論理的思考法/帰納的推論 - 変更履歴

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Moderator — Thu, 03 Dec 2020 02:26:05 GMT

帰納法

←前の版		2020年12月3日 (木) 02:26時点における版
3 行:		3 行:
	簡単な例を考える.		簡単な例を考える.

-	~~ある過多な飲酒僻がある人が~~,~~友人に自分が泥酔する原因はアルコールにあるのではないと主張し~~,自身の体を使って以下の実験を行った.	+	ある過度な飲酒僻がある人が,友人に自分が泥酔する原因はアルコールではないと主張し,自身の体を使って以下の実験を行った.

	*日曜　ウイスキーの水割りを多量に飲用した		*日曜　ウイスキーの水割りを多量に飲用した
21 行:		21 行:
	既知の事実を確認するのではなく,未知の現象を解析するには有効な手段である.実際,科学の発見の大多数は既知の事実から演繹推論によって		既知の事実を確認するのではなく,未知の現象を解析するには有効な手段である.実際,科学の発見の大多数は既知の事実から演繹推論によって
	導き出した結論ではなく実験を繰り返したり何回も経験した事実の観察を通して得られたものである.		導き出した結論ではなく実験を繰り返したり何回も経験した事実の観察を通して得られたものである.
-	~~このため帰納法を推論手段として適切に用いることは,重要である~~.	+	このため帰納法を推論手段として適切に用いることは重要である.

	「帰納（きのう、英: Induction、希: επαγωγή（エパゴーゲー））とは、個別的・特殊的な事例から一般的・普遍的な規則・法則を見出そうとする論理的推論の方法のこと。演繹においては前提が真であれば結論も必然的に真であるが、帰納においては前提が真であるからといって結論が真であることは保証されない。		「帰納（きのう、英: Induction、希: επαγωγή（エパゴーゲー））とは、個別的・特殊的な事例から一般的・普遍的な規則・法則を見出そうとする論理的推論の方法のこと。演繹においては前提が真であれば結論も必然的に真であるが、帰納においては前提が真であるからといって結論が真であることは保証されない。
27 行:		27 行:


-	~~数学的帰納法は　帰納法という名前ではあるが演繹推論である~~.　これは自然数についての基本的な公理	+	ここで数学的帰納法は帰納法という名前ではあるが演繹推論であることに注意する.　これは自然数についての基本的な公理
-	~~「自然数の任意の空でない集合は~~	+
-	~~最小元をもつ」~~(ペアノの公理)~~によって命題を証明する~~.	+	「自然数の任意の空でない集合は最小元をもつ」(ペアノの公理)
		+
		+	によって命題を証明する演繹推論である.

	自然数$n$についての命題$P[n]$について		自然数$n$についての命題$P[n]$について
37 行:		39 行:

	という条件から		という条件から
-	任意の自然数$k$について$P[k]$~~が成り立つ　というものである~~.	+
		+	任意の自然数$k$について$P[k]$が成り立つ
		+
		+	というものである.

	これの正当性は以下による.		これの正当性は以下による.

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Moderator — Thu, 03 Dec 2020 02:20:43 GMT

帰納法

←前の版		2020年12月3日 (木) 02:20時点における版
67 行:		67 行:
	$k_0-1$は$L$に属することになる.		$k_0-1$は$L$に属することになる.

-	しかし$k_0-1 \lt k_0$であるから　$k_0$は$L$の最小元であることに矛盾する.	+	しかし$k_0-1 \lt k_0$であるから　$k_0$が$L$の最小元であることに矛盾する.

	従って　$P[k_0-1]$　が成り立っている.		従って　$P[k_0-1]$　が成り立っている.

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Moderator — Thu, 03 Dec 2020 02:19:38 GMT

帰納法

←前の版		2020年12月3日 (木) 02:19時点における版
19 行:		19 行:
	この人物の主張の正当性は別にして,推論法には演繹推論によらない		この人物の主張の正当性は別にして,推論法には演繹推論によらない
	[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%B0%E7%B4%8D 帰納法]がある.		[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%B0%E7%B4%8D 帰納法]がある.
-	既知の事実を確認するのではなく,~~未知の現象を解析するには,有効な手段である~~.実際,~~科学の発見の大多数は,既知の事実から演繹推論によって~~	+	既知の事実を確認するのではなく,未知の現象を解析するには有効な手段である.実際,科学の発見の大多数は既知の事実から演繹推論によって
-	~~導き出した結論ではなく,実験を繰り返したり,何回も経験した事実の観察を通して得られたものである~~.	+	導き出した結論ではなく実験を繰り返したり何回も経験した事実の観察を通して得られたものである.
-	~~このため,帰納法を推論手段として,適切に用いることは~~,重要である.	+	このため帰納法を推論手段として適切に用いることは,重要である.

	「帰納（きのう、英: Induction、希: επαγωγή（エパゴーゲー））とは、個別的・特殊的な事例から一般的・普遍的な規則・法則を見出そうとする論理的推論の方法のこと。演繹においては前提が真であれば結論も必然的に真であるが、帰納においては前提が真であるからといって結論が真であることは保証されない。		「帰納（きのう、英: Induction、希: επαγωγή（エパゴーゲー））とは、個別的・特殊的な事例から一般的・普遍的な規則・法則を見出そうとする論理的推論の方法のこと。演繹においては前提が真であれば結論も必然的に真であるが、帰納においては前提が真であるからといって結論が真であることは保証されない。

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Moderator — Thu, 03 Dec 2020 02:17:26 GMT

帰納法の利用

←前の版		2020年12月3日 (木) 02:17時点における版
102 行:		102 行:

	この推論が正しいのかどうかは現時点(2020年12月)では不明である。　統計上はBCG注射との高い相関がみられるが,		この推論が正しいのかどうかは現時点(2020年12月)では不明である。　統計上はBCG注射との高い相関がみられるが,
-	一方,これらの国は,高度な医療制度があり国民の衛生意識や日頃から風邪をひいた際にはマスクを常用して他者への感染を防ぐ努力をするなど規範意識が高い.これらが起因しているかもしれない.　既に述べたように「結論が真である」ことは保証されない.	+	一方これらの国は高度な医療制度があり国民の衛生意識や日頃から風邪をひいた際にはマスクを常用して他者への感染を防ぐ努力をするなど規範意識が高い.これらが起因しているかもしれない.　既に述べたように「結論が真である」ことは保証されない.
		+
	しかしながら,米国,イギリスの製薬会社がワクチン製造で最終的な治験の成功を公表し,日本でそれらの接種が近々行われる		しかしながら,米国,イギリスの製薬会社がワクチン製造で最終的な治験の成功を公表し,日本でそれらの接種が近々行われる
	状況にあるとは言っても,上記の推論が正しければ今後の日本の対応に有用な情報を提供している.		状況にあるとは言っても,上記の推論が正しければ今後の日本の対応に有用な情報を提供している.
	帰納法は未知の現象を解析するには有効な手段である.		帰納法は未知の現象を解析するには有効な手段である.

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Moderator — Thu, 03 Dec 2020 02:16:02 GMT

帰納法の利用

←前の版		2020年12月3日 (木) 02:16時点における版
101 行:		101 行:
	前述の「前提が真である」が成り立っている,		前述の「前提が真である」が成り立っている,

-	この推論が正しいのかどうかは現時点(2020年12月)~~では不明である。　表面上BCG注射との高い相関がみられるが~~,	+	この推論が正しいのかどうかは現時点(2020年12月)では不明である。　統計上はBCG注射との高い相関がみられるが,
-	一方,これらの国は,~~高度な医療制度があり,国民の衛生意識や日頃から風邪をひいた際にはマスクを常用して他者への感染を防ぐ努力をするなど規範意識が高い~~.これらが起因しているかもしれない.　既に述べたように「結論が真である」ことは保証されない.	+	一方,これらの国は,高度な医療制度があり国民の衛生意識や日頃から風邪をひいた際にはマスクを常用して他者への感染を防ぐ努力をするなど規範意識が高い.これらが起因しているかもしれない.　既に述べたように「結論が真である」ことは保証されない.
	しかしながら,米国,イギリスの製薬会社がワクチン製造で最終的な治験の成功を公表し,日本でそれらの接種が近々行われる		しかしながら,米国,イギリスの製薬会社がワクチン製造で最終的な治験の成功を公表し,日本でそれらの接種が近々行われる
	状況にあるとは言っても,上記の推論が正しければ今後の日本の対応に有用な情報を提供している.		状況にあるとは言っても,上記の推論が正しければ今後の日本の対応に有用な情報を提供している.
	帰納法は未知の現象を解析するには有効な手段である.		帰納法は未知の現象を解析するには有効な手段である.

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Moderator — Thu, 03 Dec 2020 02:12:16 GMT

帰納法

←前の版		2020年12月3日 (木) 02:12時点における版
55 行:		55 行:
	(ペアノの公理)から$L$には最小元$k_0$が存在する.		(ペアノの公理)から$L$には最小元$k_0$が存在する.
	$P[1]$が成り立っているから$1$は$L$には属さず$k_0$とは異なる.		$P[1]$が成り立っているから$1$は$L$には属さず$k_0$とは異なる.
-	よって$1 \lt k_0$　~~であり,~~$2 \leq k_0$ であり,~~これから~~	+	よって$1 \lt k_0$　である.これから$2 \leq k_0$ であり,

	$1 \leq k_0-1$　が導かれ,		$1 \leq k_0-1$　が導かれ,
64 行:		64 行:
	$k_0-1 \lt k_0$		$k_0-1 \lt k_0$

-	である.　ここでもし$P[k_0-1]$~~がなる立たないとすると~~	+	である.　ここでもし$P[k_0-1]$が成り立たないとすると
	$k_0-1$は$L$に属することになる.		$k_0-1$は$L$に属することになる.

71 行:		71 行:
	従って　$P[k_0-1]$　が成り立っている.		従って　$P[k_0-1]$　が成り立っている.

-	すると,帰納法の条件2から$P[k_0-1+1]$　すなわち$P[k_0]$が成り立つ.	+	すると,帰納法の条件2から$P[(k_0-1)+1]$　すなわち$P[k_0]$が成り立つ.

	これは$k_0$が$L$の元であることに矛盾する.		これは$k_0$が$L$の元であることに矛盾する.

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Moderator — Thu, 03 Dec 2020 02:09:29 GMT

帰納法

←前の版		2020年12月3日 (木) 02:09時点における版
55 行:		55 行:
	(ペアノの公理)から$L$には最小元$k_0$が存在する.		(ペアノの公理)から$L$には最小元$k_0$が存在する.
	$P[1]$が成り立っているから$1$は$L$には属さず$k_0$とは異なる.		$P[1]$が成り立っているから$1$は$L$には属さず$k_0$とは異なる.
-	~~すなわち~~　$1 \lt k_0$ であり,これから	+	よって$1 \lt k_0$　であり,$2 \leq k_0$ であり,これから

-	$0 \lt k_0-1$　が導かれ,	+	$1 \leq k_0-1$　が導かれ,
	$k_0-1$は自然数である,		$k_0-1$は自然数である,

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Moderator — Thu, 03 Dec 2020 02:06:17 GMT

帰納法

←前の版		2020年12月3日 (木) 02:06時点における版
55 行:		55 行:
	(ペアノの公理)から$L$には最小元$k_0$が存在する.		(ペアノの公理)から$L$には最小元$k_0$が存在する.
	$P[1]$が成り立っているから$1$は$L$には属さず$k_0$とは異なる.		$P[1]$が成り立っているから$1$は$L$には属さず$k_0$とは異なる.
-	すなわち　$1 \lt $k_0$ であり,これから	+	すなわち　$1 \lt k_0$ であり,これから

	$0 \lt k_0-1$　が導かれ,		$0 \lt k_0-1$　が導かれ,

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Moderator — Thu, 03 Dec 2020 02:04:53 GMT

帰納法

←前の版		2020年12月3日 (木) 02:04時点における版
27 行:		27 行:


-	~~数学的帰納法は　帰納法という名前ではあるが,演繹推論である~~.　~~これは「自然数の任意の空でない集合は~~	+	数学的帰納法は　帰納法という名前ではあるが演繹推論である.　これは自然数についての基本的な公理
-	最小元をもつ」(ペアノの公理)~~から命題を証明する~~.	+	「自然数の任意の空でない集合は
		+	最小元をもつ」(ペアノの公理)によって命題を証明する.

	自然数$n$についての命題$P[n]$について		自然数$n$についての命題$P[n]$について

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Moderator — Thu, 03 Dec 2020 02:03:10 GMT

帰納法

←前の版		2020年12月3日 (木) 02:03時点における版
33 行:		33 行:

	# $P[1]$が成り立つ		# $P[1]$が成り立つ
-	# ~~任意の自然数$k$について~~	+	# 「$P[k]$ならば$P[k+1]$である」が任意の自然数$k$について成り立つ
-	「$P[k]$~~が成り立つならば~~$P[k+1]$~~も成り立つ」~~	+

-	~~という条件から任意の自然数~~$k$について$P[k]$が成り立つ　というものである.	+	という条件から
		+	任意の自然数$k$について$P[k]$が成り立つ　というものである.

	これの正当性は以下による.		これの正当性は以下による.

	結論「任意の自然数$k$について$P[k]$が成り立つ」		結論「任意の自然数$k$について$P[k]$が成り立つ」
-	~~を否定すると~~	+	の否定を仮定すると
-	#　「ある自然数$k$が存在して$P[k]$が成り立たたない」	+
		+	「ある自然数$k$が存在して$P[k]$が成り立たたない」
		+
	となる.		となる.

	すると		すると
	$P[k]$が成り立たない自然数$k$全部の集合を$L$とすると		$P[k]$が成り立たない自然数$k$全部の集合を$L$とすると
-	~~上から~~$L$には少なくとも一つそのような自然数$k$	+	上の仮定から$L$には少なくとも一つそのような自然数$k$
	が属するから空集合ではない.		が属するから空集合ではない.

62 行:		64 行:

	である.　ここでもし$P[k_0-1]$がなる立たないとすると		である.　ここでもし$P[k_0-1]$がなる立たないとすると
-	$k_0-1$は$L$に属することになる.　~~しかし~~$k_0-1 \lt k_0$であるから　$k_0$は$L$の最小元であることに矛盾する.	+	$k_0-1$は$L$に属することになる.
		+
		+	しかし$k_0-1 \lt k_0$であるから　$k_0$は$L$の最小元であることに矛盾する.
		+
	従って　$P[k_0-1]$　が成り立っている.		従って　$P[k_0-1]$　が成り立っている.

-	すると,~~2から~~$P[k_0-1+1]$　すなわち$P[k_0]$が成り立つ.　~~これは~~$k_0$が$L$の元であることに矛盾する.	+	すると,帰納法の条件2から$P[k_0-1+1]$　すなわち$P[k_0]$が成り立つ.
		+
		+	これは$k_0$が$L$の元であることに矛盾する.
		+
	この矛盾は結論「任意の自然数$k$について$P[k]$が成り立つ　」の否定を仮定したことによる.		この矛盾は結論「任意の自然数$k$について$P[k]$が成り立つ　」の否定を仮定したことによる.
		+
	よって　任意の自然数$k$について$P[k]$が成り立つ		よって　任意の自然数$k$について$P[k]$が成り立つ