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Moderator — Tue, 15 May 2018 03:54:38 GMT

ページの作成: =　「7.6　この章の付録」= ==　問の解答== ===　問 === $\lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$　が存在し、２より大きく３以下であることを証明…

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=　「7.6　この章の付録」=
==　問の解答==
===　問 ===
$\lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$　が存在し、２より大きく３以下であることを証明する。 
（１）準備；　２項定理を用いた展開 
$a_n\triangleq (1+\frac{1}{n})^{n} \qquad (n は自然数)$ とおく。 
すると、
$2 \leq a_1=1+\frac{1}{1}=2\quad \lt a_2=(1+\frac{1}{2})^{2} =2\frac{1}{4}$である。 
以下に、数列　$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$　が単調増大で、有界（２より大、３より小）である事を示す。 
するとテキストの定理により、この数列は２より大きく、３以下のある実数に収束することが分かる。 
nが３以上の自然数の時は、$a_n$を２項定理を用いて展開すると 　
$a_n=(1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{m=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{m}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m \qquad \qquad (1)$ 　
ここで　${}_n\mathrm{C}_{m}$　は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、 
mが１以上でn 以下の自然数の時は 
${}_n\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{m!\ (n-m)!} \qquad \qquad (2)$ 
ここで、m が1以上の自然数の時は　$ m!\triangleq 1\cdot 2\cdot 3 \cdots (m-1)\cdot m$ 
mが零の時は　$\quad 0!\triangleq 1 $　と定義。 
すると、 
${}_n\mathrm{C}_{0}=\frac{n!}{0!\ n!}=1\qquad \qquad (3)$　 
$m \geq 1$のとき、${}_n\mathrm{C}_{m} =\frac{n!}{m!\ (n-m)!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdots \Bigl(n-(m-1)\Bigr) }{m!} \qquad (4)$ 
式（１）に式（２）を代入し,式(３)、(４)を利用して計算すると 
$a_n = 1+\sum_{m=1}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots \Bigl(n-(m-1)\Bigr)}{m!}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m $ 
$=2+\sum_{m=2}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}\qquad \qquad (5)$ 
ここで、n　より小さい全ての自然数 i に対して 
$0 \lt 1-\frac{i}{n} \lt 1 $ なので、 
$ 2 \lt a_n \lt 2+\sum_{m=2}^{n}\frac{1}{m!} \qquad \qquad \qquad (6)$ （２）すべての2以上の自然数 n　に関して、 
$ 2 \lt a_n \lt 3 \qquad \qquad \qquad (7)$ 
であることを示す。 
式（6）から 
$2\lt a_n$, 
$a_n \lt 2+\sum_{m=2}^{n}\frac{1}{m!} \qquad \qquad (8)$ 
右辺の　m　は2以上の自然数なので、 
$\frac{1}{m!} \leq \frac{1}{(m-1)m}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}$ 
である。故に、 
$a_n \lt 2+\sum_{m=2}^{n}(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m})=2+(1-\frac{1}{n})=3-\frac{1}{n}\lt 3$ 
（３）数列　$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$　は単調増加 
$n \geq 2$ の時、常に　$a_n \lt a_{n+1}$　を示せばよい。 
式(5)を利用すると(注参照）、 
$a_{n+1}=2+\sum_{m=2}^{n+1}\frac{1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{m-1}{n+1})}{m!}$ 
すると、 
$a_{n+1} - a_n = \sum_{m=2}^{n+1}\frac{1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{m-1}{n+1})}{m!} - \sum_{m=2}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!} $ 
$\quad$ 右辺の第一項の和を2つに分けると、 
$= \frac{1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{n}{n+1})}{m!}$ 
$\quad + \sum_{m=2}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{m-1}{n+1})}{m!} - \sum_{m=2}^{n}\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}$ 
$ = \frac{
1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{n}{n+1})
}{m!}$ 
$\quad + \sum_{m=2}^{n}\frac{
1(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{m-1}{n+1})
-1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{m-1}{n})}{m!}$ 
上の式で、全ての$i\in \{1,2,,,,n\}$に対して,$(1-\frac{i}{n+1})\gt 0$と$(1-\frac{i}{n+1})\gt (1-\frac{i}{n})$　なので、 
$a_{n+1} - a_n \gt 0$ 
（注）式（３）のｎに　ｎ＋１　を代入すればよい。

==　ネイピア数　e について ==
定義；'''$e\triangleq \lim_{}(1+\frac{1}{n})^n$''' を'''ネイピア数'''と呼ぶ。 
'''命題1''' 
（１）$ 2 \lt e \leq 3$ 
（２）$e=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!} \qquad ただし、0!\triangleq 1,\quad m!\triangleq 1\cdot 2\cdot 3\cdots (m-1)\cdot m \qquad \qquad (9)$ 

==　三角関数の微分 ==
===　準備　===
次の命題が、三角関数の微分を求めるうえで中心的役割を果たす。　 
'''命題２'''　 
$\lim_{\theta\to 0,\theta\neq 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1$ 
証明 
まず、$\theta$ を正に保ちながら零に近づける場合を考える。 
すると、$ 0 \lt \theta \lt \pi/2 $　と考えて良い。 
点Ｏを中心にし、半径1の円を考え、円周上に一点Ａをさだめる。 
図のように、円周上の点Ｂを、線分ＯＢが直線ＯＡとなす角がｘ（ラジアン)となるようにとる。
*[[File:GENPHY00010803-01.pdf|right|frame|図]] 
図から$\triangle{OAB} \subset 扇形OAB \subset \triangle{OAP} $ 
$\quad$ ここで、点PはＡを通り線分OAと垂直な直線と半直線OBの交点。 
すると、 
$\triangle{OAB}の面積 \lt　扇形OAB の面積　\lt　\triangle{OAP}の面積$ 
ここで、$\triangle{OAB}の面積=\frac{1\cdot \sin{\theta}}{2},\quad 扇形OAB の面積=\pi\cdot 1^{2}\cdot \frac{\theta}{2\pi}\quad \triangle{OAP}の面積=\frac{1\cdot \tan{\theta}}{2}$なので、 
$\frac{\sin{\theta}}{2}　\lt \frac{\theta}{2}\lt \frac{\tan{\theta}}{2}=\frac{\sin{\theta}}{2\cos{\theta}}\qquad $各項を2倍すると、 
$\sin{\theta}\lt \theta \lt \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ 
$\quad$ここで　$\sin{\theta}\gt 0$　なので、これで上式の各項を割ると、 
$1 \lt \frac{\theta}{\sin{\theta}} \lt \frac{1}{\cos{\theta}}$ 
$1 \gt \frac{\sin{\theta}}{\theta} \gt \cos{\theta}$ 
故に、極限の性質から 
$1 \geq \lim_{\theta\to 0,\theta\neq 0}\frac{\sin \theta}{\theta} \geq \lim_{\theta\to 0,\theta\neq 0}\cos{\theta}=1$ 
これより、$\lim_{\theta\to 0,\theta\neq 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1$　が得られる。

'''定理１　三角関数の微分''' 
（１）$\frac{d}{d\theta}\sin{\theta}=\cos{\theta}$ 
（２）$\frac{d}{d\theta}\cos{\theta}=-\sin{\theta}$ 
証明 
（１）；　$\frac{d}{d\theta}\sin{\theta} \triangleq \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{\sin (\theta+h)-\sin \theta}{h}$ 
ここで、 
$\sin (\theta+h)-\sin \theta = \sin \bigl((\theta + \frac{h}{2})+\frac{h}{2}\bigr) - \sin \bigl((\theta + \frac{h}{2})-\frac{h}{2}\bigr)$ 
サイン関数の加法定理を適用すると 
$=\sin (\theta + \frac{h}{2})\cos \frac{h}{2} + \cos (\theta + \frac{h}{2})\sin \frac{h}{2} - \Bigl( \sin (\theta + \frac{h}{2})\cos \frac{h}{2} - \cos (\theta + \frac{h}{2})\sin \frac{h}{2} \Bigr) = 2\cdot \cos (\theta + \frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}$ 
故に、
$\frac{d}{d\theta}\sin{\theta} \triangleq \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{\sin (\theta+h)-\sin \theta}{h} = \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{2\cdot \cos (\theta + \frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}}{h}=\lim_{h\to 0,h\neq 0}\cos (\theta + \frac{h}{2})\frac{\sin \frac{h}{2}}{h/2}$ 
$=\lim_{h\to 0,h\neq 0}\cos (\theta + \frac{h}{2})\lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{h/2}$ 
$\quad $ ここで、 
$\quad \lim_{h\to 0,h\neq 0}\cos (\theta + \frac{h}{2}) = \cos \theta$ 
$\quad \lim_{h\to 0,h\neq 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{h/2} = 1 \quad (上の命題２より）$ 
$\quad $なので、 
$=\cos \theta$ 

== 指数関数と対数関数 ==
===　正の実数の累乗の指数の拡張 ===
==== 実数の累乗(自然数乗) ====
$a$ を任意の実数、$n$　を2以上の自然数とする。 
$a^1=a,\quad a^2=a\cdot a,\quad a^3=a^2\cdot a=a\cdot a\cdot a ,\quad \cdots \quad a^n=a^{n-1}\cdot a,　\cdots$ 
を総称して、a　の'''累乗'''と呼ぶ。 
$a^n$　を$a $ の n 乗、$n$　をその指数と呼ぶ。 

===== 実数の自然数乗の３つの計算規則=====
累乗が次のような計算規則を満たすことは、容易に証明できる。 
'''命題３''' 
$ a,b $　を任意の実数、$ m, n $ を任意の自然数とすると、 
(1)　$a^{m}a^{n} = a^{m+n} $ 
(2)　$(a^{m})^n =a^{m n}　$ 
(3)　$(ab)^n = a^n b^n $ 
証明は、累乗の定義と積の交換法則から容易にできるので省略する。 
===== 指数関数とn次関数 =====
$a$ を正の実数とするとき、累乗$a^{\alpha}$　の　 
$\alpha$　を独立変数とするか、$a$ を独立変数にするかで、 
次の2種の関数が定まる。 
'''定義''' 
$a$ を正の実数,　$\alpha$を自然数とするとき、次の2つの関数を考える。 
１）$f_{a}; ({\bf N} \ni) \alpha \to a^{\alpha} \bigl(\in {\bf R}^{+}\triangleq (0,\infty)\bigr)$ 
これは、指数を変数とする関数なので、'''指数関数'''という。 
２）$g_{\alpha}; ({\bf R}^{+}\ni) a \to a^{\alpha} (\in {\bf R}^{+})$ 
これは、$\alpha$次の単項関数である。 
'''命題　指数関数の性質''' 
指数関数$f_{a}(\alpha )=a^{\alpha} \quad (\alpha \in {\bf N})$　は次の性質を持つ。 
１）$0 \lt a \lt 1$のとき、${\bf N}$から${\bf R}^{+}$への狭義単調減少の連続関数で、$\lim_{\alpha \to \infty ,\alpha \in {\bf N} } a^{\alpha} = 0$ 
２）$1 \lt a$のとき、${\bf N}$から${\bf R}^{+}$への狭義単調増加の連続関数
で、 
$\lim_{\alpha \to \infty ,\alpha \in {\bf N} } a^{\alpha} = \infty$ 
連続性以外は、明らかなので証明は省略する。 
自然数全体の集合${\bf N}$は離散集合なので、 
そのうえで定義された任意の関数は連続となる。 
「8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分　$\quad$ 「1.3 　関数とその連続性」の[[物理/解析入門（１）実数の性質、連続関数,微分と導関数#関数とその連続性|「1.3.2 関数の極限と連続性」]]を参照のこと。 
'''命題'''　$n$次の単項関数の性質 
$\alpha= n \in {\bf N}$　とする。 
$n$次の単項関数$g_{n}(a)=a^{n} \quad (a \in {\bf R}^{+})$　は 
${\bf R}^{+}$から${\bf R}^{+}$への狭義単調増加の連続関数で、 
$\lim_{a\to 0,a \in {\bf R}^{+} } a^{n} = 0$ 
$\lim_{a\to \infty,a\in {\bf R}^{+} } a^{n} = \infty$ 
である。 
証明 
${\bf R}^{+}$上では狭義単調増加であることは容易に示せる。 
連続性については、$\lim_{\delta \to 0}(a+\delta)^n = a^n $　であることを示せばよい。 
例えば、2項定理で$(a+\delta)^n $　を展開して極限をとればよい。

===== この節の目的 =====
この節の目的は、累乗にかんする計算規則を満たすようにしながら、 
累乗の指数を実数まで拡張することである。 
しかし　$a$　が負数だと、指数を有理数に拡張するとき不都合が起きてしまう。 
例えば　 
$\frac{1}{2}$　の時, $a^{\frac{1}{2}}= \sqrt{a}$ は実数でなく虚数となり、 実数値関数の枠組みに収まらなくなる。 
そこで、このような不都合が起こらないように　今後は$a$　を正の実数に限定し、 次の計算規則を満たすようにしながら、指数を自然数から整数、整数から有理数、有理数から実数へと順に拡張していく。 
'''累乗に関する計算規則''' 
$ a, b $　を任意の正の実数、$\alpha,\quad \beta$を指数とすると、 
(1)　$a^{\alpha}a^{\beta} = a^{\alpha+\beta} \qquad \qquad \qquad (累乗規則１)$ 
(2)　$(a^{\alpha})^\beta =a^{\alpha \beta} \qquad \qquad \qquad (累乗規則２)$ 
(3)　$(ab)^\beta = a^\beta b^\beta \qquad \qquad \qquad (累乗規則３)$ 
計算規則(3)を守ろうとすると、$1^\beta \equiv 1$　と定めなければならないことが分かる。 
何故ならば　$b=1$の時、$a^\beta = (a・1)^\beta = a^\beta 1^\beta $　となり、 $a^\beta \neq 0$　であるから。 
そこで　今後は常に　$1^\beta \equiv 1$　と定め、 $a \neq 1$　の場合だけを考察する。 
本節のもう一つの目的は、指数の拡張に伴い累乗に伴う2つの関数 
$f_{a}(\alpha)=a^\alpha$ と$g_{\alpha}(a)=a^\alpha$ の性質が、どのようになるか考察する事である。

====　指数の整数への拡張 ====
任意の正の実数$a(\neq 0,1)$　を考える。 
$a$の累乗の指数を、累乗に関する３つの規則が成り立つようにしながら、整数に拡張しよう。 
まず、規則（1）を守ろうとすれば 
$a^0 = 1 \qquad \qquad \qquad (4) $　 
と定義しなければならないことが分かる。 
何故ならば、$n\in {\bf N}$　の時、 
$a^{n} = a^{n+0}= a^n a^0 $　 
となり、　$a^n \neq 0$　だから両辺を　$a^n$　で割ればよい。 
次に任意の自然数 n に対して、 
$a^{-n}$　を累乗に関する規則（1）を満たすように定義しよう。 
$a^{-n}a^n = a^{-n+n} = a^0 = 1$ 
両辺を　$a^n$　で割れば 
$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad \qquad \qquad(5)$ 
命題 
式(4),(5)に従って指数を整数に拡大すると、 
３つの累乗の規則はすべて成立する。 
証明 
指数が負のときは式(5)を用いて、指数が自然数の式に書き直し、 
指数が自然数のときに成り立つことが分かっている３つの計算規則を使って式の変形をすれば良い。 
計算規則の（1）の証明だけを示そう。 
（１）$\alpha ,\beta $　を任意の整数とすると、 
$ a^{\alpha}a^{\beta} = a^{(\alpha +\beta) }$　であることを示す。 
（ケース１）指数の一方が正の整数(自然数)で、他方が負の整数の時 
$m,n$　を自然数として、 
$ a^{m}a^{-n} = a^{m-n}$　を示せばよい。 
式(5)から 
$ a^{m}a^{-n} = \frac{a^m}{a^n}　\qquad \qquad \qquad (6)$ 
$m \gt n$ 、$m=n$ 、$m \lt n$　という3つの場合に分けて証明する。 
１）$m \gt n$ の時 
割り算を実行すると$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}　$ 
この式と、式(6)から、$ a^{m}a^{-n} = a^{m-n}　$ 
2) $m=n$ の時 
$\frac{a^m}{a^n}= 1 = a^{m-n}　$ 
この式と、式(6)から、$ a^{m}a^{-n} = a^{m-n}　$ 
3)　$m \lt n$　の時 
割り算を実行すると、 
$\frac{a^m}{a^n}= \frac{1}{a^{(n-m)}}$ 
$=a^{m-n}　$ 
(ケース２）両方の指数が負の整数の時 
$a^{-m}a^{-n} = a^{-m-n}$　を示せばよい。 
$a^{-m}a^{-n} = \frac{1}{a^m}\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a^m a^n}=\frac{1}{a^{(m+n)}}
=a^{-m-n}$ 

====　指数の有理数への拡張 ====
これ以降、有理数全体のなす集合を${\bf Rat}$とかく。 
$ a (\neq 1)$　を任意の正の実数、　$\frac{m}{n}$　を任意の有理数のとき、 
$ a $　の有理数乗　$a^{\frac{m}{n}}$　を、計算規則を満たすように定義しよう。 
指数n　を任意の自然数（正の整数）、 m　を任意の整数と仮定してよい。 
$\qquad $（注）nが負の時は$a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{-m}{-n}}$　なので、 
$\qquad \quad -n,-m $を改めて$n,m$ と置けば良い。$\Box$ 
累乗規則（２）を満たすように定義するには、 
$(a^{\frac{m}{n}})^{n} = (a^{\frac{m}{n}})^{\frac{n}{1}} = a^{m}$　 でなければならない。 
これは、$a^{\frac{m}{n}}$　が　$a^{m}$　のｎ乗根であることを示す。 
しかしｎが偶数のときは、$-a^{\frac{m}{n}}$ も$a^{m}$　のｎ乗根となるので、
正のｎ乗根　のほうを、$a^{\frac{m}{n}}$　とかく。 
'''定義'''　正の実数の有理数乗 
$a$を正の実数とする。 
$a^{\frac{m}{n}}$　とは、 
$a^{m}$　の正のｎ乗根である。 
すなわち、　 
$(a^{\frac{m}{n}})^{n} =a^{m} $を満たす正の実数である。 
最初に、この定義できちんと正の実数が一つだけ決まることを証明しよう。 
$a=1$のときは、ｎ乗すると１になる正数は１だけなので 
$1^{\frac{m}{n}}=1 $ 
であることが分かるので、$a \neq 1$　の場合を考える。 
'''命題３''' 
$a \neq 0,1$　を任意の正の実数、$ m$　を任意の整数,$n$を任意の自然数とする。 
すると、n 乗すると　$a^{m}$　になる正の実数 $ b $ (i.e. $\quad b^n = a^{m}$)が存在し、ただ一つに限る。 
証明 
(1) 存在性 
$ f(x) \triangleq x^n $　という、零と正の実数の上で定義された、関数を考える。
 
この関数はｘが増加するにつれて、連続的に、零から正の無限大に狭義に単調に増加（注参照）していく。 
そこで、$B\triangleq \{x \in [0,\infty)\ |\ x^n \leq a^{m} \}$ という集合を考える。 
この集合は、上に有界な区間になり、実数の連続性から上限(sup)$b$を持つ。 
この時、$ b \in B, \quad b^n = a^{m}$ であることを示そう。 
$b$　が集合$B (\in {\bf R})$の上限なので、任意の自然数ｎに対して、 
$0 \leq b - b_{n} \lt \frac{1}{n} $ 　 
を満たす　$ b_{n} \in B $ が存在する。 
明らかに 
$ \lim_{n \to \infty}b_{n} = b $ 
すると、関数　$ f(x) \triangleq x^n $　は連続なので、
$ \lim_{n \to \infty}b_{n}^n = b^n \qquad \qquad \qquad (a)$ 
ところが$ b_{n} \in B \triangleq \{x \in [0,\infty)|x^n \leq a^{m} \}$なので、 
$ b_{n}^n \leq a^{m} \qquad \qquad \qquad (b)$ 
式(a)、(b)　から、$ b^n \leq a^{m}$　がえられるので、 
$ b \in B$ 
が示せた。（従って、Bは閉区間　[o,b]　である。） 
$b^n = a^{m}$　であることを背理法を使って示そう。 
もし、$b^n \lt a^{m}$　だとすると、関数　$ f(x) = x^n $　は連続なので 
充分小さな正の実数$\delta$ をとると、$(b + \delta) ^n \lt a^{m}$ を満たす。 
すると　$(b + \delta) \in B$　となり、 
$b$が B の上限であることに矛盾してしまう。 
故に、背理法により、$b^n = a^{m} $　が証明できた。 
（２）一意性 
関数　$ f(x) = x^n $ 　は狭義の単調増加関数なのでｂ以外の数ｂ'($\neq b$)では、 
${b'}^n \neq b^n =a^m$ 
（証明終り）　$ \qquad \qquad \Box$ 
(注)　関数ｆが狭義単調増加とは、$　x \lt y \Rightarrow f(x) \lt f(y) $　を満たすこと。 
'''命題４''' 
任意の正の実数　$a \neq 1$ にたいして、その有理数乗を上記のように定義すると ３つの累乗規則　(1)～(3)　が成り立つ。 
証明；
１）　累乗規則（１)が成り立つことを示す。 
2個の有理数の指数を　自然数$n,\quad \tilde{n}$と整数$m,\quad \tilde{m}$　を用いて、 
$\alpha = \frac{m}{n},\quad \beta = \frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}$と表現する。 
すると、累乗規則（１)は、次のように表される。 
$a^{\frac{m}{n}}a^{\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}} = a^{\frac{m}{n}+\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}} $ 
この左辺を　$b \triangleq a^{\frac{m}{n}}a^{\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}}$, 
右辺を　$c \triangleq a^{\frac{m}{n}+\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}}$　とおく。 
$b^{n \tilde{n}} = c^{n \tilde{n}} 　\qquad \qquad \qquad (a)$　 
であることを示せば、$b = c$ が得られ, 
累乗規則（１)が成立することが分かる。 
まず左辺を考える。 
$b^{n \tilde{n}} =　(a^{\frac{m}{n}}a^{\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}})^{n \tilde{n}}$ 
指数が自然数の累乗規則（３）から 
$ = (a^{\frac{m}{n}})^{n \tilde{n}}(a^{\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}})^{n \tilde{n}}$ 
指数が自然数の累乗規則（２）から 
$= \Bigl((a^{\frac{m}{n}})^{n}\Bigr)^{\tilde{n}}\Bigl((a^{\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}})^{\tilde{n}}\Bigr)^{n}$ 
実数の有理数乗の定義から、 
$ = (a^{m})^{\tilde{n}}(a^{\tilde{m}})^{n}$ 
指数が整数の累乗規則（２）から 
$ = a^{m \tilde{n}}a^{\tilde{m}n}$ 
指数が整数の累乗規則（１）から 
$ = a^{m \tilde{n} + \tilde{m}n}$ 
故に、$b^{n \tilde{n}} = a^{m \tilde{n} + \tilde{m}n}$ 
次に、右辺を考える。 
$c^{n \tilde{n}} = (a^{\frac{m}{n}+\frac{\tilde{m}}{\tilde{n}}})^{n \tilde{n}}$ 

$ = (a^{ \frac{m\tilde{n}+n\tilde{m}}{n\tilde{n}}})^{n \tilde{n}}$ 
実数の有理数乗の定義から、 
$ = a^{m\tilde{n} + n\tilde{m}} = b^{n \tilde{n}}$ 
これで、式（a)が示され、累乗規則（１)が成り立つことが証明できた。 
　
２）累乗規則（２)と累乗規則（３)が成り立つことは読者がしてください。 
証明終わり。 
指数が有理数の場合,命題２は次のように拡張出来る。 
'''命題５''' 
${\bf Rat}$の上で定義される関数 
$f_a(\alpha) \triangleq a^{\alpha}　\qquad (\alpha \in {\bf Rat})$を考える。 
１）$a$　を1より大きい正の実数とすると、 
$f_a$は単調増大で 
$\lim_{\alpha \to \infty,\alpha \in {\bf Rat}}a^{\alpha} = \infty　\quad \lim_{\alpha \to -\infty}f_a(\alpha) = 0 $ 
２）$a$　が1より小さい正の実数のとき、 
$f_a$は単調減少し、 
$\lim_{\alpha \to \infty,\alpha \in {\bf Rat}}f_a(\alpha) = 0\quad \lim_{\alpha \to -\infty,\alpha \in {\bf Rat}}f_a(\alpha) = \infty $ 
３）$a = 1$　のとき、$f_a　\equiv　1$ 
証明 
１）のみ証明する。２)の場合も同様に証明できる。 
①　$\frac{m}{n} \lt \frac{m'}{n'} ,\quad n,m \in {\bf N} $　とすると、 
$a^{\frac{m}{n}} \lt a^{\frac{m'}{n'}}$ を示そう。 
$\alpha \triangleq a^{\frac{m'}{n'}} \div a^{\frac{m}{n}} \gt 1$ 
を示せばよい。 
正数の有理数乗の計算規則から、 
$\alpha \triangleq a^{\frac{m'}{n'}} \div a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m'}{n'}-\frac{m}{n}}$ 
$=a^{ \frac{m'n-n'm}{n'n} }$ 
故に、 
${\alpha}^{n'n} = a^{m'n-n'm}$ 
$\qquad \frac{m}{n} \lt \frac{m'}{n'}$　から、 
$\qquad m'n-n'm \gt 0 $なので、$a^{m'n-n'm} \gt 1$であり 
$ \gt 1$ 
故に、　${\alpha}^{n'n} \gt 1$ 
自然数乗すると１より大きくなる正の実数は１より大きい実数しかないので、
$\alpha \gt 1$　が得られた。 
②　$\lim_{\alpha \to \infty,\alpha \in {\bf Rat}}a^{\alpha}= \infty　$を示そう。 
関数　$f_a(\alpha)$　は単調増加（①で証明)なので、 
$\lim_{n \to \infty,n \in {\bf N}}a^n = \infty　$ 
を示せばよいが、これは自明である。 
③　$\lim_{\alpha \to -\infty,\alpha \in {\bf Rat}}f_a(\alpha) = 0 $ 
も、同様にして示せる。 
証明終わり $\qquad \qquad \qquad \Box$ 
以上の結果をまとめて、次の定理を得る。 

$\Large {\bf{定理１}}$ 
$a \neq 0,1$ の正の実数とする。 
（１）$ a $　の有理数乗　$a^{\frac{m}{n}}\quad(m;整数、n \in {\bf N})$　を$a^{m}$の正の$n$乗根で定義すると、 
'''累乗に関する計算規則''' 
$ a, b $　を任意の正の実数、$\alpha,\beta \in {\bf Rat}　$を指数とすると、 
$\quad$ 1)　$a^{\alpha}a^{\beta} = a^{\alpha+\beta} \qquad \qquad (累乗規則１)$ 
$\quad$ 2)　$(a^{\alpha})^\beta =a^{\alpha \beta} \qquad \qquad (累乗規則２)$ 
$\quad$ 3)　$(ab)^\beta = a^\beta b^\beta \qquad \qquad (累乗規則３)$ 
を満たす。 
（２）${\bf Rat}$の上で定義される関数 
$f_a(\alpha) \triangleq a^{\alpha}　\qquad (\alpha \in {\bf Rat})$を考えると、 
$\quad$１）$a\gt 1$ のとき、　$f_a$は狭義の単調増大(従って一対一)で、 
$\quad$ $\lim_{\alpha \to \infty,\alpha \in {\bf Rat}}a^{\alpha} = \infty　\quad \lim_{\alpha \to -\infty}f_a(\alpha) = 0 $ 
$\quad$ ２）$a \lt 1$　のとき、　$f_a$は狭義の単調減少(従って一対一)で、 
$\lim_{\alpha \to \infty,\alpha \in {\bf Rat}}f_a(\alpha) = 0\quad \lim_{\alpha \to -\infty,\alpha \in {\bf Rat}}f_a(\alpha) = \infty $ 
$\quad$　３）$a = 1$　のとき、$f_a　\equiv　1$ 
（３）関数　$f_a(\alpha) \triangleq a^{\alpha} \quad (\alpha \in {\bf Rat})$は連続関数である。 
すなわち、 
$\frac{m_k}{n_k}\to \frac{m}{n} \quad ({\bf N} \ni k\to \infty) \quad (m_k,m は整数、 n_k,n　は自然数）$ 
ならば、 
$　a^{\frac{m_k}{n_k}}　\to 　a^{\frac{m}{n}}$ 
証明 
（１）、（２）はすでに証明したことなので、（３）だけを証明する。 
$|a^{ \frac{m_k}{n_k} } - a^{ \frac{m}{n} }| =
|a^{ \frac{m}{n} }| |a^{ \frac{m_k}{n_k}- \frac{m}{n} }-1|$ なので、 
$\lim_{\frac{m_k}{n_k}\to \frac{m}{n} }|a^{\frac{m_k}{n_k}- \frac{m}{n}}-1| = 0$ 
を、示せばよい。 
$\frac{\tilde{m_k}}{\tilde{n_k}}\triangleq \frac{m_k}{n_k}- \frac{m}{n}$ とおくと、 
$\lim_{　\frac{ \tilde{m_k} }{ \tilde{n_k} }\to 0　}
|a^{\frac{ \tilde{m_k} }{ \tilde{n_k} } } - 1|= 0$ 
を示せばよい。 
このために、次の補題をまず証明する。 
'''補題''' 
$\lim_{n\to \infty}|a^{ \frac{1}{n} }- 1|=0　\qquad \quad (b)　$ 
$\lim_{n\to \infty}|a^{ \frac{-1}{n} }- 1|=0 \qquad \quad (c)$ 
補題の証明 
１）　式(b)を背理法で証明する。 
もし式(b)が成立しないとする。 
すると或る小さな正数$\epsilon$　が存在し、 
どのような自然数 $n_0$ をとっても、ある自然数$n \gt n_0$ が存在して 
$|a^{ \frac{1}{n} }- 1| \geq \epsilon$ 
となる。（注参照） 
すると、自然数の部分列　$\{ n_k \}_{k\in {\bf N}}
\quad (n_k \lt n_{k+1},k=1,2,3,\cdots)$　が存在して、 
$(\forall k\in {\bf N})( |a^{ \frac{1}{n_k} }- 1| \geq \epsilon)\qquad (d)$ 
となる。 
①　$a \gt 1$ の場合 
$a^{ \frac{1}{n_k} } \gt 1$なので、 
$(\forall k\in {\bf N})( a^{ \frac{1}{n_k} }- 1 \geq \epsilon)$ 
すなわち、 
$(\forall k\in {\bf N})( a^{ \frac{1}{n_k} } \geq 1+\epsilon)$ 
両辺を$n_k$乗して 
$(\forall k\in {\bf N})(a \geq (1+\epsilon)^{n_k})$ 
2項定理から 
$(1+\epsilon)^{n_k} \geq 1+n_k\epsilon$　 
であることがわかるので、 
$(\forall k\in {\bf N})(a \geq 1+n_k\epsilon )　\qquad \qquad (e)$ 
$n_k \to \infty \quad (k \to \infty)$ なので、 
式(e)から、$a = \infty $ となり、矛盾が生じてしまう。 
②　$a \lt 1$ の場合も同様にして、矛盾が生じることが示せる。 
③　故に、式(b)が成立しないと仮定すると矛盾が生じるので、 
背理法により、式(b)が成立することが、証明できた。 
２）式(c)の証明も同様にしてできるので省略する。$\Box$ 
任意の正数$\epsilon$ に対して、ある番号$k_{\epsilon}$が定まって、 
$k \geq k_{\epsilon}$というすべての自然数$k$に対して、 
$|a^{\frac{ \tilde{m_k} }{ \tilde{n_k} } } - 1|\lt \epsilon$ 
を示せば、 
$\lim_{　\frac{ \tilde{m_k} }{ \tilde{n_k} }\to 0　}
|a^{\frac{ \tilde{m_k} }{ \tilde{n_k} } } - 1|= 0$ 
が示せて、証明が終了する。 
補題により、$\epsilon$ に対して、ある番号$n_0$をさだめ, 
$n \geq n_0$ならば、 
$|a^{ \frac{1}{n} }- 1|\lt \epsilon$ 
$|a^{ \frac{-1}{n} }- 1|\lt \epsilon$ 
が成立するようにできる。 
$\lim_{k \to \infty}\frac{ \tilde{m_k} }{ \tilde{n_k} }= 0　$
なので、 
自然数$n_0$に対して、
ある番号$k(n)\in {\bf N}$ が存在して、 
$k(n)$以上のどんな自然数$k$に対しても、 
$\frac{-1}{n_0}\lt \frac{ \tilde{m_k} }{ \tilde{n_k}}\lt \frac{1}{n_0}$ 
すると指数関数$f_{a}(\alpha)=a^{\alpha}$ の単調性から、 
$a^{ \frac{ \tilde{m_k} }{ \tilde{n_k} } }$　は、$a^{\frac{-1}{n_0}}$と$a^{\frac{-1}{n_0}　}$の間の数となり、 
$|a^{\frac{ \tilde{m_k} }{ \tilde{n_k} } } - 1|\lt \epsilon$ 
が示せた。 
定理の証明終わり。　$\qquad \qquad \qquad \qquad \Box$
====　指数の実数への拡張 ====
$a$ を、正の実数とする。
任意の実数　$\alpha$　に対して　指数　$a^{\alpha}$　を定義しよう。 
$\bf{定義}$ 
１）$\{\alpha_n\}_{n=1}^{\infty}$ を　$\alpha$　に収束する有理数の単調増加数列とするとき、 
$\underline{a^{\alpha}} \triangleq \lim_{n \to \infty}a^{\alpha_{n}}\qquad (a)$　 
２）$\{\beta_n\}_{n=1}^{\infty}$ を　$\alpha$　に収束する有理数の単調減少数列とするとき、 
$\overline{a^{\alpha}} \triangleq \lim_{n \to \infty}a^{\beta_{n}}\qquad (b)$　 
$\bf{命題６}$ 
１）定義の式(a)、(b)　は収束する。 
２）$\alpha$　に収束する、別の, 
$\qquad$ 有理数の単調増加数列$\{\alpha'_n\}_{n=1}^{\infty}$と単調減少数列$\{\beta'_n\}_{n=1}^{\infty}$ をとっても、 
$\qquad$ $\lim_{n \to \infty}a^{\alpha'_{n}} = \underline{a^{\alpha}} \qquad
\lim_{n \to \infty}a^{\beta'_{n}} = \overline{a^{\alpha}} $ 
３）$\underline{a^{\alpha}} = \overline{a^{\alpha}} $ 
証明 
$a = 1$ の場合は　1の有理数乗は常に１になるので命題は明らかである。 
$a \gt 1$ の場合を証明する。$0 \lt a \lt 1$ の場合も同じように証明できる。 
１）${\bf Rat}$上の関数 $f_a(\alpha) = a^{\alpha}$　は単調増加(定理１)なので、 
$\{a^{\alpha_{n}}\}_{n}$ は上に有界な単調増加数列、 
$\{a^{\beta_{n}}\}_{n}$は下に有界な単調減少数列となる。 
このため、「8.2　解析入門(1)」の
[[物理/解析入門（１）実数の性質、連続関数,微分と導関数#実数の連続性と極限#実数列の極限|「1.2.3 　実数列の極限」]]の定理１から、 
これらは、ともに収束することが保証される。 
２）$\lim_{n \to \infty}a^{\alpha'_{n}} =\lim_{n \to \infty}a^{\alpha_{n}}(= \underline{a^{\alpha}}) $を示そう。 
$\gamma_{n}\triangleq \alpha_{n}-\alpha'_{n}\quad (\in \bf{Rat},n \in \bf{N})$
とおく。 
すると、$\lim_{n \to \infty}\gamma_{n}=0 \in \bf{Rat}$ 
定理１(有理数を累乗とする指数関数の連続性)から、 
$\lim_{n \to \infty}a^{\gamma_{n}}=a^0 = 1$ 

$a^{\gamma_{n}}
=a^{\alpha_{n}-\alpha'_{n}}$ 
$=\frac{ a^{\alpha_{n}} }{ a^{\alpha'_{n}} } $ 
故に、 
$\lim_{n \to \infty}\frac{ a^{\alpha_{n}} }{ a^{\alpha'_{n}} } = 1$ 
上式の分子も分母も収束するので 
$1= \lim_{n \to \infty}\frac{a^{\alpha_{n}}}{ a^{\alpha'_{n}}}=
\frac{ \lim_{n \to \infty}a^{\alpha_{n}} }{ \lim_{n \to \infty} a^{\alpha'_{n}} }$ 
３）２）の証明と殆ど同じようにして出来る。 
$\{\alpha_n\}_{n=1}^{\infty}$ を　$\alpha$　に収束する有理数の単調増加数列 
$\{\beta_n\}_{n=1}^{\infty}$ を　$\alpha$　に収束する有理数の単調減少数列とする。 
$\gamma_{n}\triangleq \beta_{n}-\alpha_{n}\quad (\in \bf{Rat},n \in \bf{N})$
とおく。 
すると、$\lim_{n \to \infty}\gamma_{n}=0 \in \bf{Rat}$ 
定理１(有理数を累乗とする指数関数の連続性)から、 
$\lim_{n \to \infty}a^{\gamma_{n}}=a^0 = 1$ 
$a^{\gamma_{n}}
=a^{\beta_{n}-\alpha_{n}}$ 
$=\frac{ a^{\beta_{n}} }{ a^{\alpha_{n}} } $ 
故に、 
$\lim_{n \to \infty}\frac{ a^{\beta_{n}} }{ a^{\alpha_{n}} } = 1$ 
上式の分子も分母も収束するので 
$1= \lim_{n \to \infty}\frac{a^{\beta_{n}}}{ a^{\alpha_{n}}}=
\frac{ \lim_{n \to \infty}a^{\beta_{n}} }{ \lim_{n \to \infty} a^{\alpha_{n}} } = \frac{\overline{a^{\alpha}}}{\underline{a^{\alpha}}}$ 
証明終わり。$\qquad \qquad \qquad \Box$ 
$\bf{a^{\alpha}の定義　}$ 
$a$ を任意の正の実数、$\alpha$　を任意の実数とするとき、 
$a$　の　$\alpha$乗を、 
$a^{\alpha}　\triangleq \underline{a^{\alpha}} (= \overline{a^{\alpha}})$ 
で定義する。 

$\Large{\bf{定理２}}$ 
１）任意の正の実数$a$ に対して、その実数乗を上述のように定義すると、 
累乗の計算規則を満たす。 
２）実数空間　${\bf R}$ で定義された指数関数 
$f_{a}(x)= a^x　\quad (x \in {\bf R})$　 
は、$ a \neq 1$　ならば、一対一関数で 
$ a \gt 1$　ならば単調増加、$\quad a \lt 1$　ならば単調減少である 
３）$ a \neq 1$　ならば、指数関数$f_{a}(x)= a^x$ は　${\bf R}$から無限開区間$(0,\infty)$の上への、連続関数である。 
証明 
１）$ a, b $　を任意の正の実数、$\alpha,\quad \beta$を実数とすると、 
　$a^{\alpha}a^{\beta} = a^{\alpha+\beta} \ (規則１)\quad
(a^{\alpha})^\beta =a^{\alpha \beta} \ (規則２)\quad (ab)^\beta = a^\beta b^\beta \ (規則３)$　を示せばよい。 
皆同じように証明できるので、規則１だけを証明する。 
実数　$\alpha$　に収束する任意の有理数の単調増加列　$\{\alpha_n\}_{n}$　と、 
実数　$\beta$　に収束する任意の有理数の単調増加列　$\{\beta_n\}_{n}$　をとれば、 
定理１から、有理数乗では規則１は成り立つので、 
$a^{\alpha_n}a^{\beta_n} = a^{\alpha_n+\beta_n} $ 
極限（$\lim_{n\to \infty}$)をとれば、 
$\lim_{n\to \infty}(a^{\alpha_n}a^{\beta_n}) = \lim_{n\to \infty}a^{\alpha_n+\beta_n} $ 
この左辺は極限の性質から$\lim_{n\to \infty}a^{\alpha_n}\lim_{n\to \infty}a^{\beta_n}$　に等しいので、 
$\lim_{n\to \infty}a^{\alpha_n}\lim_{n\to \infty}a^{\beta_n}= \lim_{n\to \infty}a^{\alpha_n+\beta_n} \qquad \qquad (a)$ 
命題６とその直後の$a^{\alpha}$の定義から、 
$\lim_{n\to \infty}a^{\alpha_n} = \underline{a^{\alpha}}= a^{\alpha}　$ 
$\lim_{n\to \infty}a^{\beta_n} = \underline{a^{\beta}}= a^{\beta}　$ 
$\lim_{n\to \infty}a^{\alpha_n+\beta_n} = \underline{a^{\alpha+\beta}}= a^{\alpha + \beta}　$ 
この３つの式を式(a)に代入すると、 
$a^{\alpha}a^{\beta}=a^{\alpha + \beta}　$ 
累乗規則の１が成り立つことが示せた。 

===　対数と対数関数 ===
1と異なる正の実数　$a$　を考える。 
指数関数　$f_{a}(x) = a^x$ は,定理２から、 
${\bf R}$　から　$(0,\infty)$　の上への、一対一、連続関数である。 　
定義１ 
実数　$a$ を　$ a\gt 0,\ a\neq 1$　とする。この時、 
任意の正の実数　Xに対して、 
$a^x = X$ 
を満たす実数ｘが唯一つ定まる。 
このｘを　X　の'''$a$　を底とする対数'''と呼び、$\log_{a}X$ とかく。 
指数関数　$f_{a}(x) = a^x$ は 
${\bf R}$　から　$(0,\infty)$　の上への、一対一関数 
なので、逆関数を考えることができる。 
*[[File:GENPHY00010804-01.pdf|right|frame|図　指数関数と対数関数]]　
*[[File:図１　指数関数と対数関数.jpg]]　
定義２ 
$a$　を1と異なる正の実数とする。 
$\log_{a} a^x \triangleq x \qquad \qquad \qquad (1)$　 
この関数を、$a$ を底とする対数関数とよぶ。 　
定理１ 
$a$　を　1と異なる正の実数とする。 
１）　$a$ を底とする対数関数　$\log_{a}$　は、 
指数関数$f_{a}(x)=a^x$の逆関数であり、 
$(\log_{a}\cdot f_{a})(x) = x \quad (x \in {\bf R})\qquad \qquad \qquad (2) $ 
すなわち、 
$\log_{a}(a^x) = x \quad (x \in {\bf R})\qquad \qquad \qquad (2') $ 
と(注参照)、 
$(f_{a}\cdot \log_{a})(y) = y \quad \bigl(y \in (0,\infty)\bigr)\qquad \qquad \qquad (3) $ 
すなわち、 
$a^{\log_{a}(y)} = y \quad \bigl(y \in (0,\infty)\bigr)\qquad \qquad \qquad (3') $ 
を満たす。 
２）指数関数$f_{a}(x)=a^x$　は 
$(0,\infty)$　から　${\bf R}$　の上への一対一で 
連続な関数である。 
(注)　2つの関数f、ｇに対して、その合成関数$(f\cdot g)$　は、 
$(f\cdot g)(x)\triangleq f\bigl(g(x)\bigr)$　で定義される。 

定理２ 
$a$　を　1と異なる正の実数とする。 
すると 
1)　任意の2つの正の実数ｂ、ｃに対して, 
$\qquad \log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}bc \qquad \qquad \qquad (4)$ 
2)　任意の2つの正の実数 b,c に対して, 
$\qquad \log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\frac{b}{c} \qquad \qquad \qquad (5)$ 
3)　任意の正の実数 b と任意の実数 c に対して　 
$\qquad \log_{a}b^c = c \log_{a}b \qquad \qquad \qquad (6)$ 
証明 
1)　指数関数$f_{a}(x)=a^x$ の性質から、 
$a^{x_{b}}= b,\quad a^{x_{c}}= c \qquad \qquad \qquad (7)$　 
を満たす、実数 $x_{b} \quad x_{c}$ がそれぞれ唯一つ定まる。 
式(7)から対数関数の定義を用いると、 
$\log_{a}b = x_{b} \quad \log_{a}c = x_{c}\qquad \qquad \qquad (8)$　 
すると、 
$\quad \log_{a}b + \log_{a}c = x_b + x_c \quad (式(8)から)$ 
$=\log_{a} a^{x_b + x_c } \quad (式(1)から)$ 
$=\log_{a} (a^{x_b} a^{x_c }) \quad (指数関数の性質から)$ 
$=\log_{a}(bc) \quad (式(7)から) $ 
2)も同様に証明できる。 
３）$X \triangleq \log_{a}b^c$ とおく。すると、対数の定義から、 
$a^X = b^c$ 
$\qquad $ ｂは正の実数なので、$x_b=\log_{a}b　とおくと、 a^{x_b}= b$なので、 
$= (a^{x_b})^c = a^{x_b c} \quad (指数関数の性質から）$ 
故に 
$a^X = a^{x_b c}$ 
指数関数が一対一関数なので、$X = x_b c = c \log_{a}b$ 
X の定義から、$\log_{a}b^c = c \log_{a}b \qquad \qquad \Box $ 
定理３　底の変換公式 
任意の3つの正の実数　$a(\neq 1),b,c(\neq 1) $　に対して 
$\qquad \log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\qquad \qquad \qquad (9)$ 
証明 
定理１の式(3')から、 
$ \quad a^{\log_{a}b} = b \qquad \qquad \qquad (10)$ 
底をｃとする対数をとれば、 
$\log_{c}a^{\log_{a}b} = \log_{c} b$ 
$\qquad $定理２の式(6)から、$\log_{c}a^{\log_{a}b} = (\log_{a}b)(\log_{c}a)$なので、 
$ (\log_{a}b)(\log_{c}a) = \log_{c} b$ 
$a,\quad c$ は、１と異なる正の実数であるため、$ \log_{c}a \neq 0$　となり、 $\log_{a}b = \frac{\log_{c}b }{\log_{c}a}$ 
が得られた。 
証明終わり。 $\qquad \qquad \qquad \Box $ 

===　対数関数 ===
1と異なる正の実数　$a$　を考える。 　
指数関数　$f_{a}(x) = a^x$ は,定理２から、 　
${\bf R}$　から　$(0,\infty)$　の上への、一対一、連続関数である。 　
すると、その逆関数$\quad (0,\infty) \ni a^x \to x \in {\bf R}　$　が定義できる。 
*[[File:GENPHY00010804-01.pdf|right|frame|図　指数関数と対数関数]]　
*[[File:図１　指数関数と対数関数.jpg]]　

定義 
$a$　を1と異なる正の実数とする。 
$\log_{a} a^x \triangleq x \qquad \qquad \qquad (1)$　 
この関数を、$a$ を底とする対数関数とよぶ。 　
定理１ 
$a$　を　1と異なる正の実数とする。 
１）　$a$ を底とする対数関数　$\log_{a}$　は、 
指数関数$f_{a}(x)=a^x$の逆関数であり、 
$(\log_{a}\cdot f_{a})(x) = x \quad (x \in {\bf R})\qquad \qquad \qquad (2) $ 
すなわち、 
$\log_{a}(a^x) = x \quad (x \in {\bf R})\qquad \qquad \qquad (2') $ 
と(注参照)、 
$(f_{a}\cdot \log_{a})(y) = y \quad \bigl(y \in (0,\infty)\bigr)\qquad \qquad \qquad (3) $ 
すなわち、 
$a^{\log_{a}(y)} = y \quad \bigl(y \in (0,\infty)\bigr)\qquad \qquad \qquad (3') $ 
を満たす。 
２）指数関数$f_{a}(x)=a^x$　は 
$(0,\infty)$　から　${\bf R}$　の上への一対一で 
連続な関数である。 
(注)　2つの関数f、ｇに対して、その合成関数$(f\cdot g)$　は、 
$(f\cdot g)(x)\triangleq f\bigl(g(x)\bigr)$　で定義される。 

定理２ 
$a$　を　1と異なる正の実数とする。 
すると 
1)　任意の2つの正の実数ｂ、ｃに対して, 
$\qquad \log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}bc \qquad \qquad \qquad (4)$ 
2)　任意の2つの正の実数 b,c に対して, 
$\qquad \log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\frac{b}{c} \qquad \qquad \qquad (5)$ 
3)　任意の正の実数 b と任意の実数 c に対して　 
$\qquad \log_{a}b^c = c \log_{a}b \qquad \qquad \qquad (6)$ 
証明 
1)　指数関数$f_{a}(x)=a^x$ の性質から、 
$a^{x_{b}}= b,\quad a^{x_{c}}= c \qquad \qquad \qquad (7)$　 
を満たす、実数 $x_{b} \quad x_{c}$ がそれぞれ唯一つ定まる。 
式(7)から対数関数の定義を用いると、 
$\log_{a}b = x_{b} \quad \log_{a}c = x_{c}\qquad \qquad \qquad (8)$　 
すると、 
$\quad \log_{a}b + \log_{a}c = x_b + x_c \quad (式(8)から)$ 
$=\log_{a} a^{x_b + x_c } \quad (式(1)から)$ 
$=\log_{a} (a^{x_b} a^{x_c }) \quad (指数関数の性質から)$ 
$=\log_{a}(bc) \quad (式(7)から) $ 
2)も同様に証明できる。 
３）$X \triangleq \log_{a}b^c$ とおく。すると、対数の定義から、 
$a^X = b^c$ 
$\qquad $ ｂは正の実数なので、$x_b=\log_{a}b　とおくと、 a^{x_b}= b$なので、 
$= (a^{x_b})^c = a^{x_b c} \quad (指数関数の性質から）$ 
故に 
$a^X = a^{x_b c}$ 
指数関数が一対一関数なので、$X = x_b c = c \log_{a}b$ 
X の定義から、$\log_{a}b^c = c \log_{a}b \qquad \qquad \Box $ 
定理３　底の変換公式 
任意の3つの正の実数　$a(\neq 1),b,c(\neq 1) $　に対して 
$\qquad \log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\qquad \qquad \qquad (9)$ 
証明 
定理１の式(3')から、 
$ \quad a^{\log_{a}b} = b \qquad \qquad \qquad (10)$ 
底をｃとする対数をとれば、 
$\log_{c}a^{\log_{a}b} = \log_{c} b$ 
$\qquad $定理２の式(6)から、$\log_{c}a^{\log_{a}b} = (\log_{a}b)(\log_{c}a)$なので、 
$ (\log_{a}b)(\log_{c}a) = \log_{c} b$ 
$a,\quad c$ は、１と異なる正の実数であるため、$ \log_{c}a \neq 0$　となり、 $\log_{a}b = \frac{\log_{c}b }{\log_{c}a}$ 
が得られた。 
証明終わり。 $\qquad \qquad \qquad \Box $ 

== 指数関数と対数関数の微分 ==

物理/この章の付録 - 変更履歴

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