論理的思考法/演繹的推論 - 変更履歴

Moderator: /* 演繹定理の応用 */

Moderator — Tue, 01 Dec 2020 01:24:13 GMT

演繹定理の応用

←前の版		2020年12月1日 (火) 01:24時点における版
716 行:		716 行:
	$		$

-	~~さらに~~(14)から	+	これと公理(14)から

	$		$

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Moderator — Tue, 01 Dec 2020 01:23:17 GMT

演繹定理の応用

←前の版		2020年12月1日 (火) 01:23時点における版
711 行:		711 行:
	$		$

-	から	+	から演繹定理により
		+	$
		+	\vdash_H \cal \lnot A \Rightarrow \bot
		+	$
		+
		+	さらに(14)から

	$		$

Moderator: /* 演繹推論 */

Moderator — Tue, 01 Dec 2020 01:18:09 GMT

演繹推論

←前の版		2020年12月1日 (火) 01:18時点における版
82 行:		82 行:


-	<pre style="font-size:~~medium~~">	+	<pre style="font-size:large">
	environ		environ

Moderator: /* 演繹推論 */

Moderator — Tue, 01 Dec 2020 01:15:28 GMT

演繹推論

←前の版		2020年12月1日 (火) 01:15時点における版
82 行:		82 行:


-	<pre>	+	<pre style="font-size:medium">
	environ		environ

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Moderator — Tue, 01 Dec 2020 01:11:53 GMT

演繹定理の応用

←前の版		2020年12月1日 (火) 01:11時点における版
910 行:		910 行:
	**論理式$\cal A$がただ１つの命題変数$X$からなるとき		**論理式$\cal A$がただ１つの命題変数$X$からなるとき

-	$X$に対するふり当てが$\top$のとき	+	$X$に対するふり当てが$\top$のとき$ X \vdash_H X$　また　$\bot$のとき $ \lnot X \vdash_H \lnot X$
-	$ X \vdash_H X$	+
-		+
-	$\bot$のとき	+
-	$ \lnot X \vdash_H \lnot X$	+
	これは公理の$(1)$から容易に示される。		これは公理の$(1)$から容易に示される。

-	**これ以外の場合は、$\cal A$は$\cal \lnot B,B \land C,B \lor C$~~の形をして~~	+	**これ以外の場合は、$\cal A$は$\cal \lnot B,B \land C,B \lor C$の形をしている。
-	~~いる。~~	+

	そこで論理式の長さについての帰納法を使う.		そこで論理式の長さについての帰納法を使う.

-	~~部分式~~$\cal B,C$~~については~~	+	$\cal A$より長さの短い部分式$\cal B,C$についてはこの補題が成り立つものとする。
-	~~この補題が成り立つものとする。~~	+


	***$\cal A$ が$\cal \lnot B$である場合		***$\cal A$ が$\cal \lnot B$である場合
		+
		+
	$\cal A$の値が$\top$のとき$\cal B$の値は$\bot$であるから		$\cal A$の値が$\top$のとき$\cal B$の値は$\bot$であるから

975 行:		971 行:

	***$\cal A$ が$\cal B \land C$である場合		***$\cal A$ が$\cal B \land C$である場合
		+

	$\cal A$の値が$\top$のとき$\cal B,C$の値はともに$\top$でなければならない。		$\cal A$の値が$\top$のとき$\cal B,C$の値はともに$\top$でなければならない。

Moderator: /* 演繹定理の応用 */

Moderator — Tue, 01 Dec 2020 01:08:26 GMT

演繹定理の応用

←前の版		2020年12月1日 (火) 01:08時点における版
918 行:		918 行:

	**これ以外の場合は、$\cal A$は$\cal \lnot B,B \land C,B \lor C$の形をして		**これ以外の場合は、$\cal A$は$\cal \lnot B,B \land C,B \lor C$の形をして
-	~~いる。この場合、部分式~~$\cal B,C$については	+	いる。
-	~~この補題１が成り立つものとする。~~	+
-	*$\cal A$ が$\cal \lnot B$である場合	+	そこで論理式の長さについての帰納法を使う.
		+
		+	部分式$\cal B,C$については
		+	この補題が成り立つものとする。
		+
		+
		+	***$\cal A$ が$\cal \lnot B$である場合
	$\cal A$の値が$\top$のとき$\cal B$の値は$\bot$であるから		$\cal A$の値が$\top$のとき$\cal B$の値は$\bot$であるから

931 行:		937 行:
	$\cal B,\lnot B$はそれぞれ$\cal A$及び$\cal \lnot A$である。		$\cal B,\lnot B$はそれぞれ$\cal A$及び$\cal \lnot A$である。

-	*$\cal A$ が$\cal B \lor C$である場合	+	***$\cal A$ が$\cal B \lor C$である場合

	$\cal A$の値が$\top$のとき$\cal B,C$の少なくともどちらか一方の値は		$\cal A$の値が$\top$のとき$\cal B,C$の少なくともどちらか一方の値は
968 行:		974 行:


-	*$\cal A$ が$\cal B \land C$である場合	+	***$\cal A$ が$\cal B \land C$である場合

	$\cal A$の値が$\top$のとき$\cal B,C$の値はともに$\top$でなければならない。		$\cal A$の値が$\top$のとき$\cal B,C$の値はともに$\top$でなければならない。

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Moderator — Tue, 01 Dec 2020 01:05:16 GMT

演繹定理の応用

←前の版		2020年12月1日 (火) 01:05時点における版
810 行:		810 行:
	形をしている。		形をしている。
	$i$より前の論理式は恒真論理式であると仮定すると、		$i$より前の論理式は恒真論理式であると仮定すると、
-	${\cal A}_j$と~~${\cal A}_k$は~~${\cal A}_j \Rightarrow {\cal A}_i$は真理値$\top$しかとらないから真理値表	+	${\cal A}_j$と${\cal A}_j \Rightarrow {\cal A}_i$は真理値$\top$しかとらないから真理値表


837 行:		837 行:


-
-	~~\begin{tabular}{\|c c\|\|c\|}~~
-	~~\hline~~
-	~~${\cal A}_j$ & ${\cal A}_i$ & ${\cal A}_j \Rightarrow {\cal A}_i$ \\~~
-	~~\hline~~
-	~~$\bot$ & $\bot$ & $\top$ \\~~
-	~~\hline~~
-	~~$\bot$ & $\top$ & $\top$ \\~~
-	~~\hline~~
-	~~$\top$ & $\bot$ & $\bot$ \\~~
-	~~\hline~~
-	~~$\top$ & $\top$ & $\top$ \\~~
-	~~\hline~~
-	~~\end{tabular}~~

	から明らかなように${\cal A}_i$の真理値は$\top$しか取り得ない。		から明らかなように${\cal A}_i$の真理値は$\top$しか取り得ない。
858 行:		844 行:
	逆に$\cal A$が恒真論理式であるときに、		逆に$\cal A$が恒真論理式であるときに、
	$\vdash_H \cal A$が成立することをいうには次の補題１が必要になる。		$\vdash_H \cal A$が成立することをいうには次の補題１が必要になる。
-	*[~~補題１~~]	+	*[補題]

	$\cal A$が命題変数$X_1,X_2,\cdots,X_n$から構成される論理式とする。		$\cal A$が命題変数$X_1,X_2,\cdots,X_n$から構成される論理式とする。
875 行:		861 行:
	である。ただし、$\delta X_i$は$X_i$に対する真理値のふり当てが$\top$の場合$X_i$、$\bot$の場合は$\lnot X_i$とする。$\Box$		である。ただし、$\delta X_i$は$X_i$に対する真理値のふり当てが$\top$の場合$X_i$、$\bot$の場合は$\lnot X_i$とする。$\Box$

-	*[~~定理８の証明の続き~~]	+	*[定理の証明の続き]

	恒真論理式$\cal A$が命題変数$X_1,X_2,\cdots,X_n$から構成されるものとする。		恒真論理式$\cal A$が命題変数$X_1,X_2,\cdots,X_n$から構成されるものとする。
920 行:		906 行:
	を得る。$\Box$		を得る。$\Box$

-	*[~~補題１の証明~~]	+	*[補題の証明]

-	*論理式$\cal A$がただ１つの命題変数$X$からなるとき	+	**論理式$\cal A$がただ１つの命題変数$X$からなるとき

	$X$に対するふり当てが$\top$のとき		$X$に対するふり当てが$\top$のとき
931 行:		917 行:
	これは公理の$(1)$から容易に示される。		これは公理の$(1)$から容易に示される。

-	これ以外の場合は、$\cal A$は$\cal \lnot B,B \land C,B \lor C$の形をして	+	**これ以外の場合は、$\cal A$は$\cal \lnot B,B \land C,B \lor C$の形をして
	いる。この場合、部分式$\cal B,C$については		いる。この場合、部分式$\cal B,C$については
	この補題１が成り立つものとする。		この補題１が成り立つものとする。

Moderator: /* 演繹定理の応用 */

Moderator — Tue, 01 Dec 2020 01:01:21 GMT

演繹定理の応用

←前の版		2020年12月1日 (火) 01:01時点における版
830 行:		830 行:
	\| $\bot$		\| $\bot$
	\| $\bot$		\| $\bot$
		+	\|-
		+	\| $\top$
		+	\| $\top$
		+	\| $\top$
	\|}		\|}

Moderator: /* 演繹定理の応用 */

Moderator — Tue, 01 Dec 2020 00:57:57 GMT

演繹定理の応用

←前の版		2020年12月1日 (火) 00:57時点における版
780 行:		780 行:

	*'''命題計算の体系についての完全性定理'''		*'''命題計算の体系についての完全性定理'''
		+

	$\cal A$ が恒真論理式であることの必要十分条件は、$\vdash_H \cal A$		$\cal A$ が恒真論理式であることの必要十分条件は、$\vdash_H \cal A$
814 行:		815 行:

	{\| border="3" class="wikitable"		{\| border="3" class="wikitable"
-	\|\|-	+	\|\|${\cal A}_j$
-	\|${\cal A}_j$	+
	\|${\cal A}_i$		\|${\cal A}_i$
	\|${\cal A}_j \Rightarrow {\cal A}_i$		\|${\cal A}_j \Rightarrow {\cal A}_i$

Moderator: /* 演繹定理の応用 */

Moderator — Tue, 01 Dec 2020 00:51:30 GMT

演繹定理の応用

←前の版		2020年12月1日 (火) 00:51時点における版
698 行:		698 行:
	${\cal A}_n \Rightarrow {\cal B}_i$が得られる。$\Box$		${\cal A}_n \Rightarrow {\cal B}_i$が得られる。$\Box$

-	==演繹定理の応用==	+	===演繹定理の応用===


802 行:		802 行:


-	* ~~公理系の各公理の形の論理式である。この場合、各公理は恒真論理式~~	+	* 公理系の各公理の形の論理式である。この場合、各公理は恒真論理式3
	であるから${\cal A}_i$は恒真論理式である。		であるから${\cal A}_i$は恒真論理式である。

810 行:		810 行:
	$i$より前の論理式は恒真論理式であると仮定すると、		$i$より前の論理式は恒真論理式であると仮定すると、
	${\cal A}_j$と${\cal A}_k$は${\cal A}_j \Rightarrow {\cal A}_i$は真理値$\top$しかとらないから真理値表		${\cal A}_j$と${\cal A}_k$は${\cal A}_j \Rightarrow {\cal A}_i$は真理値$\top$しかとらないから真理値表
		+
		+
		+
		+	{\| border="3" class="wikitable"
		+	\|\|-
		+	\|${\cal A}_j$
		+	\|${\cal A}_i$
		+	\|${\cal A}_j \Rightarrow {\cal A}_i$
		+	\|-
		+	\| $\bot$
		+	\| $\bot$
		+	\| $\top$
		+	\|-
		+	\| $\bot$
		+	\| $\top$
		+	\| $\top$
		+	\|-
		+	\| $\top$
		+	\| $\bot$
		+	\| $\bot$
		+	\|}
		+
		+

	\begin{tabular}{\|c c\|\|c\|}		\begin{tabular}{\|c c\|\|c\|}