物理/エネルギーと保存則

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(版間での差分)
(保存力と位置エネルギー)
(エネルギー)
 
(間の3版分が非表示)
399 行: 399 行:
{\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|^2}
{\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|^2}
\frac{\vec{r^j} - \vec{r^i}}{\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|}\qquad (1)$<br/>
\frac{\vec{r^j} - \vec{r^i}}{\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|}\qquad (1)$<br/>
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(注)5章で学ぶ電荷間の電気力も同様に扱える。<br/><br/>
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(注)5章で学ぶ電荷間の電気力も同様に扱える。
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補題<br/>
補題<br/>
(1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\frac{1}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|}
(1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\frac{1}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|}
432 行: 431 行:
$= -\vec{F_G^i}$<br/>
$= -\vec{F_G^i}$<br/>
補題の証明終わり。<br/><br/>
補題の証明終わり。<br/><br/>
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この補題から、複数の星のつくる万有引力は、<br/>
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前項「力の場が保存的である必要十分条件」の(1)式とこの補題から、<br/>
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前項で説明した保存力場と同じように
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関数$U(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^n})$は、<br/>
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関数Uの偏微分で表現できることが分かった。<br/>
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各質点に作用する万有引力$(\vec{F_G^1},\cdots,\vec{F_G^N})$
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そこで次の定義を与える。<br/>
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ポテンシャル関数とみなせることが推察できる。<br/>
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定義;<br/>
+
そこで次の定義を与える。<br/><br/>
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$U(\vec{r^1},\vec{r^2},\cdots,\vec{r^N}):=-\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1,2,\cdots,N,j\neq i}Gm_{i}m_{j}\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|^{-1}$を、<br/>
+
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質点系$m_i(i=1,2,,,N)$ のポテンシャルという。<br/>
+
 +
定義。N個の質点 $m_i$(i=1,,,N) のそれぞれに作用する力<br/>
 +
$\vec{F^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})$ の集まり<br/>
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$\{\vec{F^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})\}_{1}^{N}$が'''保存力'''とは、
 +
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 +
$\vec{F_G^i}=-\frac{\partial U}{\partial \vec{r^i}}$<br/>
 +
が成立するような連続的微分可能な関数<br/>
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$U(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^n})$<br/>
 +
が存在すること。<br/>
 +
この時、関数$U$を、<br/>
 +
$\{\vec{F^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})\}_{1}^{N}$ の
 +
'''ポテンシャル関数'''と呼び、<br/>
 +
関数値$U(\vec{r^1},\vec{r^2},\cdots,\vec{r^N})$ を
 +
質点系のポテンシャルエネルギーと呼ぶ。
 +
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=====力学的エネルギーの保存則 =====
=====力学的エネルギーの保存則 =====
484 行: 495 行:
証明終わり。<br/><br/>
証明終わり。<br/><br/>
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系;万有引力以外の力が働かないときは、質点系の力学的エネルギーは保存される。
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系;相互作用が保存力である質点系の力学的エネルギーは保存される。
  
  
==運動量と保存則==
==運動量と保存則==

2016年1月23日 (土) 11:42 時点における最新版

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