物理/運動の法則の応用2 - 変更履歴

Moderator: /* 慣性モーメントの計算（１）リーマン和の極限を求める方法 */

2015-02-05T05:49:11Z

慣性モーメントの計算（１）リーマン和の極限を求める方法

←前の版		2015年2月5日 (木) 05:49時点における版
784 行:		784 行:
	$F(x)=\frac{1}{3M}l^3$である。$G=F(l)-F(0)=\frac{2l}{3}$<br/>		$F(x)=\frac{1}{3M}l^3$である。$G=F(l)-F(0)=\frac{2l}{3}$<br/>

-	======　２次元以上の物体の慣性モーメントについて　======	+	=====　２次元以上の物体の慣性モーメントについて　=====
	==== てこの原理と力のモーメント====		==== てこの原理と力のモーメント====
	図のように剛体の棒の中間に支点$O$があり、<br/>		図のように剛体の棒の中間に支点$O$があり、<br/>

Moderator: /* 慣性モーメントの計算（１）リーマン和の極限を求める方法 */

2015-02-05T05:39:11Z

慣性モーメントの計算（１）リーマン和の極限を求める方法

←前の版		2015年2月5日 (木) 05:39時点における版
784 行:		784 行:
	$F(x)=\frac{1}{3M}l^3$である。$G=F(l)-F(0)=\frac{2l}{3}$<br/>		$F(x)=\frac{1}{3M}l^3$である。$G=F(l)-F(0)=\frac{2l}{3}$<br/>

-	、	+	======　２次元以上の物体の慣性モーメントについて　======
	==== てこの原理と力のモーメント====		==== てこの原理と力のモーメント====
	図のように剛体の棒の中間に支点$O$があり、<br/>		図のように剛体の棒の中間に支点$O$があり、<br/>

Moderator: /* 慣性モーメントの計算（１）リーマン和の極限を求める方法 */

2015-02-05T05:12:46Z

慣性モーメントの計算（１）リーマン和の極限を求める方法

←前の版		2015年2月5日 (木) 05:12時点における版
983 行:		983 行:
	を得る。これを積分して<br/>		を得る。これを積分して<br/>
	$p(z)=p_{0}e^{-cgz}$<br/>		$p(z)=p_{0}e^{-cgz}$<br/>
-	~~を得る。ここで~~$p_{0}$~~は、地表での圧力。~~<br/>	+	を得る。<br/>
-	~~このときの質量密度が~~$\rho_{0}$ならば,(2)式から、<br/>	+	ここで$p_{0}$は、地表での圧力、$e$は[[wikipedia_ja:ネイピア数 \|ネイピア数]]である。<br/>
		+	地表での質量密度が$\rho_{0}$ならば,(2)式から、<br/>
	$c=\frac{\rho_{0}}{p_{0}}$		$c=\frac{\rho_{0}}{p_{0}}$

Moderator: /* 液体の圧力と浮力 */

2015-02-04T17:07:40Z

液体の圧力と浮力

←前の版		2015年2月4日 (水) 17:07時点における版
863 行:		863 行:
	証明終わり。		証明終わり。

-	== ~~液体の圧力と浮力~~ ==	+	== 気体と液体の圧力 ==
-	===　~~液体とは何か。~~===	+	この節では気体や液体を、<br/>
		+	分子や原子という粒子から構成されるという微視的立場でなく、<br/>
		+	巨視的に捉え空間的に滑らかな連続体であるとみなす。<br/>
		+	連続体の内部の微小部分に働く力を考え、其の釣合いについて考え、<br/>
		+	圧力の性質を導く。
		+
		+	===　気体や液体とは何か。===
		+	*[[wikipedia_ja:気体 \|ウィキペディア(気体)]]
	*[[wikipedia_ja:液体 \|ウィキペディア(液体)]]		*[[wikipedia_ja:液体 \|ウィキペディア(液体)]]
-	===　~~液体の特徴~~===	+	===　気体と液体の特徴===
-	~~液体は体積の変化には抵抗するが、~~<br/>	+	気体と液体は体積の変化には抵抗するが、<br/>
-	形の変化には、抵抗しない。(ただし非常に速い変化には抵抗する）。	+	形の変化には、抵抗しない。(ただし非常に速い変化には抵抗する）。<br/>
-	===　~~静止液体の圧力~~===	+	但し、気体の体積変化への抵抗は小さく、液体は非常に大きい。<br/>
-	~~液体には、その表面または内部に考えた任意の面に作用する、押し合う力が発生する。~~<br/>	+	===　静止気体と液体の圧力===
		+	気体や液体は、その表面または内部に任意の面を考えると、その面で２分される部分は、<br/>
		+	互いに他を押している。それらは大きさ・方向は等しく、逆向きである(作用反作用の法則)<br/>
	単位面積当たりのこの力を'''応力'''とよぶ。<br/>		単位面積当たりのこの力を'''応力'''とよぶ。<br/>
-	~~その発生は、重力の存在と前述の液体の特徴に起因する。<br/>~~	+	その発生は、重力の存在と前述の気体や液体の特徴(形の変化に抵抗しない)に起因する。<br/>
-	~~面Ｓ上の点$Q$において単位面積当たりの面に働く押し合う力の<br/>~~	+	この力の性質を、気体・液体の特徴から導こう。
-	~~一方を$\vec{p}_Q$と記すと,他方は$-\vec{p}_Q$である~~(~~作用・反作用の法則）。~~<br/>	+	====応力は面に垂直に働く　====
-	~~この力の性質を、液体の特徴から導こう。~~	+	説明は便宜上、液体の語で述べる。<br/>
-	====~~液体の応力は面に垂直に働く~~　====	+
	命題１：<br/>		命題１：<br/>
-	~~静止した液体の表面あるいは液体中の任意のなめらかな面~~(注参照)を考える。<br/>	+	静止した液体(気体)の表面あるいは内部に任意のなめらかな面(注参照)を考える。<br/>
-	~~この面を挟んで両側の液体が押し合っている力(応力)は、常にこの面に直角に働く。~~<br/>	+	この面上の応力は、常にこの面に直角に働く。<br/>
	面と常に直角に働く応力を、'''圧力'''と呼ぶ。<br/>		面と常に直角に働く応力を、'''圧力'''と呼ぶ。<br/>
	(注)面のどの一点においても、その点にごく近い面の部分だけをみれば、平面とみなせる曲面のこと。		(注)面のどの一点においても、その点にごく近い面の部分だけをみれば、平面とみなせる曲面のこと。
933 行:		941 行:
	これより、$p=p_x=p_y=p_z$　　　証明終わり。<br/>		これより、$p=p_x=p_y=p_z$　　　証明終わり。<br/>

-	~~命題；~~<br/>	+	命題３<br/>
-	~~ⅰ）一様な重力のもとで静止している液体内では、同一水平面上での圧力の大きさは一定である。~~　<br/>	+	ⅰ）一様な重力のもとで静止している気体・液体内では、同一水平面上での圧力の大きさは一定である。　<br/>
-	ⅱ）もし液体の密度$\rho$~~が圧力によって変わらず一定ならば、~~　<br/>	+	ⅱ）もし液体の密度$\rho$が圧力によって変化しないならば、　<br/>
	深さ$l_1$の水平面$H_1$上の圧力$p_1$と　　<br/>		深さ$l_1$の水平面$H_1$上の圧力$p_1$と　　<br/>
	深さ$l_2 \quad(l_2>l_1)$の水平面$H_2$上の圧力$p_2$には　　<br/>		深さ$l_2 \quad(l_2>l_1)$の水平面$H_2$上の圧力$p_2$には　　<br/>
941 行:		949 行:
	$p_2=p_1+\rho g(l_2-l_1)$　　<br/><br/>		$p_2=p_1+\rho g(l_2-l_1)$　　<br/><br/>

-	図示した液体部分$V$が静止しているので、$V$に作用する力の総和が零になっている。	+	図示した液体部分$V$が静止しているので、$V$に作用する力の総和が零になっている。<br/>
-	このことから、この命題は容易に証明できる。	+	このことから、この命題は容易に証明できる。<br/>
		+
		+	命題４　アルキメデスの原理<br/>
		+	*[[wikipedia_ja:アルキメデスの原理\|ウィキペディア(アルキメデスの原理)]]
		+
		+
		+	====気体の圧力と大気圧====
		+	気体は圧力が増すと縮むので、命題３のⅱ）の結論は成立しない。<br/>
		+	大気は静止していると仮定し、地表の大気圧から高度ｚでの大気圧を求めてみよう。
		+	地表の一点を原点とし、鉛直上方をｚ軸の正方向になる座標$O-xyz$をいれる。<br/>
		+	図のように、下底面が高さ$z$、上底面が高さ$z+h$の、単位断面積の角柱$V$を考える。<br/>
		+	その部分の気体が受ける力の和は零となるので、<br/>
		+	次式が成り立つ。<br/>
		+	$p(z+h)+mg=p(z) \qquad \qquad (1)$<br/>
		+	ここで<br/>
		+	・$p(z)$は高さ$z$の地点の大気圧(命題３のⅰ）から、高度が同じ水平面上で圧力は一定）、<br/>
		+	・$m$は$V$の質量。$V$の体積$h$と平均質量密度$\rho$の積。<br/>
		+	圧力が大きいと空気は縮み質量密度は高くなるので、両者の関係を求めねばならない。<br/>
		+	空気体積の変動にともなう温度変化がないとすると、<br/>
		+	ボイルの法則(３章１節　熱とエネルギー参照)から、<br/>
		+	$p\frac{V}{m}=c$（$c$は温度だけに依存する数）<br/>
		+	質量密度$\rho=\frac{m}{V}$を代入すると、<br/>
		+	$\frac{p}{\rho}=c$,ゆえに、$\rho=\frac{p}{c}$<br/>
		+	$\frac{1}{c}$を、$c$とおくと、<br/>
		+	$\rho=cp　　\qquad \qquad (2)$<br/>
		+	この質量密度と圧力の関係を用いると、<br/>
		+	$m=h\rho \approx hcp(z)$（ｈが小さいほど差は少なくなる）<br/>
		+	この式を(１)式に代入して、<br/>
		+	$p(z+h)+cgp(z)h\approx p(z) $、変形すると　<br/>
		+	$\frac{p(z+h)-p(z)}{h} \approx -cgp(z) $。これより<br/>
		+	$\frac{dp(z)}{dz}=\lim_{h\to 0}\frac{p(z+h)-p(z)}{h}= -cgp(z) $<br/>
		+	を得る。これを積分して<br/>
		+	$p(z)=p_{0}e^{-cgz}$<br/>
		+	を得る。ここで$p_{0}$は、地表での圧力。<br/>
		+	このときの質量密度が$\rho_{0}$ならば,(2)式から、<br/>
		+	$c=\frac{\rho_{0}}{p_{0}}$

-	~~命題；アルキメデスの原理~~	+	=== 圧力の単位 ===
-		+	圧力は、単位面積当たりの力なので、その単位は面積の単位$m^2$と力の単位$N$から得られる。<br/>
		+	$Pa=N/m^2=kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}$<br/>
		+	が圧力の単位で、パスカルと呼ばれる。

Moderator: /* 慣性モーメントの計算（１）リーマン和の極限を求める方法 */

2015-02-04T16:07:47Z

慣性モーメントの計算（１）リーマン和の極限を求める方法

←前の版		2015年2月4日 (水) 16:07時点における版
739 行:		739 行:
	$I=\int_{[a,b]}\rho x^2=\frac{1}{3}\rho (b^3-a^3)$<br/>		$I=\int_{[a,b]}\rho x^2=\frac{1}{3}\rho (b^3-a^3)$<br/>
	$\rho=M/l$,$a=-l_1,b=l-l_1$を代入して、整頓すると、<br/>		$\rho=M/l$,$a=-l_1,b=l-l_1$を代入して、整頓すると、<br/>
-	$=\frac{M}{3}(l^2-3l_{1}l+3{l_1}^2)$ <br/><br/>	+	$=\frac{M}{3}(l^2-3l_{1}l+3{l_1}^2)$
		+	====== 重心の計算への応用　======
		+	質量密度が場所により変わる、長さ$l$のごく細い棒$V$の重心を求めてみよう。<br/>
		+	考えやすくするため、
		+	棒の一端を原点にし、他端がｘ軸の正の位置にくるように座標系$O-x$をいれる。<br/>
		+	この座標系で剛体は$V=[0,l]$と書ける。
		+	$V$を小区間$V_i=[{x^n}_{i-1},{x^n}_{i}],i=1,2.\cdots,n),{x^n}_n=0,{x^n}_n=l$に分割（分割$\Delta$と記す)し、これらの小区間を質点とみなせば、その重心は、<br/>
		+	$\vec{R}=\sum_i{ m_i \vec{r_i}}/M $ <br/>
		+	で定義された(1.1.1節参照)。ここで$m_i $ は第ｉ質点の質量、$M=\sum_{i} m_i$、
		+	$\vec{r_i}$は第ｉ質点の位置ベクトル。 <br/>
		+	ベクトルを座標成分表示すると、この問題では一次元なので、
		+	$R=\sum_{i} m_i r_i/M $、$M=\sum_{i} m_i$ <br/>
		+	しかし、実際には $V_i$は、質点ではないので、
		+	位置ベクトルは、定まらない。<br/>
		+	またその質量も密度が一定ならば、$m_i=\rho ({x^n}_{i}- {x^n}_{i-1})$できまるが、<br/>
		+	密度が変化するならば、定まらない。<br/>
		+	そこで、各小区間 $V_i$の代表点$\xi_i (\in V_i)$を選び<br/>
		+	$m_i=\rho(\xi_i)({x^n}_{i}- {x^n}_{i-1})$,$r_i=\xi_i $<br/>
		+	で近似する。<br/>
		+	すると分割$\Delta$と代表点$\{\xi_i\}_{i=1}^{n}$に対応する、
		+	質量$M$と重心$G$の近似値は、それぞれ<br/>
		+	$M^{\rho,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)$<br/>
		+	$=\sum_i \rho(\xi_i)v(V_i)=\sum_i \rho(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$ <br/>
		+	<br/>

		+	$G^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)$<br/>
		+	$=\sum_i f(\xi_i)v(V_i)=\sum_i f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$ <br/>
		+	ここで、$f(x)=\frac{1}{M}\rho(x)x$<br/>
		+	もし、関数$\rho(x)$が積分可能ならば、分割$\Delta$を細かくしていけば
		+	$M=\lim_{d(\Delta) \to 0}M^{\rho,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)$<br/>
		+	$=\int_{[0,l]}\rho$<br/>
		+	もし関数$\rho$の原始関数$P$が存在する($\rho(x)=\frac{dP(x)}{dx}$)ならば<br/>
		+	$=P(l)-P(0)$<br/>
		+	もし関数$f(x)$も積分可能ならば、分割$\Delta$を細かくしていけば
		+	$G=\lim_{d(\Delta) \to 0}G^{f,\Delta}(\xi_1,,,\xi_n)$<br/>
		+	$=\int_{[0,l]}f$<br/>
		+	もし関数$f$の原始関数$F$が存在する($f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$)ならば<br/>
		+	$=F(l)-F(0)$<br/>
		+	例；$\rho(x)=\rho_0$ならば、$P(x)=\rho_0 x$なので $M=\rho_0 l$<br/>
		+	また、$f(x)=\frac{1}{M}\rho_{0}x$となるので$F(x)=\frac{1}{2M}\rho_{0}x^2$
		+	となり、$G=F(l)-F(0)=\frac{l}{2}$<br/>
		+	例；$\rho(x)=x$ならば、$P(x)=\frac{x^2}{2}$なので $M=\frac{l^2}{2}$<br/>
		+	このとき$f(x)=\frac{1}{M}\rho(x)x=\frac{1}{M}x^2$なので<br/>
		+	$F(x)=\frac{1}{3M}l^3$である。$G=F(l)-F(0)=\frac{2l}{3}$<br/>
		+
		+	、
	==== てこの原理と力のモーメント====		==== てこの原理と力のモーメント====
	図のように剛体の棒の中間に支点$O$があり、<br/>		図のように剛体の棒の中間に支点$O$があり、<br/>

Moderator: /* 剛体に働く力の作用線 */

2015-02-02T15:25:49Z

剛体に働く力の作用線

←前の版		2015年2月2日 (月) 15:25時点における版
774 行:		774 行:
	着力点を通り力のベクトルと方向が等しい直線を、力の作用線という。<br/>		着力点を通り力のベクトルと方向が等しい直線を、力の作用線という。<br/>
	剛体に働く力は、その着力点をかえると、一般には、剛体の運動への効果が異なってしまう。<br/>		剛体に働く力は、その着力点をかえると、一般には、剛体の運動への効果が異なってしまう。<br/>
-	~~しかし、作用線に沿って力の着力点を移動しても、力の作用は変わらない。~~<br/>	+	しかし、力のベクトル和と、力のモーメント和が不変となるように力の着力点を移動したり力の合成をすることは、<br/>
-	~~なぜなら、この場合、力のベクトル和と、力のモーメントが不変であるから。~~<br/>	+	剛体の運動には全く影響がでないので、許される。<br/>
		+	例えば、力の着力点をその作用線にそってうごかしたり、<br/>
		+	同じ着力点をもつ複数の力を、それらのベクトル和に置き換えることは許される。。
		+	<br/>

	==== 剛体のつり合い====		==== 剛体のつり合い====

Moderator: /* 剛体のつり合い */

2015-02-02T15:02:11Z

剛体のつり合い

←前の版		2015年2月2日 (月) 15:02時点における版
814 行:		814 行:
	$=\vec{PQ}\times 0 + \vec N_{Q}=\vec N_{Q}$<br/>		$=\vec{PQ}\times 0 + \vec N_{Q}=\vec N_{Q}$<br/>
	故に、$\vec N_{P}=\vec N_{Q}$<br/>		故に、$\vec N_{P}=\vec N_{Q}$<br/>
-	~~証明終わり。~~	+	証明終わり。
-		+
-		+
-		+
-		+
-		+
-		+

	== 液体の圧力と浮力 ==		== 液体の圧力と浮力 ==

Moderator: /* 剛体のつり合い */

2015-02-02T14:59:03Z

剛体のつり合い

←前の版		2015年2月2日 (月) 14:59時点における版
814 行:		814 行:
	$=\vec{PQ}\times 0 + \vec N_{Q}=\vec N_{Q}$<br/>		$=\vec{PQ}\times 0 + \vec N_{Q}=\vec N_{Q}$<br/>
	故に、$\vec N_{P}=\vec N_{Q}$<br/>		故に、$\vec N_{P}=\vec N_{Q}$<br/>
-	証明終わり。~~<br/><br/>~~	+	証明終わり。
-		+

Moderator: /* 剛体のつり合い */

2015-02-02T14:58:09Z

剛体のつり合い

←前の版		2015年2月2日 (月) 14:58時点における版
800 行:		800 行:
	すると、<br/>		すると、<br/>
	$P$まわりの外力のモーメントの和$\vec N_{P}$は<br/>		$P$まわりの外力のモーメントの和$\vec N_{P}$は<br/>
-	$\vec N_{P}=\sum_{i=1}^{n}\vec{PP_i}\times \vec{F^i} \qquad \qquad (1)$~~<br/>~~	+	$\vec N_{P}=\sum_{i=1}^{n}\vec{PP_i}\times \vec{F^i} \qquad \qquad (1)$

	任意の点$Q$まわりの外力のモーメントの和$\vec N_{Q}$は<br/>		任意の点$Q$まわりの外力のモーメントの和$\vec N_{Q}$は<br/>

Moderator: /* 液体の圧力と浮力 */

2015-02-02T14:53:30Z

液体の圧力と浮力

←前の版		2015年2月2日 (月) 14:53時点における版
883 行:		883 行:
	$\alpha $が十分小さければ<br/>		$\alpha $が十分小さければ<br/>
	$\\|\vec F^x\\|=\|\triangle{OBC}\| p_x=\frac{1}{2}\|\alpha b \alpha c\|p_x$<br/>		$\\|\vec F^x\\|=\|\triangle{OBC}\| p_x=\frac{1}{2}\|\alpha b \alpha c\|p_x$<br/>
-	故に、$2\vec F^x=　~~p_x~~ \vec{OB}\times \vec{OC} =p_x\alpha b \alpha c \vec{e_x}$<br/>	+	故に、$2\vec F^x=\vec{OB}\times \vec{OC}p_x=\alpha b \alpha c p_x\vec{e_x}$<br/>
-	同様に$2\vec F^y=~~p_y~~\vec{OC}\times \vec{OA}=p_y\alpha c \alpha a \vec{e_y}$、<br/>	+	同様に$2\vec F^y=\vec{OC}\times \vec{OA}p_y=\alpha c \alpha a p_y\vec{e_y}$、<br/>
-	$2vec F^z=~~p_z~~\vec{OA}\times \vec{OB}=p_z\alpha a \alpha b \vec{e_z}$<br/>	+	$2vec F^z=\vec{OA}\times \vec{OB}p_z=\alpha a \alpha b p_z\vec{e_z}$<br/>
-	$2\vec F=p\vec{AC}\times \vec{AB}=p(-\alpha a,0,\alpha c)\times (-\alpha a,\alpha b,0)$<br/>	+	$2\vec F=\vec{AC}\times \vec{AB}p=p(-\alpha a,0,\alpha c)\times (-\alpha a,\alpha b,0)$<br/>
	これらを(1)式に代入して<br/>		これらを(1)式に代入して<br/>
-	$p_x\vec{e_x}+p_y\vec{e_y}+p_z\vec{e_z}+p\vec{AC}\times \vec{AB}=0 \quad (2)$<br/>	+	$p_x\vec{e_x}+p_y\vec{e_y}+p_z\vec{e_z}+\vec{AC}\times \vec{AB}p=0 \quad (2)$<br/>
	これを計算すると、<br/>		これを計算すると、<br/>
	$\left({\alpha}^{2}bc(p_x-p),{\alpha}^{2}ca(p_y-p),{\alpha}^{2}ab(p_z-p)\right)=0$<br/>		$\left({\alpha}^{2}bc(p_x-p),{\alpha}^{2}ca(p_y-p),{\alpha}^{2}ab(p_z-p)\right)=0$<br/>
	これより、$p=p_x=p_y=p_z$　　　証明終わり。<br/>		これより、$p=p_x=p_y=p_z$　　　証明終わり。<br/>
		+
		+	命題；<br/>
		+	ⅰ）一様な重力のもとで静止している液体内では、同一水平面上での圧力の大きさは一定である。　<br/>
		+	ⅱ）もし液体の密度$\rho$が圧力によって変わらず一定ならば、　<br/>
		+	深さ$l_1$の水平面$H_1$上の圧力$p_1$と　　<br/>
		+	深さ$l_2 \quad(l_2>l_1)$の水平面$H_2$上の圧力$p_2$には　　<br/>
		+	次の関係が成り立つ。　<br/>
		+	$p_2=p_1+\rho g(l_2-l_1)$　　<br/><br/>
		+
		+	図示した液体部分$V$が静止しているので、$V$に作用する力の総和が零になっている。
		+	このことから、この命題は容易に証明できる。
		+
		+	命題；アルキメデスの原理
		+