物理/平面と空間,ベクトル - 変更履歴

Moderator: /* 　2-ノルムと内積の定義 */

2025-06-03T18:53:23Z

　2-ノルムと内積の定義

←前の版		2025年6月3日 (火) 18:53時点における版
59 行:		59 行:
	$\\|\vec a\\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、<br/>		$\\|\vec a\\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、<br/>
	ベクトルの長さ(大きさ）を表す。<br/>		ベクトルの長さ(大きさ）を表す。<br/>
-	ここで、$~~a_1~~$は,$\vec a$~~の第i座標成分を表す。ちなみに第１成分はx座標成分、第2成分はy座標成分、第３成分はｚ座標成分である。~~<br/>	+	ここで、$a_i$は,$\vec a$の第$i$座標成分を表す。ちなみに第１成分はx座標成分、第2成分はy座標成分、第３成分はｚ座標成分である。<br/>
	実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは<br/>		実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは<br/>
	$ \vec a \cdot \vec b:=\\|\vec{a}\\|_{2}\\|\vec{b}\\|_{2}\cos\theta$<br/>		$ \vec a \cdot \vec b:=\\|\vec{a}\\|_{2}\\|\vec{b}\\|_{2}\cos\theta$<br/>

Moderator: /* 　2-ノルムと内積の定義 */

2025-06-03T18:49:41Z

　2-ノルムと内積の定義

←前の版		2025年6月3日 (火) 18:49時点における版
59 行:		59 行:
	$\\|\vec a\\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、<br/>		$\\|\vec a\\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$のことで、<br/>
	ベクトルの長さ(大きさ）を表す。<br/>		ベクトルの長さ(大きさ）を表す。<br/>
		+	ここで、$a_1$は,$\vec a$の第i座標成分を表す。ちなみに第１成分はx座標成分、第2成分はy座標成分、第３成分はｚ座標成分である。<br/>
	実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは<br/>		実ベクトル$\vec a,\vec b$の内積とは<br/>
	$ \vec a \cdot \vec b:=\\|\vec{a}\\|_{2}\\|\vec{b}\\|_{2}\cos\theta$<br/>		$ \vec a \cdot \vec b:=\\|\vec{a}\\|_{2}\\|\vec{b}\\|_{2}\cos\theta$<br/>

Moderator: /* 　内積とノルム */

2025-06-03T18:39:19Z

　内積とノルム

←前の版		2025年6月3日 (火) 18:39時点における版
54 行:		54 行:
	本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。<br/>		本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。<br/>
	以下では、<br/>		以下では、<br/>
-	$\vec a,\vec b,\vec c$~~は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、~~ $\alpha$は実数とする。<br/>	+	$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）の（空間）ベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。<br/>
	===　2-ノルムと内積の定義===		===　2-ノルムと内積の定義===
	実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、<br/>		実ベクトル$\vec a$の'''2-ノルム'''（あるいはユークリッドノルム）とは、<br/>
73 行:		73 行:
	'''命題２'''<br/>		'''命題２'''<br/>
	$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ <br/>		$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ <br/>
-	ここで$a_1,b_1$~~はそれぞれ~~$~~\vec a~~,~~\vec b~~$~~のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分~~<br/>	+	ここで$a_1,b_1$は,それぞれのベクトルのx座標成分を表す。<br/>
		+	同様に、$a_2,b_2$はそれぞれのベクトルのy座標成分<を表す。br/>
	直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。<br/>		直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。<br/>
	証明<br/>		証明<br/>
81 行:		82 行:
	すると、余弦定理により<br/>		すると、余弦定理により<br/>
	$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$<br/>		$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$<br/>
		+

	命題２の証明　　<br/>		命題２の証明　　<br/>

Moderator: /* ベクトルの和と実数倍 */

2025-06-03T18:22:44Z

ベクトルの和と実数倍

←前の版		2025年6月3日 (火) 18:22時点における版
36 行:		36 行:

	== ベクトルの和と実数倍 ==		== ベクトルの和と実数倍 ==
-	~~空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。~~<br/>	+	平面や空間の異なる2点、Ｐ，Ｑを通る直線は必ず一本あり、一本に限られる。<br/>
	これを直線$PQ$という。<br/>		これを直線$PQ$という。<br/>
	この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。<br/>		この直線で、ＰとＱの間にある部分だけを考えるとき、線分$PQ$という。<br/>
42 行:		42 行:
	この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと<br/>		この有向線分と長さと方向・向きの等しい有向線分を全て同一なものとみなすと<br/>
	ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。<br/>		ベクトル$[\vec{PQ}]$が得られる。<br/>
		+	このベクトルを空間ベクトルとも呼ぶ。<br/>
	今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。<br/>		今後、ベクトル$[\vec{PQ}]$等は、$\vec{A}$、$\vec{B}$というように略記する。<br/>

	ベクトルの定義や和や実数倍については<br/>		ベクトルの定義や和や実数倍については<br/>
	[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ\|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。<br/>		[[物理/質点の運動の表し方#有向線分からベクトルへ\|２章力学の「有向線分からベクトルへ」]]を参照のこと。<br/>
-		+	また、ベクトルについては次の文献にもくわしい解説がある。
		+	*[[wikipedia_ja:空間ベクトル\|ウィキペディア( 空間ベクトル )]]

	==　内積とノルム==		==　内積とノルム==

Moderator: /* 平面と空間,ベクトル */

2025-05-30T04:55:42Z

平面と空間,ベクトル

←前の版		2025年5月30日 (金) 04:55時点における版
74 行:		74 行:
	直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。<br/>		直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。<br/>
	証明<br/>		証明<br/>
-	~~次の三角形の余弦定理を利用する。<br/>~~	+	三角形の余弦定理を利用する。<br/>
-	~~図のような$\triangle {ABC}$を考える。~~<br/>	+	*[[wikipedia_ja:余弦定理 \|ウィキペディア( 余弦定理 )]]
-	*[[~~File~~:~~GENPHY00010101-01.jpg\|right\|frame~~\|~~図　第2余弦定理~~]]	+
	頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。<br/>		頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。<br/>
-	~~すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$<br/>~~	+	すると、余弦定理により<br/>
-	~~余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。<br/>~~	+	$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$<br/>
-	~~[[wikipedia_ja:ピタゴラスの定理 \|ピタゴラスの定理]]により、~~<br/>	+
-	$c^2~~=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、<br/>~~	+
-	~~$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、<br/>~~	+
-	~~$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると<br/>~~	+
-	$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ <br/>	+
-	~~余弦定理の証明終わり。<br/>~~	+
-	~~詳しくは~~	+
-	*[[wikipedia_ja:余弦定理\|第２余弦定理]];<br/><br/>	+
	命題２の証明　　<br/>		命題２の証明　　<br/>
	ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、<br/>		ベクトル$\vec a $と$\vec b $を、<br/>
130 行:		122 行:
	=\\|\vec a\\|^2+\\|\vec b\\|^2+2\\|\vec a\\|\\|\vec b\\|=(\\|\vec a\\|+\\|\vec b\\|)^2$<br/>故に$\\|\vec a + \vec b\\|^2 \leq (\\|\vec a\\|+\\|\vec b\\|)^2$<br/>		=\\|\vec a\\|^2+\\|\vec b\\|^2+2\\|\vec a\\|\\|\vec b\\|=(\\|\vec a\\|+\\|\vec b\\|)^2$<br/>故に$\\|\vec a + \vec b\\|^2 \leq (\\|\vec a\\|+\\|\vec b\\|)^2$<br/>
	両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。<br/>		両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。<br/>
-
-	~~===ノルムの定義　===~~
-	~~定義<br/>~~
-	~~ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\\|\vec{a} \\|$　を対応させる関数は、<br/>~~
-
-	~~次の3つの条件(ノルム条件という）を満たすならば'''ノルム'''と呼ばれる。<br/>~~
-
-	~~１）$\\|\vec{a}\\| \geq 0.\quad \\|\vec{a}\\|=0 \Leftrightarrow \vec{a}=0)$　<br/>~~
-
-	~~２）$\\|\vec{a}+\vec{b}\\| \leq \\|\vec{a}\\|+\\|\vec{b}\\|$　<br/>~~
-	~~３）任意の実数$\alpha$に対し、$\\|\alpha \vec{a}\\|=\|\alpha\|\\|\\|\vec{a}\\|$<br/><br/>~~
-	~~ノルムの条件を満たすものは、いろいろある。<br/>~~
-	~~よく使われるのは<br/>~~
-	~~2‐ノルム；　$\\|\vec{a}\\|_{2}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}\|a_k\|^2)^{\frac{1}{2}}$<br/>~~
-	~~である。<br/>~~
-
-	~~次の定理はシュワルツの不等式と呼ばれる。<br/><br/>~~
-	~~定理<br/>~~
-	~~$ \|\vec a \cdot \vec b\| \leq \\|\vec a \\|_{2}\\|\vec b\\|_{2} $<br/>~~
-	~~である。<br/>~~

	== ベクトル積　==		== ベクトル積　==
403 行:		375 行:
	１）が示せた。<br/>		１）が示せた。<br/>
	２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。<br/><br/>		２）も、$\vec u \triangleq \vec{c}\times \vec{d}$　とおけば、同様にして証明できる。<br/><br/>
-
-	~~== 行列 ==~~
-	~~行列Aとは,~~
-	~~mn個の数 $a_{i,j} (i=1,2,\cdots ,m \quad j=1,2,\cdots ,n)$ を m 行、n 列に並べた<br/>~~
-	~~$A=\begin{pmatrix}~~
-	~~a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\~~
-	~~a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n}\\~~
-	~~a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n}\\~~
-	~~\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\~~
-	~~a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n}\\~~
-	~~\end{pmatrix}$<br/>~~
-	~~のことをいう。行と列の数を明示したいときは、ｍ×ｎ行列という。<br/>~~
-	~~$a_{i,j}$は、行列Ａの第i行、第j列の要素という。<br/>~~
-	~~ベクトルの各座標成分を横に並べて表示した<br/>~~
-	~~ｎ次元の横ベクトル$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)$は1行ｎ列の行列とみなす。<br/>~~
-	~~同じく、ベクトルの各座標成分を縦に表示した,ｎ次元縦ベクトル<br/>~~
-	~~$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$<br/>~~
-	~~は、ｎ行１列行列とみなす。<br/>~~
-	~~===　転置行列 ===~~
-	~~行列の行と列を入れ替える操作を転置といい、記号Ｔで表す。<br/>~~
-	~~上記の行列Ａの行と列を入れ替えた行列をＡの転置行列といい、$A^{T}$　で表す。<br/>$A^{T}=\begin{pmatrix}~~
-	~~a_{1,1} & a_{2,1} & a_{3,1} & \dots & a_{m,1}\\~~
-	~~a_{1,2} & a_{2,2} & a_{3,2} & \dots & a_{m,2}\\~~
-	~~a_{1,3} & a_{2,3} & a_{3,3} & \dots & a_{m,3}\\~~
-	~~\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\~~
-	~~a_{1,n} & a_{2,n} & a_{3,n} & \dots & a_{m,n}\\~~
-	~~\end{pmatrix}$<br/>~~
-	~~$(a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n)^{T} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$　である。<br/><br/>~~
-
-	~~===　行列の教科書の紹介　===~~
-	~~行列を用いると連立一次方程式は、<br/>~~
-	~~一変数の一次方程式$ax = b$と同じ形式$A\bf{x} = \bf{b}$で表現され、<br/>~~
-	~~その解も一変数の一次方程式の解$x = a^{-1}b \quad (a\neq 0)$と同じ形式の　$\bf{x} = A^{-1}\bf{b}\quad (\|A\| \neq 0)$　で与えられる。<br/>~~
-	~~(注）\|A\|　は行列Ａの行列式（determinant)である。<br/>~~
-	~~下記の教科書や[[wikipedia_ja:行列式 \|行列式（ウィキペディア）]]を参照のこと。<br/><br/>~~
-	~~このほかにも行列は、多くの数理的な分野で欠かせない武器となり、独自の重要な分野となっている。<br/>~~
-	~~以下の文献で学習のこと。~~
-	*[[wikibooks_ja: 高等学校数学C/行列\|高等学校数学C/行列（ウィキブックス）]]
-	*[[wikibooks_ja:線型代数学/行列概論\|線型代数学/行列概論（ウィキブックス）]]
-	~~さらに深く学びたい方は、次節の線形代数学をどうぞ。<br/>~~

	=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=		=　我々の住む空間の数学的モデル（１）=

Moderator: /* 平面と空間,ベクトル */

2025-05-30T02:31:51Z

平面と空間,ベクトル

←前の版		2025年5月30日 (金) 02:31時点における版
14 行:		14 行:
	=== 命題論理 ===		=== 命題論理 ===
	*[[wikipedia_ja:命題論理 \|ウィキペディア(命題論理)]]		*[[wikipedia_ja:命題論理 \|ウィキペディア(命題論理)]]
-
	=== 述語論理 ===		=== 述語論理 ===
	*[[wikipedia_ja:述語論理\|ウィキペディア(述語論理)]]		*[[wikipedia_ja:述語論理\|ウィキペディア(述語論理)]]
-
	== 集合について ==		== 集合について ==
	以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、<br/>		以下の説明では、集合についてのごく初歩的知識を使うので、なじみのない方は、<br/>
29 行:		27 行:
	などについて、以下の記事で学習してほしい。		などについて、以下の記事で学習してほしい。
	*[[wikipedia_ja:集合 \|ウィキペディア(集合）]]		*[[wikipedia_ja:集合 \|ウィキペディア(集合）]]
-
	==平面と空間==		==平面と空間==
	我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、<br/>		我々は、太古の昔から自分たちの暮らすこの世界は、縦、横、高さをもつ３次元の空間であり、<br/>

Moderator: /* ノルムの定義　 */

2025-05-30T02:12:25Z

ノルムの定義　

←前の版		2025年5月30日 (金) 02:12時点における版
146 行:		146 行:
	ノルムの条件を満たすものは、いろいろある。<br/>		ノルムの条件を満たすものは、いろいろある。<br/>
	よく使われるのは<br/>		よく使われるのは<br/>
-	2‐ノルム；　$\\|\vec{a}\\|_{2}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}\|~~a_2~~\|^2)^{\frac{1}{2}}$<br/>	+	2‐ノルム；　$\\|\vec{a}\\|_{2}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}\|a_k\|^2)^{\frac{1}{2}}$<br/>
	である。<br/>		である。<br/>

Moderator: /* 　一般のノルムの定義とノルムの同等性　 */

2025-05-30T02:10:33Z

　一般のノルムの定義とノルムの同等性　

←前の版		2025年5月30日 (金) 02:10時点における版
134 行:		134 行:
	両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。<br/>		両辺の平方根をとれば所要の不等式を得る。<br/>

-	===　~~一般のノルムの定義とノルムの同等性~~　===	+	===ノルムの定義　===
	定義<br/>		定義<br/>
	ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\\|\vec{a} \\|$　を対応させる関数は、<br/>		ｎ次元ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n)^t$　に対し、実数値　$\\|\vec{a} \\|$　を対応させる関数は、<br/>
144 行:		144 行:
	２）$\\|\vec{a}+\vec{b}\\| \leq \\|\vec{a}\\|+\\|\vec{b}\\|$　<br/>		２）$\\|\vec{a}+\vec{b}\\| \leq \\|\vec{a}\\|+\\|\vec{b}\\|$　<br/>
	３）任意の実数$\alpha$に対し、$\\|\alpha \vec{a}\\|=\|\alpha\|\\|\\|\vec{a}\\|$<br/><br/>		３）任意の実数$\alpha$に対し、$\\|\alpha \vec{a}\\|=\|\alpha\|\\|\\|\vec{a}\\|$<br/><br/>
-	~~ノルムと呼ばれるものには、いろいろなものがある。~~<br/>	+	ノルムの条件を満たすものは、いろいろある。<br/>
	よく使われるのは<br/>		よく使われるのは<br/>
	2‐ノルム；　$\\|\vec{a}\\|_{2}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}\|a_2\|^2)^{\frac{1}{2}}$<br/>		2‐ノルム；　$\\|\vec{a}\\|_{2}\triangleq (\sum_{k=1}^{n}\|a_2\|^2)^{\frac{1}{2}}$<br/>
	である。<br/>		である。<br/>

-	~~次の定理はシュワルツの不等式である。~~<br/><br/>	+	次の定理はシュワルツの不等式と呼ばれる。<br/><br/>
	定理<br/>		定理<br/>
	$ \|\vec a \cdot \vec b\| \leq \\|\vec a \\|_{2}\\|\vec b\\|_{2} $<br/>		$ \|\vec a \cdot \vec b\| \leq \\|\vec a \\|_{2}\\|\vec b\\|_{2} $<br/>
	である。<br/>		である。<br/>
		+
	== ベクトル積　==		== ベクトル積　==
	本節での全ての命題で、<br/>		本節での全ての命題で、<br/>

2025年5月30日 (金) 02:02 における Moderator による編集

2025-05-30T02:02:56Z

差分を表示

Moderator: /* 　内積とノルムの性質 */

2025-05-30T00:10:08Z

　内積とノルムの性質

←前の版		2025年5月30日 (金) 00:10時点における版
153 行:		153 行:
	図のような$\triangle {ABC}$を考える。<br/>		図のような$\triangle {ABC}$を考える。<br/>

-		+	*[[File:GENPHY00070101-01.jpg]]

	頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。<br/>		頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。<br/>

物理/平面と空間,ベクトル - 変更履歴

Moderator: /* 2-ノルムと内積の定義 */

Moderator: /* 2-ノルムと内積の定義 */

Moderator: /* 内積とノルム */

Moderator: /* ベクトルの和と実数倍 */

Moderator: /* 平面と空間,ベクトル */

Moderator: /* 平面と空間,ベクトル */

Moderator: /* ノルムの定義 */

Moderator: /* 一般のノルムの定義とノルムの同等性 */

2025年5月30日 (金) 02:02 における Moderator による編集

Moderator: /* 内積とノルムの性質 */

Moderator: /* 　2-ノルムと内積の定義 */

Moderator: /* 　2-ノルムと内積の定義 */

Moderator: /* 　内積とノルム */

Moderator: /* ノルムの定義　 */

Moderator: /* 　一般のノルムの定義とノルムの同等性　 */

Moderator: /* 　内積とノルムの性質 */