物理/物理数学(1) ベクトル・ベクトル空間と解析学

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2015年2月13日 (金) 11:03時点における版

内積とノルム

内積とノルムは物理学では良くつかわれるので 本テキストで必要となる命題と証明を紹介する。
以下では、
$\vec a,\vec b,\vec c$は、すべて同じ次元（２か３）のベクトルとし、 $\alpha$は実数とする。
座標成分表示が必要な命題では、直交座標系表示を用いる。

ノルムと内積の定義

ベクトル$\vec a$のノルムとは、
$\|\vec a\|:=\sqrt{\sum_{i}a_{i}^2}$。
ベクトルの長さ(大きさ）を表す。
ベクトル$\vec a,\vec b$の内積$\vec a \cdot \vec b$とは
$\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$
ここで、$\theta$は、ベクトル$\vec a,\vec b$のなす角($0\le \theta \le \pi$ )である。

命題１

$\vec a \cdot \vec b =\vec b \cdot \vec a$

命題２

$\vec a \cdot \vec b =\sum_{i}a_ib_i$ ここで$a_1,b_1$はそれぞれ$\vec a,\vec b$のx座標成分、同様に、添え字２はy座標成分、３はz座標成分
直交座標系はどんなものでも良い。しかしすべてのベクトルは同じ座標系で座標成分表示しなければならない。
===命題３===（ $(\vec a +\vec b) \cdot \vec c =\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c$　　　

命題４

$(\alpha \vec a)\cdot \vec b =\vec a \cdot (\alpha \vec b)=\alpha (\vec a \cdot \vec b)$
が成り立つ。

命題５

$\vec a \cdot \vec a=\|\vec a\|^2=\sum_{i}a_{i}^2$

命題６

$\|\vec a \cdot \vec b\| \leq \|\vec a\|\|\vec b\|$

命題７

ノルムの性質；$\|\vec a + \vec b\| \leq \|\vec a\| + \|\vec b\|$

(証明)
(1)は、内積の定義から明らか。
(2)；次の三角形の余弦定理を利用する。
三角形の第２余弦定理;
図のような$\triangle {ABC}$を考える。
頂点A,B,Cの対辺の長さをそれぞれ$a,b,c$とし、$\angle{ACB}=\theta$とする。
すると、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$
余弦定理の証明；頂点$A$から対辺$BC$におろした垂線の足を$H$とする。
ピタゴラスの定理により、
$c^2=\overline{BH}^2+\overline{AH}^2$。$\qquad$ 右辺の第2項に、再び、ピタゴラスの定理を適用して、
$=\overline{BH}^2+(b^2-\overline{CH}^2)$ $\qquad$ $\overline{BH}=a-\overline{CH}$を代入すると、
$=(a-\overline{CH})^2+(b^2-\overline{CH}^2)=a^2+b^2-2a\overline{CH}$,$\quad$ $\overline{CH}=b\cos\theta$なので、代入すると
$=a^2+b^2-2ab\cos\theta$
証明終わり。
(2)の証明　　
ベクトル$\vec a$と$\vec b$を、
始点が点$C$である有向線分で表現し、その終点を$B$,$C$で表す。
すると$\vec a=\vec{CB}$, $\vec b=\vec{CA}$である。
ベクトル$\vec c=\vec a-\vec b$を導入すると、
$\vec c=\vec a-\vec b=\vec{CB}-\vec{CA}=\vec{CB}+\vec{AC}=\vec{AB}$
３角形$\triangle {ABC}$を考え、第２余弦定理を適用しよう。
$\angle{ACB}=\theta$とおく。すると、
$\|\vec c\|^2=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$
$=\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-2\vec a \cdot \vec b$が得られる。
この式を変形して$\vec a \cdot \vec b$だけを左辺に置くと、
$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec c\|^2)/2$　。
$\vec c=\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec b+\vec a$なので、

$\vec a \cdot \vec b=(\|\vec a\|^2+\|\vec b\|^2-\|\vec a-\vec b\|^2)/2$
この右辺を、ベクトルの直交座標成分で表すと、次式が得られる。
$\vec a \cdot \vec b=(\sum_{i}a_i^2+\sum_{i}b_i^2-\sum_{i}(a_i-b_i)^2 )/2$
$=\sum_{i}a_i b_i$
（２）の証明終わり。
（性質３）の証明；ある一つの直交座標系をさだめ、両辺を、性質(２)を利用して、座標成分であらわす。両辺が等しいことが分かる。
（性質４）の証明；同様に、３つの式を、座標成分表示すれば、みな等しいことが、簡単に分かる。