物理/運動の法則の応用 - 変更履歴

Moderator: /* エネルギー */

2015-01-27T16:36:09Z

エネルギー

←前の版		2015年1月27日 (火) 16:36時点における版
271 行:		271 行:
	物質の持っている仕事をする能力をエネルギーという。		物質の持っている仕事をする能力をエネルギーという。
	*[[wikipedia_ja:エネルギー\|エネルギー(ウィキペディア）]]の自然科学の項を参照のこと。		*[[wikipedia_ja:エネルギー\|エネルギー(ウィキペディア）]]の自然科学の項を参照のこと。
		+	===仕事の単位===
		+	仕事の定義$W=\\|\vec F\\|\\|\vec s\\| \cos\theta$から、仕事の単位は、力の大きさ$\\|\vec F\\|$の単位と長さ$\\|\vec s\\|$の単位を掛けたものになる($ \cos\theta$ は無単位なので )。<br/>
		+	MKSA単位系では、力の大きさの単位は$N$(ニュートン）、長さの単位は$m$（メートル）なので、仕事の単位は$Nm$　となる。<br/>
		+	これを$J$(ジュール）と呼ぶ。$J=Nm$である。
		+	*[[wikipedia_ja:ジュール\|ジュール(ウィキペディア）]]

	= CAIテスト =		= CAIテスト =

	*<span class="pops"> [[cai_ja:GENPHY00010002\|CAIテストのページへ（新しいWindowが開きます）]] </span>		*<span class="pops"> [[cai_ja:GENPHY00010002\|CAIテストのページへ（新しいWindowが開きます）]] </span>

Moderator: /* 仕事の単位 */

2015-01-27T16:34:56Z

仕事の単位

←前の版		2015年1月27日 (火) 16:34時点における版
271 行:		271 行:
	物質の持っている仕事をする能力をエネルギーという。		物質の持っている仕事をする能力をエネルギーという。
	*[[wikipedia_ja:エネルギー\|エネルギー(ウィキペディア）]]の自然科学の項を参照のこと。		*[[wikipedia_ja:エネルギー\|エネルギー(ウィキペディア）]]の自然科学の項を参照のこと。
-
-	~~===仕事の単位===~~
-	仕事の定義$W=\\|\vec F\\|\\|\vec s\\| \cos\theta$から、仕事の単位は、力の大きさ$\\|\vec F\\|$の単位と長さ$\\|\vec s\\|$の単位を掛けたものになる($ \cos\theta$ は無単位なので )。<br/>
-	~~MKSA単位系では、力の大きさの単位は$N$(ニュートン）、長さの単位は$m$（メートル）なので、仕事の単位は$Nm$　となる。<br/>~~
-	~~これを$J$(ジュール）と呼ぶ。$J=Nm$である。~~
-	*[[wikipedia_ja:ジュール\|ジュール(ウィキペディア）]]

	= CAIテスト =		= CAIテスト =

	*<span class="pops"> [[cai_ja:GENPHY00010002\|CAIテストのページへ（新しいWindowが開きます）]] </span>		*<span class="pops"> [[cai_ja:GENPHY00010002\|CAIテストのページへ（新しいWindowが開きます）]] </span>

Moderator: /* 解説 */

2015-01-27T16:17:16Z

解説

差分を表示

Moderator: /* 固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式 */

2015-01-26T16:46:42Z

固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式

←前の版		2015年1月26日 (月) 16:46時点における版
938 行:		938 行:

	という、対応関係があることが分かる。<br/>		という、対応関係があることが分かる。<br/>
		+	この節で得た固定軸まわりの回転運動の方程式から、<br/>
		+	もし$\vec N=0$ ならば、あらゆる軸まわりの回転力が零なので、<br/>
		+	剛体の軸まわりの角速度が一定となることが分かる。<br/>
		+
	=====剛体の回転の運動エネルギー　　=====		=====剛体の回転の運動エネルギー　　=====
	剛体の各微小部分(質量$m_i$）の速度を　$v_i$と書くと、<br/>		剛体の各微小部分(質量$m_i$）の速度を　$v_i$と書くと、<br/>

Moderator: /* 固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式 */

2015-01-26T16:32:12Z

固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式

←前の版		2015年1月26日 (月) 16:32時点における版
925 行:		925 行:
	と書ける。ここで$I$を、'''剛体の軸まわりの慣性モーメント'''と呼ぶ。<br/>		と書ける。ここで$I$を、'''剛体の軸まわりの慣性モーメント'''と呼ぶ。<br/>
	これがｚ軸を固定軸とする剛体の回転運動の運動方程式である。<br/>		これがｚ軸を固定軸とする剛体の回転運動の運動方程式である。<br/>
		+	原点を始点とする任意の回転軸$\vec{e},\\|\vec{e}\\|=1$まわりの回転の方程式も同様に得られる。<br/>
		+
	この方程式の変数$\phi$　は、一次元のスカラーなので、<br/>		この方程式の変数$\phi$　は、一次元のスカラーなので、<br/>
	質点がなめらかに拘束され、直線上を運動するときの運動方程式<br/>		質点がなめらかに拘束され、直線上を運動するときの運動方程式<br/>
	$F=m\ddot{x}$<br/>		$F=m\ddot{x}$<br/>
	と、対比させる。すると、<br/>		と、対比させる。すると、<br/>
-	質点に作用する力 $F$　　＜＝＝＝＞　剛体に作用する回転力$T_{\vec ~~e_z~~}=\vec N \cdot \vec ~~e_z~~$<br/>	+	質点に作用する力 $F$　　＜＝＝＝＞　剛体に作用する回転力$T_{\vec e}=\vec N \cdot \vec e$<br/>
-	質点の質量 $m$　　　　　~~＜＝＝＝＞　剛体の軸まわりの慣性モーメント~~$I=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2$<br/>	+	質点の質量 $m$　　　　　＜＝＝＝＞　剛体の$\vec{e}$軸まわりの慣性モーメント<br/>$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad　\qquad I=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2$、$\hat{r}_i$は質量$m_i$と$\vec{e}$軸を延長した直線との距離<br/>
-	質点の位置変数 $x(t)$　 ~~＜＝＝＝＞　剛体のｚ軸周りの回転角変数~~$\phi(t)$<br/>	+	質点の位置変数 $x(t)$　＜＝＝＝＞　剛体の$\vec{e}$軸周りの回転角変数$\phi(t)$<br/>
-	質点の速度 $\dot{x}=\frac{dx(t)}{dt}$ ~~＜＝＝＝＞剛体の角速度~~$\dot{\phi}(t)$;<br/>	+	質点の速度 $\dot{x}=\frac{dx(t)}{dt}$ ＜＝＝＝＞剛体の$\vec{e}$軸周りの角速度$\dot{\phi}(t)$;<br/>
	質点の運動量 $m\dot{x}$ ＜＝＝＝＞剛体の角運動量$I\dot{\phi}$;<br/>		質点の運動量 $m\dot{x}$ ＜＝＝＝＞剛体の角運動量$I\dot{\phi}$;<br/>

Moderator: /* てこの原理と力のモーメント */

2015-01-26T10:08:38Z

てこの原理と力のモーメント

←前の版		2015年1月26日 (月) 10:08時点における版
1,971 行:		1,971 行:

	==== てこの原理と力のモーメント====		==== てこの原理と力のモーメント====
		+	図のように剛体の棒の中間に支点$O$があり、<br/>
		+	この点をとおり、図面に垂直な軸の周りを自由に回転する装置を梃子(てこ）と呼ぶ。
		+	=====てこの原理=====
		+	梃子の端$A_1$に力$\vec{f^1}$が作用し、他端$A_2$に力$\vec{f^2}$が作用して、<br/>
		+	つりあう(静止し続ける)とき、２つの力の間にはどのような関係があるだろうか。<br/>
		+	棒は軽くて無視できるとして考察する。<br/>
		+	軸周りに静止し続けるということは、<br/>
		+	固定軸まわりの運動方程式(1.4.3.5節)から、<br/>
		+	梃子に働く外力$\vec{f^1}, \vec{f^2}$の、回転軸まわり回転力が零であることを意味する。<br/>
		+	$O$を原点、回転軸をｚ軸,梃子の棒をｘ軸とする、直交座標系$O-xyz$を導入すると、<br/>
		+	$\vec{OA_1}=(-l_1,0,0),\quad \vec{OA_2}=(l_2,0,0)$<br/>
		+	$\vec{f^1}=({f^1}_x,{f^1}_y,{f^1}_z),\quad
		+	\vec{f^2}=({f^2}_x,{f^2}_y,{f^2}_z)$<br/>
		+	と表現できる。<br/>
		+	そこで、1.4.3.2.3節(ｚ軸まわりの回転力の導出)から<br/>
		+	ｚ軸まわりのトルク(回転力)は
		+	$T_{\vec{e_z}}=-l_{1}{f^1}_y+l_{2}{f^2}_y$<br/>
		+	となる。<br/>
		+	従って<br/>
		+	'''つりあい条件は、'''<br/>
		+	'''$l_{1}{f^1}_y=l_{2}{f^2}_y$ ''' <br/>
		+	これを'''てこの原理'''という。<br/>
		+	$l_{2}$ を$l_{1}$に比べて、非常に大きくとれば、<br/>
		+	少しの力${f^2}_y$で非常に大きな力${f^1}_y$と釣り合わせることが出来ることが分かる。<br/>
	てこの原理については、		てこの原理については、
	*[[wikipedia_ja:てこ\|ウィキペディ（てこ）]]		*[[wikipedia_ja:てこ\|ウィキペディ（てこ）]]
		+	も参照のこと。

	==== 作用線の定理====		==== 作用線の定理====

Moderator: /* 剛体の回転の運動エネルギー　　 */

2015-01-25T17:54:31Z

剛体の回転の運動エネルギー　　

←前の版		2015年1月25日 (日) 17:54時点における版
941 行:		941 行:
	剛体全体の運動エネルギーは、$K=\sum_{i}\frac{1}{2}m_i {v_i}^2$ <br/>		剛体全体の運動エネルギーは、$K=\sum_{i}\frac{1}{2}m_i {v_i}^2$ <br/>
	回転運動している各微小部分の速度は、$v_i=\hat{r}_i\dot{\phi}$と書けるので、<br/>$K=\sum_{i}\frac{1}{2}m_i {\hat{r}_i}^2 {\dot{\phi} }^2=\frac{1}{2}I{\dot{\phi} }^2,\qquad (5)$ <br/>		回転運動している各微小部分の速度は、$v_i=\hat{r}_i\dot{\phi}$と書けるので、<br/>$K=\sum_{i}\frac{1}{2}m_i {\hat{r}_i}^2 {\dot{\phi} }^2=\frac{1}{2}I{\dot{\phi} }^2,\qquad (5)$ <br/>
-	=====物理振り子=====~~<br/>~~	+	=====物理振り子=====
	剛体は、重心を通らない水平軸の周りで、重力の作用を受け振動する。<br/>		剛体は、重心を通らない水平軸の周りで、重力の作用を受け振動する。<br/>
	これを物理振り子、あるいは実体振り子という。<br/>		これを物理振り子、あるいは実体振り子という。<br/>
	*[[wikipedia_ja:振り子 \|ウィキペディア(振り子)]]		*[[wikipedia_ja:振り子 \|ウィキペディア(振り子)]]
-	~~回転軸と垂直で、剛体の重心を通る平面を考え、~~<br/>	+	水平回転軸をｘ軸とし、鉛直上方をｚ軸の正方向とし、yz平面が剛体の重心を通る座標系を考え、<br/>
	回転軸とこの平面の交点を原点$O$、重心を$G$と記す。図参照。<br/>		回転軸とこの平面の交点を原点$O$、重心を$G$と記す。図参照。<br/>
	回転はなめらかで摩擦力は無視できるとする。<br/>		回転はなめらかで摩擦力は無視できるとする。<br/>
	すると、回転軸から、この剛体が受ける力は、剛体をこの軸に支える作用を持つだけで、剛体の振動に何の影響も与えない。<br/>		すると、回転軸から、この剛体が受ける力は、剛体をこの軸に支える作用を持つだけで、剛体の振動に何の影響も与えない。<br/>
	そこで、剛体にかかる力は、重力だけと考えて良い。<br/>		そこで、剛体にかかる力は、重力だけと考えて良い。<br/>
		+	重力の原点周りの力のモーメント$\vec N$は、<br/>
		+	剛体の重心$\vec R$に、剛体の全質量$M$があるとしたときの<br/>
		+	重力の原点周りのモーメントに等しいことが分かっている。
		+	故に、<br/>
		+	$\vec N=\vec R \times (0,0,-Mg)=(-R_{2}Mg,R_{1}Mg,0)$<br/>
		+	ｘ軸まわりの力のモーメントは、<br/>
		+	$\vec N \cdot \vec e_{x}=-R_{2}Mg=-Mg\\|\vec{OG}\\|\sin\phi$<br/>
		+	従って、回転の運動方程式は<br/>
		+	$I\frac{d^{2}\phi}{dt^2}=-Mg\\|\vec{OG}\\|\sin\phi$<br/>
		+	ここで$I$は、軸まわりの、振り子の慣性質量。

	=====慣性モーメントの計算１(一次元の剛体)　=====		=====慣性モーメントの計算１(一次元の剛体)　=====

Moderator: /* 剛体の複数個所に作用する力の回転力　 */

2015-01-25T17:11:46Z

剛体の複数個所に作用する力の回転力　

←前の版		2015年1月25日 (日) 17:11時点における版
761 行:		761 行:
	力$\vec{F^i}\quad (i=1,2,,, n) $のもとで、剛体を$\vec e$軸の右まわりに角度$\phi$だけ回転させたとき、<br/>		力$\vec{F^i}\quad (i=1,2,,, n) $のもとで、剛体を$\vec e$軸の右まわりに角度$\phi$だけ回転させたとき、<br/>
	これらの力のなす仕事$W$は、$W=T_{\vec e} \phi=(\vec N \cdot \vec e) \phi$ <br/><br/>		これらの力のなす仕事$W$は、$W=T_{\vec e} \phi=(\vec N \cdot \vec e) \phi$ <br/><br/>
-	この系は、内積の性質を使えば、定理から、容易に導かれる。	+	この系は、内積の性質を使えば、定理から、容易に導かれる。<br/>
		+	===== 質点系に作用する重力のモーメント =====
		+	ｎ個の質点系を考える。<br/>
		+	第ｉ質点の質量を$m_i$、位置ベクトルを$\vec{r_{i}}$とする。<br/>
		+	鉛直上方をｚ軸の正方向とする直交座標系$0-xyz$をいれる。<br/>
		+	この質点系に作用する重力の原点周りのモーメント$\vec N$を求めよう。<br/>
		+	第ｉ質点に働く重力は、<br/>
		+	$\vec{f^{i}}=(0,0,-m_{i}g)$<br/>
		+	なので、<br/>
		+	$\vec N=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}} \times \vec{f^{i}}
		+	=\sum_{i=1}^{n}\vec{r_{i}} \times (0,0,-m_{i}g)$<br/>
		+	$=\sum_{i=1}^{n}(m_{i}\vec{r_{i}} \times (0,0,-g))
		+	=(\sum_{i=1}^{n}m_{i}\vec{r_{i}}) \times (0,0,-g))$<br/>
		+	すでに学んだことから、この質点系の重心は、<br/>
		+	$\vec{R}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}\vec{r_{i}})}{M}$ <br/>
		+	であった。ここで、 $M=\sum_{i=1}^{n}m_{i}$　。<br/>
		+	これを用いて、モーメントを書きなおすと、<br/>
		+	$\vec N=M \vec{R} \times (0,0,-g)=\vec{R} \times (0,0,-Mg)$<br/>
		+	となる。<br/>
		+	これは、質点系の重心の位置に質点系の全質量が集中している時の、
		+	原点周りの重力のモーメントに等しい。<br/>

	====回転運動の方程式　====		====回転運動の方程式　====

Moderator: /* 　積分可能性　 */

2015-01-25T16:18:04Z

　積分可能性　

差分を表示

Moderator: /* 固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式 */

2015-01-25T15:23:47Z

固定軸の周りの剛体の回転運動の方程式

←前の版		2015年1月25日 (日) 15:23時点における版
899 行:		899 行:
	以上により、<br/>		以上により、<br/>
	$T_{\vec e_z}=\vec N \cdot \vec e_z$　<br/>		$T_{\vec e_z}=\vec N \cdot \vec e_z$　<br/>
-	$=(\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2)\ddot{\phi}(t)\qquad (4)$<br/>	+	$=(\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2)\ddot{\phi}(t)$<br/>
-	~~が得られた。これがｚ軸を固定軸とする剛体の回転運動の運動方程式である。~~<br/>	+	が得られた。
		+	$I=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2$とおくと、この式は<br/>
		+	$T_{\vec e_z}=I \ddot{\phi}(t) \qquad (4)$ <br/>
		+	と書ける。ここで$I$を、'''剛体の軸まわりの慣性モーメント'''と呼ぶ。<br/>
		+	これがｚ軸を固定軸とする剛体の回転運動の運動方程式である。<br/>
	この方程式の変数$\phi$　は、一次元のスカラーなので、<br/>		この方程式の変数$\phi$　は、一次元のスカラーなので、<br/>
	質点がなめらかに拘束され、直線上を運動するときの運動方程式<br/>		質点がなめらかに拘束され、直線上を運動するときの運動方程式<br/>
906 行:		910 行:
	と、対比させる。すると、<br/>		と、対比させる。すると、<br/>
	質点に作用する力 $F$　　＜＝＝＝＞　剛体に作用する回転力$T_{\vec e_z}=\vec N \cdot \vec e_z$<br/>		質点に作用する力 $F$　　＜＝＝＝＞　剛体に作用する回転力$T_{\vec e_z}=\vec N \cdot \vec e_z$<br/>
-	質点の質量 $m$　　　　　~~＜＝＝＝＞~~　$I=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2$<br/>	+	質点の質量 $m$　　　　　＜＝＝＝＞　剛体の軸まわりの慣性モーメント$I=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2$<br/>
	質点の位置変数 $x(t)$　＜＝＝＝＞　剛体のｚ軸周りの回転角変数$\phi(t)$<br/>		質点の位置変数 $x(t)$　＜＝＝＝＞　剛体のｚ軸周りの回転角変数$\phi(t)$<br/>
-	質点の速度 $\dot{x}=\frac{dx(t)}{dt}$ ~~＜＝＝＝＞~~$\dot{\phi}(t)$;~~剛体の角速度~~<br/>	+	質点の速度 $\dot{x}=\frac{dx(t)}{dt}$ ＜＝＝＝＞剛体の角速度$\dot{\phi}(t)$;<br/>
-	質点の運動量 $m\dot{x}$ ＜＝＝＝＞ $I\dot{\phi}$;~~剛体の角運動量~~<br/>	+	質点の運動量 $m\dot{x}$ ＜＝＝＝＞剛体の角運動量$I\dot{\phi}$;<br/>

	という、対応関係があることが分かる。<br/>		という、対応関係があることが分かる。<br/>
-	=====　~~ｚ軸の周りの慣性モーメント~~　=====	+	=====剛体の回転の運動エネルギー　　=====
-	~~この対応関係に基づき、次の定義をする。~~	+
-	~~定義；剛体の'''軸周りの慣性モーメント'''<br/>~~	+
-	~~剛体の固定軸まわりの回転運動を考える。<br/>~~	+
-	~~剛体の各微小部分$P_i$の質量を$m_i$,<br/>~~	+
-	~~回転軸までの距離を$\hat{r}_i)$とする。このとき、<br/>~~	+
-	~~$I=\sum_i m_i(\hat{r}_i)^2$<br/>~~	+
-	~~のことを、剛体の軸周りの慣性モーメントと呼ぶ。<br/><br/>~~	+
-	~~この記号を使うと、ｚ軸を固定軸とする剛体の回転運動の運動方程式は、<br/>~~	+
-	~~$T_{\vec e_z}=\vec N \cdot \vec e_z$　<br/>~~	+
-	~~$\qquad $ $=I\ddot{\phi}(t)\qquad (4)$<br/>~~	+
-	~~と書ける。<br/>~~	+
-	~~'''剛体の回転の運動エネルギー'''<br/>~~	+
	剛体の各微小部分(質量$m_i$）の速度を　$v_i$と書くと、<br/>		剛体の各微小部分(質量$m_i$）の速度を　$v_i$と書くと、<br/>
	その運動エネルギーは　$\frac{1}{2}m_i {v_i}^2,(i=1 \cdots n)$なので、<br/>		その運動エネルギーは　$\frac{1}{2}m_i {v_i}^2,(i=1 \cdots n)$なので、<br/>
	剛体全体の運動エネルギーは、$K=\sum_{i}\frac{1}{2}m_i {v_i}^2$ <br/>		剛体全体の運動エネルギーは、$K=\sum_{i}\frac{1}{2}m_i {v_i}^2$ <br/>
	回転運動している各微小部分の速度は、$v_i=\hat{r}_i\dot{\phi}$と書けるので、<br/>$K=\sum_{i}\frac{1}{2}m_i {\hat{r}_i}^2 {\dot{\phi} }^2=\frac{1}{2}I{\dot{\phi} }^2,\qquad (5)$ <br/>		回転運動している各微小部分の速度は、$v_i=\hat{r}_i\dot{\phi}$と書けるので、<br/>$K=\sum_{i}\frac{1}{2}m_i {\hat{r}_i}^2 {\dot{\phi} }^2=\frac{1}{2}I{\dot{\phi} }^2,\qquad (5)$ <br/>
-	~~'''~~物理振り子~~'''~~<br/>	+	=====物理振り子=====<br/>
	剛体は、重心を通らない水平軸の周りで、重力の作用を受け振動する。<br/>		剛体は、重心を通らない水平軸の周りで、重力の作用を受け振動する。<br/>
	これを物理振り子、あるいは実体振り子という。<br/>		これを物理振り子、あるいは実体振り子という。<br/>

物理/運動の法則の応用 - 変更履歴

Moderator: /* エネルギー */

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Moderator: /* 積分可能性 */

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