物理/解析入門（１）実数の性質、連続関数,微分と導関数 - 変更履歴

Moderator: /* 　定理の応用２；オイラーの定数　 */

Moderator — Mon, 23 Jul 2018 06:10:26 GMT

　定理の応用２；オイラーの定数　

←前の版		2018年7月23日 (月) 06:10時点における版
409 行:		409 行:
	$ b_{n} \triangleq a_{n} - \frac{1}{n},\quad (n\in {\bf N})$ <br/>		$ b_{n} \triangleq a_{n} - \frac{1}{n},\quad (n\in {\bf N})$ <br/>
	すると、$ b_{n} \lt a_{n}$<br/>		すると、$ b_{n} \lt a_{n}$<br/>
-	①　数列$(b_{n})_{n\in N}$は単調増加	+	①　数列$(b_{n})_{n\in N}$は単調増加<br/>
-	②　$ (a_{n})_{n\in N}}$は１を上界として持つ。従って$(b_{n})_{n\in N}$は上に有界。	+	②　$ (a_{n})_{n\in N}$は１を上界として持つ。従って$(b_{n})_{n\in N}$は上に有界。

	$\qquad \qquad \qquad　\Box$<br/><br/>		$\qquad \qquad \qquad　\Box$<br/><br/>
-
-

	==　関数とその連続性 ==		==　関数とその連続性 ==

Moderator: /* 　7.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator — Tue, 15 May 2018 04:49:49 GMT

　7.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数

←前の版		2018年5月15日 (火) 04:49時点における版
1 行:		1 行:
-	=　7.~~2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数~~ =	+	=　7.3　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 =
	==　序 ==		==　序 ==
	一変数関数の解析学を紹介する。<br/>		一変数関数の解析学を紹介する。<br/>

Moderator: /* 　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator — Tue, 15 May 2018 04:48:47 GMT

　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数

←前の版		2018年5月15日 (火) 04:48時点における版
1 行:		1 行:
-	=　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 =	+	=　7.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 =
	==　序 ==		==　序 ==
	一変数関数の解析学を紹介する。<br/>		一変数関数の解析学を紹介する。<br/>

Moderator: /* 　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator — Sun, 22 Apr 2018 16:23:58 GMT

　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数

←前の版		2018年4月22日 (日) 16:23時点における版
414 行:		414 行:
	$\qquad \qquad \qquad　\Box$<br/><br/>		$\qquad \qquad \qquad　\Box$<br/><br/>

-	~~定理（ハイネ、ボレルの定理）<br/>~~	+
-	~~$　I = [a,b],\quad (a \leq b)$を有界な閉区間とする。<br/>~~	+
-	~~もし、開区間の集合$\mathcal{O} = \{ I_{\alpha}=(a_{\alpha},b_{\alpha})\|\alpha \in \Lambda \}$が、有界閉区間Iを被覆するならば、<br/>~~	+
-	~~(すなわち、$\cup_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha}\supset I$ならば)<br/>~~	+
-	~~$\mathcal{O}$　のなかに<br/>~~	+
-	~~$I$　を被覆する有限個の開集合の族$\mathcal{O_{f}}=\{ I_{\alpha_{i}}\|\alpha_{i} \in \Lambda ,i=1,2,\cdots,n)$が存在する。すなわち、<br/>~~	+
-	~~$\cup_{i=1}^{n}I_{\alpha_{i}}\supset I$　 <br/>~~	+
-	~~証明<br/>~~	+
-	~~$a = b$ ならば、定理は自明なので、$a \lt b$　と仮定して証明する。<br/>~~	+
-	~~次のような、$I$　の中の部分集合$M$を考える。<br/>~~	+
-	~~$ M = \{x \in I \| [a,x]が有限個の部分被覆\mathcal{O_{f}}を持つ \}$<br/>~~	+
-	~~$ a \in M$ は自明、<br/>~~	+
-	~~Mは非空で上に有界な集合なので、実数の連続性の公理から、上限$m (\in I)$をもつ。<br/>~~	+
-	~~$m \gt a$　は自明である。<br/>~~	+
-	~~1)　$m = b$ のとき<br/>~~	+
-	~~$\mathcal{O}$は区間Iを被覆するので、ある開区間$I_{m}(\in \mathcal{O})$が存在して、<br/>~~	+
-	~~$ m \in I_{m}$<br/>~~	+
-	~~$m$は集合Mの上限なので、<br/>~~	+
-	~~ある数$\underline{m}\lt m,\quad \underline{m}\in I_{m}$が存在して<br/>~~	+
-	~~$[a,\underline{m}]$は有限部分被覆をもつ。<br/>~~	+
-	~~この有限部分被覆に$I_{m}$を加えた、$\mathcal{O}$　の有限部分集合族は~~	+
-	~~区間Iを被覆する。<br/>~~	+
-	~~２）$m \lt b$ と仮定する。この時矛盾が生じることを示す。<br/>~~	+
-	~~$a \lt m \lt b$ となるので、<br/>~~	+
-	~~ある正数 $\epsilon$が存在して、<br/>~~	+
-	~~$(m-\epsilon, m+\epsilon )\subset [a,b] \cap I_{m} $<br/>~~	+
-	~~正数$ \delta \lt \epsilon$　を選べば、<br/>~~	+
-	~~$[m-\delta, m+\delta] \subset (m-\epsilon, m+\epsilon )\subset [a,b] \cap I_{m} $<br/>~~	+
-	~~$m$は集合Mの上限なので、半開、半閉区間　$(m-\delta, m]$の中にある点　$\underline{m}$が存在して、<br/>~~	+
-	~~閉区間$[a,\underline{m}]$は有限個の部分被覆$\mathcal{O_{f}}$をもつ。<br/>~~	+
-	~~すると、$\mathcal{O_{f}}$に$I_{m}$を加えた有限部分集合族は閉区間$[a,m]$を被覆する。<br/>~~	+
-	~~式(a)から、この部分被覆は<br/>~~	+
-	~~$[a, m+\delta] $を被覆してしまう。<br/>~~	+
-	~~これは、m が有限部分被覆できる閉区間$[a,x]$の右端xの上限値であることに矛盾する。<br/>~~	+
-	~~$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Box$<br/><br/>~~	+
-	~~この定理は関数の連続性の議論等に大変役立つ。<br/>~~	+
-	~~そこで、応用しやすいように少し一般化しておく。~~	+
-	~~==== 開集合と閉集合 ====~~	+
-	~~定義<br/>~~	+
-	~~n次元ユークリッド空間$\bf{R^{n}}$の集合 $U$　が'''開集合'''(open set)であるとは、<br/>~~	+
-	~~$U$の任意の要素　$p$　に対して、<br/>~~	+
-	~~$p$　を中心とする十分小さな半径rの開球体$B_{r}(p)=\{x\in \bf{R^{n}} \| \\|x- p\\| \lt r \}$が存在して、$U$に含まれること。<br/>~~	+
-	~~一階述語論理で書くと<br/>~~	+
-	~~$(\forall p)\Bigl(p \in U \rightarrow (\exists r)(r\in \bf{R},r\gt 0,B_{r}(p)\subset U)\ \Bigr)$<br/>~~	+
-	~~$\bf{R^{n}}$の集合 $F$　が'''閉集合'''(closed set)であるとは、<br/>~~	+
-	~~$F$の補集合$F^{C}\triangleq \bf{R^{n}}-F$が開集合であること。<br/><br/>~~	+
-	~~ハイネ、ボレルの定理の系<br/>~~	+
-	~~$　I = [a,b],\quad (a \leq b)$を有界な閉区間とする。<br/>~~	+
-	~~もし、開集合の集合$\mathcal{O} = \{ U_{\alpha}\|\alpha \in \Lambda \}$が、有界閉区間Iを被覆するならば、<br/>~~	+
-	~~$\mathcal{O}$　のなかに<br/>~~	+
-	~~$I$　を被覆する有限個の開集合の集合$\mathcal{O_{f}}$が存在する。<br/>~~	+
-	~~ハイネ、ボレルの定理の証明が、そのままこの系の証明になるので省略する。~~	+

	==　関数とその連続性 ==		==　関数とその連続性 ==
560 行:		509 行:
	$f^{-1}\Bigl(U\bigl(f(a)\bigr)\Bigr)\triangleq \Bigl\{x \in I \ \Big\|\ f(x) \in U\bigl(f(a)\bigr)\Bigr \}$<br/>		$f^{-1}\Bigl(U\bigl(f(a)\bigr)\Bigr)\triangleq \Bigl\{x \in I \ \Big\|\ f(x) \in U\bigl(f(a)\bigr)\Bigr \}$<br/>
	は開集合である。<br/>		は開集合である。<br/>
-	~~（注）n次元の場合に容易に拡張できる。9章で説明する。~~<br/>	+	（注）n次元の場合に容易に拡張できる。<br/>
	証明<br/>		証明<br/>
	RT<br/>		RT<br/>

Moderator: /* 　テイラー展開とテイラーの定理 */

Moderator — Sat, 21 Apr 2018 14:50:04 GMT

　テイラー展開とテイラーの定理

←前の版		2018年4月21日 (土) 14:50時点における版
736 行:		736 行:
	=====　平均値の定理 =====		=====　平均値の定理 =====
	*[[wikipedia_ja:平均値の定理\|ウィキペディア(平均値の定理)]]		*[[wikipedia_ja:平均値の定理\|ウィキペディア(平均値の定理)]]
-
-	~~====　テイラー展開とテイラーの定理====~~
-	~~微分可能な関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x) (あるいは\frac{df(x)}{dx})$ が微分可能ならば、<br/>~~
-	~~その導関数　$(f')'(x) (あるいは\frac{d^{2}f(x)}{dx^2})$ が考えられる。<br/>~~
-	~~これをｆの2階の導関数という。<br/>~~
-	~~例えば、変数ｔの関数 $f(t)$ が時刻ｔの質点の位置とすると、<br/>~~
-	~~その導関数は速度、2階導関数は加速度を表すことを第2章の力学で学んだ。<br/>~~
-	~~さらに高階の微分が可能な関数を考え、その性質を考察しよう。<br/>~~
-	~~=====　テイラー展開とテイラーの定理=====~~
-	~~テイラー展開、テイラー級数についての入門書は~~
-	*[[wikibooks_ja:解析学基礎/テイラー級数\|解析学基礎/テイラー級数（ウィキブックス）]]
-	~~より高度なテイラーの定理などは以下の記事を。但し証明はない。~~
-	*[[wikipedia_ja:テイラー展開 \|ウィキペディア(テイラー展開)]]
-	*[[wikipedia_ja:テイラーの定理 \|ウィキペディア(テイラーの定理)]]
-	~~そこでテイラーの定理について説明する。<br/>~~
-	~~======　テイラーの定理　 RT ======~~

	====　$C^{1}$級の関数====		====　$C^{1}$級の関数====

Moderator: /* 　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator — Sat, 21 Apr 2018 14:48:47 GMT

　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数

←前の版		2018年4月21日 (土) 14:48時点における版
586 行:		586 行:
	証明<br/>		証明<br/>
	RT		RT
-	~~==　関数列・関数族の収束性 ==~~
-	~~=== 関数列と関数族 ===~~
-	~~=== 関数列と関数族の収束性　===~~
-	~~==== 各点収束　====~~
-	~~==== 一様収束====~~
-	~~=====　ディニの定理 =====~~
-	~~==== 広義一様収束====~~
-
	==　一変数の実数値関数とベクトル値関数の微分 ==		==　一変数の実数値関数とベクトル値関数の微分 ==
	このテキストを理解するための必要最小限のことを記述する。<br/>		このテキストを理解するための必要最小限のことを記述する。<br/>

Moderator: /* 　序 */

Moderator — Sat, 21 Apr 2018 10:56:40 GMT

　序

←前の版		2018年4月21日 (土) 10:56時点における版
14 行:		14 行:
	指数関数や対数関数の上記の本の解説は不十分なので、<br/>		指数関数や対数関数の上記の本の解説は不十分なので、<br/>
	興味ある方は、本テキストの		興味ある方は、本テキストの
-	*[[物理/ ~~８章の指数関数と対数関数付録~~#指数関数と対数関数\|「8.5　8章の付録　指数関数と対数関数」]]<br/>	+	*[[物理/８章の付録#指数関数と対数関数\|「8.5　8章の付録　指数関数と対数関数」]]<br/>
	をご覧ください。		をご覧ください。

Moderator: /* 　序 */

Moderator — Sat, 21 Apr 2018 10:54:01 GMT

　序

←前の版		2018年4月21日 (土) 10:54時点における版
14 行:		14 行:
	指数関数や対数関数の上記の本の解説は不十分なので、<br/>		指数関数や対数関数の上記の本の解説は不十分なので、<br/>
	興味ある方は、本テキストの		興味ある方は、本テキストの
-	*[[物理/ ８章の指数関数と対数関数付録#指数関数と対数関数\|「8.~~3　8章の付録　指数関数と対数関数」~~]]<br/>	+	*[[物理/ ８章の指数関数と対数関数付録#指数関数と対数関数\|「8.5　8章の付録　指数関数と対数関数」]]<br/>
	をご覧ください。		をご覧ください。

Moderator: /* 　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator — Sat, 21 Apr 2018 10:53:16 GMT

　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数

←前の版		2018年4月21日 (土) 10:53時点における版
388 行:		388 行:
	（２）の証明は簡単なので、略す。		（２）の証明は簡単なので、略す。
	証明終わり。<br/><br/>		証明終わり。<br/><br/>
-	~~定理（ハイネ、ボレルの定理）<br/>~~
-	~~RT<br/>~~
	収束に関連するさらなる情報は下記を参照のこと。		収束に関連するさらなる情報は下記を参照のこと。
	*[[wikipedia_ja:極限 \|ウィキペディア(極限)]]		*[[wikipedia_ja:極限 \|ウィキペディア(極限)]]
416 行:		414 行:
	$\qquad \qquad \qquad　\Box$<br/><br/>		$\qquad \qquad \qquad　\Box$<br/><br/>

-	~~===　コンパクト集合　===~~
	定理（ハイネ、ボレルの定理）<br/>		定理（ハイネ、ボレルの定理）<br/>
	$　I = [a,b],\quad (a \leq b)$を有界な閉区間とする。<br/>		$　I = [a,b],\quad (a \leq b)$を有界な閉区間とする。<br/>
451 行:		448 行:
	$[a, m+\delta] $を被覆してしまう。<br/>		$[a, m+\delta] $を被覆してしまう。<br/>
	これは、m が有限部分被覆できる閉区間$[a,x]$の右端xの上限値であることに矛盾する。<br/>		これは、m が有限部分被覆できる閉区間$[a,x]$の右端xの上限値であることに矛盾する。<br/>
-	$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Box$	+	$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Box$<br/><br/>
-	====　~~点列コンパクト集合~~　====	+	この定理は関数の連続性の議論等に大変役立つ。<br/>
-	===~~=　☆☆　コンパクト集合　====~~	+	そこで、応用しやすいように少し一般化しておく。
		+	==== 開集合と閉集合 ====
		+	定義<br/>
		+	n次元ユークリッド空間$\bf{R^{n}}$の集合 $U$　が'''開集合'''(open set)であるとは、<br/>
		+	$U$の任意の要素　$p$　に対して、<br/>
		+	$p$　を中心とする十分小さな半径rの開球体$B_{r}(p)=\{x\in \bf{R^{n}} \| \\|x- p\\| \lt r \}$が存在して、$U$に含まれること。<br/>
		+	一階述語論理で書くと<br/>
		+	$(\forall p)\Bigl(p \in U \rightarrow (\exists r)(r\in \bf{R},r\gt 0,B_{r}(p)\subset U)\ \Bigr)$<br/>
		+	$\bf{R^{n}}$の集合 $F$　が'''閉集合'''(closed set)であるとは、<br/>
		+	$F$の補集合$F^{C}\triangleq \bf{R^{n}}-F$が開集合であること。<br/><br/>
		+	ハイネ、ボレルの定理の系<br/>
		+	$　I = [a,b],\quad (a \leq b)$を有界な閉区間とする。<br/>
		+	もし、開集合の集合$\mathcal{O} = \{ U_{\alpha}\|\alpha \in \Lambda \}$が、有界閉区間Iを被覆するならば、<br/>
		+	$\mathcal{O}$　のなかに<br/>
		+	$I$　を被覆する有限個の開集合の集合$\mathcal{O_{f}}$が存在する。<br/>
		+	ハイネ、ボレルの定理の証明が、そのままこの系の証明になるので省略する。

	==　関数とその連続性 ==		==　関数とその連続性 ==
483 行:		495 行:
	この唯一のｂのことを、f(a) と書く。<br/>		この唯一のｂのことを、f(a) と書く。<br/>
	（注２）本によっては　値域をBの部分集合　$\{f(a)\|a\in A_1\}$ で定義することもあるので注意が必要である。		（注２）本によっては　値域をBの部分集合　$\{f(a)\|a\in A_1\}$ で定義することもあるので注意が必要である。
-	~~===== 開集合と閉集合 =====~~
	=== 関数の極限と連続性===		=== 関数の極限と連続性===
	==== 関数の極限 ====		==== 関数の極限 ====

Moderator: /* 　コンパクト集合　 */

Moderator — Sat, 21 Apr 2018 05:32:07 GMT

　コンパクト集合　

←前の版		2018年4月21日 (土) 05:32時点における版
418 行:		418 行:
	===　コンパクト集合　===		===　コンパクト集合　===
	定理（ハイネ、ボレルの定理）<br/>		定理（ハイネ、ボレルの定理）<br/>
-	$　I = [a,b],\quad (a \lt b)$~~;有界は閉区間とする。~~<br/>	+	$　I = [a,b],\quad (a \leq b)$を有界な閉区間とする。<br/>
	もし、開区間の集合$\mathcal{O} = \{ I_{\alpha}=(a_{\alpha},b_{\alpha})\|\alpha \in \Lambda \}$が、有界閉区間Iを被覆するならば、<br/>		もし、開区間の集合$\mathcal{O} = \{ I_{\alpha}=(a_{\alpha},b_{\alpha})\|\alpha \in \Lambda \}$が、有界閉区間Iを被覆するならば、<br/>
	(すなわち、$\cup_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha}\supset I$ならば)<br/>		(すなわち、$\cup_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha}\supset I$ならば)<br/>
	$\mathcal{O}$　のなかに<br/>		$\mathcal{O}$　のなかに<br/>
-	$I$　~~を被覆する有限個の開集合の族、~~$I_{\alpha_{i}}.\~~quad~~ i=1,2,\cdots,n$が存在する。すなわち、<br/>	+	$I$　を被覆する有限個の開集合の族$\mathcal{O_{f}}=\{ I_{\alpha_{i}}\|\alpha_{i} \in \Lambda ,i=1,2,\cdots,n)$が存在する。すなわち、<br/>
	$\cup_{i=1}^{n}I_{\alpha_{i}}\supset I$　 <br/>		$\cup_{i=1}^{n}I_{\alpha_{i}}\supset I$　 <br/>
-		+	証明<br/>
-	RT<br/>	+	$a = b$ ならば、定理は自明なので、$a \lt b$　と仮定して証明する。<br/>
		+	次のような、$I$　の中の部分集合$M$を考える。<br/>
		+	$ M = \{x \in I \| [a,x]が有限個の部分被覆\mathcal{O_{f}}を持つ \}$<br/>
		+	$ a \in M$ は自明、<br/>
		+	Mは非空で上に有界な集合なので、実数の連続性の公理から、上限$m (\in I)$をもつ。<br/>
		+	$m \gt a$　は自明である。<br/>
		+	1)　$m = b$ のとき<br/>
		+	$\mathcal{O}$は区間Iを被覆するので、ある開区間$I_{m}(\in \mathcal{O})$が存在して、<br/>
		+	$ m \in I_{m}$<br/>
		+	$m$は集合Mの上限なので、<br/>
		+	ある数$\underline{m}\lt m,\quad \underline{m}\in I_{m}$が存在して<br/>
		+	$[a,\underline{m}]$は有限部分被覆をもつ。<br/>
		+	この有限部分被覆に$I_{m}$を加えた、$\mathcal{O}$　の有限部分集合族は
		+	区間Iを被覆する。<br/>
		+	２）$m \lt b$ と仮定する。この時矛盾が生じることを示す。<br/>
		+	$a \lt m \lt b$ となるので、<br/>
		+	ある正数 $\epsilon$が存在して、<br/>
		+	$(m-\epsilon, m+\epsilon )\subset [a,b] \cap I_{m} $<br/>
		+	正数$ \delta \lt \epsilon$　を選べば、<br/>
		+	$[m-\delta, m+\delta] \subset (m-\epsilon, m+\epsilon )\subset [a,b] \cap I_{m} $<br/>
		+	$m$は集合Mの上限なので、半開、半閉区間　$(m-\delta, m]$の中にある点　$\underline{m}$が存在して、<br/>
		+	閉区間$[a,\underline{m}]$は有限個の部分被覆$\mathcal{O_{f}}$をもつ。<br/>
		+	すると、$\mathcal{O_{f}}$に$I_{m}$を加えた有限部分集合族は閉区間$[a,m]$を被覆する。<br/>
		+	式(a)から、この部分被覆は<br/>
		+	$[a, m+\delta] $を被覆してしまう。<br/>
		+	これは、m が有限部分被覆できる閉区間$[a,x]$の右端xの上限値であることに矛盾する。<br/>
		+	$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Box$
	====　点列コンパクト集合　====		====　点列コンパクト集合　====
	====　☆☆　コンパクト集合　====		====　☆☆　コンパクト集合　====

物理/解析入門（１）実数の性質、連続関数,微分と導関数 - 変更履歴

Moderator: /* 定理の応用２；オイラーの定数 */

Moderator: /* 7.2 解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator: /* 8.2 解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator: /* 8.2 解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator: /* テイラー展開とテイラーの定理 */

Moderator: /* 8.2 解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator: /* 序 */

Moderator: /* 序 */

Moderator: /* 8.2 解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator: /* コンパクト集合 */

Moderator: /* 　定理の応用２；オイラーの定数　 */

Moderator: /* 　7.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator: /* 　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator: /* 　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator: /* 　テイラー展開とテイラーの定理 */

Moderator: /* 　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator: /* 　序 */

Moderator: /* 　序 */

Moderator: /* 　8.2　解析入門（１）実数の性質、連続関数、微分と導関数 */

Moderator: /* 　コンパクト集合　 */