物理/惑星の運動(2) - 変更履歴

Moderator: /* 　微分方程式を解いて、惑星の軌道形を求める　　 */

Moderator — Mon, 25 Jun 2018 06:02:26 GMT

　微分方程式を解いて、惑星の軌道形を求める　　

←前の版		2018年6月25日 (月) 06:02時点における版
200 行:		200 行:
	それは、連立微分方程式の解が<br/>		それは、連立微分方程式の解が<br/>
	$r=f\circ \theta ,\qquad$変数まで書けば、$r(t)=f\circ \theta (t)\triangleq f(\theta (t))$ <br/>		$r=f\circ \theta ,\qquad$変数まで書けば、$r(t)=f\circ \theta (t)\triangleq f(\theta (t))$ <br/>
-	~~という合成関数になることを仮定する方法である。~~<br/><br/>	+	という合成関数になることを仮定して、<br/>
-		+	$r=f(\theta)$を直接求める問題に変換し、解を求める方法である。<br/><br/>
		+	=====　軌道の形を直接求めるための微分方程式の導出 =====
	$\frac{d r(t) }{dt}=\frac{d f\circ \theta (t) }{dt}$<br/>		$\frac{d r(t) }{dt}=\frac{d f\circ \theta (t) }{dt}$<br/>
	$\qquad $ 合成関数の微分公式を用いて、<br/>		$\qquad $ 合成関数の微分公式を用いて、<br/>
232 行:		233 行:
	$\frac{1}{r(t)}=\frac{1}{f(\theta (t))}=g(\theta (t))$なので<br/>		$\frac{1}{r(t)}=\frac{1}{f(\theta (t))}=g(\theta (t))$なので<br/>
	上式から次式が得られる。<br/>		上式から次式が得られる。<br/>
-	$\frac{d^{2}g}{d\theta ^2}(\theta(t))+g(\theta (t))=\frac{GM}{h^2} \qquad \qquad (14)$<br/><br/>	+	$\frac{d^{2}g}{d\theta ^2}(\theta(t))+g(\theta (t))=\frac{GM}{h^2} $<br/>
		+	従って変数を　$\theta$　とする微分方程式<br/>
		+	$\frac{d^{2}g}{d\theta ^2}(\theta)+g(\theta )=\frac{GM}{h^2} \qquad \qquad (14)$<br/>
		+	の解$g=g(\theta)$が分かれば<br/>
		+	$r=f(\theta)=\frac{1}{g(\theta)}$ <br/>
		+	が、惑星の軌道の形を表す式になる。
		+	=====　微分方程式の解法 =====

	====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====		====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====

Moderator: /* 　微分方程式を解いて、惑星の軌道形を求める　　 */

Moderator — Mon, 25 Jun 2018 05:38:05 GMT

　微分方程式を解いて、惑星の軌道形を求める　　

←前の版		2018年6月25日 (月) 05:38時点における版
230 行:		230 行:
	式(d)と$\dot{\theta}=\frac{h}{r^2}$を、式(12)に代入して整頓すると次式が得られる。<br/>		式(d)と$\dot{\theta}=\frac{h}{r^2}$を、式(12)に代入して整頓すると次式が得られる。<br/>
	$\frac{d^{2}g}{d\theta ^2}(\theta(t))+\frac{1}{r(t)}=\frac{GM}{h^2} $<br/>		$\frac{d^{2}g}{d\theta ^2}(\theta(t))+\frac{1}{r(t)}=\frac{GM}{h^2} $<br/>
-	$\frac{1}}{r(t)}=\frac{1}{f(\theta (t))}=g(\theta (t))$なので<br/>	+	$\frac{1}{r(t)}=\frac{1}{f(\theta (t))}=g(\theta (t))$なので<br/>
	上式から次式が得られる。<br/>		上式から次式が得られる。<br/>
	$\frac{d^{2}g}{d\theta ^2}(\theta(t))+g(\theta (t))=\frac{GM}{h^2} \qquad \qquad (14)$<br/><br/>		$\frac{d^{2}g}{d\theta ^2}(\theta(t))+g(\theta (t))=\frac{GM}{h^2} \qquad \qquad (14)$<br/><br/>

	====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====		====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====

Moderator: /* 　微分方程式を解いて、惑星の軌道形を求める　　 */

Moderator — Mon, 25 Jun 2018 05:35:16 GMT

　微分方程式を解いて、惑星の軌道形を求める　　

←前の版		2018年6月25日 (月) 05:35時点における版
216 行:		216 行:
	[[wikibooks_ja:高等学校数学III/微分法#商の導関数\|ウィキブックス高等学校数学III/微分法#商の導関数]]をご覧ください。<br/><br/>		[[wikibooks_ja:高等学校数学III/微分法#商の導関数\|ウィキブックス高等学校数学III/微分法#商の導関数]]をご覧ください。<br/><br/>
	この補題を用いて式(b)を変形すると<br/>		この補題を用いて式(b)を変形すると<br/>
-	$\frac{d r(t) }{dt}=-\frac{1}{g^2(\theta)}\frac{dg(\theta)}{d\theta}　　　　　\frac{h}{r^2(t)} \qquad \qquad (b)$<br/>	+	$\frac{d r(t) }{dt}=-\frac{1}{g^2(\theta (t))}\frac{dg}{d\theta}(\theta (t))\frac{h}{r^2(t)} $<br/>
		+	$\qquad r(t)=f(\theta (t))$ なので、$g^2(\theta (t))r^2(t)=1$となり、<br/>
		+	$=-h\frac{dg}{d\theta}(\theta (t)) $<br/>
		+	故に<br/>
		+	$\dot{r}(t)=-h\frac{dg}{d\theta}(\theta (t)) \qquad \qquad (c)$<br/>
		+	これをさらに時間ｔで微分すると、合成関数の微分の公式から<br/>
		+	$\ddot{r}(t)=-h\frac{d^{2}g}{d\theta ^2}(\theta(t))\dot{\theta}(t)$<br/>
		+	$\qquad $ 式(13)から得られる$\dot{\theta}=\frac{h}{r^2}$を代入して、<br/>
		+	$=-h\frac{d^{2}g}{d\theta ^2}(\theta(t)) \frac{h}{r^2(t)} $<br/>
		+	故に<br/>
		+	$\ddot{r}(t)=-\frac{h^{2}}{r^2(t)}\frac{d^{2}g}{d\theta ^2}(\theta(t))\qquad \qquad (d)$<br/>
		+	が得られる。<br/><br/>
		+	式(d)と$\dot{\theta}=\frac{h}{r^2}$を、式(12)に代入して整頓すると次式が得られる。<br/>
		+	$\frac{d^{2}g}{d\theta ^2}(\theta(t))+\frac{1}{r(t)}=\frac{GM}{h^2} $<br/>
		+	$\frac{1}}{r(t)}=\frac{1}{f(\theta (t))}=g(\theta (t))$なので<br/>
		+	上式から次式が得られる。<br/>
		+	$\frac{d^{2}g}{d\theta ^2}(\theta(t))+g(\theta (t))=\frac{GM}{h^2} \qquad \qquad (14)$<br/><br/>

	====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====		====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====

Moderator: /* 　微分方程式を解いて、惑星の軌道形を求める　　 */

Moderator — Mon, 25 Jun 2018 04:38:56 GMT

　微分方程式を解いて、惑星の軌道形を求める　　

←前の版		2018年6月25日 (月) 04:38時点における版
192 行:		192 行:
	任意の時刻ｔにおける惑星の位置がわかる。<br/>		任意の時刻ｔにおける惑星の位置がわかる。<br/>
	軌道の形は、この2式からｔを消去して、ｒとθの関数関係<br/>		軌道の形は、この2式からｔを消去して、ｒとθの関数関係<br/>
-	$f(r,\theta)=0$,~~または~~$r=f(\theta)$<br/>	+	$f(r,\theta)=0$,　または$r=f(\theta)$<br/>
	を求めれな良い。<br/>		を求めれな良い。<br/>
	しかし、残念なことにこれは大変困難である。<br/><br/>		しかし、残念なことにこれは大変困難である。<br/><br/>
213 行:		213 行:
	$\frac{df(\theta)}{d\theta}= -\frac{1}{g^2(\theta)}\frac{dg(\theta)}{d\theta}$		$\frac{df(\theta)}{d\theta}= -\frac{1}{g^2(\theta)}\frac{dg(\theta)}{d\theta}$
	<br/>		<br/>
		+	証明は、
		+	[[wikibooks_ja:高等学校数学III/微分法#商の導関数\|ウィキブックス高等学校数学III/微分法#商の導関数]]をご覧ください。<br/><br/>
		+	この補題を用いて式(b)を変形すると<br/>
		+	$\frac{d r(t) }{dt}=-\frac{1}{g^2(\theta)}\frac{dg(\theta)}{d\theta}　　　　　\frac{h}{r^2(t)} \qquad \qquad (b)$<br/>

	====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====		====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====

Moderator: /* 　微分方程式を解いて、惑星の軌道形を求める　　 */

Moderator — Mon, 25 Jun 2018 03:50:09 GMT

　微分方程式を解いて、惑星の軌道形を求める　　

←前の版		2018年6月25日 (月) 03:50時点における版
207 行:		207 行:

	$\qquad $式(13)を$\dot{\theta}=\frac{h}{r^2}$に変形し、上式に代入すると<br/>		$\qquad $式(13)を$\dot{\theta}=\frac{h}{r^2}$に変形し、上式に代入すると<br/>
-	$=\frac{~~d r~~}{d\theta}(\theta (t))\frac{h}{r^2(t)}$<br/>	+	$=\frac{df}{d\theta}(\theta (t))\frac{h}{r^2(t)}$<br/>
	故に<br/>		故に<br/>
-	$\frac{d r~~(\theta~~ (t)) }{dt}=\frac{~~d r~~}{d\theta}(\theta (t))\frac{h}{r^2(t)} \qquad \qquad (b)$<br/>	+	$\frac{d r(t) }{dt}=\frac{df}{d\theta}(\theta (t))\frac{h}{r^2(t)} \qquad \qquad (b)$<br/>
-	$u(\theta)\triangleq \frac{1}{r(\theta)}$とおくと、<br/>	+	補題　$g(\theta)\triangleq \frac{1}{f(\theta)}$とおくと、<br/>
		+	$\frac{df(\theta)}{d\theta}= -\frac{1}{g^2(\theta)}\frac{dg(\theta)}{d\theta}$
		+	<br/>

	====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====		====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====

Moderator: /* 　微分方程式を解いて、惑星軌道の形の極座標表示を求める　　 */

Moderator — Mon, 25 Jun 2018 02:50:49 GMT

　微分方程式を解いて、惑星軌道の形の極座標表示を求める　　

←前の版		2018年6月25日 (月) 02:50時点における版
188 行:		188 行:
	$r^2(t)\dot{\theta}(t) = h \quad (任意の定数) \qquad \qquad (13') $<br/>		$r^2(t)\dot{\theta}(t) = h \quad (任意の定数) \qquad \qquad (13') $<br/>

-	====　~~微分方程式を解いて、惑星軌道の形の極座標表示を求める~~　　====	+	====　微分方程式を解いて、惑星の軌道形を求める　　====
	連立微分方程式(12)、(13)を解いて、$r=r(t),\theta=\theta(t)$を求めれば、<br/>		連立微分方程式(12)、(13)を解いて、$r=r(t),\theta=\theta(t)$を求めれば、<br/>
	任意の時刻ｔにおける惑星の位置がわかる。<br/>		任意の時刻ｔにおける惑星の位置がわかる。<br/>

Moderator: /* 　微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める　　 */

Moderator — Mon, 25 Jun 2018 02:44:21 GMT

　微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める　　

←前の版		2018年6月25日 (月) 02:44時点における版
188 行:		188 行:
	$r^2(t)\dot{\theta}(t) = h \quad (任意の定数) \qquad \qquad (13') $<br/>		$r^2(t)\dot{\theta}(t) = h \quad (任意の定数) \qquad \qquad (13') $<br/>

-	====　~~微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める~~　　====	+	====　微分方程式を解いて、惑星軌道の形の極座標表示を求める　　====
	連立微分方程式(12)、(13)を解いて、$r=r(t),\theta=\theta(t)$を求めれば、<br/>		連立微分方程式(12)、(13)を解いて、$r=r(t),\theta=\theta(t)$を求めれば、<br/>
	任意の時刻ｔにおける惑星の位置がわかる。<br/>		任意の時刻ｔにおける惑星の位置がわかる。<br/>
-	~~しかし、これは残念なことに大変困難である。~~<br/>	+	軌道の形は、この2式からｔを消去して、ｒとθの関数関係<br/>
-	~~幸いなことに、これを回避して簡単な（しかし技巧的な）解法がある。~~<br/>	+	$f(r,\theta)=0$,または$r=f(\theta)$<br/>
-	~~それは、解が~~<br/>	+	を求めれな良い。<br/>
-	$r=r(\theta (t)) \~~qquad \qquad~~ \~~qquad \qquad~~ (a)$<br/>	+	しかし、残念なことにこれは大変困難である。<br/><br/>
-	~~という形になることを仮定する方法である。~~<br/>	+
-	$\frac{d r(\theta (t)) }{dt}$<br/>	+	軌道の形だけを知りたいときには、<br/>
		+	これを回避して簡単な（しかし技巧的な）直接的な解法がある。<br/>
		+	それは、連立微分方程式の解が<br/>
		+	$r=f\circ \theta ,\qquad$変数まで書けば、$r(t)=f\circ \theta (t)\triangleq f(\theta (t))$ <br/>
		+	という合成関数になることを仮定する方法である。<br/><br/>
		+
		+	$\frac{d r(t) }{dt}=\frac{d f\circ \theta (t) }{dt}$<br/>
	$\qquad $ 合成関数の微分公式を用いて、<br/>		$\qquad $ 合成関数の微分公式を用いて、<br/>
-	$=\frac{d r}{d\theta}(\theta (t))\dot{\theta}(t)$<br/>	+	$=\frac{d f}{d\theta}(\theta (t))\dot{\theta}(t)$<br/>
		+
	$\qquad $式(13)を$\dot{\theta}=\frac{h}{r^2}$に変形し、上式に代入すると<br/>		$\qquad $式(13)を$\dot{\theta}=\frac{h}{r^2}$に変形し、上式に代入すると<br/>
	$=\frac{d r}{d\theta}(\theta (t))\frac{h}{r^2(t)}$<br/>		$=\frac{d r}{d\theta}(\theta (t))\frac{h}{r^2(t)}$<br/>

Moderator: /* 　惑星運動の微分方程式の極座標表示　　 */

Moderator — Sun, 24 Jun 2018 15:28:41 GMT

　惑星運動の微分方程式の極座標表示　　

←前の版		2018年6月24日 (日) 15:28時点における版
170 行:		170 行:
	太陽の位置Oを原点、x軸の正の部分の半直線を角の基準線とする極座標で		太陽の位置Oを原点、x軸の正の部分の半直線を角の基準線とする極座標で
	惑星の運動方程式を表現すると<br/>		惑星の運動方程式を表現すると<br/>
-	$\ddot {r}-r\dot{\theta}^{2}=-\frac{GM}{r^{2}~~(t)~~}\qquad \qquad (12) $<br/>	+	$\ddot {r}-r\dot{\theta}^{2}=-\frac{GM}{r^{2}}\qquad \qquad (12) $<br/>
	$r^2\dot{\theta} = h \quad (任意の定数) \qquad \qquad (13) $<br/>		$r^2\dot{\theta} = h \quad (任意の定数) \qquad \qquad (13) $<br/>
-	となる。<br/>	+	となる。(注２　を参照のこと）<br/>
	証明<br/>		証明<br/>
	式(12)は式(10)から明らか。<br/>		式(12)は式(10)から明らか。<br/>
183 行:		183 行:
	証明終わり。　$\qquad \qquad \qquad \qquad \Box$<br/><br/>		証明終わり。　$\qquad \qquad \qquad \qquad \Box$<br/><br/>
	（注）式(13)は面積速度が一定であることを表現している。<br/>		（注）式(13)は面積速度が一定であることを表現している。<br/>
-	先に、このことは証明してあるが、その別証明である。	+	先に、このことは証明してあるが、その別証明である。<br/>
		+	（注２）関数の変数tまで書くと、式(12),(13)は、次のように書ける。<br/>
		+	$\ddot {r}(t)-r(t)\dot{\theta}^{2}(t)=-\frac{GM}{r^{2}(t)}\qquad \qquad (12') $<br/>
		+	$r^2(t)\dot{\theta}(t) = h \quad (任意の定数) \qquad \qquad (13') $<br/>

	====　微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める　　====		====　微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める　　====

Moderator: /* 　微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める　　 */

Moderator — Sun, 24 Jun 2018 10:47:38 GMT

　微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める　　

←前の版		2018年6月24日 (日) 10:47時点における版
191 行:		191 行:
	幸いなことに、これを回避して簡単な（しかし技巧的な）解法がある。<br/>		幸いなことに、これを回避して簡単な（しかし技巧的な）解法がある。<br/>
	それは、解が<br/>		それは、解が<br/>
-	$r=r~~\bigl~~(\theta (t)~~\bigr~~) \qquad \qquad \qquad \qquad (a)$<br/>	+	$r=r(\theta (t)) \qquad \qquad \qquad \qquad (a)$<br/>
	という形になることを仮定する方法である。<br/>		という形になることを仮定する方法である。<br/>
		+	$\frac{d r(\theta (t)) }{dt}$<br/>
		+	$\qquad $ 合成関数の微分公式を用いて、<br/>
		+	$=\frac{d r}{d\theta}(\theta (t))\dot{\theta}(t)$<br/>
		+	$\qquad $式(13)を$\dot{\theta}=\frac{h}{r^2}$に変形し、上式に代入すると<br/>
		+	$=\frac{d r}{d\theta}(\theta (t))\frac{h}{r^2(t)}$<br/>
		+	故に<br/>
		+	$\frac{d r(\theta (t)) }{dt}=\frac{d r}{d\theta}(\theta (t))\frac{h}{r^2(t)} \qquad \qquad (b)$<br/>
		+	$u(\theta)\triangleq \frac{1}{r(\theta)}$とおくと、<br/>

	====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====		====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====

Moderator: /* 　微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める　　 */

Moderator — Sun, 24 Jun 2018 05:02:22 GMT

　微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める　　

←前の版		2018年6月24日 (日) 05:02時点における版
186 行:		186 行:

	====　微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める　　====		====　微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める　　====
		+	連立微分方程式(12)、(13)を解いて、$r=r(t),\theta=\theta(t)$を求めれば、<br/>
		+	任意の時刻ｔにおける惑星の位置がわかる。<br/>
		+	しかし、これは残念なことに大変困難である。<br/>
		+	幸いなことに、これを回避して簡単な（しかし技巧的な）解法がある。<br/>
		+	それは、解が<br/>
		+	$r=r\bigl(\theta (t)\bigr) \qquad \qquad \qquad \qquad (a)$<br/>
		+	という形になることを仮定する方法である。<br/>

	====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====		====　極座標表示の惑星軌道を、直交座標表示に変換　　====

物理/惑星の運動(2) - 変更履歴

Moderator: /* 微分方程式を解いて、惑星の軌道形を求める */

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Moderator: /* 微分方程式を解いて、惑星の軌道形を求める */

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Moderator: /* 微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める */

Moderator: /* 惑星運動の微分方程式の極座標表示 */

Moderator: /* 微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める */

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Moderator: /* 　微分方程式を解いて、惑星軌道の極座標表示を求める　　 */

Moderator: /* 　惑星運動の微分方程式の極座標表示　　 */

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