物理/エネルギーと保存則
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すでに証明した「力の場が保存的である必要十分条件」中の命題により、<br/> | すでに証明した「力の場が保存的である必要十分条件」中の命題により、<br/> | ||
保存力場であることが証明された。<br/><br/> | 保存力場であることが証明された。<br/><br/> | ||
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==力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則== | ==力学的エネルギーと力学的エネルギー保存則== | ||
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*[[wikipedia_ja:力学的エネルギー保存の法則|ウィキペディア（力学的エネルギー保存の法則）]] | *[[wikipedia_ja:力学的エネルギー保存の法則|ウィキペディア（力学的エネルギー保存の法則）]] | ||
*[[wikipedia:Conservation_of_energy#Mechanics|ウィキペディア（Conservation_of_energy#Mechanics）]] in English | *[[wikipedia:Conservation_of_energy#Mechanics|ウィキペディア（Conservation_of_energy#Mechanics）]] in English | ||
| + | |||
| + | ==== 複数の質点がつくる保存力場 ==== | ||
| + | 今までは、保存力場が不変であり、その場の中も質点が受ける力の性質について考えてきた。<br/> | ||
| + | このような限定をつけても応用範囲はかなりある。<br/> | ||
| + | 例えば、太陽の周りの惑星の運動などでは、太陽の質量が大きく、惑星からの万有引力を受けてもほとんど動かない。<br/> | ||
| + | このため不動の太陽の作る万有引力場（保存力場）を考え、そのなかで惑星運動の解析をすることは有用である。<br/> | ||
| + | ところが、質量に大差がない複数の星が万有引力で互いに引き合いながら運動する場合には、<br/> | ||
| + | 関与する星はすべて万有引力により運動するため、適用不可である。<br/> | ||
| + | そこでこれらにも適用できるよう、多数の質点の作る保存力（場)について考察しよう。<br/> | ||
| + | 質量 $m_i$(i=1,2,,,N) のN個の質点を考え、質点 $m_i$ と略称する。<br/> | ||
| + | 適切な慣性系を選び、各質点$m_i$ の位置ベクトルを $\vec{r^i}$(i=1,2,,,N)とおく。<br/> | ||
| + | 質点同士は、互いに万有引力を及ぼしあうとする。（注参照のこと）<br/> | ||
| + | 質点$m_i$ が 質点$m_j$$(j=1,\cdots,N.j\neq i)$からうける力 $\vec{f^{(i,j)}}$ は両者の位置だけの関数で、<br/> | ||
| + | $\vec{f^{(i,j)}}=\vec{f^{(i,j)}}(\vec{r^i},\vec{r^i}) | ||
| + | =G\frac{m_im_j}{\|\vec{r^j} - vec{r^i}\|^2}\frac{\vec{r^j} - \vec{r^i}}{\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|}$<br/> | ||
| + | 質点$m_i$ は、自分以外のすべての質点から万有引力をうけるが、それらは足しあわせることができ、<br/> | ||
| + | 質点 $m_i$ に働く万有引力の合力は<br/> | ||
| + | $\vec{F_G^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})=\sum_{j=1,\cdots,N,j\neq i}\vec{f^{(i,j)}}$<br/> | ||
| + | $=\sum_{j=1,\cdots,N,j\neq i}G\frac{m_im_j} | ||
| + | {\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|^2} | ||
| + | \frac{\vec{r^j} - \vec{r^i}}{\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|}\qquad (1)$<br/> | ||
| + | <br/> | ||
| + | （注）5章で学ぶ電荷間の電気力も同様に扱える。<br/><br/> | ||
| + | 補題<br/> | ||
| + | (1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\frac{1}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|} | ||
| + | :=\left(\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}, | ||
| + | \frac{\partial }{\partial {r^i}_2}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}, | ||
| + | \frac{\partial }{\partial {r^i}_3}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}\right)^T$<br/> | ||
| + | $\qquad =\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^3}\qquad (2)$<br/> | ||
| + | ここで、${r^i}_k$(k=1,2,3)はベクトル $\vec{r^i}$ の第k成分のこと。<br/> | ||
| + | $(a_1,a_2,a_3)^T$ は 横ベクトル$(a_1,a_2,a_3)$ を縦ベクトルに変換したもの。<br/> | ||
| + | (2) $U(\vec{r^1},\vec{r^2},\cdots,\vec{r^N}):=-\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1,2,\cdots,N,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}$ で関数$U$ を定義すると、<br/> | ||
| + | $\qquad \vec{F_G^i}=-\frac{\partial U}{\partial \vec{r^i}}\quad (i=1,2,\cdots,N)\qquad (3)$<br/> | ||
| + | 証明；<br/> | ||
| + | (1) 第一成分の計算。<br/> | ||
| + | $\frac{\partial }{\partial {r^i}_1}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}$ | ||
| + | $=\frac{\partial }{\partial {r^i}_1} $ | ||
| + | |||
| + | $( \sum_{k=1}^{3}(r^{j}_{k}-r^{i}_{k})^{2} )^{-1/2}$<br/> | ||
| + | 合成関数の微分の公式により、<br/> | ||
| + | $=-\frac{1}{2} | ||
| + | ( \sum_{k=1}^{3}(r^{j}_{k}-r^{i}_{k})^{2} )^{-3/2}$ | ||
| + | $2(r^{j}_{1}-r^{i}_{1})(-1)$<br/> | ||
| + | $=(\sum_{k=1}^{3}(r^{j}_{k}-r^{i}_{k})^{2})^{-3/2}(r^{j}_{1}-r^{i}_{1})$<br/> | ||
| + | $=\frac{r^{j}_{1}-r^{i}_{1}}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^3}$<br/> | ||
| + | 第2、第3成分の計算も同様にできて、所望の結果を得る。<br/> | ||
| + | (2)$\frac{\partial U(\vec{r^1},\vec{r^2},\cdots,\vec{r^N})}{\partial \vec{r^i}} | ||
| + | =-\sum_{j=1,2,\cdots,N,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\frac{\partial}{\partial \vec{r^i}}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}$<br/> | ||
| + | 式(2)を代入すると、<br/> | ||
| + | $=-\sum_{j=1,2,\cdots,N,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\frac{\vec{r^j}-\vec{r^i}}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^3}$<br/> | ||
| + | 式(1)を代入すると、<br/> | ||
| + | $= -\vec{F_G^i}$<br/> | ||
| + | 補題の証明終わり。<br/><br/> | ||
| + | 前項「力の場が保存的である必要十分条件」の(1)式とこの補題から、<br/> | ||
| + | 関数$U(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^n})$は、<br/> | ||
| + | 各質点に作用する万有引力$(\vec{F_G^1},\cdots,\vec{F_G^N})$の | ||
| + | ポテンシャル関数とみなせることが推察できる。<br/> | ||
| + | そこで次の定義を与える。<br/><br/> | ||
| + | |||
| + | 定義。N個の質点 $m_i$(i=1,,,N) のそれぞれに作用する力<br/> | ||
| + | $\vec{F^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})$ の集まり<br/> | ||
| + | $\{\vec{F^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})\}_{1}^{N}$が'''保存力'''とは、 | ||
| + | <br/> | ||
| + | $\vec{F_G^i}=-\frac{\partial U}{\partial \vec{r^i}}$<br/> | ||
| + | が成立するような連続的微分可能な関数<br/> | ||
| + | $U(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^n})$<br/> | ||
| + | が存在すること。<br/> | ||
| + | この時、関数$U$を、<br/> | ||
| + | $\{\vec{F^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})\}_{1}^{N}$ の | ||
| + | '''ポテンシャル関数'''と呼び、<br/> | ||
| + | 関数値$U(\vec{r^1},\vec{r^2},\cdots,\vec{r^N})$ を | ||
| + | 質点系のポテンシャルエネルギーと呼ぶ。 | ||
| + | <br/><br/> | ||
| + | |||
| + | =====力学的エネルギーの保存則 ===== | ||
| + | 定義；<br/> | ||
| + | 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和<br/> | ||
| + | $\sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2} \| \vec{v^i}(t) \|^2 | ||
| + | + U(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^N}(t))\qquad(7) $<br/> | ||
| + | を、質点系$m_i(i=1,2,,,N)$ の力学的エネルギーという。<br/><br/> | ||
| + | 定理；力学的エネルギーの変化量<br/> | ||
| + | 各質点$m_i$ に万有引力 $\vec{F_G^i}$ 以外に、外力 $\vec{f^i}$ が作用する時<br/> | ||
| + | これらの外力が時刻 $t_1$から $t_2$ の間になす仕事 $W_e=\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{f^i}(t)\cdot \vec{v^i}(t)$ は、質点系の力学的エネルギーの増加に等しい。<br/> | ||
| + | 式で書くと、<br/> | ||
| + | $W_e=\left(\sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2}\|\vec{r^i}(t_2)\|^2+U(\vec{r^1}(t_2),,, | ||
| + | \vec{r^N}(t_2)) \right)-\left( \sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2}\|\vec{r^i}(t_1)\|^2+U(\vec{r^1}(t_1),,,\vec{r^N}(t_1)) \right)\qquad (4)$<br/> | ||
| + | 証明；<br/> | ||
| + | 質点 $m_i$ に働く合力は $\vec{F^i}=\vec{F_G^i}+\vec{f^i}$なので、<br/> | ||
| + | 仕事・エネルギー定理より、<br/> | ||
| + | 力 $\vec{F^1},,,,\vec{F^N}$ が時刻 $t_1$ から $t_2$ までになす仕事<br/> | ||
| + | $W=\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{F^i}(t) \cdot \vec{v^i}(t)dt$ は<br/> | ||
| + | $W=\sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2} | ||
| + | \|\vec{v^i}(t_2)\|^2-\sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2}\|\vec{v^i}(t_1)\|^2 \qquad (5)$<br/> | ||
| + | 他方、<br/> | ||
| + | $W=\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{F^i}(t) \cdot \vec{v^i}(t)dt$ <br/> | ||
| + | $=\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{F_G^i}(t) \cdot \vec{v^i}(t)dt | ||
| + | +\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\vec{f^i}(t) \cdot \vec{v^i}(t)dt$ <br/> | ||
| + | 式(3)を代入して、<br/> | ||
| + | $=-\sum_{i=1}^{N}\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial U}{\partial \vec{r^i}}\cdot \vec{v^i}(t)dt +W_e$<br/> | ||
| + | ここで、<br/> | ||
| + | $\frac{dU(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^1}(t))}{dt} | ||
| + | =\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial U}{\partial \vec{r^i}}\cdot \vec{v^i}(t)$なので、 | ||
| + | <br/> | ||
| + | $=-\int_{t_1}^{t_2}\frac{dU(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^1}(t))}{dt}dt +W_e$<br/> | ||
| + | $=-[U(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^1}(t))]_{t_1}^{t_2}+W_e$<br/> | ||
| + | 故に、$W=-[U(\vec{r^1}(t),,,\vec{r^1}(t))]_{t_1}^{t_2}+W_e$<br/> | ||
| + | 式(5)を上式に代入して整頓すると、<br/> | ||
| + | $W_e=\left( | ||
| + | \sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2} \|\vec{v^i}(t_2)\|^2 | ||
| + | +U(\vec{r^1}(t_2),,,\vec{r^N}(t_2)) | ||
| + | \right) | ||
| + | -\left( | ||
| + | \sum_{i=1}^{N}\frac{m_i}{2}\|\vec{v^i}(t_1)\|^2 | ||
| + | +U(\vec{r^1}(t_1),,,\vec{r^N}(t_1)) | ||
| + | \right) \qquad (6)$<br/> | ||
| + | 証明終わり。<br/><br/> | ||
| + | |||
| + | 系；相互作用が保存力である質点系の力学的エネルギーは保存される。 | ||
| + | |||
| + | ==運動量と保存則== | ||
| + | |||
| + | ===運動量と力積 (momentum or linear momentum and Impulse) === | ||
| + | 質点に力$\vec{F}(t)$が作用しているとする。<br/> | ||
| + | 運動の第２法則$\vec{F}(t)=\frac{d\vec{p}(t)}{dt}$ の両辺を<br/> | ||
| + | 時間に関して$t_1$から $t_2$まで積分してみよう。ここで$\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)$は質点の運動量。<br/> | ||
| + | すると、<br/> | ||
| + | $\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)$<br/> | ||
| + | となる。<br/> | ||
| + | 質点に作用する力を時間で積分した$\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$を力積と呼ぶ。<br/> | ||
| + | 力積は、運動量の変化に等しい。 | ||
| + | |||
| + | *[[wikibooks_ja:高等学校理科 物理II 力と運動|ウィキブックス（高等学校理科 物理Ⅱ）]] の1.1.2 運動量と力積<br/> | ||
| + | 質点系の運動量は、質点系の各質点の運動量の和で定義する。<br/> | ||
| + | 質点系の場合も、各質点の力積の和(質点系の力積）は質点系の運動量の変化に等しいことが、<br/> | ||
| + | 運動の第２法則から導ける。 | ||
| + | ===運動量保存則=== | ||
| + | 質点の場合、それに作用する外力の総和が零ならば、運動量は保存される(一定である)。<br/> | ||
| + | 次のように質点系にも拡張できる。<br/> | ||
| + | '''運動量保存則'''( law of conservation of momentum )<br/> | ||
| + | 質点系に作用する外力のベクトル和が零ならば、<br/> | ||
| + | 内力(質点系内の質点間に働く力)があっても、<br/> | ||
| + | 運動量は保存される。<br/> | ||
| + | 証明；<br/> | ||
| + | 質点系の質点数をＮ個とする。<br/> | ||
| + | 質点系の各質点の位置を$\vec{r_i}$、質量を$m_i $とし、<br/> | ||
| + | 質点$m_i$ に作用する外力を$\vec{f_i}$、<br/> | ||
| + | $m_i$ に、質点系の他の質点$m_j $から作用する内力を<br/> | ||
| + | $\vec{f_{ij}}$とする($i,j=1 \ldots N$)。<br/> | ||
| + | すると、各質点に対して、運動の第２法則により、<br/> | ||
| + | $\frac{d\vec{p}_i(t)}{dt}=\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}} $ <br/> | ||
| + | 上の式を$i=1 \ldots N$について加え合わせると、<br/> | ||
| + | $\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} | ||
| + | =\sum_{i}(\vec{f_i}+\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}})$<br/> | ||
| + | $=\sum_{i}\vec{f_i}+\sum_{i}\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}}$<br/> | ||
| + | 外力のベクトル和が零という仮定から、<br/> | ||
| + | $=\sum_{i}\sum_{j\neq i}\vec{f_{ij}}$<br/> | ||
| + | $=\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})$<br/> | ||
| + | 上式の$\sum_{i<j}$は、すべての異なる$i<j$の組み合わせに関して和をとる意味である。<br/> | ||
| + | 作用反作用の法則により、$ \vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}}=0$()なので、<br/> | ||
| + | $\sum_{i<j}(\vec{f_{ij}}+\vec{f_{ji}})=0$<br/> | ||
| + | 故に、<br/> | ||
| + | $\frac{d}{dt} \sum_i{\vec{p}_i(t)} =0 $ <br/> | ||
| + | が得られる。<br/> | ||
| + | $\sum_i{\vec{p}_i(t)}$は時不変であり、保存される事が示された。<br/> | ||
| + | *[[wikipedia_ja:運動量保存の法則|ウィキペディア（運動量保存の法則）]] | ||
==運動量と保存則== | ==運動量と保存則== | ||
