物理/質点の運動と質点系 - 変更履歴

Moderator: /* 内積の応用,座標変換；未完。座標変換の視点から書きなおす事　 */

2023-01-13T11:22:35Z

内積の応用,座標変換；未完。座標変換の視点から書きなおす事　

←前の版		2023年1月13日 (金) 11:22時点における版
521 行:		521 行:
	同様に斜線に直交する運動成分は		同様に斜線に直交する運動成分は
	$ m\frac{d^2}{dt^2}\vec{x}_q=\vec{F}_q　 \qquad \qquad (3)$<br/>		$ m\frac{d^2}{dt^2}\vec{x}_q=\vec{F}_q　 \qquad \qquad (3)$<br/>
-	運動がこの斜線に、拘束されているときは、ｑ方向の運動はなく、	+	運動がこの斜線に、拘束されているときは、ｑ方向の運動はなく、<br/>
		+	常に　$ \vec{x}_q =0 $ である。

	====力が変動したり、物体の移動が曲線であるときの仕事====		====力が変動したり、物体の移動が曲線であるときの仕事====

Moderator: /* 内積の応用,座標変換；未完。座標変換の視点から書きなおす事　 */

2023-01-13T11:17:24Z

内積の応用,座標変換；未完。座標変換の視点から書きなおす事　

←前の版		2023年1月13日 (金) 11:17時点における版
507 行:		507 行:
	その斜線に正射影した位置ベクトルとその変化（運動）を見たい場合には、<br/>		その斜線に正射影した位置ベクトルとその変化（運動）を見たい場合には、<br/>
	以下のように、内積を使うと便利である。<br/>		以下のように、内積を使うと便利である。<br/>
-	~~この斜線上の任意の一点Ｏを原点とし、の方向と等しい、大きさ１のベクトル~~$\vec p$と、<br/>	+	この斜線上の任意の一点Ｏを原点とし、斜線の方向と等しい、大きさ１のベクトル$\vec p$と、<br/>
	それに直交する大きさ１のベクトル$\vec q$をとる(向きは適当でよい）。		それに直交する大きさ１のベクトル$\vec q$をとる(向きは適当でよい）。
	方向・向きを指定するための大きさ１のベクトルを、方向ベクトルと呼ぼう。<br/>		方向・向きを指定するための大きさ１のベクトルを、方向ベクトルと呼ぼう。<br/>

Moderator: /* 振り子の運動の近似解　　 */

2018-06-03T09:36:20Z

振り子の運動の近似解　　

←前の版		2018年6月3日 (日) 09:36時点における版
311 行:		311 行:
	その解は、本来の運動方程式（７）の精度の高い近似解になることが予想される（注1参照）。<br/>		その解は、本来の運動方程式（７）の精度の高い近似解になることが予想される（注1参照）。<br/>
	式(８)の解を求めよう。<br/>		式(８)の解を求めよう。<br/>
-	tで2回微分すると、自分自身のマイナス倍になる関数$\Bigl(f''(t)=-\omega^{2}f(t)\Bigr)$としては、<br/>	+	tで2回微分すると、自分自身のマイナス倍になる関数$f(t)\Bigl(i.e.\ f''(t)=-\omega^{2}f(t)\ \Bigr)$としては、<br/>
	$\sin \omega ｔ$と$\cos \omega t$　が知られている（注2参照）。<br/>		$\sin \omega ｔ$と$\cos \omega t$　が知られている（注2参照）。<br/>
	そこで<br/>		そこで<br/>
-	$\omega^{2}=g/l$となるように、$\omega:=\sqrt{g/l}$と定めると、<br/>	+	$\omega^{2}=g/l$となるように、$\omega=\sqrt{g/l}$と定めると、<br/>
	$\sin \omega ｔ$と$\cos \omega t$は、式(8)を満たす。<br/>		$\sin \omega ｔ$と$\cos \omega t$は、式(8)を満たす。<br/>
	すると、振り子の初期時刻(ｔ＝0)の角度と初期角速度$\theta_0,		すると、振り子の初期時刻(ｔ＝0)の角度と初期角速度$\theta_0,
342 行:		342 行:
	=\frac{d\sin (\omega t)}{d(\omega t)}\frac{d(\omega t)}{dt}		=\frac{d\sin (\omega t)}{d(\omega t)}\frac{d(\omega t)}{dt}
	=\omega \cos\omega t$<br/>		=\omega \cos\omega t$<br/>
-	$\frac{d^{2}\sin\omega t}{dx^{t}}	+	$\frac{d^{2}\sin\omega t}{dt^{2}}
	=\frac{ d(\omega \cos\omega t) }{dt}$<br/>		=\frac{ d(\omega \cos\omega t) }{dt}$<br/>
	$=-\omega^{2}\sin\omega x$<br/>		$=-\omega^{2}\sin\omega x$<br/>
	（注3）$\sqrt{a^2+b^2}\sin (\omega t+\alpha)$に加法定理を適用すると、<br/>		（注3）$\sqrt{a^2+b^2}\sin (\omega t+\alpha)$に加法定理を適用すると、<br/>
	$=\sqrt{a^2+b^2}(\sin\omega t\cos\alpha +\sin\alpha\cos\omega t)		$=\sqrt{a^2+b^2}(\sin\omega t\cos\alpha +\sin\alpha\cos\omega t)
-	=\sqrt{a^2+b^2}\sin\alpha\cos\omega t + sqrt{a^2+b^2}\cos\alpha\sin\omega t$<br/>	+	=\sqrt{a^2+b^2}\sin\alpha\cos\omega t + \sqrt{a^2+b^2}\cos\alpha\sin\omega t$<br/>
	この式が、$\theta(t)=a\cos{\omega t}+b\sin{\omega t}$に等しくなるように		この式が、$\theta(t)=a\cos{\omega t}+b\sin{\omega t}$に等しくなるように
	$\alpha$を決めればよい。<br/>		$\alpha$を決めればよい。<br/>
	このためには、両式の$\cos\omega t$の係数が等しく、$\sin{\omega t}$の係数が等しくなるように$\alpha$を決めればよい。<br/>		このためには、両式の$\cos\omega t$の係数が等しく、$\sin{\omega t}$の係数が等しくなるように$\alpha$を決めればよい。<br/>
-	すなわち、$a=\sqrt{a^2+b^2}\sin\alpha$,$b=sqrt{a^2+b^2}\cos\alpha$.<br/>	+	すなわち、$a=\sqrt{a^2+b^2}\sin\alpha,\qquad b=\sqrt{a^2+b^2}\cos\alpha$.<br/>
-	これより、$\sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$,$\cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$<br/>	+	これより、$\sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\qquad \cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$<br/>
	$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{a}{b}$<br/>		$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{a}{b}$<br/>
	故に、上式で$\alpha$をきめると、<br/>		故に、上式で$\alpha$をきめると、<br/>

Moderator: /* 振り子の運動の近似解　　 */

2018-06-03T07:52:13Z

振り子の運動の近似解　　

←前の版		2018年6月3日 (日) 07:52時点における版
311 行:		311 行:
	その解は、本来の運動方程式（７）の精度の高い近似解になることが予想される（注1参照）。<br/>		その解は、本来の運動方程式（７）の精度の高い近似解になることが予想される（注1参照）。<br/>
	式(８)の解を求めよう。<br/>		式(８)の解を求めよう。<br/>
-	tで2回微分すると、自分自身のマイナス倍になる関数($f''(t)=-\omega^{2}f(t)$)としては、<br/>	+	tで2回微分すると、自分自身のマイナス倍になる関数$\Bigl(f''(t)=-\omega^{2}f(t)\Bigr)$としては、<br/>
	$\sin \omega ｔ$と$\cos \omega t$　が知られている（注2参照）。<br/>		$\sin \omega ｔ$と$\cos \omega t$　が知られている（注2参照）。<br/>
	そこで<br/>		そこで<br/>

Moderator: /* 　質点系の重心とその運動 */

2018-06-03T04:45:52Z

　質点系の重心とその運動

←前の版		2018年6月3日 (日) 04:45時点における版
398 行:		398 行:
	====　質点系の重心とその運動====		====　質点系の重心とその運動====
	質点系の重心$\vec{R}$を $\quad　\vec{R}=\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M }$ で定義する。<br/>		質点系の重心$\vec{R}$を $\quad　\vec{R}=\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M }$ で定義する。<br/>
-	すると式(a)から次の命題が得られる。<br/>	+	すると式(a)から次の命題が得られる。<br/><br/>
	'''定理（重心の運動方程式）'''<br/>		'''定理（重心の運動方程式）'''<br/>
	任意の質点系を考える。<br/>		任意の質点系を考える。<br/>

Moderator: /* 　質点系の重心とその運動 */

2018-06-03T04:45:15Z

　質点系の重心とその運動

←前の版		2018年6月3日 (日) 04:45時点における版
410 行:		410 行:
	この質点系に作用する外力の合力が零ならば<br/>		この質点系に作用する外力の合力が零ならば<br/>
	系の重心は等速直線運動する。<br/><br/>		系の重心は等速直線運動する。<br/><br/>
-
	以下の解説も参考にしてください。		以下の解説も参考にしてください。
	*[[wikipedia_ja:質点\|ウィキペディア(質点系の力学)]]		*[[wikipedia_ja:質点\|ウィキペディア(質点系の力学)]]

Moderator: /* 　質点系の重心とその運動 */

2018-06-03T04:44:38Z

　質点系の重心とその運動

←前の版		2018年6月3日 (日) 04:44時点における版
402 行:		402 行:
	任意の質点系を考える。<br/>		任意の質点系を考える。<br/>
	$M$をこの質点系の全質量、<br/>		$M$をこの質点系の全質量、<br/>
-	$\vec{F} $~~は質点系の各質点に作用する系外からの力（外力）のベクトル和、~~<br/>	+	$\vec{F} $は質点系に作用する外力の合力（系内の各質点に作用する系外からの力のベクトル和のこと）、<br/>
	$\vec R$は、質点系の重心<br/>		$\vec R$は、質点系の重心<br/>
	とすると、重心は次の微分方程式に従って運動する。<br/>		とすると、重心は次の微分方程式に従って運動する。<br/>
	$M\frac{d^2}{dt^2}\vec R= \vec{F} $ <br/><br/>		$M\frac{d^2}{dt^2}\vec R= \vec{F} $ <br/><br/>
		+	定理の系<br/>
		+	任意の質点系を考える。<br/>
		+	この質点系に作用する外力の合力が零ならば<br/>
		+	系の重心は等速直線運動する。<br/><br/>
		+
	以下の解説も参考にしてください。		以下の解説も参考にしてください。
	*[[wikipedia_ja:質点\|ウィキペディア(質点系の力学)]]		*[[wikipedia_ja:質点\|ウィキペディア(質点系の力学)]]

Moderator: /* 　質点系の重心と重心の運動方程式 */

2018-06-03T04:35:06Z

　質点系の重心と重心の運動方程式

←前の版		2018年6月3日 (日) 04:35時点における版
396 行:		396 行:
	質点系の全質量$M= \sum_i{m_i} $と質点系に働く全外力$\vec{F}= \sum_i{\vec{f_i}} $を用いて書きなおすと、<br/>		質点系の全質量$M= \sum_i{m_i} $と質点系に働く全外力$\vec{F}= \sum_i{\vec{f_i}} $を用いて書きなおすと、<br/>
	$M\frac{d^2}{dt^2}(\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M})= \vec{F}\qquad \qquad (a)$ <br/>		$M\frac{d^2}{dt^2}(\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M})= \vec{F}\qquad \qquad (a)$ <br/>
-	====　~~質点系の重心と重心の運動方程式~~====	+	====　質点系の重心とその運動====
	質点系の重心$\vec{R}$を $\quad　\vec{R}=\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M }$ で定義する。<br/>		質点系の重心$\vec{R}$を $\quad　\vec{R}=\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M }$ で定義する。<br/>
	すると式(a)から次の命題が得られる。<br/>		すると式(a)から次の命題が得られる。<br/>

Moderator: /* 　質点系の重心の定義と重心の運動方程式 */

2018-06-03T04:33:46Z

　質点系の重心の定義と重心の運動方程式

←前の版		2018年6月3日 (日) 04:33時点における版
396 行:		396 行:
	質点系の全質量$M= \sum_i{m_i} $と質点系に働く全外力$\vec{F}= \sum_i{\vec{f_i}} $を用いて書きなおすと、<br/>		質点系の全質量$M= \sum_i{m_i} $と質点系に働く全外力$\vec{F}= \sum_i{\vec{f_i}} $を用いて書きなおすと、<br/>
	$M\frac{d^2}{dt^2}(\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M})= \vec{F}\qquad \qquad (a)$ <br/>		$M\frac{d^2}{dt^2}(\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M})= \vec{F}\qquad \qquad (a)$ <br/>
-	====　~~質点系の重心の定義と重心の運動方程式~~====	+	====　質点系の重心と重心の運動方程式====
	質点系の重心$\vec{R}$を $\quad　\vec{R}=\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M }$ で定義する。<br/>		質点系の重心$\vec{R}$を $\quad　\vec{R}=\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M }$ で定義する。<br/>
	すると式(a)から次の命題が得られる。<br/>		すると式(a)から次の命題が得られる。<br/>

Moderator: /* 　質点系の重心の定義と重心の運動方程式 */

2018-06-03T04:32:36Z

　質点系の重心の定義と重心の運動方程式

←前の版		2018年6月3日 (日) 04:32時点における版
399 行:		399 行:
	質点系の重心$\vec{R}$を $\quad　\vec{R}=\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M }$ で定義する。<br/>		質点系の重心$\vec{R}$を $\quad　\vec{R}=\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M }$ で定義する。<br/>
	すると式(a)から次の命題が得られる。<br/>		すると式(a)から次の命題が得られる。<br/>
-	定理（重心の運動方程式）<br/>	+	'''定理（重心の運動方程式）'''<br/>
	任意の質点系を考える。<br/>		任意の質点系を考える。<br/>
	$M$をこの質点系の全質量、<br/>		$M$をこの質点系の全質量、<br/>
408 行:		408 行:
	以下の解説も参考にしてください。		以下の解説も参考にしてください。
	*[[wikipedia_ja:質点\|ウィキペディア(質点系の力学)]]		*[[wikipedia_ja:質点\|ウィキペディア(質点系の力学)]]
		+
	====複雑にみえる運動も重心の運動をみれば簡単である　　====		====複雑にみえる運動も重心の運動をみれば簡単である　　====
	体操選手の運動は、跳躍などで空中をまいながら、回転や体の屈伸、ひねりなどを行う。大変複雑で美しい。<br/>		体操選手の運動は、跳躍などで空中をまいながら、回転や体の屈伸、ひねりなどを行う。大変複雑で美しい。<br/>

物理/質点の運動と質点系 - 変更履歴

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