整数問題

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2021年1月18日 (月) 09:23 時点における最新版

整数計画

生産計画で述べた条件と全く同様に,企業では製品A,B,Cを原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ用いて生産している.　製品A,B,C の1単位当たり利益をそれぞれ80,110,95とする．　また, 製品A,B,Cを1単位生産するのに必要な原料Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳのそれぞれ量と使用可能な上限が次の表で与えられる. これらの条件のもとに,利益を最大にするには製品A,B,Cをそれぞれ,どれだけ生産すれば良いか?. ただし,生産量は整数値でなければならない。

原材＼製品名	A	B	C	使用できる上限
Ⅰ	4	0	7	90
Ⅱ	1	3	9	60
Ⅲ	6	0	14	110
Ⅳ	4	10	1	75

この問題は以下のように数学的に定式化される．

整数計画法

製品A,B,Cをそれぞれ$x_1,x_2,x_3$ 単位生産するとき$x_1,x_2,x_3$は以下の不等式を満たす.

$ 4x_1+0x_2+7x_3 \leq 90 \\ 1x_1+3x_2+9x_3 \leq 60 \\ 6x_1+0x_2+14x_3 \leq 110 \\ 4x_1+10x_2+1x_3 \leq 75　\qquad (1) $

$ x_1,x_2,x_3 \in N, 0 \leq x_1,0 \leq x_2,0 \leq x_3 \qquad (2)　 $

この制約条件のもとに

$ L\left(x_1,x_2, x_3 \right)=80x_1+110x_2+95x_3 \qquad (3)　　 $

を最大にする$x_1,x_2, x_3$を求めよ.

この問題を解くのにはMicrosoft ExcelのソルバーやフリーソフトのOpen Office で提供されるソルバーと同等の機能をもつソフトを用いることができる.

この問題のMicrosoft Excelのソルバーによる解法例を示す。ファイル:整数計画.pdf

作成したデータは以下の通りである.

ソルバーのパラメータ　入力は以下の通りである.

ソルバーによる結果は以下の通りである.

$x_1=16,x_2=1,x_3=1$

のときに

$L\left(x_1,x_2, x_3\right)=80x_1+110x_2+95x_3$　

が最大値1485をもつことを表す.制約条件は満たされている.

フリーソフトOpenOfficeの表計算(Calc)　でも同様に解くことができる.

Calcの線形計画法解析ソフトもExcelと同じ名前の「ソルバー」である. メニューの「ツール」の「ソルバー」である. Excelのソルバーと操作法は殆ど同じある.

ベクトルの内積もExcelと同様にsumproductである. 行ベクトルと行ベクトルとの区切りが,ではなく;であることが異なる。ベクトル(B4,C4,D4) と(B2,C2,D2)の内積　B4*B2+C4*C2+D4*D2　はsumproduct(B4:D4;B2:D2)で表される. また,

$ x_1,0 x_2,x_3　 $ が自然数であるという制約条件ソルバーのメニューのオプションを使う.

変数を整数と想定

変数を負でないと想定

の両方にチェックを入れる.

以下にデータの入力とソルバーの設定例を示す.

整数問題

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@@ 6 行: / 6 行: @@
 ただし,生産量は整数値でなければならない。
+{| border="3" class="wikitable" style="text-align: center; "
+|原材＼製品名
+|A
+|B
+|C
+|使用できる上限
+|-
+|Ⅰ
+|4
+|0
+|7
+|90
+|-
+|Ⅱ
+|1
+|3
+|9
+|60
+|-
+|Ⅲ
+|6
+|0
+|14
+|110
+|-
-[[ファイル:LP-Fig.1.jpg|500px]]
+|Ⅳ
+|4
+|10
+|1
+|75
+|}
 この問題は以下のように数学的に定式化される．
@@ 43 行: / 72 行: @@
 この問題のMicrosoft Excelのソルバーによる解法例を示す。
 [[ファイル:整数計画.pdf]]
 作成したデータは以下の通りである.
-[[ファイル:LP-Fig.2.jpg|500px]]
+[[ファイル:LP-Fig30 ページ 2.jpg|500px]]
+[[ファイル:LP-Fig30 ページ 3.jpg|500px]]
-[[ファイル:LP-Fig.3.jpg|500px]]
 ソルバーのパラメータ　入力は以下の通りである.
-[[ファイル:LP-Fig20 ページ 06.jpg|600px]]
+[[ファイル:LP-Fig30 ページ 4.jpg|500px]]
 ソルバーによる結果は以下の通りである.
-$x_{1,1}=65,x_{1,2}=5,x_{1,3}=0,x_{2,1}=0,x_{2,2}=40,x_{2,3}=50$
-のとき輸送コストの総和
+[[ファイル:LP-Fig30 ページ 5.jpg|500px]]
-$x_{1,1}+7x_{1,2}+11x_{1,3}+10x_{2,1}+6x_{2,2}+3x_{2,3}$
-が最小値750になることを示している.　表2-1,表2-2の制約条件を満たしている.
+$x_1=16,x_2=1,x_3=1$
-[[ファイル:LP-Fig20 ページ 08.jpg|600px]]
+のときに
+$L\left(x_1,x_2, x_3\right)=80x_1+110x_2+95x_3$
+が最大値1485をもつことを表す.制約条件は満たされている.
+フリーソフトOpenOfficeの表計算(Calc)　でも同様に解くことができる.
+Calcの線形計画法解析ソフトもExcelと同じ名前の「ソルバー」である.
+メニューの「ツール」の「ソルバー」である.
+Excelのソルバーと操作法は殆ど同じある.
+ベクトルの内積もExcelと同様にsumproductである.
+行ベクトルと行ベクトルとの区切りが,ではなく;であることが異なる。
+ベクトル(B4,C4,D4) と(B2,C2,D2)の内積　B4*B2+C4*C2+D4*D2
+はsumproduct(B4:D4;B2:D2)で表される.
+また,
+$
+x_1,0 x_2,x_3
+$
+が自然数であるという制約条件
+ソルバーのメニューのオプションを使う.
+変数を整数と想定
+変数を負でないと想定
+の両方にチェックを入れる.
+以下にデータの入力とソルバーの設定例を示す.
+[[ファイル:Open整数計画.jpg|800px]]