物理/質点の運動の表し方 - 変更履歴

Moderator: /* 等速円運動の加速度 */

2018-06-22T04:23:44Z

等速円運動の加速度

←前の版		2018年6月22日 (金) 04:23時点における版
494 行:		494 行:
	すると加速度は<br/>		すると加速度は<br/>
	$\vec{\alpha(t)}=\frac{d\vec{v(t)}}{dt}=-r\omega^2\Bigl(\cos\bigl(\theta(t)\bigr),\sin\bigl(\theta(t)\bigr)\Bigr)=\frac{v^2}{r}\bigl(-\frac{\vec{r(t)}}{r}\bigr)$ <br/>となる。<br/>		$\vec{\alpha(t)}=\frac{d\vec{v(t)}}{dt}=-r\omega^2\Bigl(\cos\bigl(\theta(t)\bigr),\sin\bigl(\theta(t)\bigr)\Bigr)=\frac{v^2}{r}\bigl(-\frac{\vec{r(t)}}{r}\bigr)$ <br/>となる。<br/>
-	~~すなわち大きさが~~$\frac{v^2}{r}$で<br/>	+	この変形では、vは$\vec{v(t)}$の大きさで、$v=r\omega$であることを使っている。<br/><br/>
		+
		+	すなわち等速円運動の加速度は、大きさが$\frac{v^2}{r}$で<br/>
	向きは、質点の位置から運動の中心である原点Oに向いた、ベクトルである。<br/>		向きは、質点の位置から運動の中心である原点Oに向いた、ベクトルである。<br/>
	以下の記事も参考にしてください。<br/>		以下の記事も参考にしてください。<br/>

Moderator: /* 等速円運動の加速度 */

2018-06-22T04:10:56Z

等速円運動の加速度

←前の版		2018年6月22日 (金) 04:10時点における版
489 行:		489 行:
	質点が xy 平面上で<br/>		質点が xy 平面上で<br/>
	原点 O を中心とする半径 r の円上を等速$v$で運動するとき、加速度はどうなるか？<br/>		原点 O を中心とする半径 r の円上を等速$v$で運動するとき、加速度はどうなるか？<br/>
-	速度ベクトルは$\vec{v(t)}=(\dot{x(t)},\dot{y(t)})=(-r\sin(\theta(t))\~~omega~~ ,r\cos(\theta(t))\~~omega~~)$ であった。<br/>	+	位置ベクトルは$\vec{r(t)}=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=r\Bigl(\cos\bigl(\theta(t)\bigr),\sin\bigl(\theta(t)\bigr)\Bigr)
		+	$ <br/>
		+	速度ベクトルは$\vec{v(t)}=\bigl(\dot{x(t)},\dot{y(t)}\bigr)=-r\omega \Bigl(\sin\bigl(\theta(t)\bigr),-\cos\bigl(\theta(t)\bigr)\Bigr)$ であった。<br/>
	すると加速度は<br/>		すると加速度は<br/>
-	$\vec{\alpha(t)}=\frac{d\vec{v(t)}}{dt}=-r\omega^2(\cos(\theta(t)),\sin(\theta(t)))=\frac{v^2}{r}(-\frac{\vec{r(t)}}{r})$ <br/>となる。<br/>	+	$\vec{\alpha(t)}=\frac{d\vec{v(t)}}{dt}=-r\omega^2\Bigl(\cos\bigl(\theta(t)\bigr),\sin\bigl(\theta(t)\bigr)\Bigr)=\frac{v^2}{r}\bigl(-\frac{\vec{r(t)}}{r}\bigr)$ <br/>となる。<br/>
	すなわち大きさが$\frac{v^2}{r}$で<br/>		すなわち大きさが$\frac{v^2}{r}$で<br/>
	向きは、質点の位置から運動の中心である原点Oに向いた、ベクトルである。<br/>		向きは、質点の位置から運動の中心である原点Oに向いた、ベクトルである。<br/>

Moderator: /* 等速円運動の速度 */

2018-06-22T03:52:11Z

等速円運動の速度

←前の版		2018年6月22日 (金) 03:52時点における版
450 行:		450 行:
	$\dot{\theta}(t)=\omega $なので　<br/>		$\dot{\theta}(t)=\omega $なので　<br/>
	速度ベクトルは<br/>		速度ベクトルは<br/>
-	$\vec{v(t)}=\bigl(\dot{x}(t),\dot{y}(t)\bigr)=\Bigl(-r\sin \bigl(\theta(t)\bigr)~~\omega~~ ,r\cos \bigl(\theta(t)\bigr)\omega \Bigr)$,<br/>	+	$\vec{v(t)}=\bigl(\dot{x}(t),\dot{y}(t)\bigr)=\Bigl(-r\omega \sin \bigl(\theta(t)\bigr),r\omega\cos \bigl(\theta(t)\bigr) \Bigr)$,<br/>
		+	$=r\omega(\Bigl(-\sin \bigl(\theta(t)\bigr),\cos \bigl(\theta(t)\bigr) \Bigr)$,<br/><br/>
	このベクトルは、質点の位置ベクトル<br/>		このベクトルは、質点の位置ベクトル<br/>
-	$\vec{r(t)}=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\Bigl(r\cos\bigl(\theta(t)\bigr),r\sin\bigl(\theta(t)\bigr)\Bigr)$<br/>	+	$\vec{r(t)}=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\Bigl(r\cos\bigl(\theta(t)\bigr),r\sin\bigl(\theta(t)\bigr)\Bigr)=r\Bigl(\cos\bigl(\theta(t)\bigr),\sin\bigl(\theta(t)\bigr)\Bigr)$<br/>
	と直交している。<br/>		と直交している。<br/>
	何故なら、<br/>		何故なら、<br/>
	$\vec{r(t)}$の[[wikipedia_ja:傾き (数学)\|傾き]]は$\tan\bigl(\theta(t)\bigr)$、<br/>		$\vec{r(t)}$の[[wikipedia_ja:傾き (数学)\|傾き]]は$\tan\bigl(\theta(t)\bigr)$、<br/>
	$\vec{v(t)}$の傾きは$-\frac{1}{\tan(\theta(t))}$なので、<br/>		$\vec{v(t)}$の傾きは$-\frac{1}{\tan(\theta(t))}$なので、<br/>
-	~~傾きの積が－1となるからである。~~<br/>	+	傾きの積が－1となるからである(注参照）。<br/>
	そこで、等速円運動する質点は、その軌道の接線方向の速度を持つことが分かる。<br/>		そこで、等速円運動する質点は、その軌道の接線方向の速度を持つことが分かる。<br/>
	関連事項については次の記事を参照のこと。<br/>		関連事項については次の記事を参照のこと。<br/>
-	[[wikipedia_ja:円運動\|ウィキペディア(円運動)]]	+	*[[wikipedia_ja:円運動\|ウィキペディア(円運動)]]
		+	（注）後に学ぶ内積の考えを使うと、この2つのベクトルが直交することは簡単にわかる。

	==== 加速度 ====		==== 加速度 ====

Moderator: /* 等速円運動の速度 */

2018-06-06T10:14:17Z

等速円運動の速度

←前の版		2018年6月6日 (水) 10:14時点における版
437 行:		437 行:
	質点の角速度$\omega$は、$\omega=v/r$（ラジアン／s）である。<br/>		質点の角速度$\omega$は、$\omega=v/r$（ラジアン／s）である。<br/>
	時刻$ｔ$の質点の位置ベクトル$\vec{r(t)} $の<br/>		時刻$ｔ$の質点の位置ベクトル$\vec{r(t)} $の<br/>
-	$x,y$座標を$(x(t),\ y(t))$、極座標を(ｒ,$\theta(t))$と書くと、 <br/>	+	$x,y$座標を$\bigl(x(t),\ y(t)\bigr)$、極座標を\bigl(ｒ,$\theta(t)\bigr)$と書くと、 <br/>
-	$x(t)=r\cos(\theta(t)),\qquad y(t)=r\sin(\theta(t))$<br/>	+	$x(t)=r\cos\bigl(\theta(t)),\qquad y(t)=r\sin\bigl(\theta(t)\bigr)$<br/>
	$\theta(t)=\omega t + \theta_0$<br/>　ここで$ \theta_0$　は、時刻0における質点の位相角である。<br/>		$\theta(t)=\omega t + \theta_0$<br/>　ここで$ \theta_0$　は、時刻0における質点の位相角である。<br/>
	これらを時間ｔで微分する。<br/>		これらを時間ｔで微分する。<br/>
450 行:		450 行:
	$\dot{\theta}(t)=\omega $なので　<br/>		$\dot{\theta}(t)=\omega $なので　<br/>
	速度ベクトルは<br/>		速度ベクトルは<br/>
-	$\vec{v(t)}=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))=(-r\sin(\theta(t))\omega ,r\cos(\theta(t))\omega)$,<br/>	+	$\vec{v(t)}=\bigl(\dot{x}(t),\dot{y}(t)\bigr)=\Bigl(-r\sin \bigl(\theta(t)\bigr)\omega ,r\cos \bigl(\theta(t)\bigr)\omega \Bigr)$,<br/>
	このベクトルは、質点の位置ベクトル<br/>		このベクトルは、質点の位置ベクトル<br/>
-	$\vec{r(t)}=(x(t),y(t))=(r\cos(\theta(t)),r\sin(\theta(t)))$<br/>	+	$\vec{r(t)}=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\Bigl(r\cos\bigl(\theta(t)\bigr),r\sin\bigl(\theta(t)\bigr)\Bigr)$<br/>
	と直交している。<br/>		と直交している。<br/>
	何故なら、<br/>		何故なら、<br/>
-	$\vec{r(t)}$の[[wikipedia_ja:傾き (数学)\|傾き]]は$\tan(\theta(t))$、<br/>	+	$\vec{r(t)}$の[[wikipedia_ja:傾き (数学)\|傾き]]は$\tan\bigl(\theta(t)\bigr)$、<br/>
	$\vec{v(t)}$の傾きは$-\frac{1}{\tan(\theta(t))}$なので、<br/>		$\vec{v(t)}$の傾きは$-\frac{1}{\tan(\theta(t))}$なので、<br/>
	傾きの積が－1となるからである。<br/>		傾きの積が－1となるからである。<br/>

Moderator: /* 等速円運動の速度 */

2018-06-06T10:01:31Z

等速円運動の速度

←前の版		2018年6月6日 (水) 10:01時点における版
437 行:		437 行:
	質点の角速度$\omega$は、$\omega=v/r$（ラジアン／s）である。<br/>		質点の角速度$\omega$は、$\omega=v/r$（ラジアン／s）である。<br/>
	時刻$ｔ$の質点の位置ベクトル$\vec{r(t)} $の<br/>		時刻$ｔ$の質点の位置ベクトル$\vec{r(t)} $の<br/>
-	$x,y$座標を$(x(t),\ y(t))$、極座標を(ｒ、$\theta(t))$と書くと、 <br/>	+	$x,y$座標を$(x(t),\ y(t))$、極座標を(ｒ,$\theta(t))$と書くと、 <br/>
	$x(t)=r\cos(\theta(t)),\qquad y(t)=r\sin(\theta(t))$<br/>		$x(t)=r\cos(\theta(t)),\qquad y(t)=r\sin(\theta(t))$<br/>
	$\theta(t)=\omega t + \theta_0$<br/>　ここで$ \theta_0$　は、時刻0における質点の位相角である。<br/>		$\theta(t)=\omega t + \theta_0$<br/>　ここで$ \theta_0$　は、時刻0における質点の位相角である。<br/>

Moderator: /* 等速円運動の速度 */

2018-06-06T10:00:55Z

等速円運動の速度

←前の版		2018年6月6日 (水) 10:00時点における版
443 行:		443 行:
	合成関数の微分の性質と三角関数の微分の公式を用いて計算すると、<br/>		合成関数の微分の性質と三角関数の微分の公式を用いて計算すると、<br/>
	速度のx成分とy成分<br/>		速度のx成分とy成分<br/>
-	$\dot{x(t)}=-r\sin(\theta(t))\dot{\theta(t)}$<br/>	+	$\dot{x}(t)=-r\sin(\theta(t))\dot{\theta}(t)$<br/>
-	$\dot{y(t)}=r\cos(\theta(t))\dot{\theta(t)}$<br/>	+	$\dot{y}(t)=r\cos(\theta(t))\dot{\theta}(t)$<br/>
	が得られる。<br/>		が得られる。<br/>
-	但し、$\dot{x(t)}$ は、関数$x(t)$　を時間変数$ｔ$で微分したことを意味する記法で、<br/>	+	但し、$\dot{x}(t)$ は、関数$x(t)$　を時間変数$ｔ$で微分したことを意味する記法で、<br/>
-	$\dot{x(t)}=\frac{dx(t)}{dt}$　ということである。<br/>	+	$\dot{x}(t)=\frac{dx(t)}{dt}$　ということである。<br/>
-	$\dot{\theta(t)}=\omega $なので　<br/>	+	$\dot{\theta}(t)=\omega $なので　<br/>
	速度ベクトルは<br/>		速度ベクトルは<br/>
-	$\vec{v(t)}=(\dot{x(t)},\dot{y(t)})=(-r\sin(\theta(t))\omega ,r\cos(\theta(t))\omega)$,<br/>	+	$\vec{v(t)}=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))=(-r\sin(\theta(t))\omega ,r\cos(\theta(t))\omega)$,<br/>
	このベクトルは、質点の位置ベクトル<br/>		このベクトルは、質点の位置ベクトル<br/>
	$\vec{r(t)}=(x(t),y(t))=(r\cos(\theta(t)),r\sin(\theta(t)))$<br/>		$\vec{r(t)}=(x(t),y(t))=(r\cos(\theta(t)),r\sin(\theta(t)))$<br/>

Moderator: /* 　正規直交系と直交座標を用いる表示　 */

2017-09-06T07:43:59Z

　正規直交系と直交座標を用いる表示　

←前の版		2017年9月6日 (水) 07:43時点における版
261 行:		261 行:
	このように、どんなベクトルも、3つのベクトル$\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}$を用いて表示できるので、<br/>		このように、どんなベクトルも、3つのベクトル$\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}$を用いて表示できるので、<br/>
	これらを順番に並べた<br/>		これらを順番に並べた<br/>
-	$(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$~~を、3次元空間の基底~~'''と呼ぶ。<br/>	+	$(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$を、3次元空間の'''基底'''と呼ぶ。<br/>
	直交していることを明示したいときは、直交基底という。<br/>		直交していることを明示したいときは、直交基底という。<br/>
	さらに、基底ベクトルの大きさが１にとってあるので、<br/>		さらに、基底ベクトルの大きさが１にとってあるので、<br/>
-	これを明示したいときには、[[wikipedia_ja:正規直交基底 \|'''正規直交基底]''']と呼ぶ。<br/>	+	これを明示したいときには、[[wikipedia_ja:正規直交基底 \|'''正規直交基底''']]と呼ぶ。<br/>
	逆に、<br/>		逆に、<br/>
	直交基底$\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}$が与えられると、<br/>		直交基底$\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}$が与えられると、<br/>
-	直交座標系が決まる。	+	直交座標系が決まる。<br/>
	(注）この表示は一通りしか存在しない。		(注）この表示は一通りしか存在しない。

Moderator: /* 　直交座標を用いる表示　 */

2017-09-06T07:30:06Z

　直交座標を用いる表示　

←前の版		2017年9月6日 (水) 07:30時点における版
217 行:		217 行:
	色々な座標を使った表示法がみつかっている。<br/>		色々な座標を使った表示法がみつかっている。<br/>
	最も広く利用されている方法を説明しよう。<br/>		最も広く利用されている方法を説明しよう。<br/>
-	=====　~~直交座標を用いる表示~~　=====	+	=====　正規直交系と直交座標を用いる表示　=====
	空間に定めた原点$O$をとおる、縦と横と高さ方向の互いに直交する３つの[[wikipedia_ja:直線\|直線]]を引く。<br/>		空間に定めた原点$O$をとおる、縦と横と高さ方向の互いに直交する３つの[[wikipedia_ja:直線\|直線]]を引く。<br/>
	各直線上の原点$O$から単位の距離にある点(原点の両側にある）の一方に＋１を、他方にー１を振る。<br/>		各直線上の原点$O$から単位の距離にある点(原点の両側にある）の一方に＋１を、他方にー１を振る。<br/>
261 行:		261 行:
	このように、どんなベクトルも、3つのベクトル$\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}$を用いて表示できるので、<br/>		このように、どんなベクトルも、3つのベクトル$\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}$を用いて表示できるので、<br/>
	これらを順番に並べた<br/>		これらを順番に並べた<br/>
-	$(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$~~を、3次元空間の基底と呼ぶ。~~<br/>	+	$(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$を、3次元空間の基底'''と呼ぶ。<br/>
	直交していることを明示したいときは、直交基底という。<br/>		直交していることを明示したいときは、直交基底という。<br/>
	さらに、基底ベクトルの大きさが１にとってあるので、<br/>		さらに、基底ベクトルの大きさが１にとってあるので、<br/>
-	これを明示したいときには、[[wikipedia_ja:正規直交基底 \|正規直交基底]]と呼ぶ。<br/>	+	これを明示したいときには、[[wikipedia_ja:正規直交基底 \|'''正規直交基底]''']と呼ぶ。<br/>
	逆に、<br/>		逆に、<br/>
	直交基底$\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}$が与えられると、<br/>		直交基底$\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}$が与えられると、<br/>
	直交座標系が決まる。		直交座標系が決まる。
	(注）この表示は一通りしか存在しない。		(注）この表示は一通りしか存在しない。
		+
	=====座標成分を用いた、ベクトルの演算　　=====		=====座標成分を用いた、ベクトルの演算　　=====
	ベクトルの和や実数倍する演算を数の演算で行う、準備は整った。<br/>		ベクトルの和や実数倍する演算を数の演算で行う、準備は整った。<br/>

Moderator: /* ベクトルを用いた位置の表示 */

2017-08-02T08:11:45Z

ベクトルを用いた位置の表示

←前の版		2017年8月2日 (水) 08:11時点における版
105 行:		105 行:
	始点がＰであるもの、$\vec{PQ}$をとりだせばよい。<br/>		始点がＰであるもの、$\vec{PQ}$をとりだせばよい。<br/>
	このような有向線分をベクトル$\vec a$に属す有向線分と呼ぼう。<br/>		このような有向線分をベクトル$\vec a$に属す有向線分と呼ぼう。<br/>
-	~~この有向ベクトル~~$\vec{PQ}$は$\vec a$と同じ大きさ、方向・向きをもち、<br/>	+	この有向線分$\vec{PQ}$は$\vec a$と同じ大きさ、方向・向きをもち、<br/>
	始点が原点なので、点Ｑが求める点になる。<br/>		始点が原点なので、点Ｑが求める点になる。<br/>
	これを数学記号でかくと<br/>		これを数学記号でかくと<br/>

Moderator: /* 有向線分からベクトルへ */

2017-01-14T13:22:22Z

有向線分からベクトルへ

←前の版		2017年1月14日 (土) 13:22時点における版
88 行:		88 行:
	命題；<br/>		命題；<br/>
	線分$OP$と線分$O'P'$が、ある一つの平面上にあり、<br/>		線分$OP$と線分$O'P'$が、ある一つの平面上にあり、<br/>
-	この平面上の四角形$~~OAA~~'O'$が平行四辺形ならば、<br/>	+	この平面上の四角形$OPP'O'$が平行四辺形ならば、<br/>
-	2つの有向線分$\vec{OP}$と$\vec{O'P'}$は、大きさが等しく、方向・向きが等しい。<br/><br/>	+	2つの有向線分$\vec{OP}$と$\vec{O'P'}$は、大きさが等しく、方向・向きが等しい。<br/>
		+	逆も成立する。<br/><br/>
	有向線分$\vec{OP}$の始点Ｏを、線分の向きと方向が変化しないようにして移動することを、		有向線分$\vec{OP}$の始点Ｏを、線分の向きと方向が変化しないようにして移動することを、
	'''平行移動'''という。<br/><br/>		'''平行移動'''という。<br/><br/>

物理/質点の運動の表し方 - 変更履歴

Moderator: /* 等速円運動の加速度 */

Moderator: /* 等速円運動の加速度 */

Moderator: /* 等速円運動の速度 */

Moderator: /* 等速円運動の速度 */

Moderator: /* 等速円運動の速度 */

Moderator: /* 等速円運動の速度 */

Moderator: /* 正規直交系と直交座標を用いる表示 */

Moderator: /* 直交座標を用いる表示 */

Moderator: /* ベクトルを用いた位置の表示 */

Moderator: /* 有向線分からベクトルへ */

Moderator: /* 　正規直交系と直交座標を用いる表示　 */

Moderator: /* 　直交座標を用いる表示　 */