物理/質点の運動 - 変更履歴

Moderator: /* 質点の運動と質点系 */

Moderator — Sat, 13 Jun 2015 10:26:45 GMT

質点の運動と質点系

Moderator: /* 質点の運動 */

Moderator — Sat, 13 Jun 2015 02:34:17 GMT

質点の運動

←前の版		2015年6月13日 (土) 02:34時点における版
1 行:		1 行:
-	= ~~質点の運動~~ =	+	= 質点の運動と質点系 =

	運動の3法則、万有引力の法則と力の法則を用いると、分子から銀河まであらゆる物体の運動を求めることが出来きる。<br/>		運動の3法則、万有引力の法則と力の法則を用いると、分子から銀河まであらゆる物体の運動を求めることが出来きる。<br/>

Moderator: /* 質量、運動量、力の単位 */

Moderator — Wed, 03 Jun 2015 02:08:40 GMT

質量、運動量、力の単位

←前の版		2015年6月3日 (水) 02:08時点における版
539 行:		539 行:
	２０世紀になって、この原理はアインシュタインによって修正された。<br/>		２０世紀になって、この原理はアインシュタインによって修正された。<br/>
	これについては本テキストでは扱わない。		これについては本テキストでは扱わない。
-
-	~~==質量、運動量、力の単位==~~
-
-	~~質量は基本単位で、SI国際単位系では、キログラム（ｋｇ＝１０００ｇ）が採用されている。<br/>~~
-	~~１ｋｇは当初、水1リットルの質量であった。<br/>~~
-	~~その後、この１キログラムの定義に合わせた白金製の原器(国際キログラム原器）が作製された。~~
-	*[[wikipedia_ja:キログラム \|ウィキペディア(キログラム)]]
-	~~運動量$\vec P$の単位は、その定義式$\vec P=m\vec v$　の単位の関係から、<br/>~~
-	~~運動量の単位＝質量の単位速度の単位＝ｋｇ$m/s$である。<br/>~~
-	~~SI単位系ではこの単位には名前がつけられていない。<br/>~~
-
-	~~力の単位は、運動の第2法則$\vec F=m\frac{d\vec v(t)}{dt}$によって、基本単位の時間、長さ、質量を用いて、組み立てられる。<br/>~~
-	第2法則によってきまる単位の関係式は、力の単位＝質量の単位加速度の単位＝ｋｇ
-	~~$m/s^2$である。<br/>~~
-	~~この組立単位をニュートン(N)と呼ぶ。N=kg*m$/s^2$である。詳しくは、~~
-	*[[wikipedia_ja:ニュートン \|ウィキペディア(ニュートン)]]

	==仕事==		==仕事==

Moderator: /* 質点系の運動と重心 */

Moderator — Thu, 23 Apr 2015 15:53:41 GMT

質点系の運動と重心

←前の版		2015年4月23日 (木) 15:53時点における版
183 行:		183 行:
	$m_i$ に、他の質点$m_j $から作用する内力を$\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。<br/>		$m_i$ に、他の質点$m_j $から作用する内力を$\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。<br/>
	すると、各質点に対して、運動の第２法則により、<br/>		すると、各質点に対して、運動の第２法則により、<br/>
-	$d (m_i \vec{v_i})~~/dt~~=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $　 $\qquad$ ここで$\vec{v_i}=d\vec{r_i}/dt$、<br/>	+	$\frac{d}{dt} (m_i \vec{v_i})=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $　 $\qquad$ ここで$\vec{v_i}=d\vec{r_i}/dt$、<br/>
-	各ベクトルを自由ベクトルとみなして$i=1 \ldots N$について加え合わせると、$\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$なので、<br/>	+	各ベクトルを自由ベクトルとみなして$i=1 \ldots N$について加え合わせると、<br/>
-	$\~~frac~~{~~d^2~~}{~~dt^2~~} \~~sum_i~~{ ~~m_i~~ \vec{~~r_i~~}} =\frac{d}{dt} \sum_i{ m_i \vec{~~v_i~~}} =\sum_i{\vec{f_i}} $ <br/>	+	$\frac{d^2}{dt^2} \sum_i{ m_i \vec{r_i}}
		+	=\sum_i\frac{d}{dt} { m_i \vec{v_i}}
		+	=\sum_i{\vec{f_i}}+\sum_{i}\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $ <br/>
		+	$=\sum_i{\vec{f_i}}+\sum_{i<j}\vec{f_{ij}} +\sum_{j<i}\vec{f_{ij}}$<br/>
		+	上の式の第3項の変数名iとjを入れ替えると<br/>
		+	$=\sum_i{\vec{f_i}}+\sum_{i<j}\vec{f_{ij}} +\sum_{i<j}\vec{f_{ji}}$<br/>
		+	剛体の内力についての仮定から、$\vec{f_{ji}}=-\vec{f_{ij}}$なので、<br/>
		+	$=\sum_i{\vec{f_i}}+\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}} -\vec{f_{ij}})=\sum_i{\vec{f_i}}$<br/>
		+	故に、<br/>
		+	$\frac{d^2}{dt^2} \sum_i{ m_i \vec{r_i}} =\sum_i{\vec{f_i}} $ <br/>
	が得られる。<br/>		が得られる。<br/>
	質点系の全質量$M= \sum_i{m_i} $と質点系に働く全外力$\vec{F}= \sum_i{\vec{f_i}} $を用いて書きなおすと、<br/>		質点系の全質量$M= \sum_i{m_i} $と質点系に働く全外力$\vec{F}= \sum_i{\vec{f_i}} $を用いて書きなおすと、<br/>
-	$M\frac{d^2}{dt^2}(\sum_i{ m_i \vec{r_i}}/M)= \vec{F} $ <br/>	+	$M\frac{d^2}{dt^2}(\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M})= \vec{F} $ <br/>
-	質点系の重心$\vec{R}$を $\quad　\vec{R}=\sum_i{ m_i \vec{r_i}}/M $ で定義すると、<br/>	+	質点系の重心$\vec{R}$を $\quad　\vec{R}=\sum_i\frac{ m_i \vec{r_i}}{M }$ で定義すると、<br/>
	$M\frac{d^2}{dt^2}\vec R= \vec{F} $ <br/>		$M\frac{d^2}{dt^2}\vec R= \vec{F} $ <br/>
	この式は、力$\vec{F}$をうける質量$M$の質点の運動方程式と同じである。<br/>		この式は、力$\vec{F}$をうける質量$M$の質点の運動方程式と同じである。<br/>

Moderator: /* ニュートン力学での時間・空間とガリレイ変換　 */

Moderator — Fri, 10 Apr 2015 10:31:16 GMT

ニュートン力学での時間・空間とガリレイ変換　

←前の版		2015年4月10日 (金) 10:31時点における版
245 行:		245 行:
	もしＳ'系がＳ系からみて速度$\vec u$で等速度運動しているならば<br/>		もしＳ'系がＳ系からみて速度$\vec u$で等速度運動しているならば<br/>
	（１）$\vec{v}(t)=\vec u+\vec{v'}(t) $<br/>		（１）$\vec{v}(t)=\vec u+\vec{v'}(t) $<br/>
-	（２）両系から観測した加速度は等しい。記号で書くと$\vec{v}(t)=~~\vec u+~~\vec{v'}(t) $<br/>	+	（２）両系から観測した加速度は等しい。記号で書くと$\vec{\alpha}(t)=\vec{{\alpha}'}(t) $<br/>
	何故ならば、(1)は、$\frac{\vec{OO'(t)}}{dt}=\vec u$なので、式(2')から明らか。<br/>		何故ならば、(1)は、$\frac{\vec{OO'(t)}}{dt}=\vec u$なので、式(2')から明らか。<br/>
	(2)は$\vec{v}(t)=\vec u+\vec{v'}(t) $をｔで微分すれば良い。<br/>		(2)は$\vec{v}(t)=\vec u+\vec{v'}(t) $をｔで微分すれば良い。<br/>

Moderator: /* ニュートン力学での時間・空間とガリレイ変換　 */

Moderator — Fri, 10 Apr 2015 10:27:22 GMT

ニュートン力学での時間・空間とガリレイ変換　

←前の版		2015年4月10日 (金) 10:27時点における版
240 行:		240 行:
	$\vec{r}(t)=\vec{OO'}(t)+\vec{r'}(t) \qquad \qquad (2)$<br/>		$\vec{r}(t)=\vec{OO'}(t)+\vec{r'}(t) \qquad \qquad (2)$<br/>
	両辺をｔで微分すると、両系からみた、速度の関係式<br/>		両辺をｔで微分すると、両系からみた、速度の関係式<br/>
-	$\vec{v}(t)=\frac{\vec{OO'(t)}}{dt}+\vec{v'}(t) $<br/>	+	$\vec{v}(t)=\frac{\vec{OO'(t)}}{dt}+\vec{v'}(t) \qquad \qquad (2')$<br/>
-	~~が得られる。もしＳ~~'系がＳ系からみて速度$\vec u$で等速度運動しているならば<br/>	+	が得られる。<br/>
-	$\vec{v}(t)=\vec u+\vec{v'}(t) $	+	命題<br/>
		+	もしＳ'系がＳ系からみて速度$\vec u$で等速度運動しているならば<br/>
		+	（１）$\vec{v}(t)=\vec u+\vec{v'}(t) $<br/>
		+	（２）両系から観測した加速度は等しい。記号で書くと$\vec{v}(t)=\vec u+\vec{v'}(t) $<br/>
		+	何故ならば、(1)は、$\frac{\vec{OO'(t)}}{dt}=\vec u$なので、式(2')から明らか。<br/>
		+	(2)は$\vec{v}(t)=\vec u+\vec{v'}(t) $をｔで微分すれば良い。<br/>
		+
	====☆☆　ガリレイ変換の座標表示====		====☆☆　ガリレイ変換の座標表示====
	Ｓ'座標系$O'-x'_{1}x'_{2}x'_{3}$の座標軸が、<br/>		Ｓ'座標系$O'-x'_{1}x'_{2}x'_{3}$の座標軸が、<br/>

Moderator: /* ☆☆　ガリレイ変換とガリレイの相対性原理 */

Moderator — Fri, 10 Apr 2015 10:10:07 GMT

☆☆　ガリレイ変換とガリレイの相対性原理

←前の版		2015年4月10日 (金) 10:10時点における版
199 行:		199 行:
	空中に飛び出た瞬間の重心の位置と速度(速さと方向・向き）で、その軌跡は完全に決まってしまうのである。		空中に飛び出た瞬間の重心の位置と速度(速さと方向・向き）で、その軌跡は完全に決まってしまうのである。

-	==~~☆☆　ガリレイ変換とガリレイの相対性原理~~==	+	==ガリレイ変換とガリレイの相対性原理==
	どのような慣性座標系で観測しても力学の法則は同じであるという原理。<br/>		どのような慣性座標系で観測しても力学の法則は同じであるという原理。<br/>
	一つの慣性系にたいして等速度並進運動（注）する観測系を考えると、<br/>		一つの慣性系にたいして等速度並進運動（注）する観測系を考えると、<br/>
239 行:		239 行:

	$\vec{r}(t)=\vec{OO'}(t)+\vec{r'}(t) \qquad \qquad (2)$<br/>		$\vec{r}(t)=\vec{OO'}(t)+\vec{r'}(t) \qquad \qquad (2)$<br/>
-		+	両辺をｔで微分すると、両系からみた、速度の関係式<br/>
-	====~~ガリレイ変換の座標表示~~====	+	$\vec{v}(t)=\frac{\vec{OO'(t)}}{dt}+\vec{v'}(t) $<br/>
		+	が得られる。もしＳ'系がＳ系からみて速度$\vec u$で等速度運動しているならば<br/>
		+	$\vec{v}(t)=\vec u+\vec{v'}(t) $
		+	====☆☆　ガリレイ変換の座標表示====
	Ｓ'座標系$O'-x'_{1}x'_{2}x'_{3}$の座標軸が、<br/>		Ｓ'座標系$O'-x'_{1}x'_{2}x'_{3}$の座標軸が、<br/>
	Ｓ系の対応する座標軸と平行を保ちながら並進運動する場合には、<br/>		Ｓ系の対応する座標軸と平行を保ちながら並進運動する場合には、<br/>
292 行:		295 行:
	を得る。証明終わり。<br/>		を得る。証明終わり。<br/>

-	====~~２質点の相対的位置と相対速度は、観測系によらず一定~~　====	+	====☆☆　２質点の相対的位置と相対速度は、観測系によらず一定　====
	ＳとＳ'を、それぞれ原点をＯとＯ'とする観測系とする。<br/>		ＳとＳ'を、それぞれ原点をＯとＯ'とする観測系とする。<br/>
	時刻ｔに質点$m_{1}$を、<br/>		時刻ｔに質点$m_{1}$を、<br/>
316 行:		319 行:
	補題の証明終わり。<br/>		補題の証明終わり。<br/>

-	=== ~~観測座標系が慣性系となる条件~~ ===	+	=== ☆☆　観測座標系が慣性系となる条件 ===
	命題３<br/>		命題３<br/>
	慣性座標系$S(O-x_{1}x_{2}x_{3})$と、<br/>		慣性座標系$S(O-x_{1}x_{2}x_{3})$と、<br/>
415 行:		418 行:
	$\vec{\alpha}(t),\vec{\alpha'}(t) $の座標成分表示も等しくなる。		$\vec{\alpha}(t),\vec{\alpha'}(t) $の座標成分表示も等しくなる。

-	===~~ガリレイの相対性原理の証明~~===	+	===☆☆　ガリレイの相対性原理の証明===
	力学の第一法則（慣性法則）により、この宇宙には慣性系は存在する。<br/>		力学の第一法則（慣性法則）により、この宇宙には慣性系は存在する。<br/>
	実際、太陽系の重心を原点にし、遠方の恒星で座標系を決めれば、<br/>		実際、太陽系の重心を原点にし、遠方の恒星で座標系を決めれば、<br/>
460 行:		463 行:


-	=== ~~ガリレイの相対性原理から質量と力の不変性を導く~~ ===	+	=== ☆☆　ガリレイの相対性原理から質量と力の不変性を導く ===
	前節では、２つの慣性系の位置ベクトルの間にガリレイ変換の関係が成り立つとき、<br/>		前節では、２つの慣性系の位置ベクトルの間にガリレイ変換の関係が成り立つとき、<br/>
	質量と力が慣性系の取り方によらずに決まるならば、相対性原理が成立することを示した。<br/>		質量と力が慣性系の取り方によらずに決まるならば、相対性原理が成立することを示した。<br/>
	この節では、逆にガリレイの相対性原理から、<br/>		この節では、逆にガリレイの相対性原理から、<br/>
	質量と力が慣性座標系に依存しないことを示そう。		質量と力が慣性座標系に依存しないことを示そう。
-	====~~作用する力を質量で割ったものは、どの慣性系からみても同一~~====	+	====☆☆　作用する力を質量で割ったものは、どの慣性系からみても同一====
	２つの慣性系S,Ｓ'をとる。原点をそれぞれO,O'とする。<br/>		２つの慣性系S,Ｓ'をとる。原点をそれぞれO,O'とする。<br/>
	前項で証明したように、<br/>		前項で証明したように、<br/>
485 行:		488 行:
	$\vec F/m=\frac {dv}{dt}(t)=\frac {dv'}{dt}(t)=\vec F'/m'\qquad \qquad (4)$<br/>		$\vec F/m=\frac {dv}{dt}(t)=\frac {dv'}{dt}(t)=\vec F'/m'\qquad \qquad (4)$<br/>
	所望の結論が得られた。		所望の結論が得られた。
-	====~~質量は、どの慣性系からみても同一~~====	+	====☆☆　質量は、どの慣性系からみても同一====
	2つの質点が万有引力で引き合って、運動しているのを、系SとS'から観測する。<br/>		2つの質点が万有引力で引き合って、運動しているのを、系SとS'から観測する。<br/>
	S系の観測値は、2つの質点の質量が$m_1,m_2$,位置ベクトルが$\vec r_{1},\vec r_{2}$、<br/>		S系の観測値は、2つの質点の質量が$m_1,m_2$,位置ベクトルが$\vec r_{1},\vec r_{2}$、<br/>
507 行:		510 行:
	同様にして、第2の質点が第１の質点から受ける万有引力の式から、$m_{1}=m'_{1}$<br/>所望の結論が得られた。<br/>		同様にして、第2の質点が第１の質点から受ける万有引力の式から、$m_{1}=m'_{1}$<br/>所望の結論が得られた。<br/>

-	====~~力はどの慣性系からみても同一~~====	+	====☆☆力はどの慣性系からみても同一====
	$\vec F/m= F'/m'\qquad \qquad (4)$<br/>		$\vec F/m= F'/m'\qquad \qquad (4)$<br/>
	と$m= m'$から、明らか。<br/><br/>		と$m= m'$から、明らか。<br/><br/>

Moderator: /* ガリレイ変換とガリレイの相対性原理 */

Moderator — Thu, 09 Apr 2015 14:30:54 GMT

ガリレイ変換とガリレイの相対性原理

←前の版		2015年4月9日 (木) 14:30時点における版
199 行:		199 行:
	空中に飛び出た瞬間の重心の位置と速度(速さと方向・向き）で、その軌跡は完全に決まってしまうのである。		空中に飛び出た瞬間の重心の位置と速度(速さと方向・向き）で、その軌跡は完全に決まってしまうのである。

-	==~~ガリレイ変換とガリレイの相対性原理~~==	+	==☆☆　ガリレイ変換とガリレイの相対性原理==
	どのような慣性座標系で観測しても力学の法則は同じであるという原理。<br/>		どのような慣性座標系で観測しても力学の法則は同じであるという原理。<br/>
	一つの慣性系にたいして等速度並進運動（注）する観測系を考えると、<br/>		一つの慣性系にたいして等速度並進運動（注）する観測系を考えると、<br/>

Moderator: /* ガリレイ変換とガリレイの相対性原理 */

Moderator — Thu, 09 Apr 2015 14:29:35 GMT

ガリレイ変換とガリレイの相対性原理

←前の版		2015年4月9日 (木) 14:29時点における版
199 行:		199 行:
	空中に飛び出た瞬間の重心の位置と速度(速さと方向・向き）で、その軌跡は完全に決まってしまうのである。		空中に飛び出た瞬間の重心の位置と速度(速さと方向・向き）で、その軌跡は完全に決まってしまうのである。

-	~~==ガリレイ変換とガリレイの相対性原理==~~
-	~~どのような慣性座標系で観測しても力学の法則は同じであるという原理。<br/>~~
-	~~一つの慣性系にたいして等速度並進運動（注）する観測系を考えると、<br/>~~
-	~~力の働いてない物体はやはり、等速度運動するので慣性系であり、<br/>~~
-	~~運動の第２、第３法則、万有引力の法則、力の合成則が成立することを主張している。<br/>~~
-	~~(注)　座標系$S'(O'-x'_{1}x'_{2}x'_{3})$の任意の点$(x'_1,x'_2,x'_3)$が、~~
-	~~座標系$S(O-x_{1}x_{2}x_{3})$からみると、<br/>~~
-	~~すべて同じ速度($\frac{d\vec{OO'}}{dt}(t)$で移動すること。<br/>~~
-	~~言い換えると、Ｓ'系の各座標軸上の点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)が、<br/>~~
-	~~Ｓ系からみると皆、同じ速度($\frac{d\vec{OO'}}{dt}(t)$で移動すること。<br/>~~
-	*[[wikipedia_ja:ガリレイ変換\|ウィキペディア(ガリレイ変換とガリレイの相対性原理)]]
-	~~重要な原理なので、詳しく考察しよう。~~
	==ガリレイ変換とガリレイの相対性原理==		==ガリレイ変換とガリレイの相対性原理==
	どのような慣性座標系で観測しても力学の法則は同じであるという原理。<br/>		どのような慣性座標系で観測しても力学の法則は同じであるという原理。<br/>

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Moderator — Thu, 09 Apr 2015 14:22:34 GMT

ガリレイ変換とガリレイの相対性原理

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物理/質点の運動 - 変更履歴

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