物理/エネルギーと保存則 - 変更履歴

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エネルギー

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保存力と位置エネルギー

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保存力と位置エネルギー

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Moderator — Fri, 22 Jan 2016 17:05:36 GMT

保存力と位置エネルギー

←前の版		2016年1月22日 (金) 17:05時点における版
349 行:		349 行:
	すでに証明した「力の場が保存的である必要十分条件」中の命題により、<br/>		すでに証明した「力の場が保存的である必要十分条件」中の命題により、<br/>
	保存力場であることが証明された。<br/><br/>		保存力場であることが証明された。<br/><br/>
-
-	~~==== 複数の星が作る万有引力場　====~~
-	~~今までは、保存力場が不変であり、その場の中も質点が受ける力の性質について考えてきた。<br/>~~
-	~~このような限定をつけても応用範囲はかなりある。<br/>~~
-	~~例えば、太陽の周りの惑星の運動などでは、太陽の質量が大きく、惑星からの万有引力を受けてもほとんど動かない。<br/>~~
-	~~このため太陽の作る万有引力場（保存力場）のなかの惑星運動の解析は有用である。<br/>~~
-	~~ところが、質量に大差がない複数の星が万有引力で互いに引き合いながら運動する場合には、<br/>~~
-	~~関与する星はすべて万有引力により運動するため、適用不可である。<br/>~~
-	~~そこでこれらにも適用できるよう若干理論を拡張しよう。<br/>~~
-	~~星の個数をNとし、質量$m_i$(i=1,2,,,N)　の質点とみなし、質点$m_i$と略称する。<br/>~~
-	~~適切な慣性系を選び、各質点$m_i$　の位置ベクトルを $\vec{r^i}$(i=1,2,,,N)とおくと、<br/>~~
-	~~質点　$m_i$　が受ける万有引力 $\vec{F_G^i}$　は、<br/>~~
-	~~$\vec{F_G^i}=\sum_{j,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-3/2}$<br/>~~
-
-	~~補題<br/>~~
-	~~(1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\frac{1}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|}~~
-	~~:=\left(\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},~~
-	~~\frac{\partial }{\partial {r^i}_2}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},~~
-	~~\frac{\partial }{\partial {r^i}_3}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1}\right)^T$<br/>~~
-	~~$=\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^3}$<br/>~~
-	~~ここで、${r^i}_k$(k=1,2,3)はベクトル　$\vec{r^i}$　の第k成分のこと。<br/>~~
-	~~$(a_1,a_2,a_3)^T$ は　横ベクトル$(a_1,a_2,a_3)$　を縦ベクトルに変換したもの。<br/>~~
-

	==力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則==		==力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則==
402 行:		379 行:
	*[[wikipedia:Conservation_of_energy#Mechanics\|ウィキペディア（Conservation_of_energy#Mechanics）]] in English		*[[wikipedia:Conservation_of_energy#Mechanics\|ウィキペディア（Conservation_of_energy#Mechanics）]] in English

		+	==== 複数の星が作る万有引力場　====
		+	今までは、保存力場が不変であり、その場の中も質点が受ける力の性質について考えてきた。<br/>
		+	このような限定をつけても応用範囲はかなりある。<br/>
		+	例えば、太陽の周りの惑星の運動などでは、太陽の質量が大きく、惑星からの万有引力を受けてもほとんど動かない。<br/>
		+	このため太陽の作る万有引力場（保存力場）のなかの惑星運動の解析は有用である。<br/>
		+	ところが、質量に大差がない複数の星が万有引力で互いに引き合いながら運動する場合には、<br/>
		+	関与する星はすべて万有引力により運動するため、適用不可である。<br/>
		+	そこでこれらにも適用できるよう若干理論を拡張しよう。<br/>
		+	星の個数をNとし、質量$m_i$(i=1,2,,,N)　の質点とみなし、質点$m_i$と略称する。<br/>
		+	適切な慣性系を選び、各質点$m_i$　の位置ベクトルを $\vec{r^i}$(i=1,2,,,N)とおくと、<br/>
		+	質点　$m_i$　が受ける万有引力 $\vec{F_G^i}$　は、<br/>
		+	$\vec{F_G^i}=\sum_{j,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-3/2}\qquad \qquad (1)$<br/>
		+	補題<br/>
		+	(1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\frac{1}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|}
		+	:=\left(\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},
		+	\frac{\partial }{\partial {r^i}_2}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},
		+	\frac{\partial }{\partial {r^i}_3}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1}\right)^T$<br/>
		+	$\qquad =\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^3}\qquad (2)$<br/>
		+	ここで、${r^i}_k$(k=1,2,3)はベクトル　$\vec{r^i}$　の第k成分のこと。<br/>
		+	$(a_1,a_2,a_3)^T$ は　横ベクトル$(a_1,a_2,a_3)$　を縦ベクトルに変換したもの。<br/>
		+	(2) $U(\vec{r^1},\vec{r^2},\cdots,\vec{r^N}):=-\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1,2,\cdots,N,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1}$　で関数$U$　を定義すると、<br/>
		+	$\qquad \vec{F_G^i}=-\frac{\partial U}{\partial \vec{r^i}}\quad (i=1,2,\cdots,N)\qquad (3)$<br/>
		+	証明；<br/>
		+	(1)　第一成分の計算。<br/>
		+	$\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1}
		+	=\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\left(\sum_{k=1}^{3}(r^{j]_{k}-r^{i]_{k})^{2}\right)^{-1/2}$<br/>
		+	合成関数の微分の公式により、<br/>
		+	$=-\frac{1{}2}\left(\sum_{k=1}^{3}(r^{j]_{k}-r^{i]_{k})^{2}\right)^{-3/2}
		+	2(r^{j]_{1}-r^{i]_{1})(-1)
		+	=\left(\sum_{k=1}^{3}(r^{j]_{k}-r^{i]_{k})^{2}\right)^{-3/2}(r^{j]_{1}-r^{i]_{1})
		+	=\frac{r^{j]_{1}-r^{i]_{1}}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^3}$<br/>
		+	第2、第3成分の計算も同様にできて、所望の結果を得る。<br/>
		+	(2)$\frac{\partial U(\vec{r^1},\vec{r^2},\cdots,\vec{r^N})}{\partial \vec{r^i}}
		+	=-\sum_{j=1,2,\cdots,N,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\frac{\partial}{\partial \vec{r^i}}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1}$<br/>
		+	式(2)を代入すると、<br/>
		+	$=-\sum_{j=1,2,\cdots,N,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^3}$<br/>
		+	式(1)を代入すると、<br/>
		+	$= -\vec{F_G^i}$<br/>
		+	補題の証明終わり。<br/><br/>
		+	この補題から、複数の星のつくる万有引力は、<br/>
		+	前項で説明した保存力場と同じように
		+	関数Uの偏微分で表現できることが分かった。<br/>
		+	そこで次の定義を与える。<br/>
		+	定義；<br/>
		+	$U(\vec{r^1},\vec{r^2},\cdots,\vec{r^N}):=-\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1,2,\cdots,N,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1}$を、<br/>
		+	質点系$m_i(i=1,2,,,N)$　のポテンシャルという。<br/>
		+
		+
		+	=====力学的エネルギーの保存則　=====
		+	定義；<br/>
		+	運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和<br/>
		+	$\sum_{i=1}{N}\frac{m_i}{2}\\|\vec{v^i(t)\|\^2+U(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^1}(t))\right)\qquad(7) $<br/>
		+	を、質点系$m_i(i=1,2,,,N)$　の力学的エネルギーという。<br/><br/>
		+	定理；力学的エネルギーの変化量<br/>
		+	各質点$m_i$　に万有引力　$\vec{F_G^i}$　以外に、外力　$\vec{f^i}$　が作用する時<br/>
		+	これらの外力が時刻　$t_1$から $t_2$　の間になす仕事　$W_e=\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{f^i}(t)\cdot \vec{v^i}(t)$　は、質点系の力学的エネルギーの増加に等しい。<br/>
		+	式で書くと、<br/>
		+	$W_e=\left(\sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2}\\|\vec{r^i}(t_2)\\|^2+U(\vec{r^1}(t_2),,,
		+	\vec{r^N}(t_2)) \right)-\left( \sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2}\\|\vec{r^i}(t_1)\\|^2+U(\vec{r^1}(t_1),,,\vec{r^N}(t_1)) \right)\qquad (4)$<br/>
		+	証明；<br/>
		+	質点　$m_i$　に働く合力は　$\vec{F^i}=\vec{F_G^i}+\vec{f^i}$なので、<br/>
		+	仕事・エネルギー定理より、<br/>
		+	力　$\vec{F^1},,,,\vec{F^N}$　が時刻　$t_1$　から　$t_2$　までになす仕事<br/>
		+	$W=\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{F^i}(t) \cdot \vec{v^i}(t)dt$　は<br/>
		+	$W=\sum_{i=1}{N}\frac{m_i}{2}\\|\vec{v^i(t_2)\|\^2-\sum_{i=1}{N}\frac{m_i}{2}\\|\vec{v^i(t_1)\|\^2 \qquad (5)$<br/>
		+	他方、<br/>
		+	$W=\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{F^i}(t) \cdot \vec{v^i}(t)dt$ <br/>
		+	$=\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{F_G^i}(t) \cdot \vec{v^i}(t)dt
		+	+\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{f^i}(t) \cdot \vec{v^i}(t)dt$　<br/>
		+	式(3)を代入して、<br/>
		+	$=-\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial U}{\partial \vec{r^i}}\cdot \vec{v^i}(t)dt +W_e$<br/>
		+	ここで、$\frac{dU(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^1}(t))}{dt}=
		+	$=\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial U}{\partial \vec{r^i}}\cdot \vec{v^i}(t)$なので、<br/>
		+	$=-\int_{t_1}^{t_2}\frac{dU(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^1}(t))}{dt}dt +W_e$<br/>
		+	$=-[U(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^1}(t))]_{t_1}^{t_2}+W_e$<br/>
		+	故に、$W=-[U(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^1}(t))]_{t_1}^{t_2}+W_e$<br/>
		+	式(5)を上式に代入して整頓すると、<br/>
		+	$W_e=\left(\sum_{i=1}{N}\frac{m_i}{2}\\|\vec{v^i(t_2)\|\^2+U(\vec{r^1}(t_2),,,\vec{r^1}(t_2))\right)-\left(\sum_{i=1}{N}\frac{m_i}{2}\\|\vec{v^i(t_1)\|\^2 +U(\vec{r^1}(t_1),,,\vec{r^1}(t_1))\right)\qquad(6)$<br/>
		+	証明終わり。<br/><br/>
		+
		+	系；万有引力以外の力が働かないときは、質点系の力学的エネルギーは保存される。
		+
	==運動量と保存則==		==運動量と保存則==

Moderator: /* 保存力と位置エネルギー */

Moderator — Fri, 22 Jan 2016 10:45:13 GMT

保存力と位置エネルギー

←前の版		2016年1月22日 (金) 10:45時点における版
364 行:		364 行:

	補題<br/>		補題<br/>
-	(1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}~~\left(~~\frac{1}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|}~~\right)~~	+	(1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\frac{1}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|}
	:=\left(\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},		:=\left(\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},
	\frac{\partial }{\partial {r^i}_2}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},		\frac{\partial }{\partial {r^i}_2}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},
	\frac{\partial }{\partial {r^i}_3}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1}\right)^T$<br/>		\frac{\partial }{\partial {r^i}_3}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1}\right)^T$<br/>
	$=\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^3}$<br/>		$=\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^3}$<br/>
-	ここで、${r^i}_k$(k=1,2,3)はベクトル　$\vec{r^i}$　の第k成分のこと。	+	ここで、${r^i}_k$(k=1,2,3)はベクトル　$\vec{r^i}$　の第k成分のこと。<br/>
-		+	$(a_1,a_2,a_3)^T$ は　横ベクトル$(a_1,a_2,a_3)$　を縦ベクトルに変換したもの。<br/>

Moderator: /* 保存力と位置エネルギー */

Moderator — Fri, 22 Jan 2016 10:43:09 GMT

保存力と位置エネルギー

←前の版		2016年1月22日 (金) 10:43時点における版
635 行:		635 行:

	補題<br/>		補題<br/>
-	(1)\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\frac{1}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|}	+	(1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\frac{1}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|}
-	:=$\frac{\partial }{\partial ~~\vec~~{r^i}_1}~~\frac{1}{~~\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|},	+	:=\left(\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},
-	\frac{\partial }{\partial ~~\vec~~{r^i}_2}~~\frac{1}{~~\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|},	+	\frac{\partial }{\partial {r^i}_2}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},
-	\frac{\partial }{\partial ~~\vec~~{r^i}_3}~~\frac{1}{~~\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|})^T$<br/>$=\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^3}	+	\frac{\partial }{\partial {r^i}_3}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1}\right)^T$<br/>
		+	$=\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^3}$<br/>
		+	ここで、${r^i}_k$(k=1,2,3)はベクトル　$\vec{r^i}$　の第k成分のこと。<br/>
		+	$(a_1,a_2,a_3)^T$ は　横ベクトル$(a_1,a_2,a_3)$　を縦ベクトルに変換したもの。<br/>
		+

	==力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則==		==力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則==

Moderator: /* 保存力と位置エネルギー */

Moderator — Fri, 22 Jan 2016 10:29:59 GMT

保存力と位置エネルギー

←前の版		2016年1月22日 (金) 10:29時点における版
349 行:		349 行:
	すでに証明した「力の場が保存的である必要十分条件」中の命題により、<br/>		すでに証明した「力の場が保存的である必要十分条件」中の命題により、<br/>
	保存力場であることが証明された。<br/><br/>		保存力場であることが証明された。<br/><br/>
		+
		+	==== 複数の星が作る万有引力場　====
		+	今までは、保存力場が不変であり、その場の中も質点が受ける力の性質について考えてきた。<br/>
		+	このような限定をつけても応用範囲はかなりある。<br/>
		+	例えば、太陽の周りの惑星の運動などでは、太陽の質量が大きく、惑星からの万有引力を受けてもほとんど動かない。<br/>
		+	このため太陽の作る万有引力場（保存力場）のなかの惑星運動の解析は有用である。<br/>
		+	ところが、質量に大差がない複数の星が万有引力で互いに引き合いながら運動する場合には、<br/>
		+	関与する星はすべて万有引力により運動するため、適用不可である。<br/>
		+	そこでこれらにも適用できるよう若干理論を拡張しよう。<br/>
		+	星の個数をNとし、質量$m_i$(i=1,2,,,N)　の質点とみなし、質点$m_i$と略称する。<br/>
		+	適切な慣性系を選び、各質点$m_i$　の位置ベクトルを $\vec{r^i}$(i=1,2,,,N)とおくと、<br/>
		+	質点　$m_i$　が受ける万有引力 $\vec{F_G^i}$　は、<br/>
		+	$\vec{F_G^i}=\sum_{j,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-3/2}$<br/>
		+
		+	補題<br/>
		+	(1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\left(\frac{1}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|}\right)
		+	:=\left(\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},
		+	\frac{\partial }{\partial {r^i}_2}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},
		+	\frac{\partial }{\partial {r^i}_3}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1}\right)^T$<br/>
		+	$=\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^3}$<br/>
		+	ここで、${r^i}_k$(k=1,2,3)はベクトル　$\vec{r^i}$　の第k成分のこと。
		+
		+

	==力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則==		==力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則==

Moderator: /* 力の場が保存的である必要十分条件 */

Moderator — Fri, 22 Jan 2016 09:59:17 GMT

力の場が保存的である必要十分条件

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←前の版		2016年1月22日 (金) 10:45時点における版
364 行:		364 行:

	補題<br/>		補題<br/>
-	(1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}~~\left(~~\frac{1}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|}~~\right)~~	+	(1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\frac{1}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|}
	:=\left(\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},		:=\left(\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},
	\frac{\partial }{\partial {r^i}_2}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},		\frac{\partial }{\partial {r^i}_2}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1},
	\frac{\partial }{\partial {r^i}_3}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1}\right)^T$<br/>		\frac{\partial }{\partial {r^i}_3}\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^{-1}\right)^T$<br/>
	$=\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^3}$<br/>		$=\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\\|^3}$<br/>
-	ここで、${r^i}_k$(k=1,2,3)はベクトル　$\vec{r^i}$　の第k成分のこと。	+	ここで、${r^i}_k$(k=1,2,3)はベクトル　$\vec{r^i}$　の第k成分のこと。<br/>
-		+	$(a_1,a_2,a_3)^T$ は　横ベクトル$(a_1,a_2,a_3)$　を縦ベクトルに変換したもの。<br/>