線形計画法(生産計画)

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'''生産計画'''
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[[メディア:Example.ogg]]線形計画法は
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[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E8%A8%88%E7%94%BB%E6%B3%95 線形計画法]
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（Wikipedia）に説明がある.
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ある製造会社があって, <math>x</math>と<math>y</math>という２種類の製品の製造販売をしている.
+
解法には
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これらを製造するには, 原材料<math>A</math>，<math>B</math>，<math>C</math>が必要で, <math>x</math>, <math>y</math>をそれぞれ1単位当
+
 
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[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E6%B3%95 シンプレックス法]（Wikipedia）や[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%82%B9%E6%B3%95 内点法]（Wikipedia）がある.
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シンプレクス法は[https://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lecture/SE/opt/linear/linear.htm#1.2 [菅沼]]の解説が判りやすい．
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ここでは2つの例を用いて説明する.　Microsoft　Excel　のソルバーを用いた解法例も説明する.
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==生産計画==
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例題1
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ある製造会社があって, $x$ と $y$ という２種類の製品の製造販売をしている.
 +
これらを製造するには, 原材料$A$，$B$，$C$が必要で, $x$, $y$をそれぞれ1単位当
たり造るのに必要な量と, 使用できる在庫量が下の表のように決まっている．
たり造るのに必要な量と, 使用できる在庫量が下の表のように決まっている．
-
<math>
+
 
-
\begin{center}
+
 
-
\begin{tabular}{cccc}
+
 
-
  & x & y & (在庫量) \\
+
{| border="3" class="wikitable" style="text-align: center; "
-
A & 10 & 20 & 400 \\
+
|原材料＼製品
-
B & 20 & 10 & 600 \\
+
|x  
-
C & 15 & 40 & 1300  
+
|y
-
\end{tabular}
+
|在庫量
-
\end{center}
+
|-
-
</math>
+
||A  
-
<math>x</math>, <math>y</math>を販売するとそれぞれ1単位当たり２万円, 1万円の利益が得られる.
+
|10
-
問題は, 表の在庫量の範囲で, <math>x</math>と<math>y</math>をそれぞれ何単位ずつ造れば利益が最大に
+
|20
 +
|400
 +
|-
 +
||B
 +
|20
 +
|10
 +
|600
 +
|-
 +
||C
 +
|15
 +
|40
 +
|1300
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
$x$, $y$を販売するとそれぞれ1単位当たり２万円, 1万円の利益が得られる.
 +
問題は, 表の在庫量の範囲で, $x$と$y$をそれぞれ何単位ずつ造れば利益が最大に
なるかである。
なるかである。
-
これを数式化すると, <math>x</math>, <math>y</math>の製造量を<math>x</math>, <math>y</math>で表すとして：
 
-
原材料<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>についての制約から
+
===線形計画法(1)===
 +
 
 +
これを数式化すると, $x$, $y$の製造量を$x$, $y$で表すとして：
 +
 
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原材料$A$, $B$, $C$についての制約から
-
<math>
+
$
-
  10x+10y\leq 400  \qquad (1) \\
+
  10x+20y\leq 400  \qquad (1) \\
  20x+10y\leq 600  \qquad (2) \\
  20x+10y\leq 600  \qquad (2) \\
  15x+40y\leq 1300 \qquad (3)  
  15x+40y\leq 1300 \qquad (3)  
-
</math>
+
$
負の生産量はないのであるから  
負の生産量はないのであるから  
-
<math>
+
$
  0\leq x \qquad (4) \\
  0\leq x \qquad (4) \\
  0\leq y \qquad (5) \\
  0\leq y \qquad (5) \\
-
</math>
+
$
利益は   
利益は   
-
<math>
+
$
f(x,y)=2x+y \qquad (6)
f(x,y)=2x+y \qquad (6)
-
</math>
+
$
-
で結局, (6)を<math>(1)\sim (5)</math>の条件のもとで最大にすることになる。
+
で結局, (6)を$(1)\sim (5)$の条件のもとで最大にすることになる。
-
下の図は関数<math>f(x,y)=2x+y</math>の図である。
+
下の図は関数$f(x,y)=2x+y$の図である。
 +
(図1.0)[[ファイル:Fig1.0.gif|400px]]
-
\vspace{5cm}
+
条件$(1)\sim (5)$を充たす点$P=(x,y)$は
-
\par 
+
-
(図1.0)\\
+
-
 
+
-
条件<math>(1)\sim (5)</math>を充たす点<math>P=(x,y)</math>は
+
下のような,凸多角形の境界線も含めた内部にある。
下のような,凸多角形の境界線も含めた内部にある。
-
(図1.1)\\
+
(図1.1)[[ファイル:Fig1.1.gif|400px]]
この凸多角形の頂点を
この凸多角形の頂点を
-
<math>
+
$
P_0=(x_0,y_0),P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2),P_3=(x_3,y_3),P_4=(x_4,y_4)
P_0=(x_0,y_0),P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2),P_3=(x_3,y_3),P_4=(x_4,y_4)
-
</math>
+
$
とすると,
とすると,
-
内部の点<math>P=(x,y)</math>はこれらの頂点<math>P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4</math>によって
+
内部の点$P=(x,y)$はこれらの頂点$P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4$によって
-
<math>
+
 
 +
$
(1) \qquad P=\lambda_0 P_0 + \lambda_1 P_1+\lambda_2 P_2+\lambda_3 P_3+\lambda_4 P_4 \\
(1) \qquad P=\lambda_0 P_0 + \lambda_1 P_1+\lambda_2 P_2+\lambda_3 P_3+\lambda_4 P_4 \\
(2) \qquad \lambda_0  + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4 =1 \\
(2) \qquad \lambda_0  + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4 =1 \\
(3) \qquad 0 \le \lambda_0 \le 1,~~0 \le \lambda_1 \le 1,~~2 \le \lambda_2 \le 1,
(3) \qquad 0 \le \lambda_0 \le 1,~~0 \le \lambda_1 \le 1,~~2 \le \lambda_2 \le 1,
0 \le \lambda_3 \le 1,~~0 \le \lambda_4 \le 1
0 \le \lambda_3 \le 1,~~0 \le \lambda_4 \le 1
-
</math>
+
$
 +
 
-
で表される。これを<math>P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4</math>の凸結合という．
+
で表される。これを$P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4$の凸結合という．
-
<math>
+
$
  f(x,y)=2x+y \qquad (6)
  f(x,y)=2x+y \qquad (6)
-
</math>
+
$
には「線形性」が成り立っている.
には「線形性」が成り立っている.
これは
これは
-
<math>
+
$
P=(x,y),Q=(x',y')   
P=(x,y),Q=(x',y')   
-
</math>
+
$
-
と<math>\alpha,\beta</math>について,
+
と$\alpha,\beta$について,
-
<math>
+
$
-
f(\alpha P+ \beta Q)=f(\alpha (x,y)+\beta (x',y')
+
f(\alpha P+ \beta Q)=f(\alpha (x,y)+\beta (x',y'))
=\alpha f(x,y)+\beta f(x',y')=\alpha f(P)+\beta f(Q)
=\alpha f(x,y)+\beta f(x',y')=\alpha f(P)+\beta f(Q)
-
</math>
+
$
という性質である。この線形性を使うと,以下の議論ができる。
という性質である。この線形性を使うと,以下の議論ができる。
-
まず各頂点での関数<math>f</math>の値
 
-
<math>
+
まず各頂点での関数$f$の値
 +
 
 +
$
f(P_i)=f(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4
f(P_i)=f(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4
-
</math>
+
$
-
のうち最大値を<math>f(P_*)=f(x_*,y_*)</math>とする.
+
のうち最大値を$f(P_*)=f(x_*,y_*)$とする.
-
凸多角形の内の任意の点<math>P=(x,y)</math>に対する<math>f(P)=f(x,y)</math>は
+
凸多角形の内の任意の点$P=(x,y)$に対する$f(P)=f(x,y)$は
-
<math>P</math>が<math>P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4</math>
+
$P$が$P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4$
の凸結合で表されることから
の凸結合で表されることから
-
<math> f(P)=f(\lambda_0 P_0 + \lambda_1 P_1+\lambda_2 P_2+\lambda_3 P_3+\lambda_4 P_4)</math>
+
$ f(P)=f(\lambda_0 P_0 + \lambda_1 P_1+\lambda_2 P_2+\lambda_3 P_3+\lambda_4 P_4)$
-
さらに<math>f</math>の線形性から
+
さらに$f$の線形性から
-
<math>
+
$
右辺=\lambda_0 f(x_0,y_0) + \lambda_1 f(x_1,y_1)
右辺=\lambda_0 f(x_0,y_0) + \lambda_1 f(x_1,y_1)
+\lambda_2 f(x_2,y_2)+\lambda_3 f(x_3,y_3)+\lambda_4f(x_4,y_4) （ｆの線形性）  
+\lambda_2 f(x_2,y_2)+\lambda_3 f(x_3,y_3)+\lambda_4f(x_4,y_4) （ｆの線形性）  
-
</math>
+
$
-
<math>f(P_*)=f(x_*,y_*)</math>が最大で,(3)のように各<math>\lambda_i</math>は正の数(<math>1 \ge  
+
$f(P_*)=f(x_*,y_*)$が最大で,(3)のように各$\lambda_i$は正の数($1 \ge  
-
\lambda_i \ge 0</math>)であるから,
+
\lambda_i \ge 0$)であるから,
-
<math>
+
$
右辺\le (\lambda_0  + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4)f(x_*,y_*)\\
右辺\le (\lambda_0  + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4)f(x_*,y_*)\\
-
</math>
+
$
さらに,(2)から
さらに,(2)から
-
<math>
+
$
\lambda_0  + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4= 1
\lambda_0  + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4= 1
-
</math>
+
$
で
で
-
<math>
+
$
f(P)=f(x,y) \le  f(x_*,y_*)=f(P_*)
f(P)=f(x,y) \le  f(x_*,y_*)=f(P_*)
-
</math>
+
$
-
となる。結局,関数<math>f</math>の制約条件を表す凸多角形の内部(境界を含む)の点全てを調べる必要がなく、
+
となる。結局,関数$f$の制約条件を表す凸多角形の内部(境界を含む)の点全てを調べる必要がなく、
-
頂点での関数<math>f</math>の値を調べれば良いことが判る．
+
頂点での関数$f$の値を調べれば良いことが判る．
-
(図1.2)
+
(図1.2)[[ファイル:Fig1.2.gif|400px]]
 +
 
 +
$(1)\sim(5) $式のように変数に関する制約条件式が1次式で与えられ,
 +
$(6)$式のように評価関数も1次式で与えられる問題は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E8%A8%88%E7%94%BB%E6%B3%95 線形計画法]と呼ばれる.
線形化計画法の代表的な解法であるシンプレクス法は,制約条件を表す凸多角形の頂点での
線形化計画法の代表的な解法であるシンプレクス法は,制約条件を表す凸多角形の頂点での
-
関数<math>f</math>の値を効率的に調べる方法である。
+
関数$f$の値を効率的に調べる方法である。
-
適当な,頂点から始め,関数<math>f</math>の値が増大する頂点へ次々移動して,最大解を探す．
+
適当な,頂点から始め,関数$f$の値が増大する頂点へ次々移動して,最大解を探す．
この他に,凸多角形の内部の点から,最大解を与える頂点を探索する内点法もある。
この他に,凸多角形の内部の点から,最大解を与える頂点を探索する内点法もある。
 +
===線形計画法(2)===
-
 
+
例題2
-
 
+
ある企業では製品A,B,Cを原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ用いて生産している.　製品A,B,C の1単位当たり利益をそれぞれ80,110,95とする．
ある企業では製品A,B,Cを原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ用いて生産している.　製品A,B,C の1単位当たり利益をそれぞれ80,110,95とする．
157 行: 193 行:
これらの条件のもとに,利益を最大にするには製品A,B,Cをそれぞれ,どれだけ生産すれば良いか?.
これらの条件のもとに,利益を最大にするには製品A,B,Cをそれぞれ,どれだけ生産すれば良いか?.
 +
{| border="3" class="wikitable" style="text-align: center; "
 +
|原材＼製品名
 +
|A
 +
|B
 +
|C
 +
|使用できる上限
 +
|-
 +
|Ⅰ
 +
|4
 +
|0
 +
|7
 +
|90
 +
|-
 +
|Ⅱ
 +
|1
 +
|3
 +
|9
 +
|60
 +
|-
 +
|Ⅲ
 +
|6
 +
|0
 +
|14
 +
|110
 +
|-
 +
|Ⅳ
 +
|4
 +
|10
 +
|1
 +
|75
 +
|}
-
この問題は以下のように数学的に定式化される．
 
-
'''線形計画法'''
+
この問題も例題1と同じように以下のように数学的に定式化される．
 +
製品A,B,Cをそれぞれ$x_1,x_2,x_3$ 単位生産するとき$x_1,x_2,x_3$は以下の不等式を満たす.
-
製品A,B,Cをそれぞれ<math>x_1,x_2,x_3</math> 単位生産するとき<math>x_1,x_2,x_3</math>は以下の不等式を満たす.
+
$
-
 
+
-
<math>
+
4x_1+0x_2+7x_3 \leq  90 \\
4x_1+0x_2+7x_3 \leq  90 \\
1x_1+3x_2+9x_3 \leq  60 \\
1x_1+3x_2+9x_3 \leq  60 \\
6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\
6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\
4x_1+10x_2+1x_3 \leq    75　\qquad (1)
4x_1+10x_2+1x_3 \leq    75　\qquad (1)
-
</math>
+
$
さらに各製品生産量は負ではないから
さらに各製品生産量は負ではないから
-
<math>
+
$
0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3 \qquad (2)　
0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3 \qquad (2)　
-
</math>
+
$
この制約条件のもとに
この制約条件のもとに
-
<math>
+
$
L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 \qquad (3)　　
L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 \qquad (3)　　
-
</math>
+
$
-
を最大にする<math>x_1,x_2, x_3</math>を求めよ.
+
を最大にする$x_1,x_2, x_3$を求めよ.
-
<math>(1)</math>式のように変数に関する制約条件式が1次式で与えられ,
 
-
<math>(3)</math>式のように評価関数も1次式で与えられる問題は[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E8%A8%88%E7%94%BB%E6%B3%95 線形計画法]と呼ばれる.
 
この問題の解法には[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E6%B3%95 シンプレックス法]や[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%82%B9%E6%B3%95 内点法]がある.
この問題の解法には[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E6%B3%95 シンプレックス法]や[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%82%B9%E6%B3%95 内点法]がある.
シンプレクス法は[https://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lecture/SE/opt/linear/linear.htm#1.2 [菅沼]]の解説が判りやすい．
シンプレクス法は[https://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lecture/SE/opt/linear/linear.htm#1.2 [菅沼]]の解説が判りやすい．
195 行: 258 行:
この問題を解くのにはMicrosoft Excelのソルバーや
この問題を解くのにはMicrosoft Excelのソルバーや
フリーソフトのOpen Office で提供されるソルバーと同等の機能をもつソフトを用いることができる.
フリーソフトのOpen Office で提供されるソルバーと同等の機能をもつソフトを用いることができる.
-
 
この問題のMicrosoft Excelのソルバーによる解法例を示す。
この問題のMicrosoft Excelのソルバーによる解法例を示す。
-
[[ファイル:生産計画.pdf]]
 
-
[[ファイル:LP-Fig.1.jpg]]
+
 
 +
Microsoft Excelのソルバー　を用いる.
 +
*ソルバーの導入
 +
*Excel　の　メニュー「データ」に「分析」「ソルバー」がある場合は以下の手続きは不要である．　
 +
そのままソルバーによる解法の例を実行する．　
 +
*Excelのメニュー「データ」に「分析」「ソルバー」がない場合
 +
**ファイル　>　オプション　>　アドイン　の順に選択
 +
**アドインの表示窓　アクティブでないアプリケーションにExcelソルバー　があることを確認
 +
**画面下の管理(A)と表示される小さい窓のドロップダウンリスト▼でExcelアドインを選択後，設定(G)をクリック
 +
**有効なアドインが小窓で表示される.　その中のソルバーアドインを選択しチェックを入れ[OK]をクリックする.
 +
 
 +
*ソルバーによる解法の例　
 +
**Excelに下記の作成例のように表１のデータを作成する.
 +
[[ファイル:LP-Fig.2.jpg|500px]]
 +
 
 +
[[ファイル:LP-Fig3.jpg|500px]]
 +
 
 +
 
 +
この作成例では
 +
セル　B2,C2,D2　が　製品A,B,Cのそれぞれの生産量
 +
$x_1,x_2,x_3$を表す.
 +
 
 +
** 線形の一次式
 +
$
 +
4x_1+0x_2+7x_3\\
 +
1x_1+3x_2+9x_3 \\
 +
6x_1+0x_2+14x_3 \\
 +
4x_1+10x_2+1x_3
 +
$
 +
 
 +
をE3, E4, E5, E6に入力している.
 +
 
 +
ここで,sumproduct(B4:D4,B$2:D$2)はベクトル(B4,C4,D4) と(B2,C2,D2)の内積　B4*B2+C4*C2+D4*D2　
 +
であり$4x_1+0x_2+7x_3$　を表す．
 +
 
 +
**F3,F4, F5, F6には,原材料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳの使用できる量の上限を入力している.
 +
 
 +
**E7には
 +
 
 +
$
 +
L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 　　
 +
$
 +
 
 +
を表す式を入力している．
 +
** 表のデータを入力後,
 +
*** メニュー　「データ」，「分析」，「ソルバー」の順にクリックしてソルバーのパラメータ入力用の窓を開く．
 +
[[ファイル:LP-Fig.4.jpg|500px]]
 +
*** 目的の設定という欄にセルE7を指定する　
 +
*** 目標値には「最大値」を選択し，チェックを入れる．
 +
*** 変数セルの変更欄にはx_1,x_2,x_3を表すセルB2からD2をドラックして指定する．
 +
 
 +
***制約条件の対象の欄には
 +
この例題の制約条件式
 +
 
 +
$
 +
4x_1+0x_2+7x_3 \leq  90 \\
 +
1x_1+3x_2+9x_3 \leq  60 \\
 +
6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\
 +
4x_1+10x_2+1x_3 \leq    75　
 +
$
 +
 
 +
を表す式を入力する．　
 +
　このためには,入力窓の「追加」をクリックし制約条件の追加入力用の窓を表示させ,
 +
例えば
 +
 
 +
$4x_1+0x_2+7x_3 \leq  90$
 +
 
 +
を表す式を入力するのであればセルの参照欄に$4x_1+0x_2+7x_3$を表すセルE3を指定
 +
≦,=,≧などのドロップダウンリストで≦を選択し,制約条件の欄には上限値の90を入力する．入力後さらに「追加」をクリックし他の３つの制約条件式も同様に入力する．
 +
 
 +
***さらに, 制約条件式　
 +
 
 +
$
 +
0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3　
 +
$
 +
を入力するため
 +
 
 +
「制約のない変数を非負数にする」　にチェックを入れる．
 +
 +
 
 +
**最後に「解決」をクリックすると以下の結果が出力される.
 +
 
 +
[[ファイル:LP-Fig.5.jpg|500px]]
 +
 
 +
 
 +
$x_1=7.8,x_2=3.9,x_3=4.5$
 +
のときに
 +
 
 +
$L\left(x_1,x_2,\ x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3$　
 +
 
 +
が最大値1485をもつことを表す.制約条件は満たされている.

2020年12月22日 (火) 04:28 時点における最新版

メディア:Example.ogg線形計画法は 線形計画法 （Wikipedia）に説明がある.

解法には

シンプレックス法（Wikipedia）や内点法（Wikipedia）がある. シンプレクス法は[菅沼]の解説が判りやすい．

ここでは2つの例を用いて説明する.　Microsoft　Excel　のソルバーを用いた解法例も説明する.

生産計画

例題1

ある製造会社があって, $x$ と $y$ という２種類の製品の製造販売をしている. これらを製造するには, 原材料$A$，$B$，$C$が必要で, $x$, $y$をそれぞれ1単位当 たり造るのに必要な量と, 使用できる在庫量が下の表のように決まっている．


原材料＼製品 x y 在庫量
A 10 20 400
B 20 10 600
C 15 40 1300


$x$, $y$を販売するとそれぞれ1単位当たり２万円, 1万円の利益が得られる. 問題は, 表の在庫量の範囲で, $x$と$y$をそれぞれ何単位ずつ造れば利益が最大に なるかである。


線形計画法(1)

これを数式化すると, $x$, $y$の製造量を$x$, $y$で表すとして：

原材料$A$, $B$, $C$についての制約から

$ 10x+20y\leq 400 \qquad (1) \\ 20x+10y\leq 600 \qquad (2) \\ 15x+40y\leq 1300 \qquad (3) $

負の生産量はないのであるから

$ 0\leq x \qquad (4) \\ 0\leq y \qquad (5) \\ $

利益は

$ f(x,y)=2x+y \qquad (6) $

で結局, (6)を$(1)\sim (5)$の条件のもとで最大にすることになる。


下の図は関数$f(x,y)=2x+y$の図である。

(図1.0)

条件$(1)\sim (5)$を充たす点$P=(x,y)$は 下のような,凸多角形の境界線も含めた内部にある。

(図1.1)

この凸多角形の頂点を $ P_0=(x_0,y_0),P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2),P_3=(x_3,y_3),P_4=(x_4,y_4) $ とすると,

内部の点$P=(x,y)$はこれらの頂点$P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4$によって


$ (1) \qquad P=\lambda_0 P_0 + \lambda_1 P_1+\lambda_2 P_2+\lambda_3 P_3+\lambda_4 P_4 \\ (2) \qquad \lambda_0 + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4 =1 \\ (3) \qquad 0 \le \lambda_0 \le 1,~~0 \le \lambda_1 \le 1,~~2 \le \lambda_2 \le 1, 0 \le \lambda_3 \le 1,~~0 \le \lambda_4 \le 1 $


で表される。これを$P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4$の凸結合という．

$ f(x,y)=2x+y \qquad (6) $

には「線形性」が成り立っている.

これは $ P=(x,y),Q=(x',y') $

と$\alpha,\beta$について,

$ f(\alpha P+ \beta Q)=f(\alpha (x,y)+\beta (x',y')) =\alpha f(x,y)+\beta f(x',y')=\alpha f(P)+\beta f(Q) $

という性質である。この線形性を使うと,以下の議論ができる。


まず各頂点での関数$f$の値

$ f(P_i)=f(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4 $

のうち最大値を$f(P_*)=f(x_*,y_*)$とする.

凸多角形の内の任意の点$P=(x,y)$に対する$f(P)=f(x,y)$は

$P$が$P_i=(x_i,y_i),i=0,1,2,3,4$ の凸結合で表されることから

$ f(P)=f(\lambda_0 P_0 + \lambda_1 P_1+\lambda_2 P_2+\lambda_3 P_3+\lambda_4 P_4)$

さらに$f$の線形性から

$ 右辺=\lambda_0 f(x_0,y_0) + \lambda_1 f(x_1,y_1) +\lambda_2 f(x_2,y_2)+\lambda_3 f(x_3,y_3)+\lambda_4f(x_4,y_4) （ｆの線形性） $


$f(P_*)=f(x_*,y_*)$が最大で,(3)のように各$\lambda_i$は正の数($1 \ge \lambda_i \ge 0$)であるから,

$ 右辺\le (\lambda_0 + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4)f(x_*,y_*)\\ $


さらに,(2)から

$ \lambda_0 + \lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4= 1 $

で

$ f(P)=f(x,y) \le f(x_*,y_*)=f(P_*) $

となる。結局,関数$f$の制約条件を表す凸多角形の内部(境界を含む)の点全てを調べる必要がなく、

頂点での関数$f$の値を調べれば良いことが判る．


(図1.2)

$(1)\sim(5) $式のように変数に関する制約条件式が1次式で与えられ, $(6)$式のように評価関数も1次式で与えられる問題は線形計画法と呼ばれる.

線形化計画法の代表的な解法であるシンプレクス法は,制約条件を表す凸多角形の頂点での 関数$f$の値を効率的に調べる方法である。 適当な,頂点から始め,関数$f$の値が増大する頂点へ次々移動して,最大解を探す．

この他に,凸多角形の内部の点から,最大解を与える頂点を探索する内点法もある。

線形計画法(2)

例題2

ある企業では製品A,B,Cを原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ用いて生産している.　製品A,B,C の1単位当たり利益をそれぞれ80,110,95とする． 　また, 製品A,B,Cを1単位生産するのに必要な原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳのそれぞれ量と使用可能な上限が次の表で与えられる. これらの条件のもとに,利益を最大にするには製品A,B,Cをそれぞれ,どれだけ生産すれば良いか?.

原材＼製品名 A B C 使用できる上限
Ⅰ 4 0 7 90
Ⅱ 1 3 9 60
Ⅲ 6 0 14 110
Ⅳ 4 10 1 75


この問題も例題1と同じように以下のように数学的に定式化される． 製品A,B,Cをそれぞれ$x_1,x_2,x_3$ 単位生産するとき$x_1,x_2,x_3$は以下の不等式を満たす.

$ 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \\ 1x_1+3x_2+9x_3 \leq 60 \\ 6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\ 4x_1+10x_2+1x_3 \leq 75　\qquad (1) $

さらに各製品生産量は負ではないから

$ 0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3 \qquad (2)　 $

この制約条件のもとに

$ L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 \qquad (3)　　 $

を最大にする$x_1,x_2, x_3$を求めよ.


この問題の解法にはシンプレックス法や内点法がある. シンプレクス法は[菅沼]の解説が判りやすい．


この問題を解くのにはMicrosoft Excelのソルバーや フリーソフトのOpen Office で提供されるソルバーと同等の機能をもつソフトを用いることができる. この問題のMicrosoft Excelのソルバーによる解法例を示す。


Microsoft Excelのソルバー　を用いる.

  • ソルバーの導入
  • Excel　の　メニュー「データ」に「分析」「ソルバー」がある場合は以下の手続きは不要である．　

そのままソルバーによる解法の例を実行する．　

  • Excelのメニュー「データ」に「分析」「ソルバー」がない場合
    • ファイル　>　オプション　>　アドイン　の順に選択
    • アドインの表示窓　アクティブでないアプリケーションにExcelソルバー　があることを確認
    • 画面下の管理(A)と表示される小さい窓のドロップダウンリスト▼でExcelアドインを選択後，設定(G)をクリック
    • 有効なアドインが小窓で表示される.　その中のソルバーアドインを選択しチェックを入れ[OK]をクリックする.
  • ソルバーによる解法の例　
    • Excelに下記の作成例のように表１のデータを作成する.


この作成例では セル　B2,C2,D2　が　製品A,B,Cのそれぞれの生産量 $x_1,x_2,x_3$を表す.

    • 線形の一次式

$ 4x_1+0x_2+7x_3\\ 1x_1+3x_2+9x_3 \\ 6x_1+0x_2+14x_3 \\ 4x_1+10x_2+1x_3 $

をE3, E4, E5, E6に入力している.

ここで,sumproduct(B4:D4,B$2:D$2)はベクトル(B4,C4,D4) と(B2,C2,D2)の内積　B4*B2+C4*C2+D4*D2　 であり$4x_1+0x_2+7x_3$　を表す．

    • F3,F4, F5, F6には,原材料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳの使用できる量の上限を入力している.
    • E7には

$ L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 　　 $

を表す式を入力している．

    • 表のデータを入力後,
      • メニュー　「データ」，「分析」，「ソルバー」の順にクリックしてソルバーのパラメータ入力用の窓を開く．

      • 目的の設定という欄にセルE7を指定する　
      • 目標値には「最大値」を選択し，チェックを入れる．
      • 変数セルの変更欄にはx_1,x_2,x_3を表すセルB2からD2をドラックして指定する．
      • 制約条件の対象の欄には

この例題の制約条件式

$ 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \\ 1x_1+3x_2+9x_3 \leq 60 \\ 6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\ 4x_1+10x_2+1x_3 \leq 75　 $

を表す式を入力する．　 　このためには,入力窓の「追加」をクリックし制約条件の追加入力用の窓を表示させ, 例えば

$4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90$

を表す式を入力するのであればセルの参照欄に$4x_1+0x_2+7x_3$を表すセルE3を指定 ≦,=,≧などのドロップダウンリストで≦を選択し,制約条件の欄には上限値の90を入力する．入力後さらに「追加」をクリックし他の３つの制約条件式も同様に入力する．

      • さらに, 制約条件式　

$ 0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3　 $ を入力するため

「制約のない変数を非負数にする」　にチェックを入れる．


    • 最後に「解決」をクリックすると以下の結果が出力される.


$x_1=7.8,x_2=3.9,x_3=4.5$ のときに

$L\left(x_1,x_2,\ x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3$　

が最大値1485をもつことを表す.制約条件は満たされている.

「http://ja.iwschool.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E8%A8%88%E7%94%BB%E6%B3%95(%E7%94%9F%E7%94%A3%E8%A8%88%E7%94%BB)」より作成
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