物理/運動量と力学的エネルギー保存則 - 変更履歴

Moderator: /* 運動量と力学的エネルギー保存則 */

2015-02-08T17:23:06Z

運動量と力学的エネルギー保存則

Moderator: /* 運動量と力学的エネルギー保存則 */

2015-02-08T04:50:49Z

運動量と力学的エネルギー保存則

←前の版		2015年2月8日 (日) 04:50時点における版
48 行:		48 行:


-	= 運動量と力学的エネルギー保存則 =	+	=== 運動量と力学的エネルギー保存則 ===

	質点や質点の集まりの運動を調べるときに有用な<br/>		質点や質点の集まりの運動を調べるときに有用な<br/>

Moderator: /* 力が変動したり、物体の移動が曲線であるときの仕事 */

2015-02-08T04:48:42Z

力が変動したり、物体の移動が曲線であるときの仕事

←前の版		2015年2月8日 (日) 04:48時点における版
130 行:		130 行:
	積分路が直線である場合、通常の積分の議論に還元される(注参照）。<br/>		積分路が直線である場合、通常の積分の議論に還元される(注参照）。<br/>
	このケースの積分可能性の厳密な証明は、「付録　可積分条件」で与えてある。		このケースの積分可能性の厳密な証明は、「付録　可積分条件」で与えてある。
-		+
	==運動エネルギー==		==運動エネルギー==
-	~~運動している粒子は、止めるのに力を加える必要であり、~~<br/>	+	運動している粒子は、止めるのに力を加える必要があり、<br/>
	何らかのエネルギーを持っていると考えられる。<br/>		何らかのエネルギーを持っていると考えられる。<br/>
	止まった段階ではこのエネルギーは零になるので、<br/>		止まった段階ではこのエネルギーは零になるので、<br/>
	運動している粒子の持つエネルギーと、止めるのに使った力のなした仕事の和が零になると考えてよいだろう。<br/>		運動している粒子の持つエネルギーと、止めるのに使った力のなした仕事の和が零になると考えてよいだろう。<br/>
-	~~すると、運動している粒子の持つエネルギーは、止めるの使った力のなした仕事にマイナスを付けたものと定義できる。~~	+	そこで、運動している粒子の持つエネルギーは、<br/>
		+	止めるの使った力のなした仕事にマイナスを付けたものと推察できる。<br/>
	質量$m$の粒子が速度$\vec v$で運動しているとき、これを止めるのに必要な仕事を求めてみる。<br/>		質量$m$の粒子が速度$\vec v$で運動しているとき、これを止めるのに必要な仕事を求めてみる。<br/>
	速度方向をｘ軸とする座標$O-x$をとる。<br/>		速度方向をｘ軸とする座標$O-x$をとる。<br/>
-	力が作用しなければ、粒子はｘ軸の上をｘ正方向にむかって、速さ$v:=\\|\vec v\\|$~~で運動する。~~<br/>	+	力が作用しなければ、粒子はｘ軸の上をｘ正方向にむかって、速さ$v:=\\|\vec v\\|$で等速直線運動を続ける。<br/>
	この粒子が原点を通過する瞬間(t=0)から、ｘ軸の負方向に力$ F=-f、f>0$を、止まるまで与え続ける。<br/>		この粒子が原点を通過する瞬間(t=0)から、ｘ軸の負方向に力$ F=-f、f>0$を、止まるまで与え続ける。<br/>
	運動方程式は<br/>		運動方程式は<br/>
-	$m\frac{dt^2}{d^2}x(t)=-f,\~~quad~~ v(0)=v$<br/>	+	$m\frac{d^2}{dt^2}x(t)=-f　\qquad (1)　$, <br/>
-		+	ここで、$x(0)=0,v(0)=v$(初期条件)$\qquad (2)<br/>
		+	(1)式の両辺を$m$で割り、$v(t):=\frac{d}{dt}x(t)$を代入すると、<br/>
		+	$\frac{d}{dt}v(t)=-\frac{f}{m}$ <br/>
		+	この方程式を満たし、初期条件(2)を満たす関数$v$は、<br/>
		+	$v(t)=-\frac{f}{m}t+v \qquad \qquad (3)$ <br/>
		+	この式から、粒子が停止する時刻は<br/>
		+	$t_1=\frac{mv}{f}$<br/>
		+	このときの粒子の位置は、<br/>
		+	$\frac{d}{dt}x(t)=-\frac{f}{m}t+v　\qquad (4)　$<br/>
		+	を解いて、停止時刻でのｘを求めればよい。<br/>
		+	初期条件式(2)を満たす(4)式の解は<br/>
		+	$x(t)=-\frac{f}{2m}t^2+vt　\qquad (4)　$<br/>
		+	故に、止まる位置は<br/>
		+	$x(t_1)=-\frac{f}{2m}{t_1}^2+vt_1=\frac{mv^2}{2f}$<br/>
		+	粒子が止まるまで力のなした仕事は、<br/>
		+	$W_{-f}=-f \frac{mv^2}{2f}=- \frac{mv^2}{2}$<br/>
		+	以上の考察より、粒子の運動エネルギーを次のように決める。<br/>
		+	定義；<br/>
		+	質量$m$、速度$\vec v$の質点の運動エネルギーを、<br/>
		+	$\frac{mv^2}{2}$　　<br/>
		+	で定める。<br/>

	*[[wikipedia_ja:運動エネルギー\|ウィキペディア（運動エネルギー）]]		*[[wikipedia_ja:運動エネルギー\|ウィキペディア（運動エネルギー）]]
	*[[wikipedia:Kinetic_energy\|ウィキペディア（Kinetic_energy）]] in English		*[[wikipedia:Kinetic_energy\|ウィキペディア（Kinetic_energy）]] in English
-	~~この説明をよんで、何故 $\frac{1}{2}mv^2 $ が運動エネルギーと定義されたのかを考えて理解しましょう。~~

		+
		+
		+
		+
	===仕事エネルギー定理（work-energy theorem)===		===仕事エネルギー定理（work-energy theorem)===
	物体に力 ''F'' を作用して ''P'' 点から ''Q'' 点に動かした時の運動エネルギーの変化量 $\frac{1}{2}mV(Q)^2 - \frac{1}{2}mV(P)^2 $は、その物体に加えられた仕事量 ''W'' (=''F''・''PQ'')に等しいことを主張する定理です。運動の第２法則の両辺を、この物体の軌道 ''PQ'' にそって積分すると得られます。		物体に力 ''F'' を作用して ''P'' 点から ''Q'' 点に動かした時の運動エネルギーの変化量 $\frac{1}{2}mV(Q)^2 - \frac{1}{2}mV(P)^2 $は、その物体に加えられた仕事量 ''W'' (=''F''・''PQ'')に等しいことを主張する定理です。運動の第２法則の両辺を、この物体の軌道 ''PQ'' にそって積分すると得られます。

Moderator: /* 力が変動したり、物体の移動が曲線であるときの仕事 */

2015-02-08T04:42:51Z

力が変動したり、物体の移動が曲線であるときの仕事

←前の版		2015年2月8日 (日) 04:42時点における版
131 行:		131 行:
	このケースの積分可能性の厳密な証明は、「付録　可積分条件」で与えてある。		このケースの積分可能性の厳密な証明は、「付録　可積分条件」で与えてある。

-	==運動エネルギー===	+	==運動エネルギー==
	運動している粒子は、止めるのに力を加える必要であり、<br/>		運動している粒子は、止めるのに力を加える必要であり、<br/>
	何らかのエネルギーを持っていると考えられる。<br/>		何らかのエネルギーを持っていると考えられる。<br/>

Moderator: /* 力が変動したり、物体の移動が曲線であるときの仕事 */

2015-02-07T17:06:19Z

力が変動したり、物体の移動が曲線であるときの仕事

←前の版		2015年2月7日 (土) 17:06時点における版
11 行:		11 行:
	==運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse) ==		==運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse) ==
	質点に力$\vec{F}(t)$が作用しているとする。<br/>		質点に力$\vec{F}(t)$が作用しているとする。<br/>
		+	運動の第２法則$\vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$ の両辺を<br/>
		+	時間に関して$t_1$から $t_2$まで積分してみよう。ここで$\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)$は質点の運動量。<br/>
		+	すると、<br/>
		+	$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)$<br/>
		+	となる。<br/>
		+	質点に作用する力を時間で積分した$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$を力積と呼ぶ。<br/>
		+	力積は、運動量の変化に等しい。
		+
		+	*[[wikibooks_ja:高等学校理科物理II 力と運動\|ウィキブックス（高等学校理科物理Ⅱ）]] の1.1.2 運動量と力積<br/>
		+	ｎ個の質点を持つ質点系の運動量は、各質点の運動量の和で定義する。<br/>
		+	この場合にも質点系への力積は質点系の運動量の変化に等しいことが、<br/>
		+	運動の第２法則から導ける。
		+
		+	==運動量保存則( law of conservation of momentum )==
		+	質点の場合、外力がなければ、その運動量は保存される(一定である)。<br/>
		+	質点系(質点の集まり)の場合でも、質点系に作用する外力のベクトル和が零ならば、<br/>内力(質点系内の質点間に働く力)があっても、運動量が保存されることが示せる。(注）<br/>
		+	これを'''運動量保存則'''とよぶ。
		+	*[[wikipedia_ja:運動量保存の法則\|ウィキペディア（運動量保存の法則）]]
		+	（注）質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、<br/>
		+	質点$m_i$ に作用する外力を$\vec{f_i}$、<br/>
		+	$m_i$ に、質点系の他の質点$m_j $から作用する内力を$\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。<br/>
		+	すると、各質点に対して、運動の第２法則により、<br/>
		+	$\frac{d\vec{p}_i(t)}{dt}=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $　 <br/>
		+	各ベクトルを自由ベクトルとみなして,上の式を$i=1 \ldots N$について加え合わせると、<br/>
		+	$\sum_i{\vec{f_i}}=0 \qquad \vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$(作用反作用の法則)なので、<br/>
		+	$\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} =0 $ <br/>
		+	が得られる。ゆえに、$\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は保存される。<br/>
		+
		+	==運動エネルギー(kinetic energy)==
		+	運動エネルギーを学ぶ前に仕事とエネルギーについて理解しよう。
		+	===仕事とは何か===
		+	*[[wikipedia_ja:仕事 (物理学)\|ウィキペディア（仕事 (物理学)）]]
		+
		+	===エネルギーとは何か===
		+	*[[wikipedia_ja:エネルギー\|ウィキペディア（エネルギー）]]
		+
		+
		+	= 運動量と力学的エネルギー保存則 =
		+
		+	質点や質点の集まりの運動を調べるときに有用な<br/>
		+	各種の保存法則が、運動の法則から導かれる。<br/>
		+	導出の仕方が理解できると、力学への理解が深まる。<br/>
		+	下記の記事以外にも、導出法をインターネット検索して調べ、よく考えよう。
		+
		+	==運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse) ==
		+	質点に力$\vec{F}(t)$が作用しているとする。時間とともに変化しても良いことに注意。<br/>
	運動の第２法則$\vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$ の両辺を<br/>		運動の第２法則$\vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$ の両辺を<br/>
	時間に関して$t_1$から $t_2$まで積分してみよう。ここで$\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)$は質点の運動量。<br/>		時間に関して$t_1$から $t_2$まで積分してみよう。ここで$\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)$は質点の運動量。<br/>
55 行:		101 行:
	で表せる。内積については		で表せる。内積については
	*[[wikibooks_ja:高等学校数学B ベクトル\|ウィキブックス（高等学校数学B ベクトル）]] の1.1.6～ 1.1.8を参照のこと。		*[[wikibooks_ja:高等学校数学B ベクトル\|ウィキブックス（高等学校数学B ベクトル）]] の1.1.6～ 1.1.8を参照のこと。
-	~~力が向きや大きさを変えたり、~~<br/>	+	万有引力や電磁気力などの力は物体の位置により向きや大きさを変える。<br/>
-	~~物体が動ける範囲が制約され直線的に動けないときは、~~<br/>	+	また、物体がさまざまな理由で運動を拘束され直線的に動けないときもある。<br/>
-	~~仕事をどのように決めたらよいだろうか。~~<br/>	+	こうした場合、力のなす仕事をどのように決めたらよいだろうか。<br/>
	運動の軌跡(向きつき曲線C)を細かく区切ってn個の小部分に分けると、<br/>		運動の軌跡(向きつき曲線C)を細かく区切ってn個の小部分に分けると、<br/>
	この小部分では力はほぼ一定で、<br/>		この小部分では力はほぼ一定で、<br/>
63 行:		109 行:
	そこで、<br/>		そこで、<br/>
	ｉ番目の小部分上で、力を一定値$\vec{{F^n}_i}$で近似し、<br/>		ｉ番目の小部分上で、力を一定値$\vec{{F^n}_i}$で近似し、<br/>
-	ｉ番目の小部分を向きつき線分$\~~vec~~{{P^n}_{i-1}{P^n}_i}$で近似する。<br/>	+	ｉ番目の小部分を向きつき線分$\overrightarrow{{P^n}_{i-1}{P^n}_i}$で近似する。<br/>
	すると、この小部分の移動で力のなした仕事は<br/>		すると、この小部分の移動で力のなした仕事は<br/>
-	$ {W^n}_i=\vec{F^n}_i\cdot \~~vec~~{{P^n}_{i-1}{P^n}_i }$　<br/>	+	$ {W^n}_i=\vec{F^n}_i\cdot \overrightarrow{{P^n}_{i-1}{P^n}_i }$　<br/>
	で近似できる。<br/>		で近似できる。<br/>
	これをすべて加えた<br/>		これをすべて加えた<br/>
74 行:		120 行:
	$W=\lim_{n\to \infty}W^n$<br/>		$W=\lim_{n\to \infty}W^n$<br/>
	を力のなす仕事と定義する。<br/>		を力のなす仕事と定義する。<br/>
-	~~軌跡が連続で、~~<br/>	+	この極限が存在するとき、<br/>
-	~~力が時間とともに連続的に変化したり、有限個の不連続点がある場合、~~<br/>	+	$\vec{F(\vec x)}$は、曲線$C$に沿って線積分可能といい、<br/>
-	~~この極限は存在することが数学的に証明できる。~~<br/>	+	その極限を$\int_{C}\vec{F(x)}\cdot dx$と書く。<br/>
-	~~興味ある方は、付録２可積分条件をご覧ください。~~<br/>	+	軌跡Ｃが連続で、<br/>
		+	力が場所とともに連続的に変化したり、不連続点が有限個であるとき、<br/>
		+	Ｃに沿って線積分可能であることが証明できる。<br/>
		+	線積分については以下を参照のこと。
		+	*[[wikipedia_ja:線積分 \|ウィキペディア(線積分)]]
		+	積分路が直線である場合、通常の積分の議論に還元される(注参照）。<br/>
		+	このケースの積分可能性の厳密な証明は、「付録　可積分条件」で与えてある。

		+	==運動エネルギー===
		+	運動している粒子は、止めるのに力を加える必要であり、<br/>
		+	何らかのエネルギーを持っていると考えられる。<br/>
		+	止まった段階ではこのエネルギーは零になるので、<br/>
		+	運動している粒子の持つエネルギーと、止めるのに使った力のなした仕事の和が零になると考えてよいだろう。<br/>
		+	すると、運動している粒子の持つエネルギーは、止めるの使った力のなした仕事にマイナスを付けたものと定義できる。
		+	質量$m$の粒子が速度$\vec v$で運動しているとき、これを止めるのに必要な仕事を求めてみる。<br/>
		+	速度方向をｘ軸とする座標$O-x$をとる。<br/>
		+	力が作用しなければ、粒子はｘ軸の上をｘ正方向にむかって、速さ$v:=\\|\vec v\\|$で運動する。<br/>
		+	この粒子が原点を通過する瞬間(t=0)から、ｘ軸の負方向に力$ F=-f、f>0$を、止まるまで与え続ける。<br/>
		+	運動方程式は<br/>
		+	$m\frac{dt^2}{d^2}x(t)=-f,\quad v(0)=v$<br/>


-	~~===運動エネルギー===~~
	*[[wikipedia_ja:運動エネルギー\|ウィキペディア（運動エネルギー）]]		*[[wikipedia_ja:運動エネルギー\|ウィキペディア（運動エネルギー）]]
	*[[wikipedia:Kinetic_energy\|ウィキペディア（Kinetic_energy）]] in English		*[[wikipedia:Kinetic_energy\|ウィキペディア（Kinetic_energy）]] in English
135 行:		198 行:
	\lim_{\Delta_{y} \to \0}\frac{\phi(\vec r+(0,\Delta_{y},0))-\phi(\vec r)}{\Delta_{y}}=\vec{F}_{y}(\vec{r})$；力のｙ成分。<br/>		\lim_{\Delta_{y} \to \0}\frac{\phi(\vec r+(0,\Delta_{y},0))-\phi(\vec r)}{\Delta_{y}}=\vec{F}_{y}(\vec{r})$；力のｙ成分。<br/>
	\lim_{\Delta_{z} \to \0}\frac{\phi(\vec r+(0,0,\Delta_{z}))-\phi(\vec r)}{\Delta_{z}}=\vec{F}_{z}(\vec{r})$；力のｚ成分。		\lim_{\Delta_{z} \to \0}\frac{\phi(\vec r+(0,0,\Delta_{z}))-\phi(\vec r)}{\Delta_{z}}=\vec{F}_{z}(\vec{r})$；力のｚ成分。
		+
		+	===力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則(kinetic energy and conservation of kinetic energy )===
		+	力学的エネルギーは
		+	*[[wikipedia_ja:力学的エネルギー\|ウィキペディア（力学的エネルギー）]]
		+	*[[wikipedia:Kinetic_energy\|ウィキペディア（Kinetic_energy）]] in English
		+	を見てください。<br/>
		+	仕事エネルギー定理の仕事量W（$＝\vec{F}\cdot\vec{PQ}$　。　ここで$\vec{PQ}$　は変位ベクトル）をきめる力$\vec{F}$が
		+	保存力$\vec{Fc}$と外力$\vec{Fo}$の和からなるとき、<br/>
		+	$W=(\vec{Fc}+\vec{Fo})\cdot\vec{PQ}=\vec{Fc}\cdot\vec{PQ} +\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$<br/>
		+	$=P$のポテンシャルエネルギー$(U(P)-U(Q))+\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$となる。<br/>
		+	一方仕事エネルギー定理から、$W=\frac{1}{2}m{V(Q)}^2-\frac{1}{2}m{V(P)}^2$なので、この両式から、<br/>
		+	$\left(\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)\right)-\left( \frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)\right)=\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$が得られる。<br/>
		+	もし保存力以外の力$\vec{Fo}$　が零ならば、$\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)=\frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)$
		+	（力学エネルギー保存則）が得られる。<br/>
		+	もっと知りたい方は次をどうぞ。
		+	*[[wikipedia_ja:力学的エネルギー保存の法則\|ウィキペディア（力学的エネルギー保存の法則）]]
		+	*[[wikipedia:Conservation_of_energy#Mechanics\|ウィキペディア（Conservation_of_energy#Mechanics）]] in English
		+	<br/>
		+	エネルギー保存則は物理学のなかで最も基本的な原理です。<br/>
		+	熱エネルギーも含めたもっと一般的なエネルギー保存則は、後の章で学びます。
		+
		+	==保存則の応用==
		+	===衝突の問題===
		+
		+	====2質点の衝突====
		+
		+	====質点の壁との衝突====
		+
		+	==力学に必要な物理量（時間、距離、速度、加速度、質量、力）の単位と単位変換==
		+	**[[wikipedia_ja:物理単位\|ウィキペディア（物理単位）]]
		+	**[[wikibooks:High School Physics/Si units \|wikibooks(High_School_Physics/Si_units) ]] ,in English

	===力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則(kinetic energy and conservation of kinetic energy )===		===力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則(kinetic energy and conservation of kinetic energy )===

Moderator: /* 運動量と力学的エネルギー保存則 */

2015-02-07T10:51:49Z

運動量と力学的エネルギー保存則

←前の版		2015年2月7日 (土) 10:51時点における版
16 行:		16 行:
	$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)$<br/>		$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)$<br/>
	となる。<br/>		となる。<br/>
-	~~質点への力積（質点に作用する力を時間で積分したもの）が~~<br/>	+	質点に作用する力を時間で積分した$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$を力積と呼ぶ。<br/>
-	~~質点の運動量の変化に等しいことが分かる。~~	+	力積は、運動量の変化に等しい。

	*[[wikibooks_ja:高等学校理科物理II 力と運動\|ウィキブックス（高等学校理科物理Ⅱ）]] の1.1.2 運動量と力積<br/>		*[[wikibooks_ja:高等学校理科物理II 力と運動\|ウィキブックス（高等学校理科物理Ⅱ）]] の1.1.2 運動量と力積<br/>
25 行:		25 行:

	==運動量保存則( law of conservation of momentum )==		==運動量保存則( law of conservation of momentum )==
-	~~質点の場合、外力がなければ、その運動量は一定なので、保存される。~~<br/>	+	質点の場合、外力がなければ、その運動量は保存される(一定である)。<br/>
-	質点系(質点の集まり)の場合でも、質点系に作用する外力のベクトル和が零ならば、<br/>内力(質点系内の質点間に働く力)~~があっても、運動量が保存されることが分かる~~(~~注）。~~<br/>	+	質点系(質点の集まり)の場合でも、質点系に作用する外力のベクトル和が零ならば、<br/>内力(質点系内の質点間に働く力)があっても、運動量が保存されることが示せる。(注）<br/>
	これを'''運動量保存則'''とよぶ。		これを'''運動量保存則'''とよぶ。
	*[[wikipedia_ja:運動量保存の法則\|ウィキペディア（運動量保存の法則）]]		*[[wikipedia_ja:運動量保存の法則\|ウィキペディア（運動量保存の法則）]]
	（注）質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、<br/>		（注）質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、<br/>
	質点$m_i$ に作用する外力を$\vec{f_i}$、<br/>		質点$m_i$ に作用する外力を$\vec{f_i}$、<br/>
-	$m_i$ ~~に、他の質点~~$m_j $から作用する内力を$\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。<br/>	+	$m_i$ に、質点系の他の質点$m_j $から作用する内力を$\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。<br/>
	すると、各質点に対して、運動の第２法則により、<br/>		すると、各質点に対して、運動の第２法則により、<br/>
	$\frac{d\vec{p}_i(t)}{dt}=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $　 <br/>		$\frac{d\vec{p}_i(t)}{dt}=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $　 <br/>
40 行:		40 行:

	==運動エネルギー(kinetic energy)==		==運動エネルギー(kinetic energy)==
-	~~運動エネルギーを学ぶ前にエネルギーと仕事について理解しましょう。~~	+	運動エネルギーを学ぶ前に仕事とエネルギーについて理解しよう。
		+	===仕事とは何か===
		+	*[[wikipedia_ja:仕事 (物理学)\|ウィキペディア（仕事 (物理学)）]]
		+
	===エネルギーとは何か===		===エネルギーとは何か===
	*[[wikipedia_ja:エネルギー\|ウィキペディア（エネルギー）]]		*[[wikipedia_ja:エネルギー\|ウィキペディア（エネルギー）]]
-	~~===仕事とは何か===~~	+
-	*[[wikipedia_ja:仕事\|ウィキペディア（仕事）]]の力学での仕事の項	+
-	===~~仕事の量の求め方~~===	+	===力が変動したり、物体の移動が曲線であるときの仕事===
-	力、 $ \vec{F} $~~が一定で物体が直線的に~~ ''P'' から ''Q'' ~~に変位するときは前記の説明から力のなした仕事~~ ''W'' ~~は、内積~~ $\cdot $を用いて、 $ W=\vec{F}\cdot\vec{PQ} $　~~で表せることが分かる。内積については~~	+	物体に力 $ \vec{F}$を作用させ、<br/>
		+	直線的に ''P'' から ''Q'' に変位させるとき、力のなした仕事 ''W'' は、<br/>
		+	内積 $\cdot $を用いて、<br/>
		+	$ W=\vec{F}\cdot\vec{PQ} $　<br/>
		+	で表せる。内積については
	*[[wikibooks_ja:高等学校数学B ベクトル\|ウィキブックス（高等学校数学B ベクトル）]] の1.1.6～ 1.1.8を参照のこと。		*[[wikibooks_ja:高等学校数学B ベクトル\|ウィキブックス（高等学校数学B ベクトル）]] の1.1.6～ 1.1.8を参照のこと。
-	力を受けた時の物体の運動は直線とは限らないが、運動の軌跡を細かく区切って眺めると、線分に近いので、今後物体の変位は、線分をつなぎ合わせたものと考える。すると各線分毎に仕事を計算しそれをたせば、全体の仕事量を求めることができる。	+	力が向きや大きさを変えたり、<br/>
		+	物体が動ける範囲が制約され直線的に動けないときは、<br/>
		+	仕事をどのように決めたらよいだろうか。<br/>
		+	運動の軌跡(向きつき曲線C)を細かく区切ってn個の小部分に分けると、<br/>
		+	この小部分では力はほぼ一定で、<br/>
		+	しかも形状は線分に近い。<br/>
		+	そこで、<br/>
		+	ｉ番目の小部分上で、力を一定値$\vec{{F^n}_i}$で近似し、<br/>
		+	ｉ番目の小部分を向きつき線分$\vec{{P^n}_{i-1}{P^n}_i}$で近似する。<br/>
		+	すると、この小部分の移動で力のなした仕事は<br/>
		+	$ {W^n}_i=\vec{F^n}_i\cdot \vec{{P^n}_{i-1}{P^n}_i }$　<br/>
		+	で近似できる。<br/>
		+	これをすべて加えた<br/>
		+	$ W^n=\sum_{i=1}^{n}{W^n}_i$<br/>
		+	は、力のなした仕事の近似値を与えると考えられる。<br/>
		+	そこで、分割数ｎをどんどん増やし、<br/>
		+	小部分を細かくしていったときの極限<br/>
		+	$W=\lim_{n\to \infty}W^n$<br/>
		+	を力のなす仕事と定義する。<br/>
		+	軌跡が連続で、<br/>
		+	力が時間とともに連続的に変化したり、有限個の不連続点がある場合、<br/>
		+	この極限は存在することが数学的に証明できる。<br/>
		+	興味ある方は、付録２可積分条件をご覧ください。<br/>
		+
		+

	===運動エネルギー===		===運動エネルギー===

Moderator: /* 解説 */

2015-02-05T16:30:32Z

解説

←前の版		2015年2月5日 (木) 16:30時点における版
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	＞ [[物理/運動量と力学的エネルギー保存則\|運動量と力学的エネルギー保存則]]		＞ [[物理/運動量と力学的エネルギー保存則\|運動量と力学的エネルギー保存則]]

-	= 解説 =	+	= 運動量と力学的エネルギー保存則 =

-	質点や質点の集まりの運動を調べるときに有用な各種の保存法則が、運動の法則から導かれます。導出の仕方が理解できると、力学への理解が深まります。下記の記事以外にも、導出法をインターネット検索して調べ、よく考えましょう。	+	質点や質点の集まりの運動を調べるときに有用な<br/>
		+	各種の保存法則が、運動の法則から導かれる。<br/>
		+	導出の仕方が理解できると、力学への理解が深まる。<br/>
		+	下記の記事以外にも、導出法をインターネット検索して調べ、よく考えよう。

	==運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse) ==		==運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse) ==
-	~~運動の第２法則の両辺を時間に関して積分すると、質点への力積（力を時間で積分したもの）は質点の運動量の変化に等しいことが分かります。~~	+	質点に力$\vec{F}(t)$が作用しているとする。<br/>
		+	運動の第２法則$\vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$ の両辺を<br/>
		+	時間に関して$t_1$から $t_2$まで積分してみよう。ここで$\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)$は質点の運動量。<br/>
		+	すると、<br/>
		+	$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)$<br/>
		+	となる。<br/>
		+	質点への力積（質点に作用する力を時間で積分したもの）が<br/>
		+	質点の運動量の変化に等しいことが分かる。
		+
	*[[wikibooks_ja:高等学校理科物理II 力と運動\|ウィキブックス（高等学校理科物理Ⅱ）]] の1.1.2 運動量と力積<br/>		*[[wikibooks_ja:高等学校理科物理II 力と運動\|ウィキブックス（高等学校理科物理Ⅱ）]] の1.1.2 運動量と力積<br/>
-	上記の本は一つの質点の運動量の定義と力積と運動量の変化について説明していますが、ｎ個の質点を持つ質点系の運動量は、各質点の運動量の和で定義します。	+	ｎ個の質点を持つ質点系の運動量は、各質点の運動量の和で定義する。<br/>
-	~~この場合にも質点系への力積は質点系の運動量の変化に等しいことが、運動の第２法則から導けます。~~	+	この場合にも質点系への力積は質点系の運動量の変化に等しいことが、<br/>
-	*[[wikipedia:運動量\|ウィキペディア（運動量）]]	+	運動の第２法則から導ける。
-	*[[wikipedia:Newton's laws of motion\|ウィキペディア（Newton's laws of motion）]] in English	+

	==運動量保存則( law of conservation of momentum )==		==運動量保存則( law of conservation of momentum )==
-	~~質点（系）への外力が零ならば、力積は零なので、運動量と力積の関係から、運動量の変化はなく、保存されることが分かります。~~	+	質点の場合、外力がなければ、その運動量は一定なので、保存される。<br/>
		+	質点系(質点の集まり)の場合でも、質点系に作用する外力のベクトル和が零ならば、<br/>内力(質点系内の質点間に働く力)があっても、運動量が保存されることが分かる(注）。<br/>
		+	これを'''運動量保存則'''とよぶ。
	*[[wikipedia_ja:運動量保存の法則\|ウィキペディア（運動量保存の法則）]]		*[[wikipedia_ja:運動量保存の法則\|ウィキペディア（運動量保存の法則）]]
-		+	（注）質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、<br/>
-	=~~==角運動量保存則~~(~~law of conservation of angular momentum~~ )===	+	質点$m_i$ に作用する外力を$\vec{f_i}$、<br/>
-	*[[wikipedia_ja:角運動量保存の法則\|ウィキペディア（運動量保存の法則）]]	+	$m_i$ に、他の質点$m_j $から作用する内力を$\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。<br/>
		+	すると、各質点に対して、運動の第２法則により、<br/>
		+	$\frac{d\vec{p}_i(t)}{dt}=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $　 <br/>
		+	各ベクトルを自由ベクトルとみなして,上の式を$i=1 \ldots N$について加え合わせると、<br/>
		+	$\sum_i{\vec{f_i}}=0 \qquad \vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$(作用反作用の法則)なので、<br/>
		+	$\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} =0 $ <br/>
		+	が得られる。ゆえに、$\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は保存される。<br/>

	==運動エネルギー(kinetic energy)==		==運動エネルギー(kinetic energy)==

Moderator: /* 力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則(kinetic energy and conservation of kinetic energy ) */

2015-01-24T16:32:51Z

力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則(kinetic energy and conservation of kinetic energy )

←前の版		2015年1月24日 (土) 16:32時点における版
92 行:		92 行:
	*[[wikipedia:Kinetic_energy\|ウィキペディア（Kinetic_energy）]] in English		*[[wikipedia:Kinetic_energy\|ウィキペディア（Kinetic_energy）]] in English
	を見てください。<br/>		を見てください。<br/>
-	~~仕事エネルギー定理の仕事量W（＝~~\vec{F}\cdot\vec{PQ}$　。　ここで\vec{PQ}$　は変位ベクトル）をきめる力\vec{F}$が	+	仕事エネルギー定理の仕事量W（$＝\vec{F}\cdot\vec{PQ}$　。　ここで$\vec{PQ}$　は変位ベクトル）をきめる力$\vec{F}$が
-	保存力\vec{Fc}$と外力\vec{Fo}$の和からなるとき、<br/>	+	保存力$\vec{Fc}$と外力$\vec{Fo}$の和からなるとき、<br/>
-	W=\vec{Fc+Fo}\cdot\vec{PQ}=\vec{Fc}\cdot\vec{PQ} +\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$~~＝Pのポテンシャルエネルギー~~(U(P)－U(Q))＋\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$となる。<br/>	+	$W=(\vec{Fc}+\vec{Fo})\cdot\vec{PQ}=\vec{Fc}\cdot\vec{PQ} +\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$<br/>
-	~~一方仕事エネルギー定理から、W~~=\frac{1}{2}m{V(Q)}^2-\frac{1}{2}m{V(P)}^2$なので、この両式から、<br/>	+	$=P$のポテンシャルエネルギー$(U(P)-U(Q))+\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$となる。<br/>
-	$\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)$-$ \frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)$=\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$が得られる。<br/>	+	一方仕事エネルギー定理から、$W=\frac{1}{2}m{V(Q)}^2-\frac{1}{2}m{V(P)}^2$なので、この両式から、<br/>
-	もし保存力以外の力\vec{Fo}$　が零ならば、\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)=\frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)$	+	$\left(\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)\right)-\left( \frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)\right)=\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$が得られる。<br/>
		+	もし保存力以外の力$\vec{Fo}$　が零ならば、$\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)=\frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)$
	（力学エネルギー保存則）が得られる。<br/>		（力学エネルギー保存則）が得られる。<br/>
	もっと知りたい方は次をどうぞ。		もっと知りたい方は次をどうぞ。

Moderator: /* 運動量保存則(conservation of linear momentum ) */

2014-09-28T06:19:31Z

運動量保存則(conservation of linear momentum )

←前の版		2014年9月28日 (日) 06:19時点における版
14 行:		14 行:
	*[[wikipedia:Newton's laws of motion\|ウィキペディア（Newton's laws of motion）]] in English		*[[wikipedia:Newton's laws of motion\|ウィキペディア（Newton's laws of motion）]] in English

-	==運動量保存則(conservation of ~~linear~~ momentum )==	+	==運動量保存則( law of conservation of momentum )==
	質点（系）への外力が零ならば、力積は零なので、運動量と力積の関係から、運動量の変化はなく、保存されることが分かります。		質点（系）への外力が零ならば、力積は零なので、運動量と力積の関係から、運動量の変化はなく、保存されることが分かります。
	*[[wikipedia_ja:運動量保存の法則\|ウィキペディア（運動量保存の法則）]]		*[[wikipedia_ja:運動量保存の法則\|ウィキペディア（運動量保存の法則）]]
		+
		+	===角運動量保存則(law of conservation of angular momentum )===
		+	*[[wikipedia_ja:角運動量保存の法則\|ウィキペディア（運動量保存の法則）]]

	==運動エネルギー(kinetic energy)==		==運動エネルギー(kinetic energy)==

Moderator: /* 2質点の衝突 */

2014-09-23T17:11:37Z

2質点の衝突

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107 行:		107 行:

	====2質点の衝突====		====2質点の衝突====
-	* [[wikibooks_ja:高等学校理科物理II 力と運動\|ウィキブックス（高等学校理科物理II 力と運動）]] の1.1.2 運動量と力積

	====質点の壁との衝突====		====質点の壁との衝突====