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2017年10月9日 (月) 16:00時点における版

「9.1　多変数解析学」　

多変数の実数値関数の微分

${\bf R^n}=\{(x_1,x_2,,,x_n) \mid x_i\in{\bf R},i=1,2,\cdots n\}$ の開区間
$I^n=\prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)$上で定義された実関数$y=f(x_1,x_2,,,x_n)$を考える。
一変数関数の議論から類推するために
以後、${\bf x}:=(x_1,x_2,,,x_n)$とおき、$y=f({\bf x})$と書くこともある。
$I^n \,$上で定義された実数値関数$\ y=f({\bf x})=f(x_1,x_2,,,x_n)\,$の微分について説明する。
一変数の微分から類推すると
微小なベクトル　$h=(h_1,h_2,,,h_n)$　を考え、極限
$\lim_{{\bf h} \to 0,{\bf h}\neq 0}\frac{f({\bf s}+{\bf h})-f({\bf s})}{{\bf h} }$
が存在するとき、関数ｆは微分可能と定義することが考えられる。
しかし残念ながら、
${\bf h}$はｎ次元ベクトルなので、割り算は不可能でありこの定義は無効である。

偏微分

そこで、$f$　の変数　$\bf x$　の第i成分　$x_i$　だけを変数とし、
他の変数は固定　$\Bigl(x_j=x_{j,0}\ (j\neq i)\, \Bigr)$　して得られる一変数関数
$\phi^{i}(x_i)$ $\triangleq f(\bf x) \quad ここで\ \Bigl(\ x_j=x_{j,0}\, (j\neq i)\ \Bigr)$
を考える。
この関数は、一変数なので、その微分　
$\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}:=\lim_{{ h} \to 0, h\neq 0}\frac{\phi^i(x_i+h)-\phi^i(x_i)}{{\bf h} }$
　
を考えることができる。

定義（偏微分）
変数　$\bf x$　の第i成分以外は、$x_j=x_{j,0}(j\neq i)$ 　に固定する。
もし、$\phi^i(x_i)=f(\bf x)$　が　$x_{i}=x_{i,0}$　で微分可能ならば、
関数ｆは、$\bf x=(x_{1,0}, x_{2,0},,,x_{n,0})$　において、$x_i$　に関して偏微分可能のであると言い,
$\frac{\partial f}{\partial x_i} :=\frac{d\phi^i(x_i)}{dx_i}$
を、$f(\bf x)$　の　$\bf x=(x_{1,0},x_{2,0},,,x_{n,0}$　における、$x_i$ 　に関する偏微分係数という。

定義（偏導関数）
$R^n$　のある集合　$G$　の内部の全ての点$\bf x$で
$f(\bf x)$ 　が　$x_i$　に関して偏微分可能であるならば、
$G$　の内部の全ての点$\bf x$に、そこでの　$x_i$　に関する偏微分係数を対応させると、新しい関数が得られる。
これを、$f(\bf x)$ 　の　$x_i$　に関する偏導関数といい、記号
$f_{x_[i]}(\bf x),\quad D_{x_i}f(\bf x),\quad \frac{\partial f}{\partial x_i} (\bf x),\quad \partial f/\partial x_i$
などで表示する。

• ウィキペディア(偏微分)

定理（合成関数の微分）
$R^2$　から　$R$　への関数$f(x,y)$　と
$R$　から　$R$　への関数$g(x,y)$　の合成関数　
$h(x,y)=g(f(x,y)$　
を考える。
もし、$f(x,y)$　が　$(x_0,y_0)$　で、ｘに関して偏微分可能で,
$\quad g(x,y)$　が、$z_0=f(x_0,y_0)$　において微分可能ならば、
$h(x,y)=g(f(x,y)$　は　$(x_0,y_0)$　で、ｘに関して偏微分可能であり,

方向微分

微分(全微分）　

定義１；微分可能(全微分可能ともいう）、導値(微分係数）、導関数
定理１；
微分可能ならば、偏微分可能

定理２
$C^{1}$級の関数は微分可能