物理/解析学入門（１）実数の性質、連続関数、導関数と微分 - 変更履歴

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2017-11-10T09:01:48Z

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2017年11月10日 (金) 09:01時点における版

Moderator: /* 　8.2　解析学入門 */

2017-11-10T08:54:45Z

　8.2　解析学入門

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1 行:		1 行:
-	=　8.~~2　解析学入門~~=	+	=　8.2　解析学入門　（１）=
	==　序 ==		==　序 ==
	一変数関数の解析学を紹介する。<br/>		一変数関数の解析学を紹介する。<br/>

Moderator: /* 　8.2　解析学入門 */

2017-11-10T08:38:50Z

　8.2　解析学入門

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218 行:		218 行:
	常に2と3の間の実数であることを示せばよい。<br/><br/>		常に2と3の間の実数であることを示せばよい。<br/><br/>
	解答は、8.3　8章の付録の [[物理/８章の付録#問の解答\|問の解答]]		解答は、8.3　8章の付録の [[物理/８章の付録#問の解答\|問の解答]]
		+
		+
		+
		+	==　関数とその連続性 ==
		+	=== 関数の定義 ===
		+	ある範囲内の任意の数値をとりえる文字を'''変数'''という。<br/>
		+	２つの変数ｘ、ｙがあって、ｘの値を定めれば、ある規則により、ｙの値が決まるようになっているとき、<br/>
		+	'''ｙはｘの関数'''といい、<br/>
		+	ｘにより決まるｙの値を、関数記号 f,g などを用いて、y=f(x) ,y=g(x) などと書く。
		+	<br/>
		+	変数ｘは独立変数、ｙは従属変数という。<br/><br/>
		+	実は、或るものに何かを対応させるという操作は社会に満ち溢れてる。<br/>
		+	人々に名前を付ける、あるスーパーで売っている各食品に１００ｇ当たりの価格やカロリー量を対応させて表示する等。<br/>
		+	そこで広くこうした場合にも対応できるように、上記の関数の概念を拡張する。<br/>
		+	定義<br/>
		+	２つの非空の集合A、Bを考える。<br/>
		+	集合Aの非空の部分集合　$A_1$　の各要素に対して、<br/>
		+	集合　B　の一つの要素を定める規則を関数という。<br/>
		+	この規則により　　$A_1$　の任意の要素 a に対応するBの要素bを、<br/>
		+	この規則を表す関数記号(例えば）ｆを用いて、b=f(a)　と表す（注１参照のこと）。<br/>
		+	$A_1$　を関数ｆの定義域、Bを関数ｆの値域（注２参照）という。<br/>
		+	スーパーの例では、そのスーパーで扱っている商品の種類の集合をAとし、<br/>
		+	食品という商品の部分集合を　$A_1$　<br/>
		+	各食品に１００ｇ当たりのエネルギーを対応させる規則を、<br/>
		+	100ｇあたりのカロリー関数ｆ、<br/>
		+	値域Bは自然数の集合（円）とすればよい。<br/><br/>
		+	（注１）この定義は若干不明瞭である。厳密には、<br/>
		+	関数fは、直積集合　$A_1\times B$ の部分集合　ｆ　であって、<br/>
		+	任意の $a(\in A_1)$ に対して、唯一のB　の要素　ｂ　が存在して、$<a,b>\in f$ を満たすものと定義する。<br/>
		+	この唯一のｂのことを、f(a) と書く。<br/>
		+	（注２）本によっては　値域をBの部分集合　$\{f(a)\|a\in A_1\}$ で定義することもあるので注意が必要である。
		+	===== 開集合と閉集合 =====
		+	=== 関数の連続性===
		+	(1)　定義域が全空間に等しい関数の連続性<br/>
		+	定義域が、ｎ次元実空間　$R^n \quad (n;自然数）$　に一致する関数を考える。<br/>
		+	実数値関数 $f(x)$ がある点''' $a (\in R^n)$で連続'''であるとは、<br/>
		+	$x$が$a$ に限りなく近づくならば、$f(x)$ が $f(a)$ に限りなく近づく<br/>
		+	ことを言う。<br/>
		+	$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$と記す。<br/>
		+
		+	これはイプシロン-デルタ論法(ε-δ論法)を用いれば次のように定式化できる。<br/>
		+	任意の（小さな）正の数 ε 与えられたとき、<br/>
		+	（小さな）正の数 δ をうまくとってやれば、<br/>
		+	$a$ と δ 以内の距離にあるどんな $x$ に対しても、<br/>
		+	$f(a)$ と　$f(x)$ の差が ε より小さくなる。<br/>
		+	(２)　定義域Ｄが全空間$ R^n \quad (n;自然数 $　の真の部分集合である関数の連続性<br/>
		+	定義<br/>
		+	D を　ｎ次元空間$ R^n $　の部分集合、<br/>
		+	関数ｆを、定義域Ｄの実数値関数とする。<br/>
		+	関数ｆが、点　$ a (\in D)$　で連続とは<br/>
		+	Ｄの中の点$x$が$a$ に限りなく近づくならば、$f(x)$ が $f(a)$ に限りなく近づく<br/>
		+	ことを言う（注参照）。<br/>
		+	$\lim_{x\to a,x\in D} f(x) = f(a)$　と記す。<br/>
		+	関数 $f(x)$ が'''連続'''であるとは、<br/>
		+	$D$ のすべての点で連続であることを言う。<br/><br/>
		+	（注）ε-δ論法を用いれば次のように述べることができる。<br/>
		+	任意の正数εに対して、ある正数δが存在して、<br/>
		+	$a$ と δ 以内の距離にあるどんなＤの中の点$x$ に対しても、<br/>
		+	$f(a)$ と　$f(x)$ の差が ε より小さくなる。<br/><br/>
		+	連続関数は多くの重要な性質を持つ。<br/>
		+	その一つを紹介する。<br/>
		+	命題<br/>
		+	有界閉区間　$I=[a,b]$　上で連続な関数ｆは、この上で最大値と最小値をとる。
		+
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	==　一変数の実数値関数とベクトル値関数の微分 ==		==　一変数の実数値関数とベクトル値関数の微分 ==

Moderator: /* 　テイラー展開とテイラーの定理 */

2017-11-10T08:31:01Z

　テイラー展開とテイラーの定理

←前の版		2017年11月10日 (金) 08:31時点における版
342 行:		342 行:
	テイラー展開、テイラー級数についての入門書は		テイラー展開、テイラー級数についての入門書は
	*[[wikibooks_ja:解析学基礎/テイラー級数\|解析学基礎/テイラー級数（ウィキブックス）]]		*[[wikibooks_ja:解析学基礎/テイラー級数\|解析学基礎/テイラー級数（ウィキブックス）]]
-	~~さらに高度な内容は以下の記事を。但し証明はない。~~	+	より高度なテイラーの定理などは以下の記事を。但し証明はない。
	*[[wikipedia_ja:テイラー展開 \|ウィキペディア(テイラー展開)]]		*[[wikipedia_ja:テイラー展開 \|ウィキペディア(テイラー展開)]]
	*[[wikipedia_ja:テイラーの定理 \|ウィキペディア(テイラーの定理)]]		*[[wikipedia_ja:テイラーの定理 \|ウィキペディア(テイラーの定理)]]

Moderator: /* 　テイラー展開とテイラーの定理 */

2017-11-10T04:35:01Z

　テイラー展開とテイラーの定理

←前の版		2017年11月10日 (金) 04:35時点における版
325 行:		325 行:
	*[[wikipedia_ja:平均値の定理\|ウィキペディア(平均値の定理)]]		*[[wikipedia_ja:平均値の定理\|ウィキペディア(平均値の定理)]]

		+	====　テイラー展開とテイラーの定理====
		+	微分可能な関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x) (あるいは\frac{df(x)}{dx})$ が微分可能ならば、<br/>
		+	その導関数　$(f')'(x) (あるいは\frac{d^{2}f(x)}{dx^2})$ が考えられる。<br/>
		+	これをｆの2階の導関数という。<br/>
		+	例えば、変数ｔの関数 $f(t)$ が時刻ｔの質点の位置とすると、<br/>
		+	その導関数は速度、2階導関数は加速度を表すことを第2章の力学で学んだ。<br/>
		+	さらに高階の微分が可能な関数を考え、その性質を考察しよう。<br/>
	====　テイラー展開とテイラーの定理====		====　テイラー展開とテイラーの定理====
	微分可能な関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x) (あるいは\frac{df(x)}{dx})$ が微分可能ならば、<br/>		微分可能な関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x) (あるいは\frac{df(x)}{dx})$ が微分可能ならば、<br/>
333 行:		340 行:
	さらに高階の微分が可能な関数を考え、その性質を考察しよう。<br/>		さらに高階の微分が可能な関数を考え、その性質を考察しよう。<br/>
	=====　テイラー展開とテイラーの定理 =====		=====　テイラー展開とテイラーの定理 =====
-	*[[wikipedia_ja:テイラー展開 \|ウィキペディア(テイラー展開)]]	+	テイラー展開、テイラー級数についての入門書は
	*[[wikibooks_ja:解析学基礎/テイラー級数\|解析学基礎/テイラー級数（ウィキブックス）]]		*[[wikibooks_ja:解析学基礎/テイラー級数\|解析学基礎/テイラー級数（ウィキブックス）]]
		+	さらに高度な内容は以下の記事を。但し証明はない。
		+	*[[wikipedia_ja:テイラー展開 \|ウィキペディア(テイラー展開)]]
		+	*[[wikipedia_ja:テイラーの定理 \|ウィキペディア(テイラーの定理)]]

	====　$C^{1}$級の関数====		====　$C^{1}$級の関数====

Moderator: /* 　テイラー展開とテイラーの定理 */

2017-11-10T04:26:30Z

　テイラー展開とテイラーの定理

←前の版		2017年11月10日 (金) 04:26時点における版
334 行:		334 行:
	=====　テイラー展開とテイラーの定理 =====		=====　テイラー展開とテイラーの定理 =====
	*[[wikipedia_ja:テイラー展開 \|ウィキペディア(テイラー展開)]]		*[[wikipedia_ja:テイラー展開 \|ウィキペディア(テイラー展開)]]
-	*[[[wikibooks_ja:解析学基礎/テイラー級数\|解析学基礎/テイラー級数（ウィキブックス）]]	+	*[[wikibooks_ja:解析学基礎/テイラー級数\|解析学基礎/テイラー級数（ウィキブックス）]]

	====　$C^{1}$級の関数====		====　$C^{1}$級の関数====

Moderator: /* 　高階導関数とテイラー展開 */

2017-11-10T04:22:36Z

　高階導関数とテイラー展開

←前の版		2017年11月10日 (金) 04:22時点における版
325 行:		325 行:
	*[[wikipedia_ja:平均値の定理\|ウィキペディア(平均値の定理)]]		*[[wikipedia_ja:平均値の定理\|ウィキペディア(平均値の定理)]]

-	====　~~高階導関数とテイラー展開~~====	+	====　テイラー展開とテイラーの定理====
-	~~=====　高階導関数 =====~~	+	微分可能な関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x) (あるいは\frac{df(x)}{dx})$ が微分可能ならば、<br/>
		+	その導関数　$(f')'(x) (あるいは\frac{d^{2}f(x)}{dx^2})$ が考えられる。<br/>
		+	これをｆの2階の導関数という。<br/>
		+	例えば、変数ｔの関数 $f(t)$ が時刻ｔの質点の位置とすると、<br/>
		+	その導関数は速度、2階導関数は加速度を表すことを第2章の力学で学んだ。<br/>
		+	さらに高階の微分が可能な関数を考え、その性質を考察しよう。<br/>
	=====　テイラー展開とテイラーの定理 =====		=====　テイラー展開とテイラーの定理 =====
-	[[wikibooks_ja:解析学基礎/テイラー級数\|解析学基礎/テイラー級数（ウィキブックス）]]	+	*[[wikipedia_ja:テイラー展開 \|ウィキペディア(テイラー展開)]]
		+	*[[[wikibooks_ja:解析学基礎/テイラー級数\|解析学基礎/テイラー級数（ウィキブックス）]]

	====　$C^{1}$級の関数====		====　$C^{1}$級の関数====

Moderator: /* 　平均値の定理 */

2017-11-10T04:00:03Z

　平均値の定理

←前の版		2017年11月10日 (金) 04:00時点における版
313 行:		313 行:
	====　対数関数、逆三角関数の微分　====		====　対数関数、逆三角関数の微分　====
	====　平均値の定理 ====		====　平均値の定理 ====
-	=====　~~ロールの定理~~ =====	+	平均値の定理（へいきんちのていり、英: mean-value theorem）または有限増分の定理とは、<br/>
		+	実函数に対して有界な領域上の積分に関わる大域的な値を、微分によって定まる局所的な値として実現する点が領域内に存在することを主張する。<br/>
		+	平均値の定理にはいくつかバリエーションがあるが、単に「平均値の定理」と言った場合は、ラグランジュの平均値の定理と呼ばれる微分に関する平均値の定理のことを指す場合が多い。
		+
		+	平均値の定理は微積分学の他の定理の証明（例えば、テイラーの定理、微分積分学の基本定理）にしばしば利用される、大変有用なものである（ウィキペディア；平均値の定理　より）。
		+	=====　ロルの定理 =====
		+	平均値の定理の準備として、ロルの定理を用いる。<br/>
		+	この定理自体も有用である。
		+	*[[wikipedia_ja:ロルの定理\|ウィキペディア(ロルの定理)]]
	=====　平均値の定理 =====		=====　平均値の定理 =====
		+	*[[wikipedia_ja:平均値の定理\|ウィキペディア(平均値の定理)]]
		+
	====　高階導関数とテイラー展開====		====　高階導関数とテイラー展開====
	=====　高階導関数 =====		=====　高階導関数 =====

Moderator: /* 　実数列の極限　 */

2017-11-09T17:30:36Z

　実数列の極限　

←前の版		2017年11月9日 (木) 17:30時点における版
197 行:		197 行:
	この極限値を　$a$　とおくと、<br/>		この極限値を　$a$　とおくと、<br/>
	$n(k_0) \geq n_0$ を満たす或る番号 $k_0 $ が定まって、$ k \geq k_0$　なる任意のｋに対して<br/>		$n(k_0) \geq n_0$ を満たす或る番号 $k_0 $ が定まって、$ k \geq k_0$　なる任意のｋに対して<br/>
-	$a - x_{n(k)} \lt \epsilon $ <br/>	+	$\|a - x_{n(k)}\| \lt \epsilon $ <br/>
-	~~すると任意のn,~~ $n ~~\geq~~ \bigl(\geq n(k_0)\bigr)$ に対して、<br/>	+	すると任意の $n \bigl(\geq n(k_0)\bigr)$ に対して、<br/>
	$\|a - x_n\| \leq \|a - x_{n(k_0)}\|+ \|x_{n(k_0)}-x_n\| \lt 2\epsilon $<br/>		$\|a - x_n\| \leq \|a - x_{n(k_0)}\|+ \|x_{n(k_0)}-x_n\| \lt 2\epsilon $<br/>
	故に、元の数列は　$a$　に収束する。<br/>		故に、元の数列は　$a$　に収束する。<br/>

Moderator: /* 　実数列の極限　 */

2017-11-09T17:20:22Z

　実数列の極限　

←前の版		2017年11月9日 (木) 17:20時点における版
175 行:		175 行:
	数列が収束するための条件を求めるためには、コーシー列という概念が必要になる。<br/>		数列が収束するための条件を求めるためには、コーシー列という概念が必要になる。<br/>
	定義<br/>		定義<br/>
-	実数列$\bigl(x_{n}\bigr)_{n=1}^{\infty}$~~がコーシー列~~(~~または基本列~~)とは<br/>	+	実数列$\bigl(x_{n}\bigr)_{n=1}^{\infty}$が'''コーシー列'''(または'''基本列''')とは<br/>
	任意の$ \epsilon\gt 0$　に対して、$ n_0 \in N$　が存在して、<br/>		任意の$ \epsilon\gt 0$　に対して、$ n_0 \in N$　が存在して、<br/>
-	$ m, n \gt n_0 \in N $　ならば　$\|x(m)-x_{n}\| \lt \epsilon $　となること。<br/>	+	$ m, n \geq n_0 (\in N )$　ならば　$\|x_{m}-x_{n}\| \lt \epsilon $　となること。<br/>

	定理3<br/>		定理3<br/>
-		+	（１）実数列　$\bigl(x_n \bigr)_{n\in N}$　がコーシー列ならば、収束する。<br/>
		+	（２）逆に、$\bigl(x_n \bigr)_{n\in N}$　が収束するならば、コーシー列である。<br/>
		+	証明<br/>
		+	（１）を証明する。<br/>
		+	ⅰ）$\bigl(x_n \bigr)_{n\in N}$　がコーシー列ならば、有界である。<br/>
		+	∵　コーシー列なので、$ \epsilon = 1$ のとき、$ n_0 \in N$　が存在して、<br/>
		+	$ m \geq n_0 (\in N )$　ならば　$\|x_{m}-x_{n_0}\| \lt 1 $　<br/>
		+	故に、この数列の全ての項は、<br/>
		+	$l\triangleq min\{x_1,x_2,x_3,,,,x_{n_0}-1 \}$と$u\triangleq max\{x_1,x_2,x_3,,,,x_{n_0}+1 \}$　の間にある。<br/>
		+	ⅱ）$\bigl(x_n \bigr)_{n\in N}$　がコーシー列ならば、収束する。<br/>
		+	∵　<br/>
		+	数列がコーシー列なので,<br/>
		+	任意の正数　$ \epsilon$　に対して、ある自然数　$n_0$　が存在して、<br/>
		+	$m, n \geq n_0$　ならば、$ \|x_m-x_n\| \lt \epsilon$<br/>
		+	また、コーシー列は有界なので、定理２から、収束する部分列　$(x_{n(k)})_{k\in N}$　を持つ。<br/>
		+	この極限値を　$a$　とおくと、<br/>
		+	$n(k_0) \geq n_0$ を満たす或る番号 $k_0 $ が定まって、$ k \geq k_0$　なる任意のｋに対して<br/>
		+	$a - x_{n(k)} \lt \epsilon $ <br/>
		+	すると任意のn, $n \geq \bigl(\geq n(k_0)\bigr)$ に対して、<br/>
		+	$\|a - x_n\| \leq \|a - x_{n(k_0)}\|+ \|x_{n(k_0)}-x_n\| \lt 2\epsilon $<br/>
		+	故に、元の数列は　$a$　に収束する。<br/>
		+	（２）の証明は簡単なので、略す。
		+	証明終わり。<br/><br/>
	収束に関連するさらなる情報は下記を参照のこと。		収束に関連するさらなる情報は下記を参照のこと。
	*[[wikipedia_ja:極限 \|ウィキペディア(極限)]]		*[[wikipedia_ja:極限 \|ウィキペディア(極限)]]

物理/解析学入門（１）実数の性質、連続関数、導関数と微分 - 変更履歴

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Moderator: /* 8.2 解析学入門 */

Moderator: /* 8.2 解析学入門 */

Moderator: /* テイラー展開とテイラーの定理 */

Moderator: /* テイラー展開とテイラーの定理 */

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Moderator: /* 高階導関数とテイラー展開 */

Moderator: /* 平均値の定理 */

Moderator: /* 実数列の極限 */

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Moderator: /* 　8.2　解析学入門 */

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