物理/エネルギーと保存則
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(→仕事エネルギー定理（Work-energy theorem)) |
(→エネルギー) |
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位置ベクトル$\vec x$にいる質点の受ける力は$\vec{G}(\vec x)$である。<br/> | 位置ベクトル$\vec x$にいる質点の受ける力は$\vec{G}(\vec x)$である。<br/> | ||
すると、時刻$t$に質点の受ける力は時間の関数$\vec{F}(t):=\vec{G}(\vec{x}(t))$となる。<br/> | すると、時刻$t$に質点の受ける力は時間の関数$\vec{F}(t):=\vec{G}(\vec{x}(t))$となる。<br/> | ||
| - | + | また人為的に時間により力を変えて物体の運動を制御することもある。<br/> | |
| - | + | この定理は、この場合にも適用できるような記述にした。<br/><br/> | |
定理の証明に利用する命題を用意する。<br/> | 定理の証明に利用する命題を用意する。<br/> | ||
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$\int \vec{F}(t) \cdot \frac{d\vec{x}}{dt}(t)dt$ <br/> | $\int \vec{F}(t) \cdot \frac{d\vec{x}}{dt}(t)dt$ <br/> | ||
で表される。<br/> | で表される。<br/> | ||
| - | + | よく知られた定積分と不定積分の関係から<br/> | |
| - | + | $W(t^2)-W(t^1)=\int_{t^1}^{t_2}\vec{F}(t) \cdot \frac{d\vec{x}}{dt}(t)dt$ <br/> | |
| - | + | $W=W(t^2)-W(t^1)$ なので所望の結果が得られた。 | |
| - | + | 証明終わり。 | |
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'''仕事エネルギー定理'''<br/> | '''仕事エネルギー定理'''<br/> | ||
| - | + | $W=\frac{1}{2}m\|v(t^{2})\|^2 - \frac{1}{2}m\|v(t^{1})\|^2 $<br/> | |
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すなわち力がなした仕事は、運動エネルギーの変化量に等しい。<br/> | すなわち力がなした仕事は、運動エネルギーの変化量に等しい。<br/> | ||
| - | + | 証明<br/> | |
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運動の第2法則から、$\vec{F}(t)=m\frac{d\vec v(t)}{dt}$なので、<br/> | 運動の第2法則から、$\vec{F}(t)=m\frac{d\vec v(t)}{dt}$なので、<br/> | ||
$W=\int_{[t^{1},t^{2}]}(\vec{F}\cdot \vec{v})(t)dt | $W=\int_{[t^{1},t^{2}]}(\vec{F}\cdot \vec{v})(t)dt | ||
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$=\frac{m}{2}[(\vec{v} \cdot \vec{v})(t)]_{t^{1}}^{t^{2}}$<br/> | $=\frac{m}{2}[(\vec{v} \cdot \vec{v})(t)]_{t^{1}}^{t^{2}}$<br/> | ||
$=\frac{m}{2}\|\vec{v}(t^{2})\|^2-\frac{m}{2}\|\vec{v}(t^{1})\|^2$<br/> | $=\frac{m}{2}\|\vec{v}(t^{2})\|^2-\frac{m}{2}\|\vec{v}(t^{1})\|^2$<br/> | ||
| - | + | 証明終わり。<br/><br/> | |
力 $\vec F(t)$ が重力とそれ以外の外力$\vec f(t)$ の和のばあいの仕事エネルギー定理を考えよう。<br/> | 力 $\vec F(t)$ が重力とそれ以外の外力$\vec f(t)$ の和のばあいの仕事エネルギー定理を考えよう。<br/> | ||
鉛直上方を$x_3$(ｚ)軸とする3次元直交座標系 $O-x_1x_2x_3$をとり、<br/> | 鉛直上方を$x_3$(ｚ)軸とする3次元直交座標系 $O-x_1x_2x_3$をとり、<br/> | ||
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*[[wikipedia:Conservation_of_energy#Mechanics|ウィキペディア（Conservation_of_energy#Mechanics）]] in English | *[[wikipedia:Conservation_of_energy#Mechanics|ウィキペディア（Conservation_of_energy#Mechanics）]] in English | ||
| + | ==== 複数の質点がつくる保存力場 ==== | ||
| + | 今までは、保存力場が不変であり、その場の中も質点が受ける力の性質について考えてきた。<br/> | ||
| + | このような限定をつけても応用範囲はかなりある。<br/> | ||
| + | 例えば、太陽の周りの惑星の運動などでは、太陽の質量が大きく、惑星からの万有引力を受けてもほとんど動かない。<br/> | ||
| + | このため不動の太陽の作る万有引力場（保存力場）を考え、そのなかで惑星運動の解析をすることは有用である。<br/> | ||
| + | ところが、質量に大差がない複数の星が万有引力で互いに引き合いながら運動する場合には、<br/> | ||
| + | 関与する星はすべて万有引力により運動するため、適用不可である。<br/> | ||
| + | そこでこれらにも適用できるよう、多数の質点の作る保存力（場)について考察しよう。<br/> | ||
| + | 質量 $m_i$(i=1,2,,,N) のN個の質点を考え、質点 $m_i$ と略称する。<br/> | ||
| + | 適切な慣性系を選び、各質点$m_i$ の位置ベクトルを $\vec{r^i}$(i=1,2,,,N)とおく。<br/> | ||
| + | 質点同士は、互いに万有引力を及ぼしあうとする。（注参照のこと）<br/> | ||
| + | 質点$m_i$ が 質点$m_j$$(j=1,\cdots,N.j\neq i)$からうける力 $\vec{f^{(i,j)}}$ は両者の位置だけの関数で、<br/> | ||
| + | $\vec{f^{(i,j)}}=\vec{f^{(i,j)}}(\vec{r^i},\vec{r^i}) | ||
| + | =G\frac{m_im_j}{\|\vec{r^j} - vec{r^i}\|^2}\frac{\vec{r^j} - \vec{r^i}}{\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|}$<br/> | ||
| + | 質点$m_i$ は、自分以外のすべての質点から万有引力をうけるが、それらは足しあわせることができ、<br/> | ||
| + | 質点 $m_i$ に働く万有引力の合力は<br/> | ||
| + | $\vec{F_G^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})=\sum_{j=1,\cdots,N,j\neq i}\vec{f^{(i,j)}}$<br/> | ||
| + | $=\sum_{j=1,\cdots,N,j\neq i}G\frac{m_im_j} | ||
| + | {\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|^2} | ||
| + | \frac{\vec{r^j} - \vec{r^i}}{\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|}\qquad (1)$<br/> | ||
| + | <br/> | ||
| + | （注）5章で学ぶ電荷間の電気力も同様に扱える。<br/><br/> | ||
| + | 補題<br/> | ||
| + | (1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\frac{1}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|} | ||
| + | :=\left(\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}, | ||
| + | \frac{\partial }{\partial {r^i}_2}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}, | ||
| + | \frac{\partial }{\partial {r^i}_3}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}\right)^T$<br/> | ||
| + | $\qquad =\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^3}\qquad (2)$<br/> | ||
| + | ここで、${r^i}_k$(k=1,2,3)はベクトル $\vec{r^i}$ の第k成分のこと。<br/> | ||
| + | $(a_1,a_2,a_3)^T$ は 横ベクトル$(a_1,a_2,a_3)$ を縦ベクトルに変換したもの。<br/> | ||
| + | (2) $U(\vec{r^1},\vec{r^2},\cdots,\vec{r^N}):=-\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1,2,\cdots,N,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}$ で関数$U$ を定義すると、<br/> | ||
| + | $\qquad \vec{F_G^i}=-\frac{\partial U}{\partial \vec{r^i}}\quad (i=1,2,\cdots,N)\qquad (3)$<br/> | ||
| + | 証明；<br/> | ||
| + | (1) 第一成分の計算。<br/> | ||
| + | $\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}$ | ||
| + | $=\frac{\partial }{\partial {r^i}_1} $ | ||
| + | |||
| + | $( \sum_{k=1}^{3}(r^{j}_{k}-r^{i}_{k})^{2} )^{-1/2}$<br/> | ||
| + | 合成関数の微分の公式により、<br/> | ||
| + | $=-\frac{1}{2} | ||
| + | ( \sum_{k=1}^{3}(r^{j}_{k}-r^{i}_{k})^{2} )^{-3/2}$ | ||
| + | $2(r^{j}_{1}-r^{i}_{1})(-1)$<br/> | ||
| + | $=(\sum_{k=1}^{3}(r^{j}_{k}-r^{i}_{k})^{2})^{-3/2}(r^{j}_{1}-r^{i}_{1})$<br/> | ||
| + | $=\frac{r^{j}_{1}-r^{i}_{1}}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^3}$<br/> | ||
| + | 第2、第3成分の計算も同様にできて、所望の結果を得る。<br/> | ||
| + | (2)$\frac{\partial U(\vec{r^1},\vec{r^2},\cdots,\vec{r^N})}{\partial \vec{r^i}} | ||
| + | =-\sum_{j=1,2,\cdots,N,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\frac{\partial}{\partial \vec{r^i}}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}$<br/> | ||
| + | 式(2)を代入すると、<br/> | ||
| + | $=-\sum_{j=1,2,\cdots,N,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^3}$<br/> | ||
| + | 式(1)を代入すると、<br/> | ||
| + | $= -\vec{F_G^i}$<br/> | ||
| + | 補題の証明終わり。<br/><br/> | ||
| + | 前項「力の場が保存的である必要十分条件」の(1)式とこの補題から、<br/> | ||
| + | 関数$U(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^n})$は、<br/> | ||
| + | 各質点に作用する万有引力$(\vec{F_G^1},\cdots,\vec{F_G^N})$の | ||
| + | ポテンシャル関数とみなせることが推察できる。<br/> | ||
| + | そこで次の定義を与える。<br/><br/> | ||
| + | |||
| + | 定義。N個の質点 $m_i$(i=1,,,N) のそれぞれに作用する力<br/> | ||
| + | $\vec{F^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})$ の集まり<br/> | ||
| + | $\{\vec{F^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})\}_{1}^{N}$が'''保存力'''とは、 | ||
| + | <br/> | ||
| + | $\vec{F_G^i}=-\frac{\partial U}{\partial \vec{r^i}}$<br/> | ||
| + | が成立するような連続的微分可能な関数<br/> | ||
| + | $U(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^n})$<br/> | ||
| + | が存在すること。<br/> | ||
| + | この時、関数$U$を、<br/> | ||
| + | $\{\vec{F^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})\}_{1}^{N}$ の | ||
| + | '''ポテンシャル関数'''と呼び、<br/> | ||
| + | 関数値$U(\vec{r^1},\vec{r^2},\cdots,\vec{r^N})$ を | ||
| + | 質点系のポテンシャルエネルギーと呼ぶ。 | ||
| + | <br/><br/> | ||
| + | |||
| + | =====力学的エネルギーの保存則 ===== | ||
| + | 定義；<br/> | ||
| + | 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和<br/> | ||
| + | $\sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2} \| \vec{v^i}(t) \|^2 | ||
| + | + U(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^N}(t))\qquad(7) $<br/> | ||
| + | を、質点系$m_i(i=1,2,,,N)$ の力学的エネルギーという。<br/><br/> | ||
| + | 定理；力学的エネルギーの変化量<br/> | ||
| + | 各質点$m_i$ に万有引力 $\vec{F_G^i}$ 以外に、外力 $\vec{f^i}$ が作用する時<br/> | ||
| + | これらの外力が時刻 $t_1$から $t_2$ の間になす仕事 $W_e=\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{f^i}(t)\cdot \vec{v^i}(t)$ は、質点系の力学的エネルギーの増加に等しい。<br/> | ||
| + | 式で書くと、<br/> | ||
| + | $W_e=\left(\sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2}\|\vec{r^i}(t_2)\|^2+U(\vec{r^1}(t_2),,, | ||
| + | \vec{r^N}(t_2)) \right)-\left( \sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2}\|\vec{r^i}(t_1)\|^2+U(\vec{r^1}(t_1),,,\vec{r^N}(t_1)) \right)\qquad (4)$<br/> | ||
| + | 証明；<br/> | ||
| + | 質点 $m_i$ に働く合力は $\vec{F^i}=\vec{F_G^i}+\vec{f^i}$なので、<br/> | ||
| + | 仕事・エネルギー定理より、<br/> | ||
| + | 力 $\vec{F^1},,,,\vec{F^N}$ が時刻 $t_1$ から $t_2$ までになす仕事<br/> | ||
| + | $W=\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{F^i}(t) \cdot \vec{v^i}(t)dt$ は<br/> | ||
| + | $W=\sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2} | ||
| + | \|\vec{v^i}(t_2)\|^2-\sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2}\|\vec{v^i}(t_1)\|^2 \qquad (5)$<br/> | ||
| + | 他方、<br/> | ||
| + | $W=\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{F^i}(t) \cdot \vec{v^i}(t)dt$ <br/> | ||
| + | $=\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{F_G^i}(t) \cdot \vec{v^i}(t)dt | ||
| + | +\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{f^i}(t) \cdot \vec{v^i}(t)dt$ <br/> | ||
| + | 式(3)を代入して、<br/> | ||
| + | $=-\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial U}{\partial \vec{r^i}}\cdot \vec{v^i}(t)dt +W_e$<br/> | ||
| + | ここで、<br/> | ||
| + | $\frac{dU(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^1}(t))}{dt} | ||
| + | =\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial U}{\partial \vec{r^i}}\cdot \vec{v^i}(t)$なので、 | ||
| + | <br/> | ||
| + | $=-\int_{t_1}^{t_2}\frac{dU(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^1}(t))}{dt}dt +W_e$<br/> | ||
| + | $=-[U(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^1}(t))]_{t_1}^{t_2}+W_e$<br/> | ||
| + | 故に、$W=-[U(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^1}(t))]_{t_1}^{t_2}+W_e$<br/> | ||
| + | 式(5)を上式に代入して整頓すると、<br/> | ||
| + | $W_e=\left( | ||
| + | \sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2} \|\vec{v^i}(t_2)\|^2 | ||
| + | +U(\vec{r^1}(t_2),,,\vec{r^N}(t_2)) | ||
| + | \right) | ||
| + | -\left( | ||
| + | \sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2}\|\vec{v^i}(t_1)\|^2 | ||
| + | +U(\vec{r^1}(t_1),,,\vec{r^N}(t_1)) | ||
| + | \right) \qquad (6)$<br/> | ||
| + | 証明終わり。<br/><br/> | ||
| + | |||
| + | 系；相互作用が保存力である質点系の力学的エネルギーは保存される。 | ||
| + | |||
==運動量と保存則== | ==運動量と保存則== | ||
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$\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は時不変であり、保存される事が示された。<br/> | $\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は時不変であり、保存される事が示された。<br/> | ||
*[[wikipedia_ja:運動量保存の法則|ウィキペディア（運動量保存の法則）]] | *[[wikipedia_ja:運動量保存の法則|ウィキペディア（運動量保存の法則）]] | ||
| + | |||
| + | ==運動量と保存則== | ||
| + | |||
| + | ===運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse) === | ||
| + | 質点に力$\vec{F}(t)$が作用しているとする。<br/> | ||
| + | 運動の第２法則$\vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$ の両辺を<br/> | ||
| + | 時間に関して$t_1$から $t_2$まで積分してみよう。ここで$\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)$は質点の運動量。<br/> | ||
| + | すると、<br/> | ||
| + | $\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)$<br/> | ||
| + | となる。<br/> | ||
| + | 質点に作用する力を時間で積分した$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$を力積と呼ぶ。<br/> | ||
| + | 力積は、運動量の変化に等しい。 | ||
| + | |||
| + | *[[wikibooks_ja:高等学校理科 物理II 力と運動|ウィキブックス（高等学校理科 物理Ⅱ）]] の1.1.2 運動量と力積<br/> | ||
| + | 質点系の運動量は、質点系の各質点の運動量の和で定義する。<br/> | ||
| + | 質点系の場合も、各質点の力積の和(質点系の力積）は質点系の運動量の変化に等しいことが、<br/> | ||
| + | 運動の第２法則から導ける。 | ||
| + | ===運動量保存則=== | ||
| + | 質点の場合、それに作用する外力の総和が零ならば、運動量は保存される(一定である)。<br/> | ||
| + | 次のように質点系にも拡張できる。<br/> | ||
| + | '''運動量保存則'''( law of conservation of momentum )<br/> | ||
| + | 質点系に作用する外力のベクトル和が零ならば、<br/> | ||
| + | 内力(質点系内の質点間に働く力)があっても、<br/> | ||
| + | 運動量は保存される。<br/> | ||
| + | 証明；<br/> | ||
| + | 質点系の質点数をＮ個とする。<br/> | ||
| + | 質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、<br/> | ||
| + | 質点$m_i$ に作用する外力を$\vec{f_i}$、<br/> | ||
| + | $m_i$ に、質点系の他の質点$m_j $から作用する内力を<br/> | ||
| + | $\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。<br/> | ||
| + | すると、各質点に対して、運動の第２法則により、<br/> | ||
| + | $\frac{d\vec{p}_i(t)}{dt}=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $ <br/> | ||
| + | 上の式を$i=1 \ldots N$について加え合わせると、<br/> | ||
| + | $\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} | ||
| + | =\sum_{i}(\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}})$<br/> | ||
| + | $=\sum_{i}\vec{f_i}+\sum_{i}\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}}$<br/> | ||
| + | 外力のベクトル和が零という仮定から、<br/> | ||
| + | $=\sum_{i}\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}}$<br/> | ||
| + | $=\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})$<br/> | ||
| + | 上式の$\sum_{i<j}$は、すべての異なる$i<j$の組み合わせに関して和をとる意味である。<br/> | ||
| + | 作用反作用の法則により、$ \vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$()なので、<br/> | ||
| + | $\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})=0$<br/> | ||
| + | 故に、<br/> | ||
| + | $\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} =0 $ <br/> | ||
| + | が得られる。<br/> | ||
| + | $\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は時不変であり、保存される事が示された。<br/> | ||
| + | *[[wikipedia_ja:運動量保存の法則|ウィキペディア（運動量保存の法則）]] | ||
| + | |||
| + | ===保存力と位置エネルギー=== | ||
| + | ====力の場==== | ||
| + | 質点がどこにあろうが、その位置$\vec x$に応じて力$\vec{F}(\vec x)$が作用するとする(注１）。<br/> | ||
| + | このような空間を'''力の場'''という。<br/> | ||
| + | 力が位置の連続関数のとき、連続な力の場という。 | ||
| + | ====保存力と保存力場==== | ||
| + | 連続な力の場$\vec{F}(\vec x)$から力を受け | ||
| + | 質点が任意の点$P$から任意の点$Q$ まで動くとき、<br/> | ||
| + | 力の行う仕事が移動経路に関係なく２点$P$、$Q$だけで決まるならば、<br/> | ||
| + | この力の場を'''保存力場'''という。<br/> | ||
| + | 保存力場の力を'''保存力'''(conservative force ) という。<br/> | ||
| + | |||
| + | 移動経路としては、区分的に滑らかな曲線(注２参照）に限定する。<br/> | ||
| + | （注１）例えば、地球からの万有引力が作用する空間など。<br/> | ||
| + | （注２）曲線$\vec{C}$を、<br/> | ||
| + | $[0,1]$で定義された連続で、しかも<br/> | ||
| + | 有限個の点を除いて微分可能で導関数が連続な<br/> | ||
| + | ベクトル値関数の軌跡で表すことが出来ることをいう。<br/> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ====位置エネルギー ==== | ||
| + | 保存力は次のように言いかえることができる。<br/> | ||
| + | 物体にかかる力 $ \vec{F}(\vec x) $ に逆らって、<br/> | ||
| + | 力 $-\vec{F}(\vec x)+\delta$($\delta$は無限小)を加えて、<br/> | ||
| + | 物体をQ点からP点に非常にゆっくり動かす時、<br/> | ||
| + | この力$-\vec{F}(\vec x) $の行う仕事が<br/> | ||
| + | 移動経路に関係なく２点の位置だけで決まる時、<br/> | ||
| + | 力 $ \vec{F} $を保存力という。<br/> | ||
| + | ここで力 $ -\vec{F} $は、物体に作用する力 $ \vec{F} $とつり合いをとるための力であり、<br/> | ||
| + | 力 $ \delta $は、力がつりあって静止している物体を、<br/> | ||
| + | 移動経路に沿って、Ｑ点からＰ点まで<br/> | ||
| + | 無限にゆっくりと動かすのに必要な、無限に小さい力である。<br/> | ||
| + | このため $\delta$ のなす仕事は零とみなせる。<br/> | ||
| + | |||
| + | この時、力 $ -\vec{F} $がなす仕事を、<br/> | ||
| + | Q 点を基準とした P 点でのこの物体の<br/> | ||
| + | '''ポテンシャルエネルギー'''(potential energy)（あるいは位置エネルギー)と言う。<br/> | ||
| + | 記号では、基準点も分かるように$U_{Q}(P)$などと書く。<br/> | ||
| + | これは、場の力が物体をＰ点からＱ点まで動かす時の、<br/> | ||
| + | 場の力の行う仕事と等しい。<br/> | ||
| + | $U_{Q}(P)$は、力の場の定義されている領域中の任意の2点Ｑ、Ｐにたいして決まるので<br/> | ||
| + | $U$は、この領域上の2変数関数である。保存力場$ \vec{F} $からきまるポテンシャル関数と呼ぼう。 | ||
| + | *[[wikipedia_ja:ポテンシャル|ウィキペディア（ポテンシャル）]]の保存力の項 | ||
| + | *[[wikipedia_ja:位置エネルギー|ウィキペディア（位置エネルギー）]] | ||
| + | *[[wikipedia:Potential_energy|ウィキペディア（Potential_energy）]] in English | ||
| + | を参照のこと。<br/> | ||
| + | 命題；ポテンシャル関数の性質<br/> | ||
| + | 保存力場の異なる任意の3点$P,Q,R$を考える。<br/> | ||
| + | 各点からみた他の点のポテンシャルエネルギーには次の関係が常に成り立つ。<br/> | ||
| + | ⅰ）$U_{P}(Q)+U_{Q}(R)=U_{P}(R)$<br/> | ||
| + | ⅱ）$U_{P}(Q)=-U_{Q}(P)$<br/> | ||
| + | 証明は、図のような経路にそって力の行う仕事の<br/> | ||
| + | 間の関係を考えれば、簡単に出来る。<br/> | ||
| + | |||
| + | ==== 力の場が保存的である必要十分条件 ==== | ||
| + | 命題<br/> | ||
| + | $\Omega$を空間${\bf R^3}$の領域(注参照）とする。<br/> | ||
| + | 領域$\Omega$の一点$O$を原点にした、直交座標系$O-x_{1}x_{2}x_{3}$を決める。<br/> | ||
| + | 次の2条件は同値である。<br/> | ||
| + | (１）$\Omega$の連続な力の場<br/> | ||
| + | $\vec{F}(\vec x),(\vec x\in \Omega)$が<br/> | ||
| + | 保存力場である。<br/> | ||
| + | （２）$\Omega$上で定義され実数に値を取る$C^1$級関数$U(\vec x)$が存在して<br/> | ||
| + | $\vec{F}_i=-\frac{\partial U}{\partial x_i} ,(i=1,2,3) \qquad \qquad (1)$<br/> | ||
| + | が$\Omega$上で成り立つ。<br/> | ||
| + | 記述を簡略化するため、Uの勾配(gradient）<br/> | ||
| + | $\mathrm{grad}U(\vec x):=(\frac{\partial U}{\partial x_1}(\vec x), | ||
| + | \frac{\partial U}{\partial x_2}(\vec x),\frac{\partial U}{\partial x_3}(\vec x))$<br/> | ||
| + | を導入すると、<br/> | ||
| + | $\vec{F}=-\mathrm{grad}U$が$\Omega$上で成り立つ。<br/> | ||
| + | |||
| + | ここで$\frac{\partial U}{\partial x_1}(\vec x)$は、 | ||
| + | |||
| + | $U(\vec x)$を、独立変数の第1成分 $x_1:=(\vec x)_1$の関数とみるため<br/> | ||
| + | 他の変数は固定して、$V_1(x_1):=U(x_1,x_2,x_3)$という実変数で実数値の関数を考え、<br/> | ||
| + | $x_1$で微分したものを表す。記号で表示すると、<br/> | ||
| + | $\frac{\partial U}{\partial x_1}(\vec x):=\frac{dV_1}{dx_1}(x_1)$<br/> | ||
| + | 関数Ｕの$\vec x$ における第１座標$x_1$に関する偏微分係数という。<br/> | ||
| + | 他の座標に関する偏微分係数も同様に定義する。<br/> | ||
| + | 関数$\frac{\partial U}{\partial x_i}$は<br/> | ||
| + | 変数$\vec x$に、その点の$x_i$についての偏微分係数$\frac{\partial U}{\partial x_i}(\vec x)$を対応させるもので、<br/> | ||
| + | $x_i$についての偏導関数と呼ばれる。<br/> | ||
| + | $U(\vec x)$が$C^1$級とは、<br/> | ||
| + | 全ての偏導関数$\frac{\partial U}{\partial x_i}、(i=1,2,3)$が存在し、<br/> | ||
| + | しかも連続関数となることをいう。<br/> | ||
| + | 多変数関数の連続性や微分については、<br/> | ||
| + | 「第8章 物理数学」の「極限と微分」で要点を説明してある。<br/> | ||
| + | (注）空間が力の場となるには、それを作り出す物体が必要。<br/> | ||
| + | 例えば、地球の周りに出来る重力場は、地球が作りだしている。<br/> | ||
| + | この重力場は3次元空間から、地球の存在する場所を除いた空間部分に出来る。<br/> | ||
| + | この部分を領域と呼ぶことにする。<br/> | ||
| + | 領域の数学的に厳密な定義は、このテキストの程度をこえるので、 | ||
| + | 省略する。<br/> | ||
| + | 地球は地球周辺の物体より、質量が桁違いに大きいので、<br/> | ||
| + | 物体と引きあっても殆ど動かないため、<br/> | ||
| + | 重力場の領域は時間に関係なく定まる。<br/> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 証明；<br/> | ||
| + | （１）ならば（２）を示す。<br/> | ||
| + | |||
| + | この領域の任意の点$P(x_1,x_2,x_3)$(x_iはＰの座標)の、原点からみた、ポテンシャルエネルギー<br/> | ||
| + | $U(P)=\int_{C(O \to P)}-\vec{F}(\vec y)\cdot \vec{dy}$<br/> | ||
| + | を定める。この値は経路$C(O\to P)$に関係なくきまる。<br/> | ||
| + | １）$\frac{\partial U}{\partial x_1}(\vec x)=-{\vec F}_{1}(\vec x)$を示す。<br/>$\vec{e_1}:=(1,0,0)$とおき、Uの偏微分を定義に従って計算する。<br/> | ||
| + | $\frac{\partial U}{\partial x_1}(\vec x) | ||
| + | =\lim_{\delta \to 0,\delta\neq 0}\frac{U(x_1+\delta,x_2,x_3)-U(x_1,x_2,x_3)}{\delta}$<br/> | ||
| + | ここで、<br/> | ||
| + | $U(x_1+\delta,x_2,x_3)-U(x_1,x_2,x_3)$<br/> | ||
| + | は、その経路に無関係にさだまるので、<br/> | ||
| + | 質点を力$-\vec F$で第一座標に平行に$\delta$動かすときの仕事に等しい。 | ||
| + | この向き付き経路を、ベクトル値関数で表示すると$\{{\vec x}(t)=\vec x+t\vec{e_1}\mid 0\leq t\leq \delta\}$である。<br/> | ||
| + | すると、力の場の命題で述べたように、この仕事は<br/> | ||
| + | $-\int_{0}^{\delta}{\vec F}(\vec{x}(t))\cdot \frac{d\vec{x}(t)}{dt}dt$<br/> | ||
| + | に等しい。<br/> | ||
| + | $\frac{d\vec{x}(t)}{dt}=\vec{e_1}$であり、<br/> | ||
| + | ${\vec F}(\vec{x}(t))\cdot \frac{d\vec{x}(t)}{dt}={\vec F}_1(\vec{x}(t))$となるので<br/> | ||
| + | $=-\int_{0}^{\delta}{\vec F}_1(\vec{x}(t))dt$<br/> | ||
| + | 故に、$U(x_1+\delta,x_2,x_3)-U(x_1,x_2,x_3) | ||
| + | =-\int_{0}^{\delta}{\vec F}_1(\vec{x}(t))dt$<br/> | ||
| + | |||
| + | $\lim_{\delta \to 0,\delta\neq 0}\frac{U(x_1+\delta,x_2,x_3)-U(x_1,x_2,x_3)}{\delta}=-\frac{1}{\delta}\int_{0}^{\delta}{\vec F}_1(\vec{x}(t))dt $<br/> | ||
| + | ここで、${\vec F}_1(\vec x+t\vec{e_1})$はtの連続関数なので、<br/> | ||
| + | $|t|$が十分小さければ、${\vec F}_1(\vec x)$にいくらでも近くなる。<br/> | ||
| + | そこで、区間$[0,\delta]$での平均値<br/> | ||
| + | $\frac{1}{\delta}\int_{0}^{\delta}{\vec F}_1(\vec{x}(t))dt$は、<br/> | ||
| + | $\delta$が零に収束するとき、${\vec F}_1(\vec x)$に収束する。<br/> | ||
| + | これで（２）が証明できた。<br/> | ||
| + | （２）を仮定して(1)を示す。<br/> | ||
| + | 任意の2点$P,Q\in \Omega$に対し、それを結ぶPからQへの区分的に滑らかな曲線<br/> | ||
| + | ${\vec C}:=\{{\vec x}(t)\mid 0\leq t\leq 1\},{\vec x}(0)=P,{\vec x}(1)=Q$<br/> | ||
| + | を選んだとき、これに沿って力の成す仕事<br/> | ||
| + | $W_{\vec C}=\int_{\vec C}{\vec F}(\vec x) \cdot \vec{dx} | ||
| + | =-\int_{\vec C}\mathrm{grad}U(\vec x)\cdot \vec{dx} \qquad \qquad (2)$<br/> | ||
| + | が、曲線に依存しないことを示せば良い。<br/> | ||
| + | ${\vec C}:=\{{\vec x}(t)\mid 0\leq t\leq 1\}$ なので | ||
| + | 式（２）$=-\int_{0}^{1}\mathrm{grad}U(\vec x(t))\cdot \frac{d\vec{x}(t)}{dt}dt$ <br/> | ||
| + | 補題；<br/> | ||
| + | $\frac{dU(\vec x(t))}{dt}=\mathrm{grad}U(\vec x(t))\cdot \frac{d\vec{x}(t)}{dt}$<br/> | ||
| + | これは、多変数の場合の合成関数の微分公式である。本テキストの「8章 物理数学」 | ||
| + | で説明してある。<br/> | ||
| + | これを用いると、 | ||
| + | 式（２）$=-\int_{0}^{1}\frac{dU(\vec x(t))}{dt}dt$ <br/> | ||
| + | $\frac{dU(\vec x(t))}{dt}$の原始関数は$U(\vec x(t))$なので、<br/> | ||
| + | この定積分は<br/> | ||
| + | $=-[U(\vec x(t))]_{0}^{1}=-U(\vec x(1))+U(\vec x(0))=-U(Q)+U(P)$<br/> | ||
| + | この値は経路に依存しないので、保存力であることが示された。<br/> | ||
| + | 証明終わり。<br/> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ==== 保存力の十分条件 ==== | ||
| + | 万有引力で作られる力の場などは、保存力場である。<br/> | ||
| + | これを示すため、もう少し一般の力の場が、保存力場であることを示す命題を述べる。<br/> | ||
| + | |||
| + | 命題；<br/> | ||
| + | 領域$\Omega$を3次元空間から原点を取り除いた領域とする。<br/> | ||
| + | この領域で定義された力の場<br/> | ||
| + | ${\vec F}(\vec x)=h(\|\vec x\|)\frac{\vec x}{\|\vec x\|}$<br/> | ||
| + | は保存力場である。但し、関数$h$は、実変数の実数値連続関数とする。<br/> | ||
| + | 証明；<br/> | ||
| + | ｈは連続関数なので、<br/> | ||
| + | 任意の正数ｘに対して、定積分$\int_{0}^{x}h(x)dx$が存在する。<br/> | ||
| + | そこで関数$H(x):=\int_{0}^{x}h(x)dx$を導入する。<br/> | ||
| + | この関数Hを微分すると関数ｈが得られる。<br/> | ||
| + | $U(\vec x):=-H(\|x\|)$という多変数関数を定義すると,<br/> | ||
| + | 合成関数の微分公式より、<br/> | ||
| + | $\frac{\partial U}{\partial x_i}$ | ||
| + | $=-\frac{dH}{dy}(\|\vec{x} \|)\frac{\partial \|\vec{x}\|}{\partial x_i}$<br/> | ||
| + | $=-h(\|\vec x\|)\frac{x_i}{\|\vec x\|}=-{\vec F}_i(\vec x)$<br/> | ||
| + | すでに証明した「力の場が保存的である必要十分条件」中の命題により、<br/> | ||
| + | 保存力場であることが証明された。<br/><br/> | ||
| + | |||
| + | ==== 複数の星が作る万有引力場 ==== | ||
| + | 今までは、保存力場が不変であり、その場の中も質点が受ける力の性質について考えてきた。<br/> | ||
| + | このような限定をつけても応用範囲はかなりある。<br/> | ||
| + | 例えば、太陽の周りの惑星の運動などでは、太陽の質量が大きく、惑星からの万有引力を受けてもほとんど動かない。<br/> | ||
| + | このため太陽の作る万有引力場（保存力場）のなかの惑星運動の解析は有用である。<br/> | ||
| + | ところが、質量に大差がない複数の星が万有引力で互いに引き合いながら運動する場合には、<br/> | ||
| + | 関与する星はすべて万有引力により運動するため、適用不可である。<br/> | ||
| + | そこでこれらにも適用できるよう若干理論を拡張しよう。<br/> | ||
| + | 星の個数をNとし、質量$m_i$(i=1,2,,,N) の質点とみなし、質点$m_i$と略称する。<br/> | ||
| + | 適切な慣性系を選び、各質点$m_i$ の位置ベクトルを $\vec{r^i}$(i=1,2,,,N)とおくと、<br/> | ||
| + | 質点 $m_i$ が受ける万有引力 $\vec{F_G^i}$ は、<br/> | ||
| + | $\vec{F_G^i}=\sum_{j,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-3/2}$<br/> | ||
| + | |||
| + | 補題<br/> | ||
| + | (1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\frac{1}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|} | ||
| + | :=\left(\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}, | ||
| + | \frac{\partial }{\partial {r^i}_2}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}, | ||
| + | \frac{\partial }{\partial {r^i}_3}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}\right)^T$<br/> | ||
| + | $=\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^3}$<br/> | ||
| + | ここで、${r^i}_k$(k=1,2,3)はベクトル $\vec{r^i}$ の第k成分のこと。<br/> | ||
| + | $(a_1,a_2,a_3)^T$ は 横ベクトル$(a_1,a_2,a_3)$ を縦ベクトルに変換したもの。<br/> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ==力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則== | ||
| + | 力学的エネルギーは、運動エネルギーと位置エネルギー（ポテンシャル・エネルギー）の総称である。<br/><br/> | ||
| + | 力学的エネルギー保存則(kinetic energy and conservation of kinetic energy )<br/> | ||
| + | 保存力場から力をうけて運動している質点mの<br/> | ||
| + | 運動エネルギーと（任意の固定した基準点Oからみた）ポテンシャル・エネルギーの和は<br/> | ||
| + | 保存される。<br/> | ||
| + | 証明。<br/> | ||
| + | 任意の時刻$t_1$から時刻 $t_2 (>0)$の間に力の行う仕事は<br/> | ||
| + | 仕事エネルギー定理から<br/> | ||
| + | $W(t_1,t_2)=\frac{m\|\vec v(t_2)\|^2}{2}-\frac{m\|\vec v(t_1)\|^2}{2}$<br/> | ||
| + | 他方で、この力は保存力なので、<br/> | ||
| + | この仕事は、この場から決まるポテンシャル関数Ｕを用いて、<br/> | ||
| + | $W(t_1,t_2)=U_{\vec{x}(t_2)}(\vec{x}(t_1))$<br/> | ||
| + | この式の右辺は、ポテンシャル関数の命題を適用すると、<br/> | ||
| + | 任意の固定した基準点Ｏからのポテンシャル・エネルギーを用いて、<br/> | ||
| + | $=U_{O}(\vec{x}(t_1))-U_{O}(\vec{x}(t_2))$<br/> | ||
| + | 故に<br/> | ||
| + | $\frac{m\|\vec{v}(t_2)\|^2}{2}-\frac{m\|\vec{v}(t_1)\|^2}{2} | ||
| + | =U_{O}(\vec{x}(t_1))-U_{O}(\vec{x}(t_2))$<br/> | ||
| + | 式を整頓すると、<br/> | ||
| + | $\frac{m\|\vec{v}(t_2)\|^2}{2}+U_{O}(\vec{x}(t_2)) | ||
| + | =\frac{m\|\vec{v}(t_1)\|^2}{2}+U_{O}(\vec{x}(t_1))$<br/> | ||
| + | 証明終わり。<br/> | ||
| + | |||
| + | *[[wikipedia_ja:力学的エネルギー|ウィキペディア（力学的エネルギー）]] | ||
| + | *[[wikipedia:Kinetic_energy|ウィキペディア（Kinetic_energy）]] in English | ||
| + | *[[wikipedia_ja:力学的エネルギー保存の法則|ウィキペディア（力学的エネルギー保存の法則）]] | ||
| + | *[[wikipedia:Conservation_of_energy#Mechanics|ウィキペディア（Conservation_of_energy#Mechanics）]] in English | ||
| + | |||
| + | ==運動量と保存則== | ||
| + | |||
| + | ===運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse) === | ||
| + | 質点に力$\vec{F}(t)$が作用しているとする。<br/> | ||
| + | 運動の第２法則$\vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$ の両辺を<br/> | ||
| + | 時間に関して$t_1$から $t_2$まで積分してみよう。ここで$\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)$は質点の運動量。<br/> | ||
| + | すると、<br/> | ||
| + | $\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)$<br/> | ||
| + | となる。<br/> | ||
| + | 質点に作用する力を時間で積分した$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$を力積と呼ぶ。<br/> | ||
| + | 力積は、運動量の変化に等しい。 | ||
| + | |||
| + | *[[wikibooks_ja:高等学校理科 物理II 力と運動|ウィキブックス（高等学校理科 物理Ⅱ）]] の1.1.2 運動量と力積<br/> | ||
| + | 質点系の運動量は、質点系の各質点の運動量の和で定義する。<br/> | ||
| + | 質点系の場合も、各質点の力積の和(質点系の力積）は質点系の運動量の変化に等しいことが、<br/> | ||
| + | 運動の第２法則から導ける。 | ||
| + | ===運動量保存則=== | ||
| + | 質点の場合、それに作用する外力の総和が零ならば、運動量は保存される(一定である)。<br/> | ||
| + | 次のように質点系にも拡張できる。<br/> | ||
| + | '''運動量保存則'''( law of conservation of momentum )<br/> | ||
| + | 質点系に作用する外力のベクトル和が零ならば、<br/> | ||
| + | 内力(質点系内の質点間に働く力)があっても、<br/> | ||
| + | 運動量は保存される。<br/> | ||
| + | 証明；<br/> | ||
| + | 質点系の質点数をＮ個とする。<br/> | ||
| + | 質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、<br/> | ||
| + | 質点$m_i$ に作用する外力を$\vec{f_i}$、<br/> | ||
| + | $m_i$ に、質点系の他の質点$m_j $から作用する内力を<br/> | ||
| + | $\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。<br/> | ||
| + | すると、各質点に対して、運動の第２法則により、<br/> | ||
| + | $\frac{d\vec{p}_i(t)}{dt}=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $ <br/> | ||
| + | 上の式を$i=1 \ldots N$について加え合わせると、<br/> | ||
| + | $\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} | ||
| + | =\sum_{i}(\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}})$<br/> | ||
| + | $=\sum_{i}\vec{f_i}+\sum_{i}\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}}$<br/> | ||
| + | 外力のベクトル和が零という仮定から、<br/> | ||
| + | $=\sum_{i}\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}}$<br/> | ||
| + | $=\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})$<br/> | ||
| + | 上式の$\sum_{i<j}$は、すべての異なる$i<j$の組み合わせに関して和をとる意味である。<br/> | ||
| + | 作用反作用の法則により、$ \vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$()なので、<br/> | ||
| + | $\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})=0$<br/> | ||
| + | 故に、<br/> | ||
| + | $\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} =0 $ <br/> | ||
| + | が得られる。<br/> | ||
| + | $\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は時不変であり、保存される事が示された。<br/> | ||
| + | *[[wikipedia_ja:運動量保存の法則|ウィキペディア（運動量保存の法則）]] | ||
| + | |||
==エネルギーの単位== | ==エネルギーの単位== | ||
１Nの力で物体を１ｍ動かしたとき、力は１J（ジュール)の仕事をしたという。<br/> | １Nの力で物体を１ｍ動かしたとき、力は１J（ジュール)の仕事をしたという。<br/> | ||
