物理/物理数学(2)多変数の解析学と常微分方程式 - 変更履歴

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Moderator — Mon, 16 Jan 2017 09:55:05 GMT

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2017年1月16日 (月) 09:55時点における版

Moderator: /* 常微分方程式 */

Moderator — Mon, 16 Jan 2017 04:27:19 GMT

常微分方程式

←前の版		2017年1月16日 (月) 04:27時点における版
53 行:		53 行:

	== ベクトル解析　==		== ベクトル解析　==
-	~~== 常微分方程式 ==~~
-
	== 常微分方程式 ==		== 常微分方程式 ==

Moderator: /* ベクトル解析　 */

Moderator — Mon, 16 Jan 2017 04:26:59 GMT

ベクトル解析　

←前の版		2017年1月16日 (月) 04:26時点における版
55 行:		55 行:
	== 常微分方程式 ==		== 常微分方程式 ==

-	~~== ベクトル解析　==~~
	== 常微分方程式 ==		== 常微分方程式 ==

Moderator: /* 偏微分 */

Moderator — Mon, 16 Jan 2017 04:26:16 GMT

偏微分

←前の版		2017年1月16日 (月) 04:26時点における版
20 行:		20 行:
	この関数は、一変数なので、その微分　<br/>		この関数は、一変数なので、その微分　<br/>
	$\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }$<br/>　<br/>		$\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }$<br/>　<br/>
-	を考えることができる。<br/>	+	を考えることができる。<br/><br/>
	定義（偏微分）<br/>		定義（偏微分）<br/>
	変数　$\bf x$　の第i成分以外は、$x_j=x_{j,0}(j\neq i)$ 　に固定する。<br/>		変数　$\bf x$　の第i成分以外は、$x_j=x_{j,0}(j\neq i)$ 　に固定する。<br/>
26 行:		26 行:
	関数ｆは、$\bf x=(x_{1,0}, x_{2,0},,,x_{n,0})$　において、$x_i$　に関して'''偏微分可能'''のであると言い,<br/>		関数ｆは、$\bf x=(x_{1,0}, x_{2,0},,,x_{n,0})$　において、$x_i$　に関して'''偏微分可能'''のであると言い,<br/>
	$\frac{\partial f}{\partial x_i} :=\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}$<br/>		$\frac{\partial f}{\partial x_i} :=\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}$<br/>
-	を、$f(\bf x)$　の　$\bf x=(x_{1,0},x_{2,0},,,x_{n,0}$　における、$x_i$ 　に関する'''偏微分係数'''という。<br/>	+	を、$f(\bf x)$　の　$\bf x=(x_{1,0},x_{2,0},,,x_{n,0}$　における、$x_i$ 　に関する'''偏微分係数'''という。<br/><br/>
-	定義（偏導関数）	+	定義（偏導関数）<br/>
	$R^n$　のある集合　$G$　の内部の全ての点$\bf x$で<br/>		$R^n$　のある集合　$G$　の内部の全ての点$\bf x$で<br/>
	$f(\bf x)$ 　が　$x_i$　に関して偏微分可能であるならば、<br/>		$f(\bf x)$ 　が　$x_i$　に関して偏微分可能であるならば、<br/>
33 行:		33 行:
	これを、$f(\bf x)$ 　の　$x_i$　に関する偏導関数といい、記号<br/>		これを、$f(\bf x)$ 　の　$x_i$　に関する偏導関数といい、記号<br/>
	$f_{x_[i]}(\bf x),\quad D_{x_i}f(\bf x),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\bf x),\quad \partial f/\partial x_i$<br/>		$f_{x_[i]}(\bf x),\quad D_{x_i}f(\bf x),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\bf x),\quad \partial f/\partial x_i$<br/>
-	などで表示する。<br/>	+	などで表示する。<br/><br/>
	*[[wikipedia_ja:偏微分 \|ウィキペディア(偏微分)]]		*[[wikipedia_ja:偏微分 \|ウィキペディア(偏微分)]]
	定理（合成関数の微分）<br/>		定理（合成関数の微分）<br/>

Moderator: /* 偏微分 */

Moderator — Mon, 16 Jan 2017 04:24:13 GMT

偏微分

←前の版		2017年1月16日 (月) 04:24時点における版
13 行:		13 行:
	${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。		${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
	===偏微分===		===偏微分===
-	そこで、$f$　の変数　$\bf x$　の第i成分　$x_i$　~~だけを変数とし、他の変数は固定~~　$\left(x_j=x_{j,0}(j\neq i)\right)$　して得られる一変数関数<br/>	+	そこで、$f$　の変数　$\bf x$　の第i成分　$x_i$　だけを変数とし、<br/>
		+	他の変数は固定　$\left(x_j=x_{j,0}(j\neq i)\right)$　して得られる一変数関数<br/>
	$\phi^{i}(x_i)$		$\phi^{i}(x_i)$
	$:=f(\bf x),$ （ここで$\quad x_j=x_{j,0}(j\neq i)$）<br/>		$:=f(\bf x),$ （ここで$\quad x_j=x_{j,0}(j\neq i)$）<br/>
43 行:		44 行:
	$h(x,y)=g(f(x,y)$　は　$(x_0,y_0)$　で、ｘに関して偏微分可能であり,<br/>		$h(x,y)=g(f(x,y)$　は　$(x_0,y_0)$　で、ｘに関して偏微分可能であり,<br/>
	====方向微分====		====方向微分====
		+
	===微分(全微分）　===		===微分(全微分）　===
	定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数<br/>		定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数<br/>

Moderator: /* 多変数の実数値関数の微分 */

Moderator — Mon, 16 Jan 2017 04:23:32 GMT

多変数の実数値関数の微分

←前の版		2017年1月16日 (月) 04:23時点における版
3 行:		3 行:
	${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開区間 <br/>		${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開区間 <br/>
	$I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$を考える。<br/>		$I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$を考える。<br/>
-	~~一変数関数の議論から類推するために以後~~<br/>	+	一変数関数の議論から類推するために<br/>
-	${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。<br/>	+	以後、${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。<br/>
	この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。<br/>		この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。<br/>
	一変数の微分から類推すると<br/>		一変数の微分から類推すると<br/>
49 行:		49 行:
	定理２<br/>		定理２<br/>
	$C^{1}$級の関数は微分可能<br/>		$C^{1}$級の関数は微分可能<br/>
		+
	== ベクトル解析　==		== ベクトル解析　==
	== 常微分方程式 ==		== 常微分方程式 ==

Moderator: /* 9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析 */

Moderator — Mon, 16 Jan 2017 04:22:12 GMT

9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析

←前の版		2017年1月16日 (月) 04:22時点における版
1 行:		1 行:
-	~~=9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析=~~
	=9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析=		=9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析=
	==多変数の実数値関数の微分 ==		==多変数の実数値関数の微分 ==

Moderator: /* 多変数の実数値関数の微分 */

Moderator — Mon, 16 Jan 2017 04:21:54 GMT

多変数の実数値関数の微分

←前の版		2017年1月16日 (月) 04:21時点における版
1 行:		1 行:
		+	=9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析=
	=9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析=		=9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析=
	==多変数の実数値関数の微分 ==		==多変数の実数値関数の微分 ==
13 行:		14 行:
	${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。		${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
	===偏微分===		===偏微分===
-	そこで、$f$　の変数　$\bf x$　の第i成分　$x_i$　~~だけを変数とし、他の変数は固定　（~~$x_j=x_{j,0}(j\neq i)$　して得られる一変数関数<br/>	+	そこで、$f$　の変数　$\bf x$　の第i成分　$x_i$　だけを変数とし、他の変数は固定　$\left(x_j=x_{j,0}(j\neq i)\right)$　して得られる一変数関数<br/>
-	$\phi^i(x_i):=f(\bf x),\quad ~~\left(~~x_j=x_{j,0}(j\neq i)~~\right）~~$<br/>	+	$\phi^{i}(x_i)$
		+	$:=f(\bf x),$ （ここで$\quad x_j=x_{j,0}(j\neq i)$）<br/>
	を考える。<br/>		を考える。<br/>
	この関数は、一変数なので、その微分　<br/>		この関数は、一変数なので、その微分　<br/>
-	$\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=$\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }$<br/>$　<br/>	+	$\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }$<br/>　<br/>
	を考えることができる。<br/>		を考えることができる。<br/>
	定義（偏微分）<br/>		定義（偏微分）<br/>
41 行:		43 行:
	$\quad g(x,y)$　が、$z_0=f(x_0,y_0)$　において微分可能ならば、<br/>		$\quad g(x,y)$　が、$z_0=f(x_0,y_0)$　において微分可能ならば、<br/>
	$h(x,y)=g(f(x,y)$　は　$(x_0,y_0)$　で、ｘに関して偏微分可能であり,<br/>		$h(x,y)=g(f(x,y)$　は　$(x_0,y_0)$　で、ｘに関して偏微分可能であり,<br/>
-	$
	====方向微分====		====方向微分====
	===微分(全微分）　===		===微分(全微分）　===
49 行:		50 行:
	定理２<br/>		定理２<br/>
	$C^{1}$級の関数は微分可能<br/>		$C^{1}$級の関数は微分可能<br/>
		+	== ベクトル解析　==
		+	== 常微分方程式 ==
		+
	== ベクトル解析　==		== ベクトル解析　==
	== 常微分方程式 ==		== 常微分方程式 ==

Moderator: /* 9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析 */

Moderator — Mon, 16 Jan 2017 03:57:39 GMT

9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析

←前の版		2017年1月16日 (月) 03:57時点における版
1 行:		1 行:
	=9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析=		=9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析=
	==多変数の実数値関数の微分 ==		==多変数の実数値関数の微分 ==
-	${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$	+	${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開区間 <br/>
-	の開区間	+	$I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$を考える。<br/>
-	$I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$	+	一変数関数の議論から類推するために以後<br/>
-	を考える。	+
-	~~一変数関数の議論から類推しやすくするため、以後~~<br/>	+
	${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。<br/>		${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。<br/>
	この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。<br/>		この上で定義された実数値関数$y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)$の微分について説明する。<br/>
-	~~最初に思いつくのは、一変数のときと同じ定義をもちいることであり~~<br/>	+	一変数の微分から類推すると<br/>
-	$\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }=c$<br/>	+	微小なベクトル　$h=(h_1,h_2,,,h_n)$　を考え、極限<br/>
-	~~が存在するときｓで微分可能と定義すること。~~<br/>	+	$\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }$<br/>
-	~~しかし、~~<br/>	+	が存在するとき、関数ｆは微分可能と定義することが考えられる。<br/>
-	${\bf h}$~~はｎ次元ベクトルなので割り算は不可能。~~	+	しかし残念ながら、<br/>
		+	${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
	===偏微分===		===偏微分===
-	そこで、${\bf ~~h_0~~}\in {\bf R^n}$~~を用いて、~~	+	そこで、$f$　の変数　$\bf x$　の第i成分　$x_i$　だけを変数とし、他の変数は固定　（$x_j=x_{j,0}(j\neq i)$　して得られる一変数関数<br/>
		+	$\phi^i(x_i):=f(\bf x),\quad \left(x_j=x_{j,0}(j\neq i)\right）$<br/>
		+	を考える。<br/>
		+	この関数は、一変数なので、その微分　<br/>
		+	$\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=$\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }$<br/>$　<br/>
		+	を考えることができる。<br/>
		+	定義（偏微分）<br/>
		+	変数　$\bf x$　の第i成分以外は、$x_j=x_{j,0}(j\neq i)$ 　に固定する。<br/>
		+	もし、$\phi^i(x_i)=f(\bf x)$　が　$x_{i}=x_{i,0}$　で微分可能ならば、<br/>
		+	関数ｆは、$\bf x=(x_{1,0}, x_{2,0},,,x_{n,0})$　において、$x_i$　に関して'''偏微分可能'''のであると言い,<br/>
		+	$\frac{\partial f}{\partial x_i} :=\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}$<br/>
		+	を、$f(\bf x)$　の　$\bf x=(x_{1,0},x_{2,0},,,x_{n,0}$　における、$x_i$ 　に関する'''偏微分係数'''という。<br/>
		+	定義（偏導関数）
		+	$R^n$　のある集合　$G$　の内部の全ての点$\bf x$で<br/>
		+	$f(\bf x)$ 　が　$x_i$　に関して偏微分可能であるならば、<br/>
		+	$G$　の内部の全ての点$\bf x$に、そこでの　$x_i$　に関する偏微分係数を対応させると、新しい関数が得られる。<br/>
		+	これを、$f(\bf x)$ 　の　$x_i$　に関する偏導関数といい、記号<br/>
		+	$f_{x_[i]}(\bf x),\quad D_{x_i}f(\bf x),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\bf x),\quad \partial f/\partial x_i$<br/>
		+	などで表示する。<br/>
	*[[wikipedia_ja:偏微分 \|ウィキペディア(偏微分)]]		*[[wikipedia_ja:偏微分 \|ウィキペディア(偏微分)]]
		+	定理（合成関数の微分）<br/>
		+	$R^2$　から　$R$　への関数$f(x,y)$　と<br/>
		+	$R$　から　$R$　への関数$g(x,y)$　の合成関数　<br/>
		+	$h(x,y)=g(f(x,y)$　<br/>
		+	を考える。<br/>
		+	もし、$f(x,y)$　が　$(x_0,y_0)$　で、ｘに関して偏微分可能で,<br/>
		+	$\quad g(x,y)$　が、$z_0=f(x_0,y_0)$　において微分可能ならば、<br/>
		+	$h(x,y)=g(f(x,y)$　は　$(x_0,y_0)$　で、ｘに関して偏微分可能であり,<br/>
		+	$
	====方向微分====		====方向微分====
-	==微分(全微分）　==	+	===微分(全微分）　===
	定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数<br/>		定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数<br/>
	定理１；<br/>		定理１；<br/>
23 行:		49 行:
	定理２<br/>		定理２<br/>
	$C^{1}$級の関数は微分可能<br/>		$C^{1}$級の関数は微分可能<br/>
		+	== ベクトル解析　==
		+	== 常微分方程式 ==

Moderator: /* 9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析 */

Moderator — Mon, 16 Jan 2017 01:30:59 GMT

9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析

←前の版		2017年1月16日 (月) 01:30時点における版
13 行:		13 行:
	しかし、<br/>		しかし、<br/>
	${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので割り算は不可能。		${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので割り算は不可能。
-	===~~方向微分と偏微分~~===	+	===偏微分===
	そこで、${\bf h_0}\in {\bf R^n}$を用いて、		そこで、${\bf h_0}\in {\bf R^n}$を用いて、
	*[[wikipedia_ja:偏微分 \|ウィキペディア(偏微分)]]		*[[wikipedia_ja:偏微分 \|ウィキペディア(偏微分)]]
-		+	====方向微分====
	==微分(全微分）　==		==微分(全微分）　==
	定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数<br/>		定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数<br/>

物理/物理数学(2)多変数の解析学と常微分方程式 - 変更履歴

Moderator: 「物理/物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析」を「物理/物理数学(2)多変数の解析学と常微分方程式」へ移動: 内容にふさわしい名称にするため

Moderator: /* 常微分方程式 */

Moderator: /* ベクトル解析 */

Moderator: /* 偏微分 */

Moderator: /* 偏微分 */

Moderator: /* 多変数の実数値関数の微分 */

Moderator: /* 9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析 */

Moderator: /* 多変数の実数値関数の微分 */

Moderator: /* 9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析 */

Moderator: /* 9. 物理数学(2)多変数の解析学・ベクトル解析 */

Moderator: /* ベクトル解析　 */