物理/解析入門（３）関数列の項別の積分・微分、 級数・冪級数及び可微分関数のテイラー展開

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2018年4月23日 (月) 02:06時点における版

　関数列・関数族の項別積分と項別微分

　関数列の各点収束　

定義１（各点収束）
集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数の列 $(f_{n})_{n\in N}$が
$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数$f$ に各点収束するとは、
任意の$x \in A$に対して、$\bf{R^m}$の中の数列$(f_{n}(x))_{n\in N}$が$f(x)$に収束すること。
すなわち、
$(\forall x)(x \in A \rightarrow \lim_{n \to \infty}\|f(x)-f_n(x)\|_{\infty} = 0$ （注参照）

(注) m次元ベクトルのノルムとしては通常はユークリッドノルム（２乗ノルム)を用いるが、
p乗ノルム（$p \geq 1$)や無限大ノルムでも良い。
一般のノルムの定義とノルムの同等性を参照のこと。

　関数列の一様収束　

　関数の一様ノルム

定義２（有界関数と一様ノルム）
集合$A$上で定義され、$\bf{R^m}$の値をとる関数$f$を考える。
１）関数$f$が有界とは、
$f$の値域$\{f(a)|a \in A \}(\subset \bf{R^m})$が$\bf{R^m}$の有界集合であること。
すなわち、ある正数Mが存在し、$\|f(a)\| \lt M \quad (for \forall a \in A)$。
２）有界関数$f$の一様ノルム$\|f\|_{\infty}$とは
$\|f\|_{\infty} \triangleq \sup_{a \in A}\| f(a)\|$

定義３（一様コーシー列）

定義４（一様収束）
集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数の列 $(f_{n})_{n\in N}$が
$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数$f$ に一様収束するとは、
$\lim_{n \to \infty}\|f-f_n\|_{\infty} = 0$

定理１
集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の関数の列 $(f_{n})_{n\in N}$が
$A$上で関数$f$ に一様収束するするならば、各点収束する。

定理２
n次元空間の部分集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の連続関数の列が一様コーシー列をなすならば、連続関数に一様収束する。
定理３
n次元空間の部分集合$A$上で定義された$\bf{R^m}$値の連続関数の列が、関数$f$に一様収束するならば、関数$f$は連続関数である。

定理１の逆は一般に成立しないが、いくつかの条件を付ければ成立する。
その準備のために、コンパクト集合について説明する。

　コンパクト集合

定理４（ハイネ、ボレルの定理）
$I = [a,b],\quad (a \leq b)$を有界な閉区間とする。
もし、開区間の集合$\mathcal{O} = \{ I_{\alpha}=(a_{\alpha},b_{\alpha})|\alpha \in \Lambda \}$が、有界閉区間Iを被覆するならば、
(すなわち、$\cup_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha}\supset I$ならば)
$\mathcal{O}$　のなかに
$I$　を被覆する有限個の開集合の族$\mathcal{O_{f}}=\{ I_{\alpha_{i}}|\alpha_{i} \in \Lambda ,i=1,2,\cdots,n)$が存在する。すなわち、
$\cup_{i=1}^{n}I_{\alpha_{i}}\supset I$　
証明
$a = b$ ならば、定理は自明なので、$a \lt b$　と仮定して証明する。
次のような、$I$　の中の部分集合$M$を考える。
$M = \{x \in I | [a,x]が有限個の部分被覆\mathcal{O_{f}}を持つ \}$
$a \in M$ は自明、
Mは非空で上に有界な集合なので、実数の連続性の公理から、上限$m (\in I)$をもつ。
$m \gt a$　は自明である。
1)　$m = b$ のとき
$\mathcal{O}$は区間Iを被覆するので、ある開区間$I_{m}(\in \mathcal{O})$が存在して、
$m \in I_{m}$
$m$は集合Mの上限なので、
ある数$\underline{m}\lt m,\quad \underline{m}\in I_{m}$が存在して
$[a,\underline{m}]$は有限部分被覆をもつ。
この有限部分被覆に$I_{m}$を加えた、$\mathcal{O}$　の有限部分集合族は 区間Iを被覆する。
２）$m \lt b$ と仮定する。この時矛盾が生じることを示す。
$a \lt m \lt b$ となるので、
ある正数 $\epsilon$が存在して、
$(m-\epsilon, m+\epsilon )\subset [a,b] \cap I_{m}$
正数$\delta \lt \epsilon$　を選べば、
$[m-\delta, m+\delta] \subset (m-\epsilon, m+\epsilon )\subset [a,b] \cap I_{m}$
$m$は集合Mの上限なので、半開、半閉区間　$(m-\delta, m]$の中にある点　$\underline{m}$が存在して、
閉区間$[a,\underline{m}]$は有限個の部分被覆$\mathcal{O_{f}}$をもつ。
すると、$\mathcal{O_{f}}$に$I_{m}$を加えた有限部分集合族は閉区間$[a,m]$を被覆する。
式(a)から、この部分被覆は
$[a, m+\delta]$を被覆してしまう。
これは、m が有限部分被覆できる閉区間$[a,x]$の右端xの上限値であることに矛盾する。
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Box$

　点列コンパクト集合　

　☆☆　コンパクト集合　

定理３（ディニの定理）

　項別積分定理　　

　項別微分定理