物理/極限と微分 - 変更履歴

Moderator: /* 極限と微分 */

Moderator — Sat, 14 Jan 2017 09:29:53 GMT

極限と微分

Moderator: /* 　陰関数と陰関数定理　 */

Moderator — Fri, 29 Jan 2016 03:10:10 GMT

　陰関数と陰関数定理　

←前の版		2016年1月29日 (金) 03:10時点における版
752 行:		752 行:

	=====スカラー場の勾配 =====		=====スカラー場の勾配 =====
-	===　~~陰関数と陰関数定理~~　===	+	===陰関数と陰関数定理　===

Moderator: /* 多変数の実数値関数の微分 */

Moderator — Fri, 29 Jan 2016 03:09:33 GMT

多変数の実数値関数の微分

←前の版		2016年1月29日 (金) 03:09時点における版
750 行:		750 行:
	定理２<br/>		定理２<br/>
	$C^{1}$級の関数は微分可能<br/>		$C^{1}$級の関数は微分可能<br/>
		+
		+	=====スカラー場の勾配 =====
		+	===　陰関数と陰関数定理　===

Moderator: /* 実数値関数の微分 */

Moderator — Fri, 29 Jan 2016 03:01:48 GMT

実数値関数の微分

←前の版		2016年1月29日 (金) 03:01時点における版
496 行:		496 行:

	系；$f$が$I=(a,b)$上で定数$\Leftrightarrow$ $I$上で恒等的に$f'(t)=0$<br/>		系；$f$が$I=(a,b)$上で定数$\Leftrightarrow$ $I$上で恒等的に$f'(t)=0$<br/>
		+
		+	==== テイラー展開 ====
		+
		+	==== 関数の最大・最小と極大・極小 ====
		+
	====初等関数の微分====		====初等関数の微分====
	=====$\frac{df}{dt}=f$ となる関数$f(x)=e^x$　=====		=====$\frac{df}{dt}=f$ となる関数$f(x)=e^x$　=====
501 行:		506 行:
	=====対数関数の導関数　　　=====		=====対数関数の導関数　　　=====
	=====三角関数の導関数　　　=====		=====三角関数の導関数　　　=====
-	~~==== テイラー展開 ====~~
-
-	~~==== 関数の最大・最小と極大・極小 ====~~

	===ベクトル値関数の微分===		===ベクトル値関数の微分===

Moderator: /* テイラー展開 */

Moderator — Fri, 29 Jan 2016 02:56:26 GMT

テイラー展開

←前の版		2016年1月29日 (金) 02:56時点における版
502 行:		502 行:
	=====三角関数の導関数　　　=====		=====三角関数の導関数　　　=====
	==== テイラー展開 ====		==== テイラー展開 ====
		+
		+	==== 関数の最大・最小と極大・極小 ====

	===ベクトル値関数の微分===		===ベクトル値関数の微分===

Moderator: /* 初等関数の微分 */

Moderator — Fri, 29 Jan 2016 02:53:05 GMT

初等関数の微分

←前の版		2016年1月29日 (金) 02:53時点における版
501 行:		501 行:
	=====対数関数の導関数　　　=====		=====対数関数の導関数　　　=====
	=====三角関数の導関数　　　=====		=====三角関数の導関数　　　=====
		+	==== テイラー展開 ====
		+
	===ベクトル値関数の微分===		===ベクトル値関数の微分===
	実数の開区間$I=(a,b)$上で定義され,ｎ次元の実ベクトル($\in {\bf R^n}$)に		実数の開区間$I=(a,b)$上で定義され,ｎ次元の実ベクトル($\in {\bf R^n}$)に

Moderator: /* 微分係数の意味 */

Moderator — Thu, 02 Jul 2015 04:23:01 GMT

微分係数の意味

←前の版		2015年7月2日 (木) 04:23時点における版
396 行:		396 行:
	$f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h \qquad \qquad (3)$<br/>		$f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h \qquad \qquad (3)$<br/>
	と表現できる。<br/>		と表現できる。<br/>
-	ここで、$o_{s}(h)$は~~<br/>~~	+	ここで、$o_{s}(h)$は$\quad \lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0 \qquad \qquad (4)\quad $<br/>
-	$\lim_{h \to 0,h\neq 0}o_{s}(h)=0 \qquad \qquad (4)$<br/>	+	を満たす関数<br/>
-	を満たす関数~~<br/>~~<br/>	+
	3)　関数$f$は、<br/>		3)　関数$f$は、<br/>
	$s$の近傍の点$x$で		$s$の近傍の点$x$で

Moderator: /* 微分係数の意味 */

Moderator — Thu, 02 Jul 2015 04:18:59 GMT

微分係数の意味

←前の版		2015年7月2日 (木) 04:18時点における版
390 行:		390 行:
	$f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h$<br/>		$f(s+h)=f(s)+ch+o_{s}(h)h$<br/>
	ゆえに次の命題が証明できた。<br/>		ゆえに次の命題が証明できた。<br/>
-	~~命題；~~<br/>	+	'''命題'''<br/>
	次の３つの条件は同等である。<br/>		次の３つの条件は同等である。<br/>
	１）関数$f$は$s\in I$で微分可能で、微分係数は$c$である<br/>		１）関数$f$は$s\in I$で微分可能で、微分係数は$c$である<br/>

Moderator: /* 導関数の性質 */

Moderator — Wed, 01 Jul 2015 10:21:05 GMT

導関数の性質

←前の版		2015年7月1日 (水) 10:21時点における版
422 行:		422 行:

	====導関数の性質====		====導関数の性質====
		+	命題1；<br/>
	$f,g$が$I=(a,b)$上で定義された微分可能な実数値関数で、		$f,g$が$I=(a,b)$上で定義された微分可能な実数値関数で、
	$\alpha,\beta$は任意の実数とする。<br/>		$\alpha,\beta$は任意の実数とする。<br/>
428 行:		429 行:
	その導関数は、<br/>		その導関数は、<br/>
	$(\alpha f+\beta g )'=\alpha f'+\beta g'$<br/>		$(\alpha f+\beta g )'=\alpha f'+\beta g'$<br/>
-	(２)、$fg(s):=f(s)g(s)$は微分可能で<br/>	+	(２) 積の微分<br/>
		+	$fg(s):=f(s)g(s)$は微分可能で<br/>
	$(fg)'=f'g+fg'$<br/>		$(fg)'=f'g+fg'$<br/>
	で与えられる。<br/>		で与えられる。<br/>
-	証明は、微分の定義式と極限の性質から容易に導ける。	+	証明は、微分の定義式と極限の性質から容易に導ける。<br/>
		+	命題2；合成関数の微分<br/>
		+	$g$が$I_1=(a_1,b_1)$上で定義され、$I_2=(a_2,b_2)$の中に値をとり、<br/>
		+	$f$が$I_2=(a_2,b_2)$上で定義され、$I_3=(a_3,b_3)$の中に値をとる、<br/>
		+	微分可能な関数とする。<br/>
		+	すると、合成関数$f\circ g(s):=f(g(s))$は$I_1$上で微分可能で<br/>
		+	$(f\circ g)'=f'(g)g'$

	====平均値の定理====		====平均値の定理====

Moderator: /* ベクトル積の微分 */

Moderator — Mon, 16 Mar 2015 10:08:08 GMT

ベクトル積の微分

←前の版		2015年3月16日 (月) 10:08時点における版
514 行:		514 行:
	====ベクトル積の微分 ====		====ベクトル積の微分 ====
	命題<br/>		命題<br/>
-	$ \vec{a(t)} $ と $\vec{b(t)} $は、開区間Ｉ上で定義され、	+	$ \vec{a}(t) $ と $\vec{b}(t) $は、開区間Ｉ上で定義され、
-	~~微分可能なベクトル値関数とする。すると、~~<br/>	+	３次元のベクトルに値をとる微分可能な関数とする。すると、<br/>
-	$ \quad \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$ は微分可能で、<br/>	+	$ \quad \vec{a}(t) \times \vec{b}(t)$ は微分可能で、<br/>
-	$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}) =(\frac{d}{dt}\vec{a(t)} )\times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times (\frac{d}{dt}\vec{b(t)})$	+	$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a}(t) \times \vec{b}(t)) =(\frac{d}{dt}\vec{a}(t) )\times \vec{b}(t)+\vec{a}(t)\times (\frac{d}{dt}\vec{b}(t))$
	証明<br/>		証明<br/>
	すでにこのテキストで紹介した、ベクトル値関数の微分の定義<br/>		すでにこのテキストで紹介した、ベクトル値関数の微分の定義<br/>
-	$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)})	+	$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a}(t) \times \vec{b}(t))
	=\lim_{\delta t \to 0}		=\lim_{\delta t \to 0}
-	(\vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)})/\delta t$ $\qquad $ (1)　　<br/>	+	(\vec{a}(t+\delta t)\times \vec{b}(t+\delta t)- \vec{a}(t) \times \vec{b}(t))/\delta t$ $\qquad $ (1)　　<br/>
	を用いて証明する。<br/>		を用いて証明する。<br/>
	この極限が存在し、<br/>		この極限が存在し、<br/>
-	$\frac{d}{dt}\vec{a(t)} \times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times \frac{d}{dt}\vec{b(t)}$<br/>	+	$\frac{d}{dt}\vec{a}(t) \times \vec{b}(t)+\vec{a}(t)\times \frac{d}{dt}\vec{b}(t)$<br/>
	になることを示せば命題は証明できたことになる。<br/>		になることを示せば命題は証明できたことになる。<br/>
	極限の計算が進むよう、右辺の式の分母は変形しよう。<br/>		極限の計算が進むよう、右辺の式の分母は変形しよう。<br/>
	関数の積の微分公式の証明と同じ技巧を用いる。<br/>		関数の積の微分公式の証明と同じ技巧を用いる。<br/>
-	$ \vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}	+	$ \vec{a}(t+\delta t)\times \vec{b}(t+\delta t)
-	- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$　　<br/>	+	- \vec{a}(t) \times \vec{b}(t)$　　<br/>
-	$ = \vec a(t+\delta t)\times \vec{b(t+\delta t)}	+	$ = \vec{a(}t+\delta t)\times \vec{b}(t+\delta t)
-	-\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)}	+	-\vec{a}(t)\times \vec{b}(t+\delta t)
-	+\vec a(t)\times \vec{b(t+\delta t)}	+	+\vec a(t)\times \vec{b}(t+\delta t)
-	- \vec{a(t)} \times \vec{b(t)}$　　<br/>	+	- \vec{a}(t) \times \vec{b}(t)$　　<br/>
	ベクトル積の命題３を利用すると、　<br/>		ベクトル積の命題３を利用すると、　<br/>
	$ = \left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right)		$ = \left(\vec a\left(t+\delta t\right) -\vec a\left(t\right)\right)
542 行:		542 行:

	この式を式(１)の右辺の分子の項に代入し整頓すると<br/>		この式を式(１)の右辺の分子の項に代入し整頓すると<br/>
-	$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a(t)} \times \vec{b(t)})	+	$ \quad \frac{d}{dt}(\vec{a}(t) \times \vec{b}(t))
	=\lim_{\delta t \to 0}		=\lim_{\delta t \to 0}
	\frac{\vec a(t+\delta t)\times \vec b(t+\delta t)- \vec a(t) \times \vec b(t)}		\frac{\vec a(t+\delta t)\times \vec b(t+\delta t)- \vec a(t) \times \vec b(t)}
576 行:		576 行:
	$\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec b(t+\delta t) -\vec b(t)}{\delta t}		$\lim_{\delta t \to 0} \frac{\vec b(t+\delta t) -\vec b(t)}{\delta t}
	=\frac{d\vec b(t)}{dt}$		=\frac{d\vec b(t)}{dt}$
		+
		+	====内積の微分 ====
		+	命題<br/>
		+	$ \vec{a}(t)$ と $\vec{b}(t) $は、<br/>
		+	開区間Ｉ上で定義され、ｎ次元のベクトルに値をとる、<br/>
		+	微分可能な関数とする。すると、<br/>
		+	$(\vec{a}\cdot \vec{b})(t):=\vec{a(t)}\cdot\vec{b(t)} $は,微分可能な実数値関数で、<br/>
		+	$\frac{d(\vec{a}\cdot \vec{b})}{dt}(t)
		+	=\frac{d\vec{a}}{dt}(t)\cdot \vec{b}(t)
		+	+\vec{a}(t) \cdot \frac{d\vec{b}}{dt}(t)$<br/>
		+	証明は、ベクトル積の場合と同様に行えばよい。
		+
	==== $C^{1}$級の関数====		==== $C^{1}$級の関数====
	開$I=(a,b)$上の関数 $f$ が連続的微分可能（continuously differentiable）であるとは,<br/>		開$I=(a,b)$上の関数 $f$ が連続的微分可能（continuously differentiable）であるとは,<br/>

物理/極限と微分 - 変更履歴

Moderator: /* 極限と微分 */

Moderator: /* 陰関数と陰関数定理 */

Moderator: /* 多変数の実数値関数の微分 */

Moderator: /* 実数値関数の微分 */

Moderator: /* テイラー展開 */

Moderator: /* 初等関数の微分 */

Moderator: /* 微分係数の意味 */

Moderator: /* 微分係数の意味 */

Moderator: /* 導関数の性質 */

Moderator: /* ベクトル積の微分 */

Moderator: /* 　陰関数と陰関数定理　 */