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	===　関数列の一様収束　===		===　関数列の一様収束　===
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-	定義（有界関数と一様ノルム）<br/>	+	定義１（有界関数と一様ノルム）<br/>
	集合$A$上で定義され、$\bf{R^m}$の値をとる関数$f$を考える。<br/>		集合$A$上で定義され、$\bf{R^m}$の値をとる関数$f$を考える。<br/>
	１）関数$f$が有界とは、<br/>		１）関数$f$が有界とは、<br/>
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	p乗ノルム（$p \geq 1$)や無限大ノルムでも良い。<br/>		p乗ノルム（$p \geq 1$)や無限大ノルムでも良い。<br/>
	[[物理/平面と空間,ベクトル#一般のノルムの定義とノルムの同等性|一般のノルムの定義とノルムの同等性]]を参照のこと。<br/><br/>		[[物理/平面と空間,ベクトル#一般のノルムの定義とノルムの同等性|一般のノルムの定義とノルムの同等性]]を参照のこと。<br/><br/>
-	定義（一様コーシー列）<br/>	+	定義２（一様コーシー列）<br/>
-		+
-		+	定義３（一様収束）<br/>
-	定義<br/>	+
	集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数の列 $(f_{n})_{n\in N}$が<br/>		集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数の列 $(f_{n})_{n\in N}$が<br/>
	$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数$f$ に一様収束するとは、<br/>		$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数$f$ に一様収束するとは、<br/>
	$\lim_{n \to \infty}\|f-f_n\|_{\infty} = 0$ <br/><br/>		$\lim_{n \to \infty}\|f-f_n\|_{\infty} = 0$ <br/><br/>
-	定理<br/>	+
		+
		+	定理１<br/>
		+	集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数の列 $(f_{n})_{n\in N}$が<br/>
		+	$A$上で関数$f$ に一様収束するするならば、各点収束する。<br/>
		+
		+	定理２<br/>
	n次元空間の部分集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の連続関数の列が一様コーシー列をなすならば、連続関数に一様収束する。<br/>		n次元空間の部分集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の連続関数の列が一様コーシー列をなすならば、連続関数に一様収束する。<br/>
		+	定理３<br/>
		+	n次元空間の部分集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の連続関数の列が、関数$f$に一様収束するならば、関数$f$は連続関数である。<br/>
		+
		+	定理１の逆は一般に成立しないが、いくつかの条件を付ければ成立する。<br/>
		+	定理３（ディニの定理）<br/>
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	===　項別積分定理　　===		===　項別積分定理　　===

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2018年4月22日 (日) 15:35時点における版

目次 [非表示] 1 　「　8.4　解析入門（３）関数列の項別の積分・微分、 級数・冪級数及び可微分関数のテイラー展開 1.1 　序 1.2 　関数列・関数族の項別積分と項別微分 1.2.1 　関数列の各点収束　 1.2.2 　関数列の一様収束　 1.2.2.1 　関数の一様ノルム 1.2.3 　項別積分定理　　 1.2.4 　項別微分定理　　 1.3 　級数と収束 1.3.1 無限級数の収束性 1.3.1.1 　条件収束と絶対収束 1.3.1.2 　収束条件　 1.3.1.2.1 　正項級数の収束条件　 1.4 整級数（幕級数）　 1.4.1 　整級数と収束　　 1.4.1.1 　項別微分定理　　 1.4.1.2 　整級数の微分可能性　　 1.5 高階微分微分可能関数の整級数近似（テイラー展開） 1.5.1 　テイラー展開とテイラーの定理 1.5.2 　テイラーの定理　 RT

　「　8.4　解析入門（３）関数列の項別の積分・微分、 級数・冪級数及び可微分関数のテイラー展開

　序

　関数列・関数族の項別積分と項別微分

　関数列の各点収束　

　関数列の一様収束　

　関数の一様ノルム

定義１（有界関数と一様ノルム）
集合$A$上で定義され、$\bf{R^m}$の値をとる関数$f$を考える。
１）関数$f$が有界とは、
$f$の値域$\{f(a)|a \in A \}(\subset \bf{R^m})$が$\bf{R^m}$の有界集合であること。
すなわち、ある正数Mが存在し、$\|f(a)\| \lt M \quad (for \forall a \in A)$。（注参照）
２）有界関数$f$の一様ノルム$\|f\|_{\infty}$とは
$\|f\|_{\infty} \triangleq \sup_{a \in A}\| f(a)\|$
(注) m次元ベクトルのノルムとしては通常はユークリッドノルム（２乗ノルム)を用いるが、
p乗ノルム（$p \geq 1$)や無限大ノルムでも良い。
一般のノルムの定義とノルムの同等性を参照のこと。

定義２（一様コーシー列）

定義３（一様収束）
集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数の列 $(f_{n})_{n\in N}$が
$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数$f$ に一様収束するとは、
$\lim_{n \to \infty}\|f-f_n\|_{\infty} = 0$

定理１
集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数の列 $(f_{n})_{n\in N}$が
$A$上で関数$f$ に一様収束するするならば、各点収束する。

定理２
n次元空間の部分集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の連続関数の列が一様コーシー列をなすならば、連続関数に一様収束する。
定理３
n次元空間の部分集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の連続関数の列が、関数$f$に一様収束するならば、関数$f$は連続関数である。

定理１の逆は一般に成立しないが、いくつかの条件を付ければ成立する。
定理３（ディニの定理）

　項別積分定理　　

　項別微分定理　　

　級数と収束

無限級数の収束性

　条件収束と絶対収束

　収束条件　

　正項級数の収束条件　

整級数（幕級数）　

　整級数と収束　　

　項別微分定理　　

　整級数の微分可能性　　

高階微分微分可能関数の整級数近似（テイラー展開）

微分可能な関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x) (あるいは\frac{df(x)}{dx})$ が微分可能ならば、
その導関数　$(f')'(x) (あるいは\frac{d^{2}f(x)}{dx^2})$ が考えられる。
これをｆの2階の導関数という。
例えば、変数ｔの関数 $f(t)$ が時刻ｔの質点の位置とすると、
その導関数は速度、2階導関数は加速度を表すことを第2章の力学で学んだ。
さらに高階の微分が可能な関数を考え、その性質を考察しよう。

　テイラー展開とテイラーの定理

テイラー展開、テイラー級数についての入門書は

• 解析学基礎/テイラー級数（ウィキブックス）

より高度なテイラーの定理などは以下の記事を。但し証明はない。

• ウィキペディア(テイラー展開)
• ウィキペディア(テイラーの定理)

そこでテイラーの定理について説明する。

　テイラーの定理　 RT