物理/光と光波への補足

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( レンズの公式の証明)
(球面が一つの特殊レンズ)
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像の位置が容易に計算できる。<br/> 
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次の項で、このレンズを2枚組合わせて、通常の単レンズの解析ができることを示す。<br/> 
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=== 一般の球面単レンズ  ===
=== 一般の球面単レンズ  ===

2016年8月19日 (金) 08:14時点における版

目次

☆☆「4.3 光と光波」への補足

この節では、テキスト「4.3 光と光波」で、省略した2つの事柄について説明する。

一般の場合における光の反射と屈折時の位相変化 

 レンズの公式の証明

「4.3 光と光波」で説明したように、今後の解析においては、次の4つの約束事を仮定する。
(1)レンズの軸を水平になるように書く(x軸にとる)。
(2)物体(光源)とレンズ面との距離 $s_1$ は、物体がレンズの左側にある時、正とする。
(3)像のレンズとの距離 $s_2$ は、像がレンズの右側(光線の進行方向)にあるとき、正とする。
負のときは、レンズの左側、光源のある側に見える虚像を表す。
(4)球の表面の曲率半径 r とは、球の半径Rに正負の符号をつけたもの。
 球の中心が表面の右側にある時、正に定め(r=R)、
 球の中心が表面の左側にある時、負に定める(r= - R)。

球面が一つの特殊レンズ

単レンズは屈折面を二つ持ち複雑なので、
  最初に屈折面が一つの球面であるレンズから解析する。
  境界面により2つに分けられる片方の空間は媒質1で満たされ、光源がおかれる。他方の側はレンズを構成する透明な媒質で満たされる。
  このレンズでは、実像はレンズ内にできる。
屈折面が一つなので、スネルの法則を用いて、近軸光線による 像の位置が容易に計算できる。
  次の項で、このレンズを2枚組合わせて、通常の単レンズの解析ができることを示す。
  従って、この単純な解析がレンズの解析で、 決定的役割を果たすことが分かる。
  図参照。
 

ファイル:GENPHY00010405-01.jpg
図 屈折面が一つの球面レンズ

 
 

レンズ面の球の中心をC、半径をRとし、
レンズの軸と屈折面との交点をO'とする。
さらに光源側の媒質1での光速を $c_1$ ,レンズ内の媒質2の光速を、 $c_2$ とする。
命題1
  (1)光源とレンズ面との距離 $s_1$ と、
近軸光線による光源の像とレンズ面の距離 $s_2$ の間には,
次の関係がある。
$\frac{1}{s_1}+\frac{n}{s_2}=\frac{n-1}{r}\qquad \qquad (a)$
ここで、$n:=\frac{c_1}{c_2}$ とする。
(2)光源からの近軸光線が、レンズ内(レンズ面の正側)の軸上の点 $L_1$ に向かう場合には、
$L_1$ とレンズ面との距離に負の符号をつけたものを、 $s_1$ とおけば、
式(a) が成り立つ。

証明

一般の球面単レンズ

レンズの左側の面(光源側の面)に、命題1を適用すると、
点光源からの近軸光線の束がレンズ左面で屈折後、光軸上のどの点に向かう光線束になるかが分かる。
すると、レンズの右面による屈折で、光軸上のどの点に向かうかは、
再度命題1の後半の命題を適用すると求まる。
レンズの厚みによる誤差が無視できる場合には
  次の、球面単レンズの基本公式が得られる。

命題2(球面単レンズの基本公式)
レンズの厚みが小さく、厚さによる誤差が無視できるほど小さいときには、
レンズは次の諸性質を持つ。
(1)光軸上の点光源から出た、光軸に近いあらゆる光線(近軸光線)は、
  (球面)レンズで屈折し、レンズの光軸のある点に、ほぼ集まり、像を作るか、発散して虚像を作る。
光源とそれぞれの光線のレンズ面までの距離を $s_1$ 、
レンズ面から像までの距離 $s_2$ との間には、
  $\frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_2} = \frac{1}{f} \qquad \qquad (13)$
  という関係が成立つ。
  $\quad$ ここでfはレンズの焦点距離という。
(2)レンズの焦点距離fは、
レンズの屈折率n(=空中の光速/レンズ中の光速)、
レンズの左面(光源に面した面)の曲率半径 $r_1$と
レンズの右面(光源と反対側の面)の曲率半径 $r_2$ を用いて
$\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})\qquad \qquad (14)$ 
で表せる。
 
 

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