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2015-02-05T09:01:31Z

気体の圧力と大気圧

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	$p(z+h)+mg=p(z) \qquad \qquad (1)$<br/>		$p(z+h)+mg=p(z) \qquad \qquad (1)$<br/>
	ここで<br/>		ここで<br/>
-	・$p(z)$は高さ$z$~~の地点の大気圧(命題３のⅰ）から、高度が同じ水平面上で圧力は一定）、~~<br/>	+	・$p(z)$は高さ$z$の地点の大気圧（命題３のⅰ）から、高度が同じ水平面上で圧力は一定）<br/>
	・$m$は$V$の質量。$V$の体積$h$と平均質量密度$\rho$の積。<br/>		・$m$は$V$の質量。$V$の体積$h$と平均質量密度$\rho$の積。<br/>
	圧力が大きいと空気は縮み質量密度は高くなるので、両者の関係を求めねばならない。<br/>		圧力が大きいと空気は縮み質量密度は高くなるので、両者の関係を求めねばならない。<br/>

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分子や原子という粒子から構成されるという微視的立…

2015-02-05T08:59:37Z

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=運動法則の応用（４）気体・液体の圧力 =

この節では気体や液体を、 
分子や原子という粒子から構成されるという微視的立場でなく、 
巨視的に捉え空間的に滑らかな連続体であるとみなす。 
連続体の内部の微小部分に働く力を考え、其の釣合いについて考え、 
圧力の性質を導く。

==　気体や液体とは何か==
*[[wikipedia_ja:気体 |ウィキペディア(気体)]]
*[[wikipedia_ja:液体 |ウィキペディア(液体)]]
==　気体と液体の特徴==
気体と液体は体積の変化には抵抗するが、 
形の変化には、抵抗しない。(ただし非常に速い変化には抵抗する）。 
但し、気体の体積変化への抵抗は小さく、液体は非常に大きい。 
==　静止気体と液体の圧力==
気体や液体は、その表面または内部に任意の面を考えると、その面で２分される部分は、 
互いに他を押している。それらは大きさ・方向は等しく、逆向きである(作用反作用の法則) 
単位面積当たりのこの力を'''応力'''とよぶ。 
その発生は、重力の存在と前述の気体や液体の特徴(形の変化に抵抗しない)に起因する。 
この力の性質を、気体・液体の特徴から導こう。
===応力は面に垂直に働く　===
説明は便宜上、液体の語で述べる。 
命題１： 
静止した液体(気体)の表面あるいは内部に任意のなめらかな面(注参照)を考える。 
この面上の応力は、常にこの面に直角に働く。 
面と常に直角に働く応力を、'''圧力'''と呼ぶ。 
(注)面のどの一点においても、その点にごく近い面の部分だけをみれば、平面とみなせる曲面のこと。
理由； 
もし、ある面上のある一点$P$の周辺の微小面部分(Ｓと書く)で、押し合う力がこの面と平行な成分を持つとする。 
Ｓは仮定より、平面（の一部）と考えてよい。 

図のように、面部分Ｓとそれと平行な平面の一部Ｓ’から作られる、 
非常に薄い液体の板状部分Ｖを考える。 

するとＶがＳを通して液体から受ける力の総和$\vec F_S$は、面Ｓと平行な成分をもつ。 
面ＳとＳ’は、非常に近いので、 
Ｓを挟んで押し合う力と、Ｓ’を挟んで押し合う力は、単位面積当たり、ほぼ等しいと考えてよい。 
すると、ＶがＳ’を通して液体から受ける力$\vec F_{S'}$は、 
Ｓを通して受ける力と大きさと方向はほぼ同じで、逆向きになる。 
$\vec F_{S'}$の面Ｓと平行な成分も、$\vec F_S$のＳと平行な成分と大きさはおなじで、逆向きになる。 
液体は自由に形を変えられるので、ＶのＳ面とＳ’面は逆方向に動いてしまい、 
静水という条件に反してしまう。 
従って、 
「ある面上のある一点$P$の周辺の微小面部分Ｓで、押し合う力がこの面と平行な成分を持つ」 
という仮定はあり得ないことが示された。 

命題２ 
どの面にも直角に働く応力(圧力)は、どの点でも面の方向によらず一定の強さ(大きさ)をもつ。 
証明； 
液体中の任意の点を$O$とする。 
$O$を原点とする、直交右手系$O-xyz$を定める。 
$O$を通る任意の面$H$をとる。 
$O$点における、 
この面における圧力$p$とｘｙ平面における圧力$p_z$、ｙｚ平面、ｚｘ平面における圧力$p_x,p_y$ 
が等しいことを示そう。 
平面$H$と平行で$O$点の近くを通る平面$H'$が 
ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸と交わる点をそれぞれ、 
$A(\alpha a,0,0),B(0,\alpha b,0),C(0,0,\alpha c)$とおく。図参照。 
四面体$OABC$の外部の液体が、 
$\triangle{OBC}$を押す力を$\vec F^x$,$\triangle{OCA}$を押す力を$\vec F^y$,$\triangle{OAB}$を押す力を$\vec F^z$,$\triangle{ACB}$を押す力を$\vec F$ 
とおく。 
四面体内の液体が静止しているので、 
$\vec F^x+\vec F^y +\vec F^z+\vec F=0 \qquad (1) $ 
が成り立つ。 
この式を圧力で表示しよう。 
$\lim_{\alpha \to 0}\frac{\|\vec F^x\|}{|\triangle{OBC}|}=p_x$なので、 
$\alpha $が十分小さければ 
$\|\vec F^x\|=|\triangle{OBC}| p_x=\frac{1}{2}|\alpha b \alpha c|p_x$ 
故に、$2\vec F^x=\vec{OB}\times \vec{OC}p_x=\alpha b \alpha c p_x\vec{e_x}$ 
同様に$2\vec F^y=\vec{OC}\times \vec{OA}p_y=\alpha c \alpha a p_y\vec{e_y}$、 
$2vec F^z=\vec{OA}\times \vec{OB}p_z=\alpha a \alpha b p_z\vec{e_z}$ 
$2\vec F=\vec{AC}\times \vec{AB}p=p(-\alpha a,0,\alpha c)\times (-\alpha a,\alpha b,0)$ 
これらを(1)式に代入して 
$p_x\vec{e_x}+p_y\vec{e_y}+p_z\vec{e_z}+\vec{AC}\times \vec{AB}p=0 \quad (2)$ 
これを計算すると、 
$\left({\alpha}^{2}bc(p_x-p),{\alpha}^{2}ca(p_y-p),{\alpha}^{2}ab(p_z-p)\right)=0$ 
これより、$p=p_x=p_y=p_z$　　　証明終わり。 

命題３ 
ⅰ）一様な重力のもとで静止している気体・液体内では、同一水平面上での圧力の大きさは一定である。　 
ⅱ）もし液体の密度$\rho$が圧力によって変化しないならば、　 
深さ$l_1$の水平面$H_1$上の圧力$p_1$と　　 
深さ$l_2 \quad(l_2>l_1)$の水平面$H_2$上の圧力$p_2$には　　 
次の関係が成り立つ。　 
$p_2=p_1+\rho g(l_2-l_1)$　　 

図示した液体部分$V$が静止しているので、$V$に作用する力の総和が零になっている。 
このことから、この命題は容易に証明できる。 

命題４　アルキメデスの原理 
*[[wikipedia_ja:アルキメデスの原理|ウィキペディア(アルキメデスの原理)]]　

===気体の圧力と大気圧===
気体は圧力が増すと縮むので、命題３のⅱ）の結論は成立しない。 
大気は静止していると仮定し、地表の大気圧から高度ｚでの大気圧を求めてみよう。
地表の一点を原点とし、鉛直上方をｚ軸の正方向になる座標$O-xyz$をいれる。 
図のように、下底面が高さ$z$、上底面が高さ$z+h$の、単位断面積の角柱$V$を考える。 
その部分の気体が受ける力の和は零となるので、 
次式が成り立つ。 
$p(z+h)+mg=p(z) \qquad \qquad (1)$ 
ここで 
・$p(z)$は高さ$z$の地点の大気圧(命題３のⅰ）から、高度が同じ水平面上で圧力は一定）、 
・$m$は$V$の質量。$V$の体積$h$と平均質量密度$\rho$の積。 
圧力が大きいと空気は縮み質量密度は高くなるので、両者の関係を求めねばならない。 
空気体積の変動にともなう温度変化がないとすると、 
ボイルの法則(３章１節　熱とエネルギー参照)から、 
$p\frac{V}{m}=c$（$c$は温度だけに依存する数） 
質量密度$\rho=\frac{m}{V}$を代入すると、 
$\frac{p}{\rho}=c$,ゆえに、$\rho=\frac{p}{c}$ 
$\frac{1}{c}$を、$c$とおくと、 
$\rho=cp　　\qquad \qquad (2)$ 
この質量密度と圧力の関係を用いると、 
$m=h\rho \approx hcp(z)$（ｈが小さいほど差は少なくなる） 
この式を(１)式に代入して、 
$p(z+h)+cgp(z)h\approx p(z) $、変形すると　 
$\frac{p(z+h)-p(z)}{h} \approx -cgp(z) $。これより 
$\frac{dp(z)}{dz}=\lim_{h\to 0}\frac{p(z+h)-p(z)}{h}= -cgp(z) $ 
を得る。これを積分して 
$p(z)=p_{0}e^{-cgz}$ 
を得る。 
ここで$p_{0}$は、地表での圧力、$e$は[[wikipedia_ja:ネイピア数 |ネイピア数]]である。 
地表での質量密度が$\rho_{0}$ならば,(2)式から、 
$c=\frac{\rho_{0}}{p_{0}}$

=== 圧力の単位 ===
圧力は、単位面積当たりの力なので、その単位は面積の単位$m^2$と力の単位$N$から得られる。 
$Pa=N/m^2=kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}$ 
が圧力の単位で、パスカルと呼ばれる。

物理/運動法則の応用4 - 変更履歴

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