上で定義されているとする。<br/>
	もし、<br/>		もし、<br/>
-	$\lim_{(h_1,h_2)\to (0,0),h_1h_2\neq 0}~~\frac{D~~(h_1,h_2)~~}{h_1h_2}~~ =　\alpha$　と<br/>$\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}~~\frac{D~~(h_1,h_2)~~}{h_2}~~= \~~beta~~ (h_1)$<br/>	+	$\lim_{(h_1,h_2)\to (0,0),h_1h_2\neq 0}g(h_1,h_2)=　\alpha \qquad \qquad (h)$　<br/>
		+	と<br/>
		+	$\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}g(h_1,h_2)= \alpha (h_1) \qquad \qquad (i)$<br/>
	が同時に成り立つならば、<br/>		が同時に成り立つならば、<br/>
-	$\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0~~}\frac{1}{h_1~~}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}~~\frac{D~~(h_1,h_2)~~}{h_2}~~=\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\~~frac{ \beta~~ (h_1)~~}{h_1}~~=\alpha$<br/>	+	$\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}g(h_1,h_2)=\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\alpha (h_1)=\alpha$<br/>
-	である。<br/><br/>	+	である。<br/>
		+	証明<br/>
		+	収束の定義から、<br/>
		+	任意の(小さな)正数　$\epsilon$ に対して、或る正数 $\delta(\epsilon)$ が存在して<br/>
		+	$\|h_1\|\lt \delta(\epsilon),h_1\neq 0$ を満たす任意の実数 $h_1$ では<br/>
		+	$\|\alpha (h_1)-\alpha\| \lt \epsilon$ が成り立つことを示せばよい。<br/>
		+
		+

Moderator: /* 　実数値の多変数関数の高階偏微分 */

2017-12-28T14:07:47Z

　実数値の多変数関数の高階偏微分

←前の版		2017年12月28日 (木) 14:07時点における版
405 行:		405 行:

	証明の記述を簡単にするために、次の２変数関数バージョンの証明をする。<br/>		証明の記述を簡単にするために、次の２変数関数バージョンの証明をする。<br/>
-	定理９は、２つの変数$x_{i},x_{j}$以外の (n-2)個の変数は固定して考えるので、<br/>~~実質的には２変数関数にかんする命題であり、簡略バージョンの証明はそのまま定理９の証明になっている（ただし、記述が複雑になる）。~~<br/>	+	定理９は、２つの変数$x_{i},x_{j}$以外の (n-2)個の変数は固定して考えるので、<br/>実質的には２変数関数にかんする命題であり、<br/>
		+	簡略バージョンの証明はそのまま定理９の証明になっている（ただし、記述が複雑になる）。<br/>
	定理９’（定理９の２変数関数バージョン）<br/>		定理９’（定理９の２変数関数バージョン）<br/>
	${\bf R^2}$の開集合$U$で定義された一階偏微分可能な実数値関数ｆに対し、<br/>		${\bf R^2}$の開集合$U$で定義された一階偏微分可能な実数値関数ｆに対し、<br/>
428 行:		429 行:
	$\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\frac{1}{h_1}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_2}= \lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} \qquad \qquad (a)$<br/>		$\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\frac{1}{h_1}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_2}= \lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} \qquad \qquad (a)$<br/>
	が存在し、$f_{x_1,x_2}({\bf a})$　に等しいことを示せば定理は証明される。<br/><br/>		が存在し、$f_{x_1,x_2}({\bf a})$　に等しいことを示せば定理は証明される。<br/><br/>
-	（２）$\lim_{(h_1,h_2)\to (0,0),h_1h_2\neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} = f_{x_1,x_2}({\bf a}) \qquad \qquad (b)$~~である。~~<br/><br/>	+	（２）$\lim_{(h_1,h_2)\to (0,0),h_1h_2\neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} = f_{x_1,x_2}({\bf a}) \qquad \qquad (b)$<br/>
		+	である。<br/>
	この部分が、この定理の証明の核心であり、多少の技巧を要する。<br/>		この部分が、この定理の証明の核心であり、多少の技巧を要する。<br/>
	$D(h_1,h_2)$を生成するため次のような関数を導入する。<br/>		$D(h_1,h_2)$を生成するため次のような関数を導入する。<br/>
471 行:		473 行:
	補題<br/>		補題<br/>
	もし、<br/>		もし、<br/>
-	$\lim_{(h_1,h_2)\to (0,0),h_1h_2\neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} =　\alpha$と<br/>$\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_2}= \beta (h_1)$<br/>	+	$\lim_{(h_1,h_2)\to (0,0),h_1h_2\neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} =　\alpha$　と<br/>$\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_2}= \beta (h_1)$<br/>
	が同時に成り立つならば、<br/>		が同時に成り立つならば、<br/>
	$\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\frac{1}{h_1}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_2}=\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\frac{ \beta (h_1)}{h_1}=\alpha$<br/>		$\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\frac{1}{h_1}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_2}=\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\frac{ \beta (h_1)}{h_1}=\alpha$<br/>

Moderator: /* 　実数値の多変数関数の高階偏微分 */

2017-12-28T14:02:22Z

　実数値の多変数関数の高階偏微分

←前の版		2017年12月28日 (木) 14:02時点における版
460 行:		460 行:
	$ \frac{D(h_1,h_2)}{h_2} = \frac{f(a_1+h_1,a_2+h_2)-f(a_1+h_1,a_2)-f(a_1,a_2+h_2)+f(a_1,a_2)}{h_2}$<br/>		$ \frac{D(h_1,h_2)}{h_2} = \frac{f(a_1+h_1,a_2+h_2)-f(a_1+h_1,a_2)-f(a_1,a_2+h_2)+f(a_1,a_2)}{h_2}$<br/>
	$= \frac{\Bigl(f(a_1+h_1,a_2+h_2)-f(a_1+h_1,a_2)\Bigr)-\Bigl(f(a_1,a_2+h_2)-f(a_1,a_2)\Bigr)}{h_2}$<br/>		$= \frac{\Bigl(f(a_1+h_1,a_2+h_2)-f(a_1+h_1,a_2)\Bigr)-\Bigl(f(a_1,a_2+h_2)-f(a_1,a_2)\Bigr)}{h_2}$<br/>
-	$=\frac{f(a_1+h_1,a_2+h_2)-f(a_1+h_1,a_2)}{h_2}-\frac{f(a_1,a_2+h_2)-f(a_1,a_2)~~}{h_2~~}{h_2}$<br/>	+	$=\frac{f(a_1+h_1,a_2+h_2)-f(a_1+h_1,a_2)}{h_2}-\frac{f(a_1,a_2+h_2)-f(a_1,a_2)}{h_2}$<br/>
	であり、<br/>		であり、<br/>
	$\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{f(a_1+h_1,a_2+h_2)-f(a_1+h_1,a_2)}{h_2}$と<br/>		$\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{f(a_1+h_1,a_2+h_2)-f(a_1+h_1,a_2)}{h_2}$と<br/>
468 行:		468 行:
	$=f_{x_2}(a_1+h_1,a_2) - f_{x_2}(a_1,a_2)$<br/>		$=f_{x_2}(a_1+h_1,a_2) - f_{x_2}(a_1,a_2)$<br/>
	が得られる。<br/><br/>		が得られる。<br/><br/>
-	２）$\lim_{h_1 ~~\to 0~~,~~h_1 \neq 0}\lim_{~~h_2 \to 0,~~h_2~~ \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} = ~~f_{x_1,x_2}({~~\~~bf a})~~ $　<br/>	+	２）次の補題が示されれば、式(a)が得られる。<br/>
-	~~を示そう。<br/>~~	+	補題<br/>
-	）$~~\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}~~\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{~~h_1h_2~~} $<br/>	+	もし、<br/>
-	$= \lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\frac{1}{h_1}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_2}~~$<br/>~~	+	$\lim_{(h_1,h_2)\to (0,0),h_1h_2\neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} =　\alpha$と<br/>$\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_2}= \beta (h_1)$<br/>
-	$=\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\frac{~~f_{x_2}~~(~~a_1+~~h_1~~,a_2) - f_{x_2}(a_1,a_2~~)}{h_1}$<br/>	+	が同時に成り立つならば、<br/>
		+	$\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\frac{1}{h_1}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_2}=\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\frac{ \beta (h_1)}{h_1}=\alpha$<br/>
		+	である。<br/><br/>
		+
		+

Moderator: /* 　実数値の多変数関数の高階偏微分 */

2017-12-28T10:28:18Z

　実数値の多変数関数の高階偏微分

←前の版		2017年12月28日 (木) 10:28時点における版
456 行:		456 行:
	$\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} = f_{x_1,x_2}({\bf a}) \qquad \qquad (a)$　<br/>		$\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} = f_{x_1,x_2}({\bf a}) \qquad \qquad (a)$　<br/>
	を示そう。<br/><br/>		を示そう。<br/><br/>
		+	1) $\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_2} = f_{x_2}(a_1+h_1,a_2)-f_{x_2}(a_1,a_2)$である。<br/>
		+	何故ならば、<br/>
		+	$ \frac{D(h_1,h_2)}{h_2} = \frac{f(a_1+h_1,a_2+h_2)-f(a_1+h_1,a_2)-f(a_1,a_2+h_2)+f(a_1,a_2)}{h_2}$<br/>
		+	$= \frac{\Bigl(f(a_1+h_1,a_2+h_2)-f(a_1+h_1,a_2)\Bigr)-\Bigl(f(a_1,a_2+h_2)-f(a_1,a_2)\Bigr)}{h_2}$<br/>
		+	$=\frac{f(a_1+h_1,a_2+h_2)-f(a_1+h_1,a_2)}{h_2}-\frac{f(a_1,a_2+h_2)-f(a_1,a_2)}{h_2}{h_2}$<br/>
		+	であり、<br/>
		+	$\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{f(a_1+h_1,a_2+h_2)-f(a_1+h_1,a_2)}{h_2}$と<br/>
		+	$\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{f(a_1,a_2+h_2)-f(a_1,a_2)}{h_2}$は存在するので、<br/>
		+	$ \frac{D(h_1,h_2)}{h_2} $の極限（$h_2\to 0,h_2\neq 0)$　が存在し、<br/>
		+	$\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_2} = \lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{f(a_1+h_1,a_2+h_2)-f(a_1+h_1,a_2)}{h_2}-\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{f(a_1,a_2+h_2)-f(a_1,a_2)}{h_2}$<br/>
		+	$=f_{x_2}(a_1+h_1,a_2) - f_{x_2}(a_1,a_2)$<br/>
		+	が得られる。<br/><br/>
		+	２）$\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} = f_{x_1,x_2}({\bf a}) $　<br/>
		+	を示そう。<br/>
		+	）$\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} $<br/>
		+	$= \lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\frac{1}{h_1}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_2}$<br/>
		+	$=\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\frac{f_{x_2}(a_1+h_1,a_2) - f_{x_2}(a_1,a_2)}{h_1}$<br/>
		+

-


463 行:		480 行:


-	~~この証明には、次の補題を利用する。<br/><br/>~~
-	~~補題<br/>~~

-	~~証明<br/>~~
	証明終わり。		証明終わり。

Moderator: /* 　実数値の多変数関数の高階偏微分 */

2017-12-28T05:28:14Z

　実数値の多変数関数の高階偏微分

←前の版		2017年12月28日 (木) 05:28時点における版
454 行:		454 行:
	が示せた。<br/><br/>		が示せた。<br/><br/>
	（３）最後に<br/>		（３）最後に<br/>
-	$\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} = f_{x_1,x_2}({\bf a}) \qquad \qquad (a)$　~~を示そう。~~<br/><br/>	+	$\lim_{h_1 \to 0,h_1 \neq 0}\lim_{h_2 \to 0,h_2 \neq 0}\frac{D(h_1,h_2)}{h_1h_2} = f_{x_1,x_2}({\bf a}) \qquad \qquad (a)$　<br/>
		+	を示そう。<br/><br/>

物理/多変数解析学 - 変更履歴

Moderator: /* 「9.1 多変数解析学」 */

Moderator: /* 実数値多変数関数の微分可能性 */

Moderator: /* 実数値多変数関数の微分可能性 */

Moderator: /* 方向微分 */

Moderator: /* 実数値の多変数関数の高階偏微分 */

Moderator: /* 実数値の多変数関数の高階偏微分 */

Moderator: /* 実数値の多変数関数の高階偏微分 */

Moderator: /* 実数値の多変数関数の高階偏微分 */

Moderator: /* 実数値の多変数関数の高階偏微分 */

Moderator: /* 実数値の多変数関数の高階偏微分 */

Moderator: /* 「9.1　多変数解析学」　 */

Moderator: /* 　方向微分 */

Moderator: /* 　実数値の多変数関数の高階偏微分 */

Moderator: /* 　実数値の多変数関数の高階偏微分 */

Moderator: /* 　実数値の多変数関数の高階偏微分 */

Moderator: /* 　実数値の多変数関数の高階偏微分 */

Moderator: /* 　実数値の多変数関数の高階偏微分 */

Moderator: /* 　実数値の多変数関数の高階偏微分 */