物理/エネルギーと保存則
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2015年2月24日 (火) 17:18時点における版
目次 |
エネルギーと保存則
質点や質点の集まりの運動を調べるときに有用な
各種の保存法則が、運動の法則から導かれる。
導出の仕方が理解できると、力学への理解が深まる。
下記の記事以外にも、導出法をインターネット検索して調べ、よく考えよう。
エネルギー
物質の持っている仕事をする能力をエネルギーという。
- エネルギー(ウィキペディア）の自然科学の項を参照のこと。
運動エネルギー(kinetic energy)
運動している粒子は、それを止めようとする物体に力を与え、動かすことが出来る。
運動している粒子は,運動に起因する何らかのエネルギーを持っていると考えられる。
止まった段階ではこのエネルギーは零になるので、
運動している粒子の持つエネルギーの量は、止まるまでに使った仕事で計れる。
質量$m$の粒子が速度$\vec v$で運動しているとき、
止まるまでになす仕事を求めてみる。
速度方向をｘ軸とする座標$O-x$をとる。
力が作用しなければ、粒子はｘ軸の上をｘ正方向にむかって、速さ$v:=\|\vec v\|$で等速直線運動を続ける。
この粒子が原点を通過する瞬間(t=0)から、ｘ軸方向の力$ F=-f、f>0$(負の向き)を、止まるまで与え続ける。この間、粒子は、作用反作用の法則により、$ F=f、f>0$の力で、止めようとする物体を押し返しながら、止まるまで仕事をし続ける。
止まるまでの距離を求めるため、運動法則を用いる。
この粒子の運動方程式は
$m\frac{d^2}{dt^2}x(t)=-f \qquad (1) $,
ここで、$x(0)=0,v(0)=v$(初期条件)$\qquad (2)$
(1)式の両辺を$m$で割り、$v(t):=\frac{d}{dt}x(t)$を代入すると、
$\frac{d}{dt}v(t)=-\frac{f}{m}$
この方程式を満たし、初期条件(2)を満たす関数$v$は、
$v(t)=-\frac{f}{m}t+v \qquad \qquad (3)$
この式から、粒子が停止する時刻は
$t_1=\frac{mv}{f}$
このときの粒子の位置は、
$\frac{d}{dt}x(t)=-\frac{f}{m}t+v \qquad (4) $
を解いて、停止時刻でのｘを求めればよい。
初期条件式(2)を満たす(4)式の解は
$x(t)=-\frac{f}{2m}t^2+vt \qquad (4) $
故に、止まる位置は
$x(t_1)=-\frac{f}{2m}{t_1}^2+vt_1=\frac{mv^2}{2f}$
粒子が止まるまで,なした仕事は、
$W=f \frac{mv^2}{2f}= \frac{mv^2}{2}$
以上の考察より、粒子の運動エネルギーを次のように決める。
定義；
質量$m$、速度$\vec v$の質点の運動エネルギーを、
$\frac{mv^2}{2}$
で定める。
- ウィキペディア（運動エネルギー）
- ウィキペディア（Kinetic_energy） in English
仕事エネルギー定理（Work-energy theorem)
仕事エネルギー定理
質量$m$の質点が時刻$t_1$ に位置$\vec{x}(t_1)$にいて,速度$\vec{v}(t_1)$で動いているとする。
この粒子に、
力 $\vec F(t)$(注参照) を時刻$t_1$から$t_2$まで加える。
力は時間に関して連続であるか、区分的に連続(不連続点が有限個しかない)と仮定する。
すると
ⅰ）この間力の行う仕事は$W=\int_{[t_1,t_2]}(\vec{F}\cdot \vec{v})(t)dt$
ⅱ）この間の運動エネルギーの変化量 $\frac{1}{2}m\|v(t_2)\|^2 - \frac{1}{2}m\|v(t_1)\|^2 $は、
その間、力が行った仕事 $W$に等しい。ここで$(\vec{F}\cdot \vec{v})(t):=\vec{F}(t)\cdot \vec{v}(t)$
(注）万有引力や電磁気力は、場所によって変化するので、
位置ベクトル$\vec x$にいる質点の受ける力は$\vec{G}(\vec x)$の形に書ける。
力を受けた質点は動くので、$\vec x=\vec x(t)$
するとこの質点の受ける力は、$\vec{G}(\vec{x}(t))$となり時間の関数と見ることができる。
そこで$\vec{F}(t):=\vec{G}(\vec{x}(t))$とおけば良い。
人為的に時間で力を変えて物体を運動を制御することもある。
この場合にも使えるように命題を述べた。
証明；
力を受けた質点は運動する。任意の時刻$t,(t_1\leq t \leq t_2)$の質点の位置を
$\vec{x}(t)$で表す。
時刻$t_1$から$t_2$までの質点の運動の軌跡は、
$C:=\{\vec{x}(t) \mid t_1\leq t \leq t_2\}$
で、運動方向に向きを入れる。
時刻$t_1$から$t_2$までを、ｎ個の小区間
$[s^{n}_{i-1},s^{n}_i](i=1,2,,,n)$に分割する。ここで$(s^{n}_0=t_{1}<s^{n}_{1}<s^{n}_{2},,,,<s^{n}_{n}=t_2)$
この分割を$\Delta^{n}:=\{[s^{n}_{i-1},s^{n}_i]\mid i=1,2,3,,,n\}$と書く。
ｎ個の小区間の長さの最大値を$|\Delta^{n}|$と記す。$|\Delta^{n}|:=\max_{i}(s^{n}_i-s^{n}_{i-1})$
これに対応して、軌跡$C$は、ｎ個の小部分$C_i=\{\vec{x}(t) \mid t \in [s^{n}_{i-1},s^{n}_i] \},(i=1,2,,,n)$に分割される。
原点$O$を適当に定め、直交座標$O-xyz$をいれる。
$C_i$の端点を$P_{i-1},P_i$とおくと、$\vec{x}(s^{n}_{i-1})=\vec{OP_{i-1}}$ 、 $\vec{x}(s^{n}_i)=\vec{OP_i}$である 。
分割数nを大きくしていくと、$|\Delta^n |$が零に収束するような、
分割列$\Delta^{n},(n=1,2,3,,,,)$をとる。
するとｎが十分大きい時、分割$\Delta^{n}$の各小区間は微小となり、
その時刻中には質点はほぼ等速直線運動する。このため運動の軌跡$C_i$は有向線分$\vec{P_{i-1}P_i}$で近似できる。
力も時刻が$[s^{n}_{i-1},s^{n}_i]$の間、ほぼ一定なので、
このなかの任意の時刻${\xi}_i\in [s^{n}_{i-1},s^{n}_i]$を代表点として選び、
$\vec{F}({\xi}_i)$で近似する。
この近似を用いると、仕事の定義から、力が$C_i$で行った仕事は
$W_i(\Delta^n,{\xi}_i)= \vec F({\xi}_i)\cdot \vec{P_{i-1}P_i}
=\vec F({\xi}_i)\cdot(\vec{x}(s^{n}_i)-\vec{x}(s^{n}_{i-1})$
故に、時間をｎ等分割したときの仕事Ｗの近似値は、
$W(\Delta^n,\{{\xi}_i\}_{i=1}^{n})=\sum_{i=1}^{n} W_i(\Delta^n,{\xi}_i)$
$=\sum_{i=1}^{n} \vec F({\xi}_i)\cdot(\vec{x}(s^{n}_i)-\vec{x}(s^{n}_{i-1})\qquad (1)$
ここで、
$\vec{x}(s^{n}_i)-\vec{x}(s^{n}_{i-1})
=\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\frac{d\vec{x}(t)}{dt}dt
=\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\vec{v}(t)dt$
$=\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}
\left(\vec{v}({\xi}_i)+(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt$
$=\vec{v}({\xi}_i)(s^{n}_i-s^{n}_{i-1})
+\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)$
この式を（１）式に代入すると、
$W(\Delta^n,\{{\xi}_i\}_{i=1}^{n})$
$=\sum_{i=1}^{n} (\vec{F}\cdot \vec{v})({\xi}_i)(s^{n}_i-s^{n}_{i-1})
+\sum_{i=1}^{n} \vec{F}({\xi}_i)\cdot
\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt \qquad (2)$
(2)式の右辺の第一項は、実数値関数
$(\vec{F}\cdot \vec{v})(t):=\vec{F}(t)\cdot\vec{v}(t)$
の、ｎ等分割と代表点$\{\xi_i\}_{i=1}^{n}$に対応するリーマン和
$I^{\vec{F}\cdot \vec{v} ,\Delta^n}(\xi_1,,,\xi_n)$である。
この関数は区分的に連続なので、
リーマン積分の定理(物理数学のリーマン積分参照）から、積分可能で
$W=\lim_{n\to \infty}W(\Delta^n,\{{\xi}_i\}_{i=1}^{n})=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n} (\vec{F}\cdot \vec{v})({\xi}_i)(s^{n}_i-s^{n}_{i-1})
=\int_{[t_1,t_2]}(\vec{F}\cdot \vec{v})(t)dt$
である。
補題；(2)式右辺の第2項は、ｎを無限にしていくと、０に収束する。
記号で書くと、
$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n} \vec{F}({\xi}_i)\cdot
\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt=0$
この補題を用いると、
$W=\lim_{n\to\infty}W(\Delta^n,\{{\xi}_i\}_{i=1}^{n})=\int_{[t_1,t_2]}(\vec{F}\cdot \vec{v})(t)dt$
これで定理のⅰ）の証明はできた。
定理のⅱ）の証明
運動の第2法則から、$\vec{F}(t)=m\frac{d\vec v(t)}{dt}$なので、
$W=\int_{[t_1,t_2]}(\vec{F}\cdot \vec{v})(t)dt$
$=\int_{[t_1,t_2]}(m\frac{d\vec v(t)}{dt} \cdot \vec{v})(t)dt
=\frac{m}{2}\int_{[t_1,t_2]}\frac{d}{dt}\vec{v}(t) \cdot \vec{v}(t)dt$
$=\frac{m}{2}\int_{[t_1,t_2]}\frac{d}{dt}\|\vec{v}(t)\|^2
=\frac{m}{2}\|\vec{v}(t_2)\|^2-\frac{m}{2}\|\vec{v}(t_1)\|^2$
ⅱ）の証明終わり。
補題の証明；
$\|\sum_{i=1}^{n} \vec{F}({\xi}_i)\cdot
\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt\|$
$\leq \sum_{i=1}^{n}\| \vec{F}({\xi}_i)\cdot \int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt \|$
$\leq \sum_{i=1}^{n}\| \vec{F}({\xi}_i)\|\|\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt\|$
$M:=max_{t\in [t_1,t_2]}\|\vec{F}(t)\|$とおくと、
$\leq M\sum_{i=1}^{n}\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\|\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt\|\qquad (3)$
$\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)=\int_{{\xi}_i}^{t}\frac{d\vec{v}(s)}{ds}ds
=\int_{{\xi}_i}^{t}\frac{\vec{F}(s)}{m}ds$
なので、
$\|\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\|
\leq \int_{{\xi}_i}^{t}\|\frac{\vec{F}(s)}{m}\|ds
\leq
\frac{M}{m}(s^{n}_i-s^{n}_{i-1}) \qquad \qquad (4)$
(4)式を(3)式に代入すると
$\|\sum_{i=1}^{n} \vec{F}({\xi}_i)\cdot
\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt \|
\leq \frac{M^2}{m}\sum_{i=1}^{n}(s^{n}_i-s^{n}_{i-1})^2$
ここで、$s^{n}_i-s^{n}_{i-1}\leq |\Delta^n|,(i=1,2,,,n)$なので、
$\leq
\frac{M^{2}(t_2-t_1)}{m}|\Delta^n|$
故に、
$\lim_{n\to\infty}\|\sum_{i=1}^{n} \vec{F}({\xi}_i)\cdot
\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt\|
\leq
\frac{M^{2}(t_2-t_1)}{m}\lim_{n\to\infty}|\Delta^n|
=0$
補題の証明終わり。
保存力と位置エネルギー
保存力と保存力場
質点がどこにあろうが、その場所$\vec x$に応じて力$\vec{F}(\vec x)$が作用するとする。このような空間を力の場という。
質点が任意の点$P$から任意の点$Q$ まで動くとき、
力$\vec{F}(\vec x)$の行う仕事が移動経路に関係なく２点$P$、$Q$だけで決まるならば、
この力を保存力(conservative force ) といい、このような空間は保存力場という。
議論を簡単にするため、経路としては、区分的に滑らかな曲線に限定する。
位置エネルギー
保存力は次のように言いかえることができる。
物体にかかる力 $ \vec{F}(\vec x) $ に逆らって、
力 $-\vec{F}(\vec x)+\delta$を加えて、
物体をQ点からP点に非常にゆっくり動かす時、
この力$-\vec{F}(\vec x) $の行う仕事が
移動経路に関係なく２点の位置だけで決まる時、
力 $ \vec{F} $を保存力という。
ここで力 $ -\vec{F} $は、物体に作用する力 $ \vec{F} $とつり合いをとるための力であり、
力 $ \delta $は、力がつりあって静止する物体を、
移動経路に沿って、無限にゆっくりと動かすのに必要な、無限に小さい力である。
このため $\delta$ のなす仕事は零とみなせる。
力 $ -\vec{F} $の行う仕事を、Q 点を基準とした P 点でのこの物体のポテンシャルエネルギー(potential energy)（あるいは位置エネルギー)と言う。
- ウィキペディア（ポテンシャル）の保存力の項
- ウィキペディア（位置エネルギー）
- ウィキペディア（Potential_energy） in English
を参照のこと。
力の場が保存的である必要十分条件
保存力の十分条件
静止している質点Ａが質点Ｂに力を及ぼしているとする。
その力の方向が２質点を結ぶ直線方向の引力あるいは斥力で、
大きさが２点間の距離で決まると仮定する。
この仮定を数式で書こう。
質点Ａの位置を原点に選び、Ｂの位置ベクトルを$\vec x $と表すと、力は
$\vec{G}(\vec x) =k\vec x $。
ここで 力が引力ならば$k<0$, 斥力ならば $k>0$。
命題；
原点に静止する質点Ａが、位置ベクトル$\vec x $の点にある質点Ｂに$\vec{G}(\vec x)=k\vec x $という力を及ぼすとする。するとこの力は保存力になる。
証明。
質点BをＰ点からＱ点まで動かすときの仕事が、その経路Ｃに無関係であることを示せばよい。
ある閉区間$[a,b]$上で定義された区分的に滑らかなベクトル値関数$\vec x=\vec{x}(t)$でこの経路を
$C=\{\vec{x}(t)\mid t\in [a,b]$
と表現する。
すると$t\in [a,b]$で質点Ｂが受ける力は$\vec{F}(t)=\vec{G}(\vec{x}(t))=k\vec{x}(t)$である。
エネルギー仕事定理を、この力に適用すると、この力が質点Ｂに行った仕事は、
$W=\int_{[a,b]}(\vec{F}\cdot \frac{d\vec{x}}{dt})(t)dt$
$=\int_{[a,b]}(k\vec{x}(t)\cdot \frac{d\vec{x}}{dt}(t)dt
=\frac{k}{2} \int_{[a,b]}\frac{d}{dt}(\vec{x}(t)\cdot \vec{x}(t))dt$
$=frac{k}{2}(\vec{x}(b)\cdot \vec{x}(b)-\vec{x}(a)\cdot \vec{x}(a)
=frac{k}{2}(\|\vec{OQ}\|^2-\|\vec{OP}\|^2$
仕事が経路Ｃに無関係で、ＰとＱにだけ依存することが分かった。
（証明終わり）
ポテンシャルから力を求める方法
ある基準点Ｑから見た,
保存力$\vec{F}$（未知）のポテンシャルエネルギー$\phi$が既知の時、
$\vec{F}$を、$\phi$から求めることができる。
Ｑ点を原点とする直交座標系を1つ固定する。
この力で、質点を位置ベクトル$\vec{r}$ の点から、
位置ベクトル$\vec{r}+(\Delta_{x},0,0)$ の点まで動かす時
$\Delta_{x}$は微小にとる。
するとこの間の力は一定値$\vec{F}(r)$で近似できる）、
力のする仕事は、ほぼ $\vec{F}_{x}(\vec{r})\Delta_{x}$である。
すると、
$\phi(\vec r)+\vec{F}_{x}(\vec{r})\Delta_{x}$は、
質点を原点から位置ベクトル$\vec{r}$ の点まで動かし、
引き続いて位置ベクトル$\vec{r}+(\Delta_{x},0,0)$ の点まで動かす時の、
力のなす仕事になるので、保存力であることから、$\phi(\vec r+(\Delta_{x},0,0))$ にほぼ等しい。
従って$\phi(\vec r+(\Delta_{x},0,0))\simeq \phi(\vec r)+\vec{F}_{x}(\vec{r})\Delta_{x}$
故に $\lim_{\Delta_{x} \to 0}\frac{\phi(\vec r+(\Delta_{x},0,0))-\phi(\vec r)}{\Delta_{x}}=\vec{F}_{x}(\vec{r})$；力のｘ成分。
同様にして
$\lim_{\Delta_{y} \to 0}\frac{\phi(\vec r+(0,\Delta_{y},0))-\phi(\vec r)}{\Delta_{y}}=\vec{F}_{y}(\vec{r})$；力のｙ成分。
$\lim_{\Delta_{z} \to 0}\frac{\phi(\vec r+(0,0,\Delta_{z}))-\phi(\vec r)}{\Delta_{z}}=\vec{F}_{z}(\vec{r})$；力のｚ成分。
力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則(kinetic energy and conservation of kinetic energy )
力学的エネルギーは
- ウィキペディア（力学的エネルギー）
- ウィキペディア（Kinetic_energy） in English
を見てください。
仕事エネルギー定理の仕事量W（$＝\vec{F}\cdot\vec{PQ}$ 。 ここで$\vec{PQ}$ は変位ベクトル）をきめる力$\vec{F}$が
保存力$\vec{Fc}$と外力$\vec{Fo}$の和からなるとき、
$W=(\vec{Fc}+\vec{Fo})\cdot\vec{PQ}=\vec{Fc}\cdot\vec{PQ} +\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$
$=P$のポテンシャルエネルギー$(U(P)-U(Q))+\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$となる。
一方仕事エネルギー定理から、$W=\frac{1}{2}m{V(Q)}^2-\frac{1}{2}m{V(P)}^2$なので、この両式から、
$\left(\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)\right)-\left( \frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)\right)=\vec{Fo}\cdot\vec{PQ}$が得られる。
もし保存力以外の力$\vec{Fo}$ が零ならば、$\frac{1}{2}m{V(Q)}^2+U(Q)=\frac{1}{2}m{V(P)}^2+U(P)$
（力学エネルギー保存則）が得られる。
もっと知りたい方は次をどうぞ。
エネルギー保存則は物理学のなかで最も基本的な原理です。
熱エネルギーも含めたもっと一般的なエネルギー保存則は、後の章で学びます。
運動量と保存則
運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse)
質点に力$\vec{F}(t)$が作用しているとする。
運動の第２法則$\vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$ の両辺を
時間に関して$t_1$から $t_2$まで積分してみよう。ここで$\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)$は質点の運動量。
すると、
$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)$
となる。
質点に作用する力を時間で積分した$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$を力積と呼ぶ。
力積は、運動量の変化に等しい。
- ウィキブックス（高等学校理科 物理Ⅱ） の1.1.2 運動量と力積
ｎ個の質点を持つ質点系の運動量は、各質点の運動量の和で定義する。
この場合にも質点系への力積は質点系の運動量の変化に等しいことが、
運動の第２法則から導ける。
運動量保存則( law of conservation of momentum )
質点の場合、外力がなければ、その運動量は保存される(一定である)。
質点系(質点の集まり)の場合でも、質点系に作用する外力のベクトル和が零ならば、
内力(質点系内の質点間に働く力)があっても、運動量が保存されることが示せる。(注）
これを運動量保存則とよぶ。
（注）質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、
質点$m_i$ に作用する外力を$\vec{f_i}$、
$m_i$ に、質点系の他の質点$m_j $から作用する内力を$\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。
すると、各質点に対して、運動の第２法則により、
$\frac{d\vec{p}_i(t)}{dt}=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $
各ベクトルを自由ベクトルとみなして,上の式を$i=1 \ldots N$について加え合わせると、
$\sum_i{\vec{f_i}}=0 \qquad \vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$(作用反作用の法則)なので、
$\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} =0 $
が得られる。ゆえに、$\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は保存される。
保存則の応用
衝突の問題
2質点の衝突
力学に必要な物理量（時間、距離、速度、加速度、質量、力）の単位と単位変換
- ウィキペディア（物理単位）
- wikibooks(High_School_Physics/Si_units) ,in English
