Moderator: ページの作成: = ベクトル積　= 本節での全ての命題で、
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル
$\alpha$を実数とする。

命題１． $ \qua…

Moderator — Thu, 05 Feb 2015 13:56:29 GMT

ページの作成: = ベクトル積　= 本節での全ての命題で、 $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル $\alpha$を実数とする。 命題１． $ \qua…

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= ベクトル積　=
本節での全ての命題で、 
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル 
$\alpha$を実数とする。 

命題１． $ \quad \vec{a} $ を, $\vec{c} $と垂直な成分$ \vec{a_\perp}$ と,平行な成分$\vec{a_\parallel}$ の和に分解するとき、 
$\quad \vec{a} \times \vec{c}= \vec{a_\perp} \times \vec{c}$ 
$\quad \vec{a_\parallel} \times \vec{c}= 0$ 
証明；ベクトル積の定義から、容易に示せる。 
２つのベクトルの作る平行四辺形の面積と方向・向きを考えれば良い。 

命題２．$ \quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ 
証明；２つのベクトルを入れ替えても、それらが作る平行四辺形の面積は変わらず、この四辺形に直交する直線の方向も変わらない。 
しかし、ベクトル積の向きは、逆向きになる。 
ベクトル積の定義から、$\quad \vec{a} \times \vec{b}= -\vec{b} \times \vec{a}$ が示せた。 
命題３ 
$(\alpha\vec{a})\times \vec{b}= \alpha(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{a}\times (\alpha\vec{b})$　 
証明；実数$\alpha$ が正、零、負の場合に分けて考える。 
いずれの場合にも,
ベクトル積の定義とベクトルと実数の積の性質から、容易に証明できる。 

命題４．$ \quad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$　 
証明； 
この証明には少し工夫が必要である。 
ベクトル積の命題の中でも、もっとも大切なものなので、詳しく説明しよう。 
①　$ \vec{a}, \vec{b}$ と$\quad \vec{c}\quad$ が直交する場合。図参照のこと 
・議論をやさしくするため、ベクトルを、空間の原点$O$ を始点とする有向線分で代表させる。 
・$ \vec{c}$ と直交し$O$ を通る平面を$H$とする。 
・仮定より$ \vec{a},\quad \vec{b}$は、ともに平面$H$上のベクトルである。 
・$\vec{a} \times \vec{c} ,\quad \vec{b} \times \vec{c}$も、 
ベクトル積の定義により、共に$ \vec{c}$ と直交するので、$H$上のベクトルである。 
これら四つのベクトルはすべて平面$H$上にあるので、今後の議論はこの平面上で進める。 
　ⅰ）$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形は, $\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形を、$\| \vec{c}\|$倍し,原点周りに９０度回転したものになることを、示そう。 
・$\vec{a} \times \vec{c} $は、ベクトル積の定義から、$ \vec{a}$ と直交する。 
そのため、$\vec{a}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致する。 
・$\vec{b} \times \vec{c} $も、同様に考え、$\vec{b}$ を平面$H$上で、原点まわりに、９０度右回りか、左回りすれば、方向と向きが一致することが分かる。 
・どちら周りの回転になるかは、ベクトル積の定義によって決まるが、 
後者の回転の向きが、前者の回転の向きと一致することが分かる。 
・$\vec{a}\times \vec{c}$ の大きさは、 
$\|\vec{a}\times \vec{c}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|\cos(\pi/2)=\|\vec{a}\|\|\vec{c}\|$ なので、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
同様に、$\vec{b}\times \vec{c}$ の大きさは、$\vec{a}$ の大きさの$\|\vec{c}\|$倍になる。 
・以上の結果より、所望の結果は示された。 
　ⅱ）$ \qquad (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$を示そう。 
・　ⅰ)と同じ議論により、 
$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は$\vec{a}, \vec{b}$の張る平行四辺形の対角線を、原点周りに９０度、同じ向きに回転させ、$\|\vec{c}\|$倍させたものであることが分かる。 
・すると、ⅰ)で示したことから、$(\vec{a}+ \vec{b}) \times \vec{c}$は 
$\vec{a} \times \vec{c}, \vec{b} \times \vec{c}$ の張る平行四辺形の対角線$\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}$ に等しいことが分かる。 
・以上で①が示せた。 

②　一般の場合。 
命題1より、$\perp$ を$\vec{c}$と垂直な成分を表すとすると、 $ (\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{c}= (\vec{a}+ \vec{b})_\perp \times \vec{c} \qquad \qquad \qquad $(1) 
$(\vec{a}+ \vec{b})_\perp =\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp$なので、(1)式は、 
$ = (\vec{a}_\perp +\vec{b}_\perp) \times \vec{c}$ 
①より、 
$ = \vec{a}_\perp \times \vec{c}+\vec{b}_\perp\times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \vec{c}$ $ \qquad $ 命題４の証明終わり。 
　

命題４の系　　 　　
$ \quad \vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ 
$ \quad (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$ 
証明； 
命題２より、 
$\vec{a} \times (\vec{b}+ \vec{c})= -\left((\vec{b}+ \vec{c})\times \vec{a}\right) $ 命題３から 
$=\left(-(\vec{b}+ \vec{c})\right)\times \vec{a}$
命題４より、 
$= -(\vec{b} \times \vec{a}+ \vec{c} \times \vec{a})$ 
再び命題２より、 
$=\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}　\quad　$前半の証明終わり 
命題２より、 
$ (\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})\times \vec{d}=(\vec{a}+ \vec{b})\times \vec{d}+\vec{c})\times \vec{d}$ 
再び命題２より、 
$ =\vec{a}\times \vec{d}+\vec{b}\times \vec{d}+\vec{c}\times \vec{d}$
$\quad$証明終わり。 　　

命題５．$\quad (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ を 
それぞれ大きさ(長さ)１で互いに直交し、[[wikipedia_ja:右手系|右手系]]をなす、ベクトル(右手系をなす正規直交基底)とする。 

この時、 
$ \quad \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}, \quad
\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}, \quad
\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ 
証明；ベクトル積と$(e_1,e_2,e_3)$ の定義から明らかである。 

命題６．ベクトル$\vec a, \vec b$を,命題５で用いた基底$ (\vec{e_1},\vec{e_2}, \vec{e_3})$ で決まる座標の座標成分で表示しておく。 
すると$\vec a \times \vec b=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)$　 
証明；$\vec a=a_x\vec{e_x}+a_y\vec{e_y}+a_z\vec{e_z}$, 
$\vec b=b_x\vec{e_x}+b_y\vec{e_y}+b_z\vec{e_z}$と表せるので、 
$\vec a \times \vec b=(a_x\vec{e_x}+a_y\vec{e_y}+a_z\vec{e_z})\times \vec b$
性質３の系から 
$=a_x\vec{e_x}\times \vec b
+a_y\vec{e_y}\times \vec b
+a_z\vec{e_z}\times \vec b$ $\qquad$ (1) 

式(1)の第１項
$a_x\vec{e_x}\times \vec b$
に
$\vec b=b_x\vec{e_x}+b_y\vec{e_y}+b_z\vec{e_z}$
を代入して、性質３の系を使って変形すると、 
$a_x\vec{e_x}\times \vec b
=a_x\vec{e_x}\times b_x\vec{e_x}
+a_x\vec{e_x}\times b_y\vec{e_y}
+a_x\vec{e_x}\times b_z\vec{e_z}$ $\qquad$ (2) 
性質４と性質５を使うと、 
$a_x\vec{e_x}\times b_x\vec{e_x}
=a_x b_x\vec{e_x}\times \vec{e_x}
=\vec 0$ 。 
同様の計算を行うと、 
$a_x\vec{e_x}\times b_y\vec{e_y}
=a_x b_y\vec{e_x}\times \vec{e_y}
=a_x b_y\vec{e_z}$ 

$a_x\vec{e_x}\times b_z\vec{e_z}
=a_x b_z\vec{e_x}\times \vec{e_z}
=-a_x b_z\vec{e_y}$ 

式(2)にこれらを代入して、 
$a_x\vec{e_x}\times \vec b
=a_x b_y\vec{e_z} - a_x b_z\vec{e_y} $ $\qquad$　(3) 

式(1)の第２項、第３項も同様に計算すると、 
$a_y\vec{e_y}\times \vec b
=a_y b_z\vec{e_x} - a_y b_x\vec{e_z} $ $\qquad$ (4) 

$a_z\vec{e_z}\times \vec b
=a_z b_x\vec{e_y} - a_z b_y\vec{e_x} $ $\qquad$ (5) 

式(3),(4),(5) を、式 (1)に代入すると、 
$\vec a \times \vec b
=a_x b_y\vec{e_z} - a_x b_z\vec{e_y}
+a_y b_z\vec{e_x} - a_y b_x\vec{e_z}
+a_z b_x\vec{e_y} - a_z b_y\vec{e_x}$ 
$ =(a_y b_z - a_z b_y)\vec{e_x}
+(a_z b_x - a_x b_z)\vec{e_y}
+(a_x b_y - a_y b_x)\vec{e_z}$ 
性質６の証明終わり。 

性質７の証明； 
$ \quad (\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標を決める。 
３つのベクトルを、この座標の成分で表示して、性質６と内積の性質を使えば、左右が等しいことが証明できる。 
概略をスケッチしよう。 
$ \quad (\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)
\cdot (c_x,c_y,c_z)
=(a_yb_z-a_zb_y)c_x+(a_zb_x-a_xb_z)c_y+(a_xb_y-a_yb_x)c_z$　 
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算する。 これら両式を整頓すると、同じものであることが分かる。 

命題７． 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b} =(\vec{b} \times \vec{c})\cdot\vec{a}$ 
証明 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}= (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$を証明しよう。 
残りも、同様に証明出来るので各自試みてください。 
右手系をなす一つの直交座標を決める。 
３つのベクトルを、この座標の成分で表示して、性質６と内積の性質を使えば、左右が等しいことが証明できる。 
概略をスケッチしよう。 
$(\vec{a} \times \vec{b})\cdot \vec{c}
=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)
\cdot (c_x,c_y,c_z)
=(a_yb_z-a_zb_y)c_x+(a_zb_x-a_xb_z)c_y+(a_xb_y-a_yb_x)c_z$　 
$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算する。 これら両式を整頓すると、同じものであることが分かる。 
性質７の証明終わり。 

命題８． $ \quad \vec{a(t)} $ と $\vec{b(t)} $を,$t$にかんして微分可能な、ベクトルに値をとる関数とする。すると、 
$ \quad \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$ は、$t$にかんして微分可能で、 
$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}) =(\frac{d}{dt}\vec{a(t)} )\times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times (\frac{d}{dt}\vec{b(t)})$
証明 
すでにこのテキストで紹介した、ベクトル値関数の微分の定義 
$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)})
=\lim_{\delta t \to 0}
(\vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)})/\delta t$ $\qquad $ (1)　　 
を用いて証明する。 
この極限が存在し、 
$\frac{d}{dt}\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times \frac{d}{dt}\vec{b(t)}$ 
になることを示せば性質８は証明できたことになる。 
極限の計算が進むよう、右辺の式の分母は変形しよう。 
関数の積の微分公式の証明と同じ技巧を用いる。 
$ \vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}
- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$　　 
$ = \vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}
-\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)}
+\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)}
- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$　　 
ベクトル積の性質３を利用すると、　 
$ = \left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right)
\times
\vec b\left(t+\delta t\right)
+\vec a\left(t\right)\times \left(\vec b\left(t+\delta t\right)- \vec b\left(t\right)\right) $

この式を式(１)の右辺の分子の項に代入し整頓すると 
$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)})
=\lim_{\delta t \to 0}
\frac{\vec a(t+\delta t)\times \vec b(t+\delta t)- \vec a(t) \times \vec b(t)}
{\delta t}$ 　 
$=\lim_{\delta t \to 0}
\frac{\left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right)
\times
\vec b\left(t+\delta t\right)
+\vec a\left(t\right)\times \left(\vec b\left(t+\delta t\right)- \vec b\left(t\right)\right) }
{\delta t}
$ 
ベクトル積の性質４を使い、 
$=\lim_{\delta t \to 0}\left(
\frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t}
\times
\vec b\left(t+\delta t\right)
+
\vec a(t)\times \frac{\vec b(t+\delta t)- \vec b(t)}
{\delta t}
\right)$ 
極限の性質を使って、 
$=\lim_{\delta t \to 0}
\frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t}
\times
\lim_{\delta t \to 0}\vec b(t+\delta t)
+
\vec a(t)\times
\lim_{\delta t \to 0}\frac{\vec b(t+\delta t)- \vec b(t)}{\delta t}
$ 
式中の極限は、$\vec a,\vec b$が、微分可能なので存在し、 
$\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec a(t+\delta t) -\vec a(t)}{\delta t}
=\frac{d\vec a(t)}{dt}$ 
$\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec b(t+\delta t) -\vec b(t)}{\delta t}
=\frac{d\vec b(t)}{dt}$ 
また、$\lim_{\delta t \to 0}\vec b(t+\delta t)=\vec b(t) $ なので、 
所望の結果が得られた。性質８の証明終わり。

物理/付録１ ベクトル積 - 変更履歴

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物理/付録１　ベクトル積 - 変更履歴

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