物理/熱と熱現象(4)熱力学の第二法則とエントロピー - 変更履歴

Moderator: /* エントロピーの定義 */

Moderator — Fri, 01 Apr 2016 02:44:36 GMT

エントロピーの定義

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	このことから、エントロピー　 $\frac{Q}{T}$ という重要な概念が導入された。<br/>		このことから、エントロピー　 $\frac{Q}{T}$ という重要な概念が導入された。<br/>
	====エントロピーの定義 ====		====エントロピーの定義 ====
-	定義；系のエントロピーの変化量	+	定義；系のエントロピーの変化量<br/>
	熱力学的な系が、絶対温度Tの熱源から熱量　$\delta Q$　を準静的		熱力学的な系が、絶対温度Tの熱源から熱量　$\delta Q$　を準静的
-	~~に吸収するとき、系のエントロピーは~~　$\frac{\delta Q}{T}$　変化したという。	+	に吸収するとき、<br/>
		+	系のエントロピーは　$\frac{\delta Q}{T}$　変化したという。<br/>
		+
	====エントロピーは系の状態量 ====		====エントロピーは系の状態量 ====
	====エントロピーの増大法則 ====		====エントロピーの増大法則 ====

Moderator: /* 　熱力学の第2法則とエントロピー　 */

Moderator — Fri, 01 Apr 2016 02:41:08 GMT

　熱力学の第2法則とエントロピー　

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	が成立する。<br/>		が成立する。<br/>
	このことから、エントロピー　 $\frac{Q}{T}$ という重要な概念が導入された。<br/>		このことから、エントロピー　 $\frac{Q}{T}$ という重要な概念が導入された。<br/>
-	===エントロピーの定義 ===	+	====エントロピーの定義 ====
	定義；系のエントロピーの変化量		定義；系のエントロピーの変化量
	熱力学的な系が、絶対温度Tの熱源から熱量　$\delta Q$　を準静的		熱力学的な系が、絶対温度Tの熱源から熱量　$\delta Q$　を準静的
	に吸収するとき、系のエントロピーは　$\frac{\delta Q}{T}$　変化したという。		に吸収するとき、系のエントロピーは　$\frac{\delta Q}{T}$　変化したという。
-	===エントロピーは系の状態量 ===	+	====エントロピーは系の状態量 ====
-	===エントロピーの増大法則 ===	+	====エントロピーの増大法則 ====
-	熱はエントロピーが増大する方向に移行する（エントロピー増大則）。<br/>	+	熱はエントロピーが増大する方向に移行する（エントロピー増大則）。<br/><br/>
-	~~興味のある方は以下を参照のこと。~~	+	エントロピーについては以下を参照のこと。
	*[[wikipedia_ja:エントロピー\|ウィキペディア（エントロピー）]]		*[[wikipedia_ja:エントロピー\|ウィキペディア（エントロピー）]]

Moderator: /* 　エントロピー */

Moderator — Fri, 01 Apr 2016 02:38:02 GMT

　エントロピー

←前の版		2016年4月1日 (金) 02:38時点における版
88 行:		88 行:
	が成立する。<br/>		が成立する。<br/>
	このことから、エントロピー　 $\frac{Q}{T}$ という重要な概念が導入された。<br/>		このことから、エントロピー　 $\frac{Q}{T}$ という重要な概念が導入された。<br/>
		+	===エントロピーの定義 ===
		+	定義；系のエントロピーの変化量
		+	熱力学的な系が、絶対温度Tの熱源から熱量　$\delta Q$　を準静的
		+	に吸収するとき、系のエントロピーは　$\frac{\delta Q}{T}$　変化したという。
		+	===エントロピーは系の状態量 ===
		+	===エントロピーの増大法則 ===
	熱はエントロピーが増大する方向に移行する（エントロピー増大則）。<br/>		熱はエントロピーが増大する方向に移行する（エントロピー増大則）。<br/>
-	~~本テキストでは、エントロピーの正確な定義やエントロピーが状態量であることや、その性質などに触れない。<br/>~~
	興味のある方は以下を参照のこと。		興味のある方は以下を参照のこと。
	*[[wikipedia_ja:エントロピー\|ウィキペディア（エントロピー）]]		*[[wikipedia_ja:エントロピー\|ウィキペディア（エントロピー）]]

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Moderator — Fri, 01 Apr 2016 01:53:51 GMT

　熱力学の第2法則　

←前の版		2016年4月1日 (金) 01:53時点における版
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	上記の２つの原理は同値である。<br/>		上記の２つの原理は同値である。<br/>
	証明；<br/>		証明；<br/>
-	（１）まず、トムソンの原理(~~（Ｔ）と略記~~)~~が不成立と仮定する。すると、~~<br/>	+	（１）まず、トムソンの原理(T)が不成立$\lnot(T)$と仮定する。すると、<br/>
-	~~クラウジウスの原理（（Ｃ）と略記）が不成立であることを示そう。~~<br/>	+	クラウジウスの原理(C)が不成立$\lnot(C)$であることを示そう。<br/>
-	（$\lnot (T) \to \lnot (C)$　~~なので、対偶命題である~~$(C) \to (T)$　~~が言える）。~~<br/>	+	$\lnot (T) \to \lnot (C)$　が示せれば、対偶命題である
		+	$(C) \to (T)$　が言える。<br/>
	仮定　$\lnot (T)$　から、<br/>		仮定　$\lnot (T)$　から、<br/>
-	ある一つの熱源から熱　$Q$　を吸収し、それを全て仕事　$W=Q$　~~に変えるサイクル機関が存在する。~~<br/>	+	ある一つの熱源から熱　$Q$　を吸収し、それを全て仕事　$W=Q$　に変え,それ以外に何の痕跡も残さないサイクル機関が存在する。<br/>
	この熱源より温度の低い熱源を用意し、<br/>		この熱源より温度の低い熱源を用意し、<br/>
	この2つの熱源を用いたカルノー機関を、この仕事　$W=Q$　を全て用いて逆行させる。<br/>		この2つの熱源を用いたカルノー機関を、この仕事　$W=Q$　を全て用いて逆行させる。<br/>

Moderator: /* 　熱力学の第2法則　 */

Moderator — Fri, 01 Apr 2016 01:35:23 GMT

　熱力学の第2法則　

←前の版		2016年4月1日 (金) 01:35時点における版
6 行:		6 行:

	'''[[wikipedia_ja:ウィリアム・トムソン \|トムソン]]の原理'''<br/>		'''[[wikipedia_ja:ウィリアム・トムソン \|トムソン]]の原理'''<br/>
-	~~ただ一つの熱源から熱を吸収して、それを全て仕事に変えるサイクル機関は存在しない（注を参照のこと）。~~<br/><br/>	+	ただ一つの熱源から熱を吸収して、それを全て仕事に変え、それ以外の変化は残さないサイクル機関は存在しない。<br/><br/>
	'''[[wikipedia_ja:ルドルフ・クラウジウス \|クラウジウス]]の原理'''<br/>		'''[[wikipedia_ja:ルドルフ・クラウジウス \|クラウジウス]]の原理'''<br/>
	他には何の変化も残さず、低温の物体から高温の物体に熱を移すことは出来ない。<br/><br/>		他には何の変化も残さず、低温の物体から高温の物体に熱を移すことは出来ない。<br/><br/>

Moderator: /* 　熱力学の第2法則　 */

Moderator — Fri, 01 Apr 2016 01:22:41 GMT

　熱力学の第2法則　

←前の版		2016年4月1日 (金) 01:22時点における版
6 行:		6 行:

	'''[[wikipedia_ja:ウィリアム・トムソン \|トムソン]]の原理'''<br/>		'''[[wikipedia_ja:ウィリアム・トムソン \|トムソン]]の原理'''<br/>
-	~~(T):=「ただ一つの熱源から熱を吸収して、それを全て仕事に変えるサイクル機関は存在しない」（注を参照のこと）。~~<br/><br/>	+	ただ一つの熱源から熱を吸収して、それを全て仕事に変えるサイクル機関は存在しない（注を参照のこと）。<br/><br/>
	'''[[wikipedia_ja:ルドルフ・クラウジウス \|クラウジウス]]の原理'''<br/>		'''[[wikipedia_ja:ルドルフ・クラウジウス \|クラウジウス]]の原理'''<br/>
-	~~(C):=「他には何の変化も残さず、低温の物体から高温の物体に熱を移すことは出来ない。」~~<br/><br/>	+	他には何の変化も残さず、低温の物体から高温の物体に熱を移すことは出来ない。<br/><br/>
	高温物体を低温物体に接触させると、高温物体から低温物体に熱が移動し、<br/>		高温物体を低温物体に接触させると、高温物体から低温物体に熱が移動し、<br/>
-	~~しばらくすると、熱平衡になる。~~<br/>	+	しばらくすると、熱平衡状態になる。<br/>
	この過程が不可逆であると主張するのが、クラウジウスの原理である。<br/>		この過程が不可逆であると主張するのが、クラウジウスの原理である。<br/>
	質点や質点系の運動は、すべて、理想条件下で(熱としてエネルギーが失われなければ)、可逆である。<br/>		質点や質点系の運動は、すべて、理想条件下で(熱としてエネルギーが失われなければ)、可逆である。<br/>

Moderator: ページの作成: =　熱力学の第2法則とエントロピー　= ==　熱力学の第2法則　== 次の同等な原理を、熱力学の第2法則という。
これらは、カルノ…

Moderator — Thu, 31 Mar 2016 10:15:40 GMT

ページの作成: =　熱力学の第2法則とエントロピー　= ==　熱力学の第2法則　== 次の同等な原理を、熱力学の第2法則という。 これらは、カルノ…

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=　熱力学の第2法則とエントロピー　=

==　熱力学の第2法則　==
次の同等な原理を、熱力学の第2法則という。 
これらは、カルノーの研究や永久機関の失敗を経て、自然の基本法則として認められるようになった。 

'''[[wikipedia_ja:ウィリアム・トムソン |トムソン]]の原理''' 
(T):=「ただ一つの熱源から熱を吸収して、それを全て仕事に変えるサイクル機関は存在しない」（注を参照のこと）。 
'''[[wikipedia_ja:ルドルフ・クラウジウス |クラウジウス]]の原理''' 
(C):=「他には何の変化も残さず、低温の物体から高温の物体に熱を移すことは出来ない。」 
高温物体を低温物体に接触させると、高温物体から低温物体に熱が移動し、 
しばらくすると、熱平衡になる。 
この過程が不可逆であると主張するのが、クラウジウスの原理である。 
質点や質点系の運動は、すべて、理想条件下で(熱としてエネルギーが失われなければ)、可逆である。 
熱現象は、次節で説明するように、膨大な個数の分子の熱運動が原因であるが、 
こうした膨大な個数の分子の運動は、不可逆になるという不思議なことが、 
自然界で起こっている。 

命題； 
上記の２つの原理は同値である。 
証明； 
（１）まず、トムソンの原理(（Ｔ）と略記)が不成立と仮定する。すると、 
クラウジウスの原理（（Ｃ）と略記）が不成立であることを示そう。 
（$\lnot (T) \to \lnot (C)$　なので、対偶命題である$(C) \to (T)$　が言える）。 
仮定　$\lnot (T)$　から、 
ある一つの熱源から熱　$Q$　を吸収し、それを全て仕事　$W=Q$　に変えるサイクル機関が存在する。 
この熱源より温度の低い熱源を用意し、 
この2つの熱源を用いたカルノー機関を、この仕事　$W=Q$　を全て用いて逆行させる。 
すると低温熱源から　ある熱量　$Q'$　が吸収され、 
高温熱源に、$W+Q'=Q+Q'$　の熱が放出される。 
この2つの過程をあわせると、 
低温熱源は、熱量　$Q'$　を失い、
高温熱源は、$W+Q'-Q=Q+Q'-Q=Q'$ の熱を吸収し、他には何の変化もない。 
クラウジウスの原理は不成立（$\lnot (C)$)。 
（２）$\lnot (C) \to \lnot (T)$　を示す。 
ある低温物体からある高温物体に、他には何の変化も残さず、熱（$Q$　と書く）を移すことができるとする。 
この高温物体から、熱　$Q$　を吸収して、 
その一部を仕事Ｗに転化し、残り$Q'=Q-W$をこの低温物体に放出する 
カルノー機関を一サイクル運転する。 
両過程を合計すると、 
高温物体の熱収支は零、 
低温物体は　$-W$　の熱を吸収($W$　の熱を放出）し、仕事　$W$　を生み出している。 
故に、トムソンの原理は不成立。 
(注）サイクル機関であることがポイントである。 
気体の準静的な等温膨張では、 
気体はただ一つの熱源から熱を吸収し、それをすべて仕事に変える。 
しかし気体の体積は大きくなり、サイクル運転はできない。 

==　不可逆過程とエントロピー==
===　不可逆変化と具体例===
可逆過程とは、外界に変化を残さずに最初の状態に戻せる過程のことであったが、現実の殆どの変化は可逆ではない。 
例えば 
・高温物体と低温物体の接触による熱移動。高温物体への熱移動は起こらない。(熱力学の第2法則) 
・理想気体の真空への自由膨張 
・非静的な熱現象 
・摩擦による熱発生 

===　不可逆な熱機関の効率===
命題 
効率最高のサイクル熱機関は、可逆である。 
証明； 
この機関を一サイクル運転する。 
高温熱源から　$Q_h$　の熱を吸収し、$Q_l$　の熱を低温熱源に放出するとする。 
一サイクル後の熱媒体の状態は最初の状態と一致するので、 
熱力学の第一法則から、外部への仕事は　$W=Q_h-Q_l$　 
この機関の効率　$\frac{W}{Q_h}$　がカルノー機関と同じなので 
カルノー機関を一サイクル動かして高温熱源から　$Q_h$　の熱を吸収したとき、 
低温熱源に放出する熱は　$Q_l$　、外部への仕事は　Ｗ　と一致する。 
そこで、仕事　Ｗ　を使ってカルノー機関を逆行運転すると、 
低温熱源から熱　$Q_l$　の熱を吸収し、高温熱源に熱　$Q_h$　を放出する。 
2つの熱源はともに元に戻り、外部への仕事もなく、系の状態は元に戻った。 
従って、効率最高のサイクル熱機関は可逆である。 
この命題から、次の命題が得られる。 
命題 
不可逆過程をふくむサイクル熱機関の効率は、カルノー機関の効率よりも常に小さい（カルノーの第2定理）。 

===　エントロピー===
高温$T_h$熱源と低温$T_l$熱源を用いた可逆なサイクル熱機関の効率　$\kappa:=\frac{Q_h-Q_l}{Q_h}$　は、 
$1-\frac{T_l}{T_h}$であった。 
ここで　$Q_h$　は高温熱源が放出する熱量、$Q_l$　低温熱源の吸収する熱量。 
これより、
$\frac{Q_h}{T_h}=\frac{Q_l}{T_l}\qquad \qquad (1) $ 
が成立する。 
高温熱源$T_h$と低温熱源$T_l$を用いた不可逆過程の熱機関では 
効率が可逆機関より低いので、 
$\frac{Q_h}{T_h}<\frac{Q_l}{T_l}\qquad \qquad (2) $ 
が成立する。 
このことから、エントロピー　 $\frac{Q}{T}$ という重要な概念が導入された。 
熱はエントロピーが増大する方向に移行する（エントロピー増大則）。 
本テキストでは、エントロピーの正確な定義やエントロピーが状態量であることや、その性質などに触れない。 
興味のある方は以下を参照のこと。
*[[wikipedia_ja:エントロピー|ウィキペディア（エントロピー）]]

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これらは、カルノ…