物理/物理数学(2) 多変数の解析学と常微分方程式
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2017年1月16日 (月) 10:31時点における版
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「9章 物理数学(2)多変数の解析学と常微分方程式」
この章では、多変数関数を対象にした解析学と常微分方程式について紹介する。
多変数の実数値関数の微分
Rn={(x1,x2,,,xn)∣xi∈R,i=1,2,⋯n} の開区間
In=∏ni=1(ai,bi)上で定義された実関数y=f(x1,x2,,,xn)を考える。
一変数関数の議論から類推するために
以後、x:=(x1,x2,,,xn)とおき、y=f(x)と書くこともある。
この上で定義された実数値関数y=f(x)=f(x1,x2,,,xn)の微分について説明する。
一変数の微分から類推すると
微小なベクトル h=(h1,h2,,,hn) を考え、極限
lim
が存在するとき、関数ｆは微分可能と定義することが考えられる。
しかし残念ながら、
{\bf h}はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
偏微分
そこで、f の変数 \bf x の第i成分 x_i だけを変数とし、
他の変数は固定 \left(x_j=x_{j,0}(j\neq i)\right) して得られる一変数関数
\phi^{i}(x_i)
:=f(\bf x), （ここで\quad x_j=x_{j,0}(j\neq i)）
を考える。
この関数は、一変数なので、その微分
\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }
を考えることができる。
定義（偏微分）
変数 \bf x の第i成分以外は、x_j=x_{j,0}(j\neq i) に固定する。
もし、\phi^i(x_i)=f(\bf x) が x_{i}=x_{i,0} で微分可能ならば、
関数ｆは、\bf x=(x_{1,0}, x_{2,0},,,x_{n,0}) において、x_i に関して偏微分可能のであると言い,
\frac{\partial f}{\partial x_i} :=\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}
を、f(\bf x) の \bf x=(x_{1,0},x_{2,0},,,x_{n,0} における、x_i に関する偏微分係数という。
定義（偏導関数）
R^n のある集合 G の内部の全ての点\bf xで
f(\bf x) が x_i に関して偏微分可能であるならば、
G の内部の全ての点\bf xに、そこでの x_i に関する偏微分係数を対応させると、新しい関数が得られる。
これを、f(\bf x) の x_i に関する偏導関数といい、記号
f_{x_[i]}(\bf x),\quad D_{x_i}f(\bf x),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\bf x),\quad \partial f/\partial x_i
などで表示する。
定理（合成関数の微分）
R^2 から R への関数f(x,y) と
R から R への関数g(x,y) の合成関数
h(x,y)=g(f(x,y)
を考える。
もし、f(x,y) が (x_0,y_0) で、ｘに関して偏微分可能で,
\quad g(x,y) が、z_0=f(x_0,y_0) において微分可能ならば、
h(x,y)=g(f(x,y) は (x_0,y_0) で、ｘに関して偏微分可能であり,
方向微分
微分(全微分）
定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数
定理１；
微分可能ならば、偏微分可能
定理２
C^{1}級の関数は微分可能
ベクトル解析
常微分方程式
=
多変数の実数値関数の微分
{\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\} の開区間
I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)上で定義された実関数y=f(x_1,x_2,,,x_n)を考える。
一変数関数の議論から類推するために
以後、{\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)とおき、y=f({\bf x})と書くこともある。
この上で定義された実数値関数y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)の微分について説明する。
一変数の微分から類推すると
微小なベクトル h=(h_1,h_2,,,h_n) を考え、極限
\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }
が存在するとき、関数ｆは微分可能と定義することが考えられる。
しかし残念ながら、
{\bf h}はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。
偏微分
そこで、f の変数 \bf x の第i成分 x_i だけを変数とし、
他の変数は固定 \left(x_j=x_{j,0}(j\neq i)\right) して得られる一変数関数
\phi^{i}(x_i)
:=f(\bf x), （ここで\quad x_j=x_{j,0}(j\neq i)）
を考える。
この関数は、一変数なので、その微分
\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }
を考えることができる。
定義（偏微分）
変数 \bf x の第i成分以外は、x_j=x_{j,0}(j\neq i) に固定する。
もし、\phi^i(x_i)=f(\bf x) が x_{i}=x_{i,0} で微分可能ならば、
関数ｆは、\bf x=(x_{1,0}, x_{2,0},,,x_{n,0}) において、x_i に関して偏微分可能のであると言い,
\frac{\partial f}{\partial x_i} :=\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}
を、f(\bf x) の \bf x=(x_{1,0},x_{2,0},,,x_{n,0} における、x_i に関する偏微分係数という。
定義（偏導関数）
R^n のある集合 G の内部の全ての点\bf xで
f(\bf x) が x_i に関して偏微分可能であるならば、
G の内部の全ての点\bf xに、そこでの x_i に関する偏微分係数を対応させると、新しい関数が得られる。
これを、f(\bf x) の x_i に関する偏導関数といい、記号
f_{x_[i]}(\bf x),\quad D_{x_i}f(\bf x),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\bf x),\quad \partial f/\partial x_i
などで表示する。
定理（合成関数の微分）
R^2 から R への関数f(x,y) と
R から R への関数g(x,y) の合成関数
h(x,y)=g(f(x,y)
を考える。
もし、f(x,y) が (x_0,y_0) で、ｘに関して偏微分可能で,
\quad g(x,y) が、z_0=f(x_0,y_0) において微分可能ならば、
h(x,y)=g(f(x,y) は (x_0,y_0) で、ｘに関して偏微分可能であり,
方向微分
微分(全微分）
定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数
定理１；
微分可能ならば、偏微分可能
定理２
C^{1}級の関数は微分可能
