提供: Internet Web School

2018年4月22日 (日) 10:55時点における版

　「　8.4　解析入門（３）関数列の項別の積分・微分、 級数・冪級数及び可微分関数のテイラー展開

　序

　関数列・関数族の項別積分と項別微分

　関数列の各点収束　

　関数列の一様収束　

　関数の一様ノルム

定義（有界関数と一様ノルム）
集合$A$上で定義され、$\bf{R^m}$の値をとる関数$f$を考える。
１）関数$f$が有界とは、
$f$の値域$\{f(a)|a \in A \}(\subset \bf{R^m})$が$\bf{R^m}$の有界集合であること。
すなわち、ある正数Mが存在し、$\|f(a)\| \lt M \quad (for \forall a \in A)$。（注参照）
２）有界関数$f$の一様ノルム$\|f\|_{\infty}$とは
$\|f\|_{\infty} \triangleq \sup_{a \in A}\| f(a)\|$
(注) m次元ベクトルのノルムとしては通常はユークリッドノルム（２乗ノルム)を用いるが、
p乗ノルム（$p \geq 1$)や無限大ノルムでも良い。
一般のノルムの定義とノルムの同等性を参照のこと。

定義（一様コーシー列）

定義
集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数の列 $(f_{n})_{n\in N}$が
この関数列が $A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数$f$ に一様収束するとは、
$\lim_{n \to \infty}\|f-f_n\|_{\infty} = 0 定理 n次元空間の部分集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の連続関数の列が一様コーシー列をなすならば、連続関数に一様収束する。 ===　項別積分定理　　=== ===　項別微分定理　　=== ==　級数と収束 == === 無限級数の収束性 === ====　条件収束と絶対収束 ==== ====　収束条件　==== =====　正項級数の収束条件　===== == 整級数（幕級数）　== ===　整級数と収束　　=== ====　項別微分定理　　==== ====　整級数の微分可能性　　==== == 高階微分微分可能関数の整級数近似（テイラー展開） == 微分可能な関数$f(x)$の導関数$f'(x) (あるいは\frac{df(x)}{dx})$が微分可能ならば、 その導関数$(f')'(x) (あるいは\frac{d^{2}f(x)}{dx^2})$が考えられる。 これをｆの2階の導関数という。 例えば、変数ｔの関数$f(t)$ が時刻ｔの質点の位置とすると、
その導関数は速度、2階導関数は加速度を表すことを第2章の力学で学んだ。
さらに高階の微分が可能な関数を考え、その性質を考察しよう。

　テイラー展開とテイラーの定理

テイラー展開、テイラー級数についての入門書は

• 解析学基礎/テイラー級数（ウィキブックス）

より高度なテイラーの定理などは以下の記事を。但し証明はない。

• ウィキペディア(テイラー展開)
• ウィキペディア(テイラーの定理)

そこでテイラーの定理について説明する。

　テイラーの定理　 RT