数学・解析/積分

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解説

不定積分

関数 $F(x)$ を微分した関数（導関数）が $f(x)$ のとき、$F(x)$ を $f(x)$ の不定積分または原始関数といい、 $$F(x) = \int f(x) dx$$ と表します。$f(x)$ が $x$ の連続関数ならその不定積分は必ず存在し、加える定数だけを除いて一意的に決まります。

$f(x) = x^a$ のとき、 $$\int x^a dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}+C. \quad (a \ne -1)$$ となります。$C$' は定数で、積分定数といいます。

積分（定積分）

$f(x)$ の不定積分を $F(x)$ で表すとき、 $$\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)$$ となり、これを与えられた区間 $[a,b]$ の上での積分と言います。

区分求積法

$f(x)$ の区間 $[a,b]$ の上での積分 $$\int_{a}^{b}f(t)dt$$ は、右図の面積 $S$ を表します。

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 === 不定積分 ===
-関数 <tex>F(x)</tex> を微分した関数（導関数）が <tex>f(x)</tex> のとき、<tex>F(x)</tex> を <tex>f(x)</tex> の不定積分または原始関数といい、
+関数 $F(x)$ を微分した関数（導関数）が $f(x)$ のとき、$F(x)$ を $f(x)$ の不定積分または原始関数といい、
-:<tex>F(x) = \int f(x) dx</tex>
+$$F(x) = \int f(x) dx$$
-と表します。<tex>f(x)</tex> が ''x'' の連続関数ならその不定積分は必ず存在し、加える定数だけを除いて一意的に決まります。
+と表します。$f(x)$ が  $x$ の連続関数ならその不定積分は必ず存在し、加える定数だけを除いて一意的に決まります。
-<tex>f(x) = x^a</tex> のとき、
+$f(x) = x^a$ のとき、
-:<tex>\int x^a dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}+C. \quad (a \ne -1)</tex>
+$$\int x^a dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}+C. \quad (a \ne -1)$$
-となります。''C'' は定数で、積分定数といいます。
+となります。$C$' は定数で、積分定数といいます。
 === 積分（定積分）===
-<tex>f(x)</tex> の不定積分を <tex>F(x)</tex> で表すとき、
+$f(x)$ の不定積分を $F(x)$ で表すとき、
-:<tex>\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)</tex>
+$$\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)$$
-となり、これを与えられた区間 <tex>[a,b]</tex> の上での積分と言います。
+となり、これを与えられた区間 $[a,b]$ の上での積分と言います。
 === 区分求積法 ===
-[[File:Integral.png|thumb|リーマン和]]
+$f(x)$ の区間 $[a,b]$ の上での積分
+$$\int_{a}^{b}f(t)dt$$
-<tex>f(x)</tex> の区間 <tex>[a,b]</tex> の上での積分
+は、右図の面積 $S$ を表します。
-:<tex>\int_{a}^{b}f(t)dt</tex>
-は、右図の面積 ''S'' を表します。
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