線形計画法(生産計画)
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2020年11月22日 (日) 03:38時点における版
生産計画
ある企業では製品A,B,Cを原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ用いて生産している. 製品A,B,C の1単位当たり利益をそれぞれ80,110,95とする．
また, 製品A,B,Cを1単位生産するのに必要な原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳのそれぞれ量と使用可能な上限が次の表で与えられる.
これらの条件のもとに,利益を最大にするには製品A,B,Cをそれぞれ,どれだけ生産すれば良いか?.
この問題は以下のように数学的に定式化される．
線形計画法
製品A,B,Cをそれぞれ\(x_1,x_2,x_3\) 単位生産するとき\(x_1,x_2,x_3\)は以下の不等式を満たす.
\( 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \\ 1x_1+3x_2+9x_3 \leq 60 \\ 6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\ 4x_1+10x_2+1x_3 \leq 75 \qquad (1) \)
さらに各製品生産量は負ではないから
\( 0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3 \qquad (2) \)
この制約条件のもとに
\( L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 \qquad (3) \)
を最大にする\(x_1,x_2, x_3\)を求めよ.
\((1)\)式のように変数に関する制約条件式が1次式で与えられ,
\((3)\)式のように評価関数も1次式で与えられる問題は線形計画と呼ばれる.
Microsoft Excelのソルバーを用いた解法
1) ソルバーの導入
Excelのメニュー「データ」に「分析」「ソルバー」がある場合は以下の手続きは不要である．そのまま2)ソルバーによる解法の例を実行する．
Excelのメニュー「データ」に「分析」「ソルバー」がない場合
1-1) ファイル > オプション > アドイン の順に選択
1-2) アドインの表示窓アクティブでないアプリケーションにExcelソルバーがあることを確認
1-3) 画面下の管理(A)と表示される小さい窓のドロップダウンリスト▼でExcelアドインを選択後，
1-4) 設定(G)をクリック 有効なアドインが小窓で表示される. その中のソルバーアドインを選択しチェックを入れ[OK]をクリックする.
2) ソルバーによる解法の例
Excelに下記の作成例のように表１のデータを作成する.
この作成例では セル B2,C2,D2 が 製品A,B,Cのそれぞれの生産量 \(x1,x2,x3\)を表す.
線形の一次式
\( 4x_1+0x_2+7x_3 \\ 1x_1+3x_2+9x_3\\ 6x_1+0x_2+14x_3\\ 4x_1+10x_2+1x_3 \)
をE3, E4, E5, E6に入力している. ここで,sumproduct(B4:D4,B$2:D$2)はベクトル(B4,C4,D4) と(B2,C2,D2)の内積B4*B2+C4*C2+D4*D2 であり \(4x_1+0x_2+7x_3\)を表す．
F3,F4, F5, F6には,原材料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳの使用できる量の上限を入力している.
E7には
\(
L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 \qquad (3)
\)
を表す式を入力している．
表のデータを入力後,
メニュー 「データ」，「分析」，「ソルバー」の順にクリックしてソルバーのパラメータ入力用の窓を開く．
目的の設定という欄にセルE7を指定する
目標値には「最大値」を選択し，チェックを入れる．
変数セルの変更欄には\(x_1,x_2,x_3\)を表すセルB2からD2をドラックして指定する．
制約条件の対象の欄には
この例題の制約条件式
\( 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \\ 1x_1+3x_2+9x_3 \leq 60 \\ 6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\ 4x_1+10x_2+1x_3 \leq 75 \qquad (1) \)
を表す式を入力する． このためには,入力窓の「追加」をクリックし制約条件の追加入力用の窓を表示させ, 例えば \( 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \) を表す式を入力するのであれば セルの参照欄に \( 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \) を表すセルE3を指定 ≦,=,≧などのドロップダウンリストで≦を選択し,制約条件の欄には上限値の90を入力する．
入力後さらに「追加」をクリックし他の３つの制約条件式も同様に入力する．
さらに, 制約条件式
\( 0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3 \qquad (2) \)
を指定するため 「制約のない変数を非負数にする」 にチェックを入れる．
最後に「解決」をクリックすると以下の結果が出力される.
\(x_1=7.8,x_2=3.9,x_3=4.5\) のときに
\( L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 \)
が最大値1485をもつことを表す.制約条件は満たされている.
