物理/８章の付録 - 変更履歴

Moderator: /* 　「7.6　7章の付録」 */

Moderator — Tue, 15 May 2018 04:52:44 GMT

　「7.6　7章の付録」

←前の版		2018年5月15日 (火) 04:52時点における版
1 行:		1 行:
-	=　「7.~~6　7章の付録」~~=	+	=　「7.6　この章の付録」=
	==　問の解答==		==　問の解答==
	===　問 ===		===　問 ===

Moderator: /* 　「8.6　８章の付録」 */

Moderator — Tue, 15 May 2018 03:51:24 GMT

　「8.6　８章の付録」

←前の版		2018年5月15日 (火) 03:51時点における版
1 行:		1 行:
-	=　「8.~~6　８章の付録」~~=	+	=　「7.6　7章の付録」=
	==　問の解答==		==　問の解答==
	===　問 ===		===　問 ===

Moderator: /* 　「8.5　８章の付録」 */

Moderator — Mon, 14 May 2018 03:55:40 GMT

　「8.5　８章の付録」

←前の版		2018年5月14日 (月) 03:55時点における版
1 行:		1 行:
-	=　「8.~~5　８章の付録」~~=	+	=　「8.6　８章の付録」=
	==　問の解答==		==　問の解答==
	===　問 ===		===　問 ===

Moderator: /* 　「8.4　８章の付録」 */

Moderator — Thu, 19 Apr 2018 03:03:04 GMT

　「8.4　８章の付録」

←前の版		2018年4月19日 (木) 03:03時点における版
1 行:		1 行:
-	=　「8.~~4　８章の付録」~~=	+	=　「8.5　８章の付録」=
	==　問の解答==		==　問の解答==
	===　問 ===		===　問 ===

Moderator: /* 　「8.4　８章の付録」 */

Moderator — Wed, 18 Apr 2018 02:13:55 GMT

　「8.4　８章の付録」

←前の版		2018年4月18日 (水) 02:13時点における版
13 行:		13 行:
	ここで　${}_n\mathrm{C}_{m}$　は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/>		ここで　${}_n\mathrm{C}_{m}$　は、ｎ個のものからｍ個取り出す取り出し方の総数で、<br/>
	mが１以上でn 以下の自然数の時は<br/>		mが１以上でn 以下の自然数の時は<br/>
-	${}_n\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \qquad \qquad (2)$<br/>	+	${}_n\mathrm{C}_{m}=\frac{n!}{m!\ (n-m)!} \qquad \qquad (2)$<br/>
	ここで、m が1以上の自然数の時は　$ m!\triangleq 1\cdot 2\cdot 3 \cdots (m-1)\cdot m$<br/>		ここで、m が1以上の自然数の時は　$ m!\triangleq 1\cdot 2\cdot 3 \cdots (m-1)\cdot m$<br/>
	mが零の時は　$\quad 0!\triangleq 1 $　と定義。<br/><br/>		mが零の時は　$\quad 0!\triangleq 1 $　と定義。<br/><br/>
	すると、<br/>		すると、<br/>
-	${}_n\mathrm{C}_{0}=\frac{n!}{0!n!}=1\qquad \qquad (3)$　<br/>	+	${}_n\mathrm{C}_{0}=\frac{n!}{0!\ n!}=1\qquad \qquad (3)$　<br/>
-	$m \geq 1$のとき、${}_n\mathrm{C}_{m} =\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdots \Bigl(n-(m-1)\Bigr) }{m!} \qquad (4)$<br/>	+	$m \geq 1$のとき、${}_n\mathrm{C}_{m} =\frac{n!}{m!\ (n-m)!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdots \Bigl(n-(m-1)\Bigr) }{m!} \qquad (4)$<br/>
	式（１）に式（２）を代入し,式(３)、(４)を利用して計算すると<br/>		式（１）に式（２）を代入し,式(３)、(４)を利用して計算すると<br/>
	$a_n = 1+\sum_{m=1}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots \Bigl(n-(m-1)\Bigr)}{m!}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m $<br/>		$a_n = 1+\sum_{m=1}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots \Bigl(n-(m-1)\Bigr)}{m!}1^{n-m}(\frac{1}{n})^m $<br/>

Moderator: /* 　問 */

Moderator — Wed, 18 Apr 2018 02:07:23 GMT

　問

←前の版		2018年4月18日 (水) 02:07時点における版
3 行:		3 行:
	===　問 ===		===　問 ===
	$\lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$　が存在し、２より大きく３以下であることを証明する。<br/>		$\lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$　が存在し、２より大きく３以下であることを証明する。<br/>
-	~~（１）準備；　２項定理;を用いた展開~~<br/>	+	（１）準備；　２項定理を用いた展開<br/>
	$a_n\triangleq (1+\frac{1}{n})^{n} \qquad (n は自然数)$ とおく。<br/>		$a_n\triangleq (1+\frac{1}{n})^{n} \qquad (n は自然数)$ とおく。<br/>
	すると、		すると、

Moderator: /* 　８章の付録 */

Moderator — Wed, 18 Apr 2018 02:05:32 GMT

　８章の付録

←前の版		2018年4月18日 (水) 02:05時点における版
1 行:		1 行:
-	=　~~８章の付録~~=	+	=　「8.4　８章の付録」=
	==　問の解答==		==　問の解答==
	===　問 ===		===　問 ===

Moderator: /* 　指数の整数への拡張 */

Moderator — Sun, 28 Jan 2018 10:37:35 GMT

　指数の整数への拡張

←前の版		2018年1月28日 (日) 10:37時点における版
186 行:		186 行:
	３つの累乗の規則はすべて成立する。<br/>		３つの累乗の規則はすべて成立する。<br/>
	証明<br/>		証明<br/>
		+	指数が負のときは式(5)を用いて、指数が自然数の式に書き直し、<br/>
		+	指数が自然数のときに成り立つことが分かっている３つの計算規則を使って式の変形をすれば良い。<br/>
		+	計算規則の（1）の証明だけを示そう。<br/>
	（１）$\alpha ,\beta $　を任意の整数とすると、<br/>		（１）$\alpha ,\beta $　を任意の整数とすると、<br/>
	$ a^{\alpha}a^{\beta} = a^{(\alpha +\beta) }$　であることを示す。<br/>		$ a^{\alpha}a^{\beta} = a^{(\alpha +\beta) }$　であることを示す。<br/>

Moderator: /* 　指数の整数への拡張 */

Moderator — Sat, 27 Jan 2018 16:24:49 GMT

　指数の整数への拡張

←前の版		2018年1月27日 (土) 16:24時点における版
191 行:		191 行:
	$m,n$　を自然数として、<br/>		$m,n$　を自然数として、<br/>
	$ a^{m}a^{-n} = a^{m-n}$　を示せばよい。<br/>		$ a^{m}a^{-n} = a^{m-n}$　を示せばよい。<br/>
-	$ a^{m}a^{-n} = \frac{a^m}{a^n}\~~quad~~ (~~by equation (5~~)$<br/>	+	式(5)から<br/>
		+	$ a^{m}a^{-n} = \frac{a^m}{a^n}　\qquad \qquad \qquad (6)$<br/>
	$m \gt n$ 、$m=n$ 、$m \lt n$　という3つの場合に分けて証明する。<br/>		$m \gt n$ 、$m=n$ 、$m \lt n$　という3つの場合に分けて証明する。<br/>
	１）$m \gt n$ の時<br/>		１）$m \gt n$ の時<br/>
-	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}　$<br/>	+	割り算を実行すると$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}　$<br/>
-		+	この式と、式(6)から、$ a^{m}a^{-n} = a^{m-n}　$<br/>
	2) $m=n$ の時<br/>		2) $m=n$ の時<br/>
-		+	$\frac{a^m}{a^n}= 1 = a^{m-n}　$<br/>
-		+	この式と、式(6)から、$ a^{m}a^{-n} = a^{m-n}　$<br/>
-	\frac{a^{\~~alpha~~}}{a^{-\~~beta~~}} \~~quad~~ \~~bigl(式~~(~~5)より\bigr~~)$<br/>	+	3)　$m \lt n$　の時<br/>
		+	割り算を実行すると、<br/>
		+	$\frac{a^m}{a^n}= \frac{1}{a^{(n-m)}}$<br/>
		+	$=a^{m-n}　$<br/>
		+	(ケース２）両方の指数が負の整数の時<br/>
		+	$a^{-m}a^{-n} = a^{-m-n}$　を示せばよい。<br/>
		+	$a^{-m}a^{-n} = \frac{1}{a^m}\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a^m a^n}=\frac{1}{a^{(m+n)}}
		+	=a^{-m-n}$<br/>

	====　指数の有理数への拡張 ====		====　指数の有理数への拡張 ====

Moderator: /* 　指数の整数への拡張 */

Moderator — Sat, 27 Jan 2018 15:54:28 GMT

　指数の整数への拡張

←前の版		2018年1月27日 (土) 15:54時点における版
183 行:		183 行:
	$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad \qquad \qquad(5)$<br/><br/>		$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad \qquad \qquad(5)$<br/><br/>
	命題<br/>		命題<br/>
-	式(4),(5)~~に従って累乗を整数に拡大すると、~~<br/>	+	式(4),(5)に従って指数を整数に拡大すると、<br/>
	３つの累乗の規則はすべて成立する。<br/>		３つの累乗の規則はすべて成立する。<br/>
		+	証明<br/>
		+	（１）$\alpha ,\beta $　を任意の整数とすると、<br/>
		+	$ a^{\alpha}a^{\beta} = a^{(\alpha +\beta) }$　であることを示す。<br/>
		+	（ケース１）指数の一方が正の整数(自然数)で、他方が負の整数の時<br/>
		+	$m,n$　を自然数として、<br/>
		+	$ a^{m}a^{-n} = a^{m-n}$　を示せばよい。<br/>
		+	$ a^{m}a^{-n} = \frac{a^m}{a^n}\quad (by equation (5)$<br/>
		+	$m \gt n$ 、$m=n$ 、$m \lt n$　という3つの場合に分けて証明する。<br/>
		+	１）$m \gt n$ の時<br/>
		+	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}　$<br/>
		+
		+	2) $m=n$ の時<br/>
		+
		+
		+	\frac{a^{\alpha}}{a^{-\beta}} \quad \bigl(式(5)より\bigr)$<br/>

	====　指数の有理数への拡張 ====		====　指数の有理数への拡張 ====

物理/８章の付録 - 変更履歴

Moderator: /* 「7.6 7章の付録」 */

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Moderator: /* 「8.4 ８章の付録」 */

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Moderator: /* 問 */

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Moderator: /* 指数の整数への拡張 */

Moderator: /* 指数の整数への拡張 */

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Moderator: /* 　「8.5　８章の付録」 */

Moderator: /* 　「8.4　８章の付録」 */

Moderator: /* 　「8.4　８章の付録」 */

Moderator: /* 　問 */

Moderator: /* 　８章の付録 */

Moderator: /* 　指数の整数への拡張 */

Moderator: /* 　指数の整数への拡張 */

Moderator: /* 　指数の整数への拡張 */