物理/エネルギーと保存則

= エネルギーと保存則 =

必要ならば直交座標$O-x_{1}x_{2}x_{3}$をいれる。<br/>

'''仕事エネルギー定理'''<br/>

時刻$t$ の質点の位置を$\vec{x}(t)$で表し、

$\vec{v}(t)=\frac{d\vec{x}}{dt}(t)$とおく。<br/>

すると<br/>

ⅰ）時刻$t_1$から $t_2$までに力の行う仕事は<br/>

$W=\int_{t_1}^{t_2}(\vec{F}\cdot \vec{v})(t)dt

=\int_{t_1}^{t_2}(\vec{F}(t)\cdot \frac{d\vec{x}(t)}{dt}dt

ⅱ）$W=\frac{1}{2}m\|v(t_2)\|^2 - \frac{1}{2}m\|v(t_1)\|^2 $

位置ベクトル$\vec x$にいる質点の受ける力は$\vec{G}(\vec x)$の形に書ける。

すると、時刻$t$に質点の受ける力は時間の関数$\vec{F}(t):=\vec{G}(\vec{x}(t))$となる。<br/>

人為的に時間により力を変えて物体の運動を制御することもある。<br/>

この場合にも適用できるような記述にした。<br/>

第一の方法は、時刻ｔまでに力の行う仕事を$W(t)$と書き、<br/>

この実数値関数が微分可能で<br/>

$\frac{dW}{dt}(t)=(\vec{F}\cdot \vec{v})(t):=\vec{F}(t)\cdot \vec{v}(t)$<br/>

次に実数値関数<br/>

$(\vec{F}\cdot \vec{v})(t)$<br/>

が積分可能であることを示す。<br/>

$\int_{t_1}^{t_2}(\vec{F}\cdot \vec{v})(t)dt$の被積分関数$(\vec{F}\cdot \vec{v})(t)$の原始関数が$W(t)$になる。<br/>

第二の方法は、<br/>

曲線にそった仕事の定義(「2.3 質点の運動」の仕事の項の説明)にしたがって、<br/>

命題を証明する方法である。<br/>

第一の方法による証明：<br/>

力$\vec{F}(t)$は連続関数と仮定して良い。<br/>

連続となる小区間ごとに考えればよいから。<br/>

$W(t)=$時刻$t_1$から時刻$t$までの間に力の行った仕事<br/>

で、$[t_1,t_2]$上の関数$W$を定義する。この定義より、W(t_1)=0である。<br/>

時刻$t\in (t_1,t_2)$における、関数の微係数を求めよう。<br/>

$\frac{dW}{dt}(t)

=\lim_{\delta \to 0,\delta \neq 0}\frac{W(t+\delta)-W(t)}{\delta}

=\vec{F}(t)\cdot \vec{v}(t)$<br/>

であることを以下に示す。<br/>

$\delta$が極めて微小な正数と考える(負数の場合も同様に証明出来る）。<br/>

力が$[t,t+\delta]$の間に行う仕事

$W(t+\delta)-W(t)$の考察から始める。<br/>

この間、質点は$\vec x=\vec{x}(t)$に従って、<br/>

$\vec{x}(t)$から$\vec{x}(t+\delta)$まで移動する。<br/>

$\delta$がきわめて微小なので、<br/>

この軌跡は、ベクトル$\vec{x}(t+\delta)-\vec{x}(t)$<br/>

（の始点を、位置ベクトル$\vec{x}(t)$の終点にしたもの）とみなせる。<br/>

力は時間に関して連続なので、この微小時間中は$\vec{F}(t)$とみなした良い。<br/>

$W(t+\delta)-W(t)=\vec{F}(t)\cdot \left(\vec{x}(t+\delta)-\vec{x}(t)\right)$<br/>

となる。図参照のこと。<br/>

ゆえに、<br/>

$\frac{dW}{dt}(t)

=\lim_{\delta \to 0,\delta \neq 0}\frac{W(t+\delta)-W(t)}{\delta}$<br/>

$=\lim_{\delta \to 0,\delta \neq 0}\frac{\vec{F}(t)\cdot

\left(\vec{x}(t+\delta)-\vec{x}(t)\right)}{\delta}$<br/>

$=\lim_{\delta \to 0,\delta \neq 0}

\vec{F}(t)\cdot\frac{\left(\vec{x}(t+\delta)-\vec{x}(t)\right)}{\delta}$<br/>

$=\vec{F}(t)\cdot \vec{v}(t)\qquad \qquad  (1)$<br/>

式（１）は$[t_1,t_2]$上の連続関数関数なので<br/>

$\int_{t_1}^{t_2}\frac{dW}{dt}(t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\cdot \vec{v}(t)dt$<br/>

上式の左辺の被積分関数の原始関数は$W(t)$なので、<br/>

$\int_{t_1}^{t_2}\frac{dW}{dt}(t)dt=[W(t)]_{t_1}^{t_2}=W(t_2)-W(t_1)=W$<br/>

$W=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\cdot \vec{v}(t)dt$<br/><br/>

$\vec{C}:=\{\vec{x}(t) \mid t_1\leq t \leq t_2\}$<br/>

$[s^{n}_{i-1},s^{n}_i](i=1,2,,,n)$に分割する。ここで$(s^{n}_0=t_{1}<s^{n}_{1}<s^{n}_{2},,,,<s^{n}_{n}=t_2)$<br/>

この分割を$\Delta^{n}:=\{[s^{n}_{i-1},s^{n}_i]\mid i=1,2,3,,,n\}$と書く。<br/>

ｎ個の小区間の長さの最大値を$|\Delta^{n}|$と記す。$|\Delta^{n}|:=\max_{i}(s^{n}_i-s^{n}_{i-1})$<br/>

ｎ個の小部分$\vec{C^{n}_i}=\{\vec{x}(t) \mid t \in [s^{n}_{i-1},s^{n}_i] \},(i=1,2,,,n)$に分割される。<br/>

$\vec{C^{n}_i}$の端点を$P^{n}_{i-1},P^{n}_i$とおくと、

$\vec{x}(s^{n}_{i-1})=\vec{OP^{n}_{i-1}}$ 、

$\vec{x}(s^{n}_i)=\vec{OP^{n}_i}$である 。<br/>

時間の分割数ｎを増やし、$\lim_{n\to \infty}|\Delta^{n}|=0$となるように分割する。<br/>

するとｎが十分大きい時、<br/>

各時間分割$[s^{n}_{i-1},s^{n}_i]$の間に質点はほぼ等速直線運動するので、<br/>

対応する軌跡Cの小部分$C^{n}_i$は、有向線分$\vec{P^{n}_{i-1}P^{n}_i}=\vec{x}(s^{n}_i)- \vec{x}(s^{n}_{i-1}) $で近似できる。<br/>

力も時刻が$[s^{n}_{i-1},s^{n}_i]$の間、ほぼ一定である。<br/>

正確な証明に戻る；<br/>

$=\sum_{i=1}^{n} \vec F({\xi}_i)\cdot(\vec{x}(s^{n}_i)-\vec{x}(s^{n}_{i-1})\qquad (1)$<br/>

$\vec{x}(s^{n}_i)-\vec{x}(s^{n}_{i-1})

=\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\frac{d\vec{x}(t)}{dt}dt

=\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\vec{v}(t)dt$<br/>

$=\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}

\left(\vec{v}({\xi}_i)+(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt$<br/>

$=\vec{v}({\xi}_i)(s^{n}_i-s^{n}_{i-1})

+\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)$<br/>

$W(\Delta^n,\{{\xi}_i\}_{i=1}^{n})$<br/>

$=\sum_{i=1}^{n} (\vec{F}\cdot \vec{v})({\xi}_i)(s^{n}_i-s^{n}_{i-1})

+\sum_{i=1}^{n} \vec{F}({\xi}_i)\cdot

\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt \qquad  (2)$<br/>

(2)式の右辺の第一項は、実数値関数<br/>

$(\vec{F}\cdot \vec{v})(t):=\vec{F}(t)\cdot\vec{v}(t)$<br/>

の、ｎ等分割と代表点$\{\xi_i\}_{i=1}^{n}$に対応するリーマン和<br/>

$I^{\vec{F}\cdot \vec{v} ,\Delta^n}(\xi_1,,,\xi_n)$である。<br/>

この関数は区分的に連続なので、<br/>

リーマン積分の定理(物理数学のリーマン積分参照）から、積分可能で<br/>

$W=\lim_{n\to \infty}W(\Delta^n,\{{\xi}_i\}_{i=1}^{n})=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n} (\vec{F}\cdot \vec{v})({\xi}_i)(s^{n}_i-s^{n}_{i-1})

=\int_{t_1}^{t_2}(\vec{F}\cdot \vec{v})(t)dt$<br/>

である。<br/>

補題；(2)式右辺の第2項は、ｎを無限にしていくと、０に収束する。<br/>

記号で書くと、<br/>

$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n} \vec{F}({\xi}_i)\cdot

\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt=0$<br/><br/>

この補題を用いると、<br/>

$W=\lim_{n\to\infty}W(\Delta^n,\{{\xi}_i\}_{i=1}^{n})=\int_{[t_1,t_2]}(\vec{F}\cdot \vec{v})(t)dt$<br/>

これで定理のⅰ）の証明はできた。<br/>

定理のⅱ）の証明<br/>

運動の第2法則から、$\vec{F}(t)=m\frac{d\vec v(t)}{dt}$なので、<br/>

$W=\int_{[t_1,t_2]}(\vec{F}\cdot \vec{v})(t)dt

=\int_{[t_1,t_2]}(m\frac{d\vec v}{dt} \cdot \vec{v})(t)dt$<br/>

$\frac{d(\vec{v} \cdot \vec{v})}{dt}(t)=2(\frac{d\vec v}{dt} \cdot \vec{v})(t)$（「８章の8.3　積分」のベクトル値関数の微分参照のこと）なので<br/>

$=\frac{m}{2}\int_{[t_1,t_2]}\frac{d(\vec{v} \cdot \vec{v})}{dt}(t)dt$<br/>

ここで、被積分関数$\frac{d(\vec{v} \cdot \vec{v})}{dt}(t)$の<br/>

原始関数は$\vec{v} \cdot \vec{v}$なので、<br/>

$=\frac{m}{2}[(\vec{v} \cdot \vec{v})(t)]_{t_1}^{t_2}$<br/>

$=\frac{m}{2}\|\vec{v}(t_2)\|^2-\frac{m}{2}\|\vec{v}(t_1)\|^2$<br/>

ⅱ）の証明終わり。<br/>

補題の証明；<br/>

$\|\sum_{i=1}^{n} \vec{F}({\xi}_i)\cdot

\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt\|$<br/>

$\leq \sum_{i=1}^{n}\| \vec{F}({\xi}_i)\cdot \int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt \|$<br/>

$\leq \sum_{i=1}^{n}\| \vec{F}({\xi}_i)\|\|\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt\|$<br/>

$M:=max_{t\in [t_1,t_2]}\|\vec{F}(t)\|$とおくと、<br/>

$\leq M\sum_{i=1}^{n}\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\|\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt\|\qquad  (3)$<br/>

$\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)=\int_{{\xi}_i}^{t}\frac{d\vec{v}(s)}{ds}ds$<br/>

$=\int_{{\xi}_i}^{t}\frac{\vec{F}(s)}{m}ds$<br/>

$\|\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\|

\leq \int_{{\xi}_i}^{t}\|\frac{\vec{F}(s)}{m}\|ds

\leq

\frac{M}{m}(s^{n}_i-s^{n}_{i-1})  \qquad  \qquad  (4)$<br/>

(4)式を(3)式に代入すると<br/>

$\|\sum_{i=1}^{n} \vec{F}({\xi}_i)\cdot

\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt \|

\leq \frac{M^2}{m}\sum_{i=1}^{n}(s^{n}_i-s^{n}_{i-1})^2$<br/>

ここで、$s^{n}_i-s^{n}_{i-1}\leq |\Delta^n|,(i=1,2,,,n)$なので、<br/>

$\leq

\frac{M^{2}(t_2-t_1)}{m}|\Delta^n|$<br/>

$\lim_{n\to\infty}\|\sum_{i=1}^{n} \vec{F}({\xi}_i)\cdot

\int_{s^{n}_{i-1}}^{s^{n}_i}\left(\vec{v}(t)-\vec{v}({\xi}_i)\right)dt\|

\leq

\frac{M^{2}(t_2-t_1)}{m}\lim_{n\to\infty}|\Delta^n|

=0$<br/>

*[[Wikipedia_ja:線積分 |ウィキペディア(線積分)]]

質点がどこにあろうが、その場所$\vec x$に応じて力$\vec{F}(\vec x)$が作用するとする(注１）。<br/>

 

力の場$\vec{F}(\vec x)$から力を受け

力 $-\vec{F}(\vec x)+\delta$を加えて、<br/>

移動経路に沿って、Ｑ点からＰ点まで無限にゆっくりと動かすのに必要な、無限に小さい力である。<br/>このため $\delta$ のなす仕事は零とみなせる。<br/>

この時、力 $ -\vec{F} $がなす仕事を、Q 点を基準とした P 点でのこの物体の'''ポテンシャルエネルギー'''(potential energy)（あるいは位置エネルギー)と言う。<br/>

これは、場の力が物体をＰ点からＱ点まで動かす時の、場の力の行う仕事と等しい。<br/>

命題；<br/>

$\Omega$を空間${\bf R^3}$から有限個の点を除いた領域(注参照）とする。<br/>

(注）空間が力の場となるには、それを作り出す物体が必要。

例えば、地球の周りに出来る重力場は、地球が作りだしている。

この重力場は3次元空間から、地球の存在する場所を除いた空間部分に出来る。

この部分を領域と呼ぶことにする。

すると、仕事エネルギー定理の（１）で証明したように、この仕事は<br/>

この仕事は、ポテンシャルエネルギーを用いて、<br/>

この式の右辺は、ポテンシャルの命題を適用すると、<br/>

任意固定した、基準点Ｏからのポテンシャル・エネルギーを用いて、<br/>

$=U_{O}{\vec{x}(t_1)-U_{O}{\vec{x}(t_2)$<br/>

$\frac{m\|\vec v(t_2)\|^2}{2}-\frac{m\|\vec v(t_1)\|^2}{2}

=U_{O}{\vec{x}(t_1)-U_{O}{\vec{x}(t_2)$<br/>

$\frac{m\|\vec v(t_2)\|^2}{2}+U_{O}{\vec{x}(t_2)

=\frac{m\|\vec v(t_1)\|^2}{2}+U_{O}{\vec{x}(t_1)$<br/>

ｎ個の質点を持つ質点系の運動量は、各質点の運動量の和で定義する。<br/>

この場合にも質点系への力積は質点系の運動量の変化に等しいことが、<br/>

 

===運動量保存則( law of conservation of momentum )===

質点の場合、外力がなければ、その運動量は保存される(一定である)。<br/>

質点系(質点の集まり)の場合でも、質点系に作用する外力のベクトル和が零ならば、<br/>内力(質点系内の質点間に働く力)があっても、運動量が保存されることが示せる。(注）<br/>

（注）質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、<br/>

$m_i$ に、質点系の他の質点$m_j $から作用する内力を$\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。<br/>

各ベクトルを自由ベクトルとみなして,上の式を$i=1 \ldots N$について加え合わせると、<br/>

$\sum_i{\vec{f_i}}=0 \qquad  \vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$(作用反作用の法則)なので、<br/>

が得られる。ゆえに、$\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は保存される。<br/>