物理/解析入門（１）実数の性質、連続関数、導関数と微分 - 変更履歴

Moderator: /* 　ベクトル値関数の微分 */

2017-12-08T09:22:22Z

　ベクトル値関数の微分

←前の版		2017年12月8日 (金) 09:22時点における版
467 行:		467 行:
	あるｎ次元ベクトル　$\vec c$　が存在して<br/>		あるｎ次元ベクトル　$\vec c$　が存在して<br/>
	ユークリッド・ノルムのもとで<br/>		ユークリッド・ノルムのもとで<br/>
-	$\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{$\vec f$(x+h)-$\vec f$(x)}{h}=\vec c$<br/>となること。<br/>	+	$\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{\vec f(x+h)-\vec f(x)}{h}=\vec c$<br/>となること。<br/>
	言い換えると<br/>		言い換えると<br/>
	$\lim_{h\to 0,h\neq 0}		$\lim_{h\to 0,h\neq 0}
476 行:		476 行:
	任意のｐ－ノルム　$\\|\quad \\|_{p},\quad 1\leq p \leq \infty$　の等価性から<br/>		任意のｐ－ノルム　$\\|\quad \\|_{p},\quad 1\leq p \leq \infty$　の等価性から<br/>
	極限は、どのｐ－ノルムでとっても、等価である。<br/>		極限は、どのｐ－ノルムでとっても、等価である。<br/>
-	本テキストの「8.~~1　平面と空間のベクトル」の「1.4.3 　一般のノルムの定義とノルムの同等性」を参照のこと。~~	+	本テキストの「8.1　平面と空間のベクトル」の
-	[[物理/~~エネルギーと保存則(その1)~~#~~保存力の十分条件~~\|~~保存力の十分条件~~]]	+	[[物理/平面と空間のベクトル#一般のノルムの定義とノルムの同等性\|「1.4.3 一般のノルムの定義とノルムの同等性」]]　を参照のこと。

Moderator: /* 　ベクトル値関数の微分 */

2017-12-08T09:07:17Z

　ベクトル値関数の微分

←前の版		2017年12月8日 (金) 09:07時点における版
467 行:		467 行:
	あるｎ次元ベクトル　$\vec c$　が存在して<br/>		あるｎ次元ベクトル　$\vec c$　が存在して<br/>
	ユークリッド・ノルムのもとで<br/>		ユークリッド・ノルムのもとで<br/>
-	$\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{$\vec f$(x+h)-$\vec f$(x)}{h}=\vec c$<br/>~~が存在するとなること。~~<br/>	+	$\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{$\vec f$(x+h)-$\vec f$(x)}{h}=\vec c$<br/>となること。<br/>
	言い換えると<br/>		言い換えると<br/>
	$\lim_{h\to 0,h\neq 0}		$\lim_{h\to 0,h\neq 0}
476 行:		476 行:
	任意のｐ－ノルム　$\\|\quad \\|_{p},\quad 1\leq p \leq \infty$　の等価性から<br/>		任意のｐ－ノルム　$\\|\quad \\|_{p},\quad 1\leq p \leq \infty$　の等価性から<br/>
	極限は、どのｐ－ノルムでとっても、等価である。<br/>		極限は、どのｐ－ノルムでとっても、等価である。<br/>
		+	本テキストの「8.1　平面と空間のベクトル」の「1.4.3 　一般のノルムの定義とノルムの同等性」を参照のこと。
		+	[[物理/エネルギーと保存則(その1)#保存力の十分条件\|保存力の十分条件]]

Moderator: /* 　ベクトル値関数の微分 */

2017-12-08T08:53:14Z

　ベクトル値関数の微分

←前の版		2017年12月8日 (金) 08:53時点における版
462 行:		462 行:
	実数の開区間$I=(a,b)$上で定義され,ｎ次元の実ベクトル($\in {\bf R^n}$)に		実数の開区間$I=(a,b)$上で定義され,ｎ次元の実ベクトル($\in {\bf R^n}$)に
	値をとる関数$\vec f$を考える。<br/>		値をとる関数$\vec f$を考える。<br/>
-	定義;~~微分可能性~~<br/>	+	この関数の微分可能性は、実数値関数の微分と同じように定義される。<br/><br/>
-	~~実数値関数の場合と同じである。~~<br/>	+	定義;ベクトル値関数の微分可能性<br/>
		+	ベクトル値関数　$\vec f$　が、$x\in I$　で微分可能とは、<br/>
		+	あるｎ次元ベクトル　$\vec c$　が存在して<br/>
		+	ユークリッド・ノルムのもとで<br/>
		+	$\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{$\vec f$(x+h)-$\vec f$(x)}{h}=\vec c$<br/>が存在するとなること。<br/>
		+	言い換えると<br/>
		+	$\lim_{h\to 0,h\neq 0}
		+	\\| \frac{\vec f(x+h)-\vec f(x)}{h}-\vec c \\|_{2} = 0$<br/>
		+	(注）ベクトル　$\vec a$　のユークリッドノルムとは、<br/>
		+	$\\|\vec a \\|_{2}\triangleq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2}$<br/>
		+	のことで、２ーノルムとも呼ばれる。<br/>
		+	任意のｐ－ノルム　$\\|\quad \\|_{p},\quad 1\leq p \leq \infty$　の等価性から<br/>
		+	極限は、どのｐ－ノルムでとっても、等価である。<br/>
		+
		+
		+
		+
		+

	導関数の線形性の性質も成り立つ。<br/>		導関数の線形性の性質も成り立つ。<br/>

Moderator: /* 　導関数の性質 */

2017-12-04T03:43:30Z

　導関数の性質

←前の版		2017年12月4日 (月) 03:43時点における版
388 行:		388 行:

	これらの証明は、微分の定義式と極限の性質から容易に導ける。<br/>		これらの証明は、微分の定義式と極限の性質から容易に導ける。<br/>
		+	*[[wikibooks_ja:高等学校数学III/微分法#関数の和、差、積、商の導関数\|高等学校数学III/微分法　1.2 関数の和、差、積、商の導関数（ウィキブックス）]]
		+	を参照のこと。

	====　三角関数の導関数====		====　三角関数の導関数====

Moderator: /* 　導関数の性質 */

2017-12-04T03:39:16Z

　導関数の性質

←前の版		2017年12月4日 (月) 03:39時点における版
371 行:		371 行:

	====　導関数の性質====		====　導関数の性質====
		+	$I=(a,b)$を開区間とする。<br/>
	'''定理１（線形性）'''<br/>		'''定理１（線形性）'''<br/>
-	~~$f,g$が$I=(a,b)$上で定義された、微分可能な実数値関数で、~~	+	ｆ、ｇをＩ上で定義された微分可能な実数値関数で、$\alpha,\beta$は任意の実数とする。<br/>
-	$\alpha,\beta$~~が任意の実数ならば~~<br/>	+	それらの線形結合関数$(\alpha f+\beta g)(x)\triangleq \alpha f(x) + \beta g(x)$は微分可能で<br/>
-	$\alpha f+\beta g~~$、$fg~~(s):=f(s)g(s)$は微分可能で<br/>	+
	$(\alpha f+\beta g )'=\alpha f'+\beta g'$<br/><br/>		$(\alpha f+\beta g )'=\alpha f'+\beta g'$<br/><br/>
-	~~証明は、微分の定義式と極限の性質から容易に導ける。<br/>~~	+
	'''定理２（積の導関数）'''<br/>		'''定理２（積の導関数）'''<br/>
-	2つの関数$f,g$~~が微分可能ならば、それらの積~~　$fg$　~~も微分可能で~~<br/>	+	2つの関数$f,g$がＩ上で微分可能ならば、それらの積　$fg$　もＩ上で微分可能で<br/>
	$(fg)'=f'g+fg'$<br/>		$(fg)'=f'g+fg'$<br/>
	'''定理３（商の導関数）'''<br/>		'''定理３（商の導関数）'''<br/>
		+	2つの関数$f,g$がＩ上で微分可能とする。すると、<br/>
		+	（１）$J\triangleq \{x\in I\|g(x)\neq 0\}$ はＩに含まれる開集合となる。<br/>
		+	（２）Ｊ上で定義されるそれらの商 $\frac{f}{g}(x)\triangleq \frac{f(x)}{g(x)}$ は微分可能であり、<br/>
		+	$(\frac{f}{g})'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$<br/>
	'''定理４　（合成関数の導関数）'''<br/>		'''定理４　（合成関数の導関数）'''<br/>
		+
		+	これらの証明は、微分の定義式と極限の性質から容易に導ける。<br/>

	====　三角関数の導関数====		====　三角関数の導関数====

Moderator: /* 　対数関数の導関数　 */

2017-12-04T03:08:02Z

　対数関数の導関数　

←前の版		2017年12月4日 (月) 03:08時点における版
393 行:		393 行:

	====　対数関数の導関数　====		====　対数関数の導関数　====
		+	<math>(\log _a x)= \frac{1}{x} \log _a e</math>
		+
		+	特に<math>a=e</math>のとき、
		+
		+	<math>(\log _e x)'=\frac{1}{x}</math>
		+
		+	eを底とする対数を自然対数という。<br>
		+	数学では、<math>\log _e x</math>のeを省略してlog xと書く。<br>
		+	数学以外の分野では、常用対数と区別するために、ln xが用いられることもある。

	====　逆三角関数の導関数====		====　逆三角関数の導関数====

Moderator: /* 　三角関数の導関数 */

2017-12-04T02:36:31Z

　三角関数の導関数

←前の版		2017年12月4日 (月) 02:36時点における版
389 行:		389 行:
	となる。		となる。

-	*[[wikibooks_ja:高等学校数学III/微分法#三角関数,指数関数,対数関数の導関数\|高等学校数学III/~~微分法　三角関数~~,指数関数,対数関数の導関数（ウィキブックス）]]	+	*[[wikibooks_ja:高等学校数学III/微分法#三角関数,指数関数,対数関数の導関数\|高等学校数学III/微分法　1.4　三角関数,指数関数,対数関数の導関数（ウィキブックス）]]
	を参照のこと。		を参照のこと。

Moderator: /* 　三角関数の導関数 */

2017-12-04T02:35:27Z

　三角関数の導関数

←前の版		2017年12月4日 (月) 02:35時点における版
388 行:		388 行:
	*<math>(\tan x )' = \frac{1}{\cos{x^2}}</math>		*<math>(\tan x )' = \frac{1}{\cos{x^2}}</math>
	となる。		となる。
		+
		+	*[[wikibooks_ja:高等学校数学III/微分法#三角関数,指数関数,対数関数の導関数\|高等学校数学III/微分法　三角関数,指数関数,対数関数の導関数（ウィキブックス）]]
		+	を参照のこと。

	====　対数関数の導関数　====		====　対数関数の導関数　====

Moderator: /* 　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、導関数と微分 */

2017-12-04T02:17:04Z

　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、導関数と微分

←前の版		2017年12月4日 (月) 02:17時点における版
1 行:		1 行:
-	=　8.~~2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、導関数と微分~~ =	+	=　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 =
	==　序 ==		==　序 ==
	一変数関数の解析学を紹介する。<br/>		一変数関数の解析学を紹介する。<br/>

Moderator: /* 　実数値関数の微分 */

2017-12-03T15:49:56Z

　実数値関数の微分

←前の版		2017年12月3日 (日) 15:49時点における版
383 行:		383 行:
	'''定理４　（合成関数の導関数）'''<br/>		'''定理４　（合成関数の導関数）'''<br/>

-	====~~三角関数の導関数~~====	+	====　三角関数の導関数====
		+	*<math>(\sin x )' = \cos x</math>
		+	*<math>(\cos x )' = -1\sin x</math>
		+	*<math>(\tan x )' = \frac{1}{\cos{x^2}}</math>
		+	となる。

-	====~~対数関数の導関数~~　====	+	====　対数関数の導関数　====

-	====~~逆三角関数の導関数~~====	+	====　逆三角関数の導関数====

	*<math>(\sin^{-1} x )' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>		*<math>(\sin^{-1} x )' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>

物理/解析入門（１）実数の性質、連続関数、導関数と微分 - 変更履歴

Moderator: /* ベクトル値関数の微分 */

Moderator: /* ベクトル値関数の微分 */

Moderator: /* ベクトル値関数の微分 */

Moderator: /* 導関数の性質 */

Moderator: /* 導関数の性質 */

Moderator: /* 対数関数の導関数 */

Moderator: /* 三角関数の導関数 */

Moderator: /* 三角関数の導関数 */

Moderator: /* 8.2 解析入門（１）実数の性質、連続関数、導関数と微分 */

Moderator: /* 実数値関数の微分 */

Moderator: /* 　ベクトル値関数の微分 */

Moderator: /* 　ベクトル値関数の微分 */

Moderator: /* 　ベクトル値関数の微分 */

Moderator: /* 　導関数の性質 */

Moderator: /* 　導関数の性質 */

Moderator: /* 　対数関数の導関数　 */

Moderator: /* 　三角関数の導関数 */

Moderator: /* 　三角関数の導関数 */

Moderator: /* 　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、導関数と微分 */

Moderator: /* 　実数値関数の微分 */