物理/剛体と回転力 - 変更履歴

Moderator: /* 　ベクトル積にかんする命題　　　　 */

Moderator — Mon, 07 Jun 2021 11:47:53 GMT

　ベクトル積にかんする命題　　　　

←前の版		2021年6月7日 (月) 11:47時点における版
208 行:		208 行:
	[http://ja.iwschool.org/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86/%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E3%81%A8%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB#.E3.83.99.E3.82.AF.E3.83.88.E3.83.AB.E7.A9.8D.E3.80.80\|８章物理数学の1.4節(ベクトル積)]で扱う。<br/>		[http://ja.iwschool.org/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86/%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E3%81%A8%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB#.E3.83.99.E3.82.AF.E3.83.88.E3.83.AB.E7.A9.8D.E3.80.80\|８章物理数学の1.4節(ベクトル積)]で扱う。<br/>
	ベクトル積に関しては以下を参照のこと。		ベクトル積に関しては以下を参照のこと。
-	*[[wikipedia_ja:~~クロス積~~\|~~ウィキペディア（クロス積）~~]	+	*[[wikipedia_ja: ベクトル積　　\|ウィキペディア（ベクトル積　　）　]]

	====　軸周りの微小回転による変位のベクトル積表示　====		====　軸周りの微小回転による変位のベクトル積表示　====

Moderator: /* 　てこの原理と剛体の釣り合い */

Moderator — Sat, 07 Mar 2020 04:48:16 GMT

　てこの原理と剛体の釣り合い

←前の版		2020年3月7日 (土) 04:48時点における版
391 行:		391 行:
	この点をとおり、図面に垂直な軸の周りを自由に回転する装置を梃子(てこ）と呼ぶ。<br/>		この点をとおり、図面に垂直な軸の周りを自由に回転する装置を梃子(てこ）と呼ぶ。<br/>
	てこは、重いものをもちあげる道具として紀元前5000年ころから使われていた。<br/>		てこは、重いものをもちあげる道具として紀元前5000年ころから使われていた。<br/>
-		+	*[[File:GENPHY00010206-00.jpg\|right\|frame\|図　梃子（てこ）]]
	===　てこの原理 ===		===　てこの原理 ===
	てこの棒の太さは、(長さに比べ非常に小さく)無視でき、<br/>		てこの棒の太さは、(長さに比べ非常に小さく)無視でき、<br/>

Moderator: /* 　ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示 */

Moderator — Sat, 23 Jun 2018 08:18:15 GMT

　ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示

←前の版		2018年6月23日 (土) 08:18時点における版
151 行:		151 行:
	以上の結果は、ベクトル積（vector product)を用いると簡潔、正確に表現でき、<br/>		以上の結果は、ベクトル積（vector product)を用いると簡潔、正確に表現でき、<br/>
	回転運動の性質を調べるのが容易になる。<br/><br/>		回転運動の性質を調べるのが容易になる。<br/><br/>
		+	<span id="ベクトル積の定義"></span>
	'''定義　ベクトル積'''<br/>		'''定義　ベクトル積'''<br/>
	3次元ベクトル$\vec a,\vec b$ のベクトル積　$\vec a \times \vec b$　とは、<br/>		3次元ベクトル$\vec a,\vec b$ のベクトル積　$\vec a \times \vec b$　とは、<br/>

Moderator: /* 　原点まわりの力のモーメント */

Moderator — Sat, 23 Jun 2018 08:14:56 GMT

　原点まわりの力のモーメント

←前の版		2018年6月23日 (土) 08:14時点における版
147 行:		147 行:
	数式で書くと、<br/>		数式で書くと、<br/>
	$\vec N=(yF_{z}-zF_{y},zF_{x}-xF_{z},xF_{y}-yF_{x})$,<br/>		$\vec N=(yF_{z}-zF_{y},zF_{x}-xF_{z},xF_{y}-yF_{x})$,<br/>
-	~~<span id="ベクトル積の性質0"></span>~~

	===　ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示===		===　ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示===

Moderator: /* 　原点まわりの力のモーメント */

Moderator — Sat, 23 Jun 2018 08:06:56 GMT

　原点まわりの力のモーメント

←前の版		2018年6月23日 (土) 08:06時点における版
147 行:		147 行:
	数式で書くと、<br/>		数式で書くと、<br/>
	$\vec N=(yF_{z}-zF_{y},zF_{x}-xF_{z},xF_{y}-yF_{x})$,<br/>		$\vec N=(yF_{z}-zF_{y},zF_{x}-xF_{z},xF_{y}-yF_{x})$,<br/>
		+	<span id="ベクトル積の性質0"></span>

	===　ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示===		===　ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示===

Moderator: /* てこの原理と剛体の釣り合い */

Moderator — Sat, 23 Jun 2018 04:33:41 GMT

てこの原理と剛体の釣り合い

←前の版		2018年6月23日 (土) 04:33時点における版
386 行:		386 行:
	となる。証明終わり。<br/>		となる。証明終わり。<br/>

-	== ~~てこの原理と剛体の釣り合い~~==	+	==　てこの原理と剛体の釣り合い==
	図のように剛体の棒の中間に支点$O$があり、<br/>		図のように剛体の棒の中間に支点$O$があり、<br/>
	この点をとおり、図面に垂直な軸の周りを自由に回転する装置を梃子(てこ）と呼ぶ。<br/>		この点をとおり、図面に垂直な軸の周りを自由に回転する装置を梃子(てこ）と呼ぶ。<br/>
	てこは、重いものをもちあげる道具として紀元前5000年ころから使われていた。<br/>		てこは、重いものをもちあげる道具として紀元前5000年ころから使われていた。<br/>

-	=== ~~てこの原理~~ ===	+	===　てこの原理 ===
	てこの棒の太さは、(長さに比べ非常に小さく)無視でき、<br/>		てこの棒の太さは、(長さに比べ非常に小さく)無視でき、<br/>
	単位長さあたりの質量は一定で、$\rho$とする。<br/>		単位長さあたりの質量は一定で、$\rho$とする。<br/>
429 行:		429 行:
	本テキストではこの方法は採用しない。<br/>		本テキストではこの方法は採用しない。<br/>

-	=== ~~てこの原理の証明~~ ===	+	===　てこの原理の証明 ===
	今までの回転力の議論から、梃子がつりあっているときは、<br/>		今までの回転力の議論から、梃子がつりあっているときは、<br/>
	$x_2$(y)軸まわりの回転力が零であることが予想される。<br/>		$x_2$(y)軸まわりの回転力が零であることが予想される。<br/>
620 行:		620 行:
	梃子の原理の証明終わり。		梃子の原理の証明終わり。

-	=== ~~剛体の釣り合い~~ ===	+	===　剛体の釣り合い ===
	剛体は、静止しているか、等速度で並進運動しているとき、釣り合っているという。<br/>		剛体は、静止しているか、等速度で並進運動しているとき、釣り合っているという。<br/>
	剛体を膨大な数の質点$m_i, (i=1,2,,,,N)$が、強固に結合した質点系と考えると、<br/>釣り合い条件とは、<br/>		剛体を膨大な数の質点$m_i, (i=1,2,,,,N)$が、強固に結合した質点系と考えると、<br/>釣り合い条件とは、<br/>

Moderator: /* 　ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示 */

Moderator — Sat, 23 Jun 2018 04:29:39 GMT

　ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示

←前の版		2018年6月23日 (土) 04:29時点における版
209 行:		209 行:
	*[[wikipedia_ja:クロス積\|ウィキペディア（クロス積）]		*[[wikipedia_ja:クロス積\|ウィキペディア（クロス積）]

-	====　~~$\quad$軸周りの微小回転による変位のベクトル積表示~~　====	+	====　軸周りの微小回転による変位のベクトル積表示　====
	補題<br/>		補題<br/>
	剛体がｚ軸の周りを微小角$\Delta\theta$回転して、点$P(x,y,z)$が$Q$に移動したとする。<br/>		剛体がｚ軸の周りを微小角$\Delta\theta$回転して、点$P(x,y,z)$が$Q$に移動したとする。<br/>
231 行:		231 行:
	$\vec N \cdot \vec e_y $ ,$\quad \vec N \cdot \vec e_z $で		$\vec N \cdot \vec e_y $ ,$\quad \vec N \cdot \vec e_z $で
	表せる。		表せる。
-	====~~2次元の場合のベクトル積~~====	+	====　2次元の場合のベクトル積====
	平面上の物体のＰ点に、平面内の力を作用させ、この平面内の一点Ｏの周りを回転させる問題を考える。 <br/>		平面上の物体のＰ点に、平面内の力を作用させ、この平面内の一点Ｏの周りを回転させる問題を考える。 <br/>
	この平面にＯを原点とする2次元の直交右手座標をいれる。 <br/>		この平面にＯを原点とする2次元の直交右手座標をいれる。 <br/>

Moderator: /* 剛体に作用する力の回転力(トルク）　 */

Moderator — Sat, 23 Jun 2018 04:23:48 GMT

剛体に作用する力の回転力(トルク）　

←前の版		2018年6月23日 (土) 04:23時点における版
50 行:		50 行:
	さらにもう一回時間微分した$d^2\phi (t)/dt^2$を回転の角加速度と呼ぶ。<br/>		さらにもう一回時間微分した$d^2\phi (t)/dt^2$を回転の角加速度と呼ぶ。<br/>

-	==~~剛体に作用する力の回転力~~(トルク）　==	+	==　剛体に作用する力の回転力(トルク）　==
	質点の運動に倣って、剛体に作用する力によって、その位置(＝回転角）がどう変化するかの法則を導出したい。<br/>		質点の運動に倣って、剛体に作用する力によって、その位置(＝回転角）がどう変化するかの法則を導出したい。<br/>
	しかし、剛体の回転の場合、ある方向の力は、剛体の回転に全く関係しない。		しかし、剛体の回転の場合、ある方向の力は、剛体の回転に全く関係しない。
60 行:		60 行:
	力と仕事の関係の考察をしてみよう。		力と仕事の関係の考察をしてみよう。

-	===~~力と仕事の関係からの考察~~　===	+	===　力と仕事の関係からの考察　===
	適当な直交座標系をさだめ、ベクトルは、座標成分で表示する。<br/>		適当な直交座標系をさだめ、ベクトルは、座標成分で表示する。<br/>
	質点に、一定の力$\vec F=(F_x,F_y,F_z)$を作用させて、x軸方向に変位させる。<br/>		質点に、一定の力$\vec F=(F_x,F_y,F_z)$を作用させて、x軸方向に変位させる。<br/>
77 行:		77 行:
	この方針を実行して回転力を具体的に求めよう。<br/>		この方針を実行して回転力を具体的に求めよう。<br/>

-	===~~剛体に力を加え微小角動かす時の、力のなす仕事の算出~~　===	+	===　剛体に力を加え微小角動かす時の、力のなす仕事の算出　===
	図4.1のように剛体の任意の一点$P(x,y,z)$を考える。<br/>		図4.1のように剛体の任意の一点$P(x,y,z)$を考える。<br/>
	z座標の上方からxy平面を見下ろしているので、ｚ座標は点になり$O$と書いてある。<br/>		z座標の上方からxy平面を見下ろしているので、ｚ座標は点になり$O$と書いてある。<br/>
108 行:		108 行:
	$=(xF_{y}-yF_{x})*\Delta\theta$ <br/>		$=(xF_{y}-yF_{x})*\Delta\theta$ <br/>

-	===~~ｚ軸まわりの回転力の導出~~　===	+	===　ｚ軸まわりの回転力の導出　===
	ゆえに、力$\vec{F}$のｚ軸まわりの回転力（トルク）$T_\vec{e_z}$は$\Delta W/\Delta\theta=xF_{y}-yF_{x}$		ゆえに、力$\vec{F}$のｚ軸まわりの回転力（トルク）$T_\vec{e_z}$は$\Delta W/\Delta\theta=xF_{y}-yF_{x}$
	に等しい。<br/>		に等しい。<br/>
116 行:		116 行:
	$\Delta\theta$　は、変位量　　　に対応していることが分かる。<br/>		$\Delta\theta$　は、変位量　　　に対応していることが分かる。<br/>

-	===~~ｚ軸まわりの回転力（トルク）の性質~~===	+	===　ｚ軸まわりの回転力（トルク）の性質===

	(1)力$\vec{F}$のｚ軸まわりの回転力は,$\vec{F}_z$には関係しない。<br/>		(1)力$\vec{F}$のｚ軸まわりの回転力は,$\vec{F}_z$には関係しない。<br/>
136 行:		136 行:
	証明は、試みてほしい。		証明は、試みてほしい。

-	===~~他の軸の周りの回転力~~===	+	===　他の軸の周りの回転力===
	力$\vec{F}$のｘ軸、y軸まわりの回転力も同様に計算できる。結果は、<br/>		力$\vec{F}$のｘ軸、y軸まわりの回転力も同様に計算できる。結果は、<br/>
	x軸まわりの回転力；$yF_{z}-zF_{y}=y(F_t)_{z}-z(F_t)_{y}$<br/>		x軸まわりの回転力；$yF_{z}-zF_{y}=y(F_t)_{z}-z(F_t)_{y}$<br/>
142 行:		142 行:


-	===~~原点まわりの力のモーメント~~===	+	===　原点まわりの力のモーメント===
	位置ベクトル$\vec r=(x,y,z)$の剛体の点$P$に作用する力$\vec F$の原点まわりの力のモーメントを、<br/>		位置ベクトル$\vec r=(x,y,z)$の剛体の点$P$に作用する力$\vec F$の原点まわりの力のモーメントを、<br/>
	$\vec N=($x軸まわりのトルク、y軸まわりのトルク、z軸まわりのトルク$)$で定義する。<br/>		$\vec N=($x軸まわりのトルク、y軸まわりのトルク、z軸まわりのトルク$)$で定義する。<br/>
148 行:		148 行:
	$\vec N=(yF_{z}-zF_{y},zF_{x}-xF_{z},xF_{y}-yF_{x})$,<br/>		$\vec N=(yF_{z}-zF_{y},zF_{x}-xF_{z},xF_{y}-yF_{x})$,<br/>

-	===~~ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示~~===	+	===　ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示===
	以上の結果は、ベクトル積（vector product)を用いると簡潔、正確に表現でき、<br/>		以上の結果は、ベクトル積（vector product)を用いると簡潔、正確に表現でき、<br/>
	回転運動の性質を調べるのが容易になる。<br/><br/>		回転運動の性質を調べるのが容易になる。<br/><br/>
162 行:		162 行:
	ベクトル積に関して以下の8つの命題が成り立つ。<br/>		ベクトル積に関して以下の8つの命題が成り立つ。<br/>

-	====~~ベクトル積にかんする命題~~　　　　====	+	====　ベクトル積にかんする命題　　　　====
	以下に述べる全ての命題で、<br/>		以下に述べる全ての命題で、<br/>
	$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル<br/>		$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は3次元ベクトル<br/>
209 行:		209 行:
	*[[wikipedia_ja:クロス積\|ウィキペディア（クロス積）]		*[[wikipedia_ja:クロス積\|ウィキペディア（クロス積）]

-	====$\quad$軸周りの微小回転による変位のベクトル積表示　====	+	====　$\quad$軸周りの微小回転による変位のベクトル積表示　====
	補題<br/>		補題<br/>
	剛体がｚ軸の周りを微小角$\Delta\theta$回転して、点$P(x,y,z)$が$Q$に移動したとする。<br/>		剛体がｚ軸の周りを微小角$\Delta\theta$回転して、点$P(x,y,z)$が$Q$に移動したとする。<br/>
275 行:		275 行:
	=(\frac{d}{dt}\vec{a(t)} )\times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times (\frac{d}{dt}\vec{b(t)})$<br/><br/>		=(\frac{d}{dt}\vec{a(t)} )\times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times (\frac{d}{dt}\vec{b(t)})$<br/><br/>

-	=== ~~力のモーメントの性質~~ ===	+	===　力のモーメントの性質 ===
	もっと一般に、どんな軸の周りの回転力も、$\vec N$　から得られる。<br/>		もっと一般に、どんな軸の周りの回転力も、$\vec N$　から得られる。<br/>
	定理；<br/>		定理；<br/>
330 行:		330 行:
	回転運動一般に有効な概念であることが分かる。<br/>		回転運動一般に有効な概念であることが分かる。<br/>

-	====~~剛体の複数個所に作用する力の回転力とベクトル積表示~~　====	+	====　剛体の複数個所に作用する力の回転力とベクトル積表示　====
	次に剛体の多くの点に力を加えたときの回転力を求めよう。<br/>		次に剛体の多くの点に力を加えたときの回転力を求めよう。<br/>
	力の作用点を$P_i(x_i,y_i,z_i)$、その位置ベクトルを$\vec{r_i}$、力を$\vec{F^i}\quad (i=1,2,,,n)$とする。<br/>		力の作用点を$P_i(x_i,y_i,z_i)$、その位置ベクトルを$\vec{r_i}$、力を$\vec{F^i}\quad (i=1,2,,,n)$とする。<br/>
357 行:		357 行:
	これらの力のなす仕事$W$は、$W=T_{\vec e} \phi=(\vec N \cdot \vec e) \phi$ <br/><br/>		これらの力のなす仕事$W$は、$W=T_{\vec e} \phi=(\vec N \cdot \vec e) \phi$ <br/><br/>
	この系は、内積の性質を使えば、定理から、容易に導かれる。<br/>		この系は、内積の性質を使えば、定理から、容易に導かれる。<br/>
-	===== ~~質点系に作用する重力のモーメント~~ =====	+	=====　質点系に作用する重力のモーメント =====
	質点に作用する重力を表示するため、次のような'''重力ベクトル$\vec g$'''を導入する。<br/>		質点に作用する重力を表示するため、次のような'''重力ベクトル$\vec g$'''を導入する。<br/>
	$\vec g$の方向・向きは鉛直下方で		$\vec g$の方向・向きは鉛直下方で

Moderator: /* 剛体の運動と回転 */

Moderator — Sat, 23 Jun 2018 04:21:19 GMT

剛体の運動と回転

←前の版		2018年6月23日 (土) 04:21時点における版
6 行:		6 行:
	この節では、硬くて形を変えない質点系である剛体を回転させる力について考察する。		この節では、硬くて形を変えない質点系である剛体を回転させる力について考察する。

-	== ~~剛体の運動と回転~~==	+	==　剛体の運動と回転==
-	=== 剛体===	+	===　剛体===

	剛体(Rigid body)とは、<br/>		剛体(Rigid body)とは、<br/>
14 行:		14 行:
	固くて変形しにくい物体を理想化した概念である。<br/>		固くて変形しにくい物体を理想化した概念である。<br/>

-	=== ~~剛体の運動~~　===	+	===　剛体の運動　===
	剛体は変形しない質点系なので、その運動は、重心の運動と、重心の周りの回転運動を合成したものになる。<br/>		剛体は変形しない質点系なので、その運動は、重心の運動と、重心の周りの回転運動を合成したものになる。<br/>
	重心の運動は前の節で説明したように、質点の運動と同じように簡単に扱える。<br/>		重心の運動は前の節で説明したように、質点の運動と同じように簡単に扱える。<br/>
21 行:		21 行:
	このテキストでは、固定軸の周りの回転運動を中心に、剛体運動の初歩と釣合の条件について学ぶ。<br/>		このテキストでは、固定軸の周りの回転運動を中心に、剛体運動の初歩と釣合の条件について学ぶ。<br/>

-	===~~固定軸のまわりの回転運動~~　===	+	===　固定軸のまわりの回転運動　===

	剛体が、剛体の中を通る固定軸の周りを回転する運動（車輪の回転など）を考える。<br/>		剛体が、剛体の中を通る固定軸の周りを回転する運動（車輪の回転など）を考える。<br/>
30 行:		30 行:
	すると軸が受ける力は、軸の変動を防ぎ、固定軸の周りの運動に限定させる作用を持ち、<br/>		すると軸が受ける力は、軸の変動を防ぎ、固定軸の周りの運動に限定させる作用を持ち、<br/>
	回転を遅める作用は持たないことになる。		回転を遅める作用は持たないことになる。
-	====~~回転運動の表示法~~　====	+	====　回転運動の表示法　====
	固定軸まわりの剛体の運動はどのように表示したらよいだろうか。<br/>		固定軸まわりの剛体の運動はどのように表示したらよいだろうか。<br/>
	・剛体の位置を表す変数；回転角<br/>		・剛体の位置を表す変数；回転角<br/>

Moderator: /* ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示 */

Moderator — Sun, 03 Jun 2018 16:58:57 GMT

ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示

←前の版		2018年6月3日 (日) 16:58時点における版
149 行:		149 行:

	===ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示===		===ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示===
-	~~以上の結果は、ベクトル積（クロス積ともいう）を用いると簡潔、正確に表現でき、~~<br/>	+	以上の結果は、ベクトル積（vector product)を用いると簡潔、正確に表現でき、<br/>
	回転運動の性質を調べるのが容易になる。<br/><br/>		回転運動の性質を調べるのが容易になる。<br/><br/>
	'''定義　ベクトル積'''<br/>		'''定義　ベクトル積'''<br/>
159 行:		159 行:
	$\\|\vec a \times \vec b\\| = \\| \vec a \\| \\| \vec b \\|\, \|\sin{\theta} \| $<br/>		$\\|\vec a \times \vec b\\| = \\| \vec a \\| \\| \vec b \\|\, \|\sin{\theta} \| $<br/>
	と書ける。<br/><br/>		と書ける。<br/><br/>
		+	ベクトル積はクロス積あるいは外積とも呼ばれる。<br/>
	ベクトル積に関して以下の8つの命題が成り立つ。<br/>		ベクトル積に関して以下の8つの命題が成り立つ。<br/>

物理/剛体と回転力 - 変更履歴

Moderator: /* ベクトル積にかんする命題 */

Moderator: /* てこの原理と剛体の釣り合い */

Moderator: /* ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示 */

Moderator: /* 原点まわりの力のモーメント */

Moderator: /* 原点まわりの力のモーメント */

Moderator: /* てこの原理と剛体の釣り合い */

Moderator: /* ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示 */

Moderator: /* 剛体に作用する力の回転力(トルク） */

Moderator: /* 剛体の運動と回転 */

Moderator: /* ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示 */

Moderator: /* 　ベクトル積にかんする命題　　　　 */

Moderator: /* 　てこの原理と剛体の釣り合い */

Moderator: /* 　ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示 */

Moderator: /* 　原点まわりの力のモーメント */

Moderator: /* 　原点まわりの力のモーメント */

Moderator: /* 　ベクトル積と回転による変位と力のモーメントのベクトル積表示 */

Moderator: /* 剛体に作用する力の回転力(トルク）　 */