物理/平面と空間のベクトル - 変更履歴

2021年6月7日 (月) 11:41 における Moderator による編集

Moderator — Mon, 07 Jun 2021 11:41:14 GMT

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1 行:	1 行:
-	+	=ベクトル積=
	+	*[[wikipedia_ja: ベクトル積　　\|ウィキペディア（ベクトル積　　）　]]

Moderator: /* 平面と空間のベクトル */

Moderator — Sat, 14 Jan 2017 09:29:23 GMT

平面と空間のベクトル

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Moderator: /* 我々の住む空間の数学的モデル */

Moderator — Tue, 06 Sep 2016 16:43:32 GMT

我々の住む空間の数学的モデル

←前の版		2016年9月6日 (火) 16:43時点における版
314 行:		314 行:
	(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、<br/>		(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、<br/>
	正しいと認めた命題のこと。<br/>		正しいと認めた命題のこと。<br/>
-	~~点や直線、通るなどの言葉は~~<br/>	+	「点」や「直線」、「通る」などの言葉は<br/>
	意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。<br/>		意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。<br/>
	点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、<br/>		点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、<br/>
	その性質が正確に規定される。無定義語という。<br/>		その性質が正確に規定される。無定義語という。<br/>

-	②直線$<PQ>$~~は空間全体を覆わないので、直線外の点~~$R$をとれる。<br/>	+	②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の空間の点$R$をとれる。<br/>
	３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。<br/>		３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。<br/>
	これを平面$<PQR>$と書こう。<br/>		これを平面$<PQR>$と書こう。<br/>
325 行:		325 行:
	空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。<br/>		空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。<br/>
	直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。<br/>		直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。<br/>
-	③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$~~の間には次の３つの関係がある。~~<br/>	+	③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係のうちのいずれか一つ（しかも一つだけ）が成り立つ。<br/>
	ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、<br/>		ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、<br/>
	直線と平面の公理から簡単に証明出来る。<br/>		直線と平面の公理から簡単に証明出来る。<br/>
433 行:		433 行:

	（２）我々の住む空間の数学的モデル<br/>		（２）我々の住む空間の数学的モデル<br/>
-

	==数空間${\bf R^3}$と３次元区間${\bf I^3}$==		==数空間${\bf R^3}$と３次元区間${\bf I^3}$==

Moderator: /* 平面と空間のベクトル */

Moderator — Tue, 17 Mar 2015 15:45:45 GMT

平面と空間のベクトル

←前の版		2015年3月17日 (火) 15:45時点における版
20 行:		20 行:
	ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、重要なので		ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、重要なので
	証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。		証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。
-	===２つのベクトルの和====	+	===２つのベクトルの和===
	====和の定義====		====和の定義====
	定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。<br/>		定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。<br/>
47 行:		47 行:
	これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。<br/>		これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。<br/>
	それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。<br/>		それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。<br/>
-	定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$$	+	定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$
	$\vec{A}+(-\vec{B})$を、$\vec{A}-\vec{B}$で表す。<br/>		$\vec{A}+(-\vec{B})$を、$\vec{A}-\vec{B}$で表す。<br/>
	====ベクトルの実数倍====		====ベクトルの実数倍====
354 行:		354 行:
	異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。<br/>		異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。<br/>
	この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、<br/>		この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、<br/>
-	平行四辺形$~~\parallelogram{~~PP_{1}Q_{1}Q}$を作ることが出来る。<br/>	+	平行四辺形$PP_{1}Q_{1}Q$を作ることが出来る。<br/>
	すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、<br/>		すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、<br/>
	$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。<br/>		$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。<br/>

Moderator: /* 平面と空間のベクトル */

Moderator — Tue, 17 Mar 2015 15:27:39 GMT

平面と空間のベクトル

←前の版		2015年3月17日 (火) 15:27時点における版
18 行:		18 行:

	== ベクトルの和と実数倍 ==		== ベクトルの和と実数倍 ==
-	~~ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明してある。~~<br/>	+	ベクトルの和や実数倍については２章力学の１節で説明したが、重要なので
		+	証明は除いて、定義と性質だけを再度記載する。
		+	===２つのベクトルの和====
		+	====和の定義====
		+	定義；２つのベクトル$\vec{A}$とベクトル$\vec{B}$の和を、次のように定義する。<br/>
		+	・$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{PQ}$と表現して、<br/>
		+	$\vec{A}+\vec{B}:=\vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ}$；<br/>
		+
		+	・和の別の定義；<br/>
		+	$\vec{A}=\vec{OP}$,$\vec{B}=\vec{OR}$と表現する。　　<br/>
		+	有向線分$\vec{OP}$と有向線分$\vec{OR}$を２辺とする平行四辺形$OPQR$を作る。<br/>すると、
		+	$\vec{A}+\vec{B}=\vec{OQ}$;<br/>
		+	が成り立つ。<br/>
		+	この両者は同値である。
		+	====和の性質====
		+	$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\qquad \qquad (1)$　;　交換法則　<br/><br/>
		+	$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\qquad \qquad (2)$　；結合法則
		+
		+	====零ベクトルの存在====
		+	零ベクトル$\vec{0}$が存在し、
		+	すべてのベクトル$\vec{A}$に対して、
		+	$\vec{A}+\vec{0}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(3)$<br/>
		+	が成り立つ。<br/>
		+
		+	====逆元の存在====
		+	任意のベクトル$\vec{A}$は、$\vec{A}+\vec{B}=\vec{0}$を満たすベクトルを<br/>
		+	一つ、そして一つだけ持つ。<br/>
		+	これを$\vec{A}$の逆元(逆ベクトル)と言い、$-\vec{A}$で表す。<br/>
		+	それは、$\vec{A}$と大きさ、方向が同じで、向きが逆のベクトルである。<br/>
		+	定義から、$\vec{A}+(-\vec{A})=\vec{0}\qquad \qquad \qquad　(4)$$
		+	$\vec{A}+(-\vec{B})$を、$\vec{A}-\vec{B}$で表す。<br/>
		+	====ベクトルの実数倍====
		+	$a$を任意の実数とする。 <br/>
		+	$\vec{A}$が零ベクトルでない時、その$a$倍、$a\vec{A}$は次のように定義する。<br/>
		+	・$a$が正数のとき；$a\vec{A}$は、$\vec{A}$と方向・向きは同じで、大きさが$a$倍であるベクトルで定義する。<br/>
		+	・$a=0$のとき；$0\vec{A}=\vec{0}$で定義する。<br/>
		+	・$a< 0$のとき；$a\vec{A}=-(-a)\vec{A}$ <br/>
		+	$\vec{A}=\vec{0}$のときは、$a\vec{0}=\vec{0}$とする。<br/>
		+	このように定義すると、<br/>
		+	ベクトルの実数倍がベクトルとして定まる。<br/>
		+	次の諸法則が成り立つ。<br/>
		+	$a(\vec{A}+\vec{B})=a\vec{A}+a\vec{B}\qquad \qquad \qquad　(5)$ <br/>
		+	$(a+b)\vec{A}=a\vec{A}+b\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(6)$ <br/>
		+	$(ab)\vec{A}=a(b\vec{A})\qquad \qquad \qquad　(7) $ <br/>
		+	$1\vec{A}=\vec{A}\qquad \qquad \qquad　(8)$
		+
	== 内積とノルム==		== 内積とノルム==
	内積とノルムは物理学で良く使われる。<br/>		内積とノルムは物理学で良く使われる。<br/>

Moderator: /* 平面と空間 */

Moderator — Wed, 11 Mar 2015 10:00:49 GMT

平面と空間

←前の版		2015年3月11日 (水) 10:00時点における版
15 行:		15 行:
	下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。		下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
	*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 \|ウィキペディア(ユークリッド空間)]]		*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 \|ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
-		+	また、この章の「1.5 我々の住む空間の数学的モデル」も御覧ください。
-		+
-		+
-		+
-		+

	== ベクトルの和と実数倍 ==		== ベクトルの和と実数倍 ==

Moderator: /* 平面と空間のベクトル */

Moderator — Wed, 11 Mar 2015 09:57:15 GMT

平面と空間のベクトル

←前の版		2015年3月11日 (水) 09:57時点における版
16 行:		16 行:
	*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 \|ウィキペディア(ユークリッド空間)]]		*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 \|ウィキペディア(ユークリッド空間)]]

-	~~==数空間${\bf R^3}$と３次元区間${\bf I^3}$==~~	+


263 行:		263 行:
	$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算する。<br/>これら両式を整頓すると、同じものであることが分かる。<br/>		$ \quad (\vec{c} \times \vec{a})\cdot\vec{b}$も、これと同じように計算する。<br/>これら両式を整頓すると、同じものであることが分かる。<br/>
	命題７の証明終わり。<br/>		命題７の証明終わり。<br/>
		+	==我々の住む空間の数学的モデル==
		+	概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。<br/>
		+	（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。<br/>
		+	この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。<br/>
		+	①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、<br/>
		+	その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。<br/>
		+	直線$<PQ>$と書く。<br/>
		+	２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。<br/>
		+	(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、<br/>
		+	正しいと認めた命題のこと。<br/>
		+	点や直線、通るなどの言葉は<br/>
		+	意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。<br/>
		+	点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、<br/>
		+	その性質が正確に規定される。無定義語という。<br/>
		+
		+	②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の点$R$をとれる。<br/>
		+	３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。<br/>
		+	これを平面$<PQR>$と書こう。<br/>
		+	平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。<br/>
		+	空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。<br/>
		+	直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。<br/>
		+	③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係がある。<br/>
		+	ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、<br/>
		+	直線と平面の公理から簡単に証明出来る。<br/>
		+	ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。<br/>
		+	ⅲ）同一平面上にない。<br/>
		+	平行な２直線は、同じ方向であるという。<br/>
		+	④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。<br/>
		+	⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に<br/>
		+	PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。<br/>
		+	これはＰ点からみたＱ点の位置を、<br/>
		+	Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。<br/>
		+	Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを<br/>
		+	$P+\vec{PQ}=Q$と表す。<br/>
		+	次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える
		+	。<br/>
		+	点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。<br/>
		+	$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると<br/>
		+	$R=P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$<br/>
		+	そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば<br/>
		+	$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}$<br/>
		+	となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。<br/>
		+	⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を<br/>
		+	$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$<br/>
		+	と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$<br/>
		+	$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。<br/>
		+	$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と<br/>
		+	方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。<br/>
		+	異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。<br/>
		+	この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、<br/>
		+	平行四辺形$\parallelogram{PP_{1}Q_{1}Q}$を作ることが出来る。<br/>
		+	すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、<br/>
		+	$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。<br/>
		+	２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、
		+	ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、
		+	２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、<br/>
		+	$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。<br/>
		+
		+	すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。<br/>
		+	空間$S^3$の公理；<br/>
		+	空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。
		+	$V_{P}$の任意の要素には、<br/>
		+	それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。<br/>
		+	逆に<br/>
		+	$V_{Q}$の任意の要素には、<br/>
		+	それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。<br/><br/>
		+	そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると<br/>
		+	$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。<br/>
		+	すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると<br/>
		+	どの点から空間を見た時も、<br/>
		+	空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、<br/>
		+	皆同じである。
		+
		+	定義：
		+	方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）
		+	同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。<br/>
		+
		+	記号で書くと、<br/>
		+	有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　<br/>
		+	<==><br/>
		+	ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$<br/><br/>
		+	今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、<br/>
		+	ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。<br/>
		+
		+	空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。<br/>
		+	これをベクトル集合$V$で表す。<br/>
		+	⑦空間の性質１<br/>
		+	$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、<br/>
		+	${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、<br/>
		+	ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は<br/>
		+	${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。<br/>
		+	この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。<br/>
		+	和の交換則と結合則が成り立つ。<br/>
		+	ベクトルの実数倍も定義出来る。<br/>
		+	$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 \|線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。<br/>
		+	これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。<br/>
		+	⑧　線形空間$V$は３次元空間<br/>
		+	Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように<br/>
		+	Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。<br/>
		+	この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。<br/>
		+	そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。<br/>
		+	すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、<br/>
		+	$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$<br/>
		+	で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。<br/>
		+	逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、<br/>
		+	平面上に点Ｒが定まり、<br/>
		+	$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$<br/>
		+	この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。<br/>
		+	平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。<br/>
		+	空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。<br/>
		+	$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。<br/>
		+	我々の住む空間の公理２<br/>
		+	$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$<br/>
		+	空間$S^3$を点をすべて記述するには<br/>
		+	３つの独立なベクトルを用いなければならないので<br/>
		+	$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。<br/>
		+
		+	⑩３次元空間の座標と座標表示<br/>
		+	この空間には座標系を考えるができる。<br/>
		+	ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。<br/>
		+
		+	ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、<br/>
		+	座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。<br/>
		+	線形空間については
		+	*[[wikipedia_ja:ベクトル空間 \|ウィキペディア(ベクトル空間)]]
		+	計量線形空間については
		+	*[[wikipedia_ja:計量ベクトル空間 \|ウィキペディア(計量ベクトル空間)]]
		+
		+	（２）我々の住む空間の数学的モデル<br/>
		+
		+
		+	==数空間${\bf R^3}$と３次元区間${\bf I^3}$==

Moderator: /* 我々の住む空間の数学的モデル */

Moderator — Wed, 11 Mar 2015 09:55:36 GMT

我々の住む空間の数学的モデル

←前の版		2015年3月11日 (水) 09:55時点における版
15 行:		15 行:
	下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。		下記の記事中の「序文」と「1. 直観的な説明」をお読みください。
	*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 \|ウィキペディア(ユークリッド空間)]]		*[[wikipedia_ja:ユークリッド空間 \|ウィキペディア(ユークリッド空間)]]
-
-	~~==我々の住む空間の数学的モデル==~~
-	~~概要だけを記述するので、イメージをつかめれば良い。<br/>~~
-	~~（１）私たちの住む（宇宙)空間$S^3$を無限に点(場所)が集まってできる集合と考える。<br/>~~
-	~~この空間では、経験によると、以下の諸事実が成り立つ。<br/>~~
-	~~①この空間のどのような2点$P,Q$をとっても、<br/>~~
-	~~その2点を通る直線は必ず一本あり、一本に限る（直線の公理。注参照)。<br/>~~
-	~~直線$<PQ>$と書く。<br/>~~
-	~~２点$P,Q$は、この直線上にあるので、その長さ(距離)は物差しなどで測れる。<br/>~~
-	~~(注）公理とは、経験上自明と思われるが、それ以上簡単な事実から証明出来ないため、<br/>~~
-	~~正しいと認めた命題のこと。<br/>~~
-	~~点や直線、通るなどの言葉は<br/>~~
-	~~意味が分かっているという前提に立ち、その意味を定義しないで用いる。<br/>~~
-	~~点や直線、通るなどの表現がでてくる公理をすべて満たすものとして、<br/>~~
-	~~その性質が正確に規定される。無定義語という。<br/>~~
-
-	~~②直線$<PQ>$は空間全体を覆わないので、直線外の点$R$をとれる。<br/>~~
-	~~３点$P,Q,R$を通る平面が常に唯一つ存在する(平面の公理１)。<br/>~~
-	~~これを平面$<PQR>$と書こう。<br/>~~
-	~~平面は、この面上にある２点を通る直線を含む(平面の公理２)。<br/>~~
-	~~空間の中のどの平面上でもユークリッドの平面幾何学は成り立つ（空間$S^3$の性質）。<br/>~~
-	~~直線$<PQ>$と直線$<PR>$は、平面$<PQR>$上の直線であり、角度$\angle QPR$がきまる。<br/>~~
-	~~③空間の中の異なる２直線$ｌ$と$m$の間には次の３つの関係がある。<br/>~~
-	~~ⅰ）交わる（この時は２直線は同一平面上にあることが、<br/>~~
-	~~直線と平面の公理から簡単に証明出来る。<br/>~~
-	~~ⅱ）同一平面上にあるが交わらない（平行という）。<br/>~~
-	~~ⅲ）同一平面上にない。<br/>~~
-	~~平行な２直線は、同じ方向であるという。<br/>~~
-	~~④平面$<PQR>$も空間全体を覆わないので、空間にはこの平面外の点$S$が存在する。<br/>~~
-	~~⑤空間の２点$P,Q$を結ぶ線分$[PQ]$(直線$<PQ>$の、点ＰとＱの間の部分)に<br/>~~
-	~~PからＱに向けた向きを付けた有向線分$\vec{PQ}$を考える。<br/>~~
-	~~これはＰ点からみたＱ点の位置を、<br/>~~
-	~~Ｐ点からＱ点を見たときの方向・向きと距離で表したもの。<br/>~~
-	~~Ｑ点が、Ｐ点から見て、$\vec{PQ}$の方向・向きおよび距離の点であることを<br/>~~
-	~~$P+\vec{PQ}=Q$と表す。<br/>~~
-	~~次にＱ点から$\vec{QR}$の方向・向きおよび距離にある点$R=Q+\vec{QR}$を考える~~
-	~~。<br/>~~
-	~~点Ｒは元の点Ｐから$\vec{PR}$の方向・向きおよび距離の位置にある。<br/>~~
-	~~$\vec{PQ}+\vec{QR}:=\vec{PR}$で、２つの有向線分の和を定義すると<br/>~~
-	~~$R=P+\vec{PR}=P+(\vec{PQ}+\vec{QR})$<br/>~~
-	~~そこで$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}$と決めておけば<br/>~~
-	~~$=(P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}$<br/>~~
-	~~となり、３点の位置関係が正しく表現出来ることが分かる。<br/>~~
-	~~⑥Ｐ点を始点とするすべての有向線分を要素とする集合を<br/>~~
-	~~$V_{P}:=\{\vec{PQ}\mid Q \in S^3\}$<br/>~~
-	~~と記す。すると$\{P+\vec a \mid \vec a \in V_{P}\}=S^3$<br/>~~
-	~~$V_{P}$と$V_{Q}$はどのような関係にあるだろうか。<br/>~~
-	~~$V_{P}$の任意の要素$\vec{PP_1},(P\neq P_1)$と<br/>~~
-	~~方向・向きと大きさが等しく、始点がＱである有向線分を作ってみよう。<br/>~~
-	~~異なる３点$P,P_{1},Q$を通る平面は常に唯一つ存在する。<br/>~~
-	~~この平面上で、ユークリッド幾何学を使い、<br/>~~
-	~~平行四辺形$\parallelogram{PP_{1}Q_{1}Q}$を作ることが出来る。<br/>~~
-	~~すると$\vec{QQ_1}\in V_{Q}$であり、<br/>~~
-	~~$\vec{QQ_1}$は$\vec{PP_1}$と方向・向きは同じで、大きさ(長さ、距離)も等しい。<br/>~~
-	~~２つの有向線分が、方向・向きと大きさが同じならば、~~
-	~~ある点からみた他の点の位置を、有向線分の方向・向きと大きさで指定するかぎり、~~
-	~~２つの有向線分は同じ点を指定する。そこで方向・向きと大きさが等しい２つの有向ベクトルは同一視して、<br/>~~
-	~~$\vec{QQ_1} \cong \vec{PP_1}$と書く。<br/>~~
-
-	~~すると経験上、空間$S^3$はつぎの性質を持つことが分かっている。<br/>~~
-	~~空間$S^3$の公理；<br/>~~
-	~~空間$S^3$の任意の２点Ｐ，Ｑを考える。~~
-	~~$V_{P}$の任意の要素には、<br/>~~
-	~~それと$\cong$の関係にある、$V_{Q}$の要素が一つ対応する。<br/>~~
-	~~逆に<br/>~~
-	~~$V_{Q}$の任意の要素には、<br/>~~
-	~~それと$\cong$の関係にある、$V_{P}$の要素が一つ対応する。<br/><br/>~~
-	~~そこで、$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると<br/>~~
-	~~$V_{P}$と$V_{Q}$は同じ集合になる。<br/>~~
-	~~すなわち$\cong$関係のある有向線分を、おなじものと考えると<br/>~~
-	~~どの点から空間を見た時も、<br/>~~
-	~~空間のすべての点を表すのに必要な、有向線分（方向・向きと距離の集まり）は、<br/>~~
-	~~皆同じである。~~
-
-	~~定義：~~
-	~~方向・向きと長さの等しい有向線分を（始点は異なっても、）~~
-	~~同じものとみなした時、有向線分をベクトルと呼ぶ。<br/>~~
-
-	~~記号で書くと、<br/>~~
-	~~有向線分$\vec{QQ_1} \cong $　有向線分$\vec{PP_1}$　<br/>~~
-	~~<==><br/>~~
-	~~ベクトル$\vec{QQ_1} = $　ベクトル$\vec{PP_1}$<br/><br/>~~
-	~~今後は$\vec{PQ}$を有向線分とみなすときは、有向線分$\vec{PQ}$ と書き、<br/>~~
-	~~ベクトルとみなす時は単に$\vec{PQ}$と書いて区別する。<br/>~~
-
-	~~空間の性質から、ベクトルの集合とみた$V_{P}$は皆等しくなる。<br/>~~
-	~~これをベクトル集合$V$で表す。<br/>~~
-	~~⑦空間の性質１<br/>~~
-	~~$V$の２つのベクトル${\bf a},{\bf b}$を、<br/>~~
-	~~${\bf a}=\vec{PQ},{\bf b}=\vec{QR}$と表現すると、<br/>~~
-	~~ベクトル${\bf a},{\bf b}$の和は<br/>~~
-	~~${\bf a}+{\bf b}=\vec{PR}$で定義する。<br/>~~
-	~~この和はＰ点に関係なく、唯一つのベクトルを定めることが証明できる。<br/>~~
-	~~和の交換則と結合則が成り立つ。<br/>~~
-	~~ベクトルの実数倍も定義出来る。<br/>~~
-	~~$V$は[[wikipedia_ja:線形空間 \|線形空間(ベクトル空間ともいう）]]になる。<br/>~~
-	~~これ等はユークリッド幾何学を用いて証明出来る。<br/>~~
-	~~⑧　線形空間$V$は３次元空間<br/>~~
-	~~Ｐ点から空間を眺めると、②で述べたように<br/>~~
-	~~Ｐを通る平面$<PQR>$が存在する。<br/>~~
-	~~この平面上には、Ｐ点で交わる２本の直線$<PQ>$と$<PR>$が存在する。<br/>~~
-	~~そこで２つのベクトル$\vec{PQ}\in V$と$\vec{PR}\in V$を考える。<br/>~~
-	~~すると,平面上の任意の点ＲをＰ点から見たときの方向・向き、距離$\vec{PR}$は、<br/>~~
-	~~$\vec{PQ}$と$\vec{PR}$の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$<br/>~~
-	~~で表せる。ここで、$\alpha,\beta $は、適当な実数である。<br/>~~
-	~~逆に、任意の線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$に対し、<br/>~~
-	~~平面上に点Ｒが定まり、<br/>~~
-	~~$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}=\vec{PR}$<br/>~~
-	~~この事実はユークリッド幾何学を用いて容易に示すことができる。<br/>~~
-	~~平面は、このように２つのベクトルで表せるので２次元と呼ぶ。<br/>~~
-	~~空間は、平面$<PQR>$で覆われないので、平面外の点Ｓがとれる。<br/>~~
-	~~$\vec{PS}$は線形結合$\alpha \vec{PQ}+\beta \vec{PR}$では表せない。<br/>~~
-	~~我々の住む空間の公理２<br/>~~
-	~~$V=\{\alpha\vec{PQ}+\beta \vec{PR}+\gamma \vec{PS}\mid \alpha,\beta,\gamma$は実数$\}$<br/>~~
-	~~空間$S^3$を点をすべて記述するには<br/>~~
-	~~３つの独立なベクトルを用いなければならないので<br/>~~
-	~~$S^3$は３次元空間とも呼ばれる。<br/>~~
-
-	~~⑩３次元空間の座標と座標表示<br/>~~
-	~~この空間には座標系を考えるができる。<br/>~~
-	~~ベクトルの座標表示をすると、ベクトル演算を数の計算に帰着でき便利である。<br/>~~
-
-	~~ベクトルを直交座標表示して、数の計算に帰着すると、<br/>~~
-	~~座標の直交性が役立ち、計算が大変簡単になる。<br/>~~
-	~~線形空間については~~
-	*[[wikipedia_ja:ベクトル空間 \|ウィキペディア(ベクトル空間)]]
-	~~計量線形空間については~~
-	*[[wikipedia_ja:計量ベクトル空間 \|ウィキペディア(計量ベクトル空間)]]
-
-	~~（２）我々の住む空間の数学的モデル<br/>~~
-
-

	==数空間${\bf R^3}$と３次元区間${\bf I^3}$==		==数空間${\bf R^3}$と３次元区間${\bf I^3}$==

Moderator: /* 平面と空間のベクトル */

Moderator — Wed, 11 Mar 2015 09:53:09 GMT

平面と空間のベクトル

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Moderator: /* 平面と空間のベクトル */

Moderator — Sun, 22 Feb 2015 05:56:48 GMT

平面と空間のベクトル

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23 行:		23 行:
	方向・向きと長さの等しい２つの有向線分は同じものとして扱うときベクトルと呼ぶ。<br/>		方向・向きと長さの等しい２つの有向線分は同じものとして扱うときベクトルと呼ぶ。<br/>
	するとベクトルの集合<br/>		するとベクトルの集合<br/>
-	${\bf V^i}:=\{\vec{PQ}\mid P,Q\in S^i\}<br/>	+	${\bf V^i}:=\{\vec{PQ}\mid P,Q\in S^i\}$<br/>
	は長い経験から、<br/>		は長い経験から、<br/>
	ⅰ）任意の２つのベクトルには和が定義でき、交換則、結合則を満たす。<br/>		ⅰ）任意の２つのベクトルには和が定義でき、交換則、結合則を満たす。<br/>