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2016年9月2日 (金) 15:53 時点における最新版

「4.3　光と光波」への補足

この節では、テキスト「4.3　光と光波」で、省略した2つの事柄について説明する。

一般の場合における光の反射と屈折時の位相変化　

　レンズの公式の証明

「4.3　光と光波」で説明したように、今後の解析においては、次の４つの約束事を仮定する。
(1)レンズの軸を水平になるように書く（ｘ軸にとる）。
(2)物体(光源)とレンズ面との距離 $s_1$　は、物体がレンズの左側にある時、正とする。
(3)像のレンズとの距離　$s_2$　は、像がレンズの右側(光線の進行方向)にあるとき、正とする。
負のときは、レンズの左側、光源のある側に見える虚像を表す。
(4)球の表面の曲率半径　r　とは、球の半径Rに正負の符号をつけたもの。
　球の中心が表面の右側にある時、正に定め（r=R）、
　球の中心が表面の左側にある時、負に定める(r= - R)。

☆☆球面が一つの特殊レンズ

単レンズは屈折面を二つ持ち複雑なので、
　 最初に屈折面が一つの球面であるレンズから解析する。
　 境界面により2つに分けられる片方の空間は媒質１で満たされ、光源がおかれる。他方の側はレンズを構成する透明な媒質で満たされる。
　 このレンズでは、実像はレンズ内にできる。
屈折面が一つなので、スネルの法則を用いて、近軸光線による 像の位置が容易に計算できる。
　 次の項で、このレンズを2枚組合わせて、通常の単レンズの解析ができることを示す。
　 従って、この単純な解析がレンズの解析で、 決定的役割を果たすことが分かる。
　 図参照。
　

レンズ面の球の中心をC、半径をRとし、
レンズの軸と屈折面との交点をO'とする。
さらに光源側の媒質１での光速を　$c_1$　,レンズ内の媒質２の光速を、　$c_2$　とする。
命題１
　 (1)光源とレンズ面との距離　$s_1$　と、
近軸光線による光源の像とレンズ面の距離　$s_2$　の間には,
次の関係がある。
$\frac{1}{s_1}+\frac{n}{s_2}=\frac{n-1}{r}\qquad \qquad (a)$
ここで、$n:=\frac{c_1}{c_2}$　とする。
(2)光源からの近軸光線が、レンズ内(レンズ面の正側)の軸上の点　$L_1$　に向かう場合には、
$L_1$　とレンズ面との距離に負の符号をつけたものを、　$s_1$　とおけば、
式（a)　が成り立つ。

証明

☆☆　一般の球面単レンズ

レンズの左側の面(光源側の面)に、命題１を適用すると、
点光源からの近軸光線の束がレンズ左面で屈折後、光軸上のどの点に向かう光線束になるかが分かる。
すると、レンズの右面による屈折で、光軸上のどの点に向かうかは、
再度命題１の後半の命題を適用すると求まる。
レンズの厚みによる誤差が無視できる場合には
　 次の、球面単レンズの基本公式が得られる。

命題２（球面単レンズの基本公式)
レンズの厚みが小さく、厚さによる誤差が無視できるほど小さいときには、
レンズは次の諸性質を持つ。
（１）光軸上の点光源から出た、光軸に近いあらゆる光線（近軸光線)は、
　 （球面）レンズで屈折し、レンズの光軸のある点に、ほぼ集まり、像を作るか、発散して虚像を作る。
光源とそれぞれの光線のレンズ面までの距離を　$s_1$　、
レンズ面から像までの距離　$s_2$　との間には、
　 $\frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_2} = \frac{1}{f} \qquad \qquad (13)$
　 という関係が成立つ。
　 $\quad$　ここでｆはレンズの焦点距離という。
（２）レンズの焦点距離ｆは、
レンズの屈折率ｎ(=空中の光速／レンズ中の光速）、
レンズの左面（光源に面した面）の曲率半径　$r_1$と
レンズの右面（光源と反対側の面）の曲率半径　$r_2$　を用いて
$\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})\qquad \qquad (14)$　
で表せる。
　
　

証明；

証明終わり
　
　

命題2の系；
（１）光軸に近い点光源$S_1$から出る近軸光束はレンズで屈折後、
すべて、ある一点に集まり実像$S_2$ を作るか、　
あるいは屈折後に発散し、その光線束を逆に延長すると、ある一点に集まり虚像$S_2$を作る。
（２）光源$S_1$から光軸におろした垂線の足を$\tilde{S}_1$、像$S_2$から光軸に下した垂線の足を$\tilde{S}_2$　とする。
すると$\tilde{S}_1$に点光源をおくと、ここから出る近軸光線束は、レンズで屈折後、点$\tilde{S}_2$　に像を作る。

人間の目、眼鏡、カメラ、スライドプロジェクターの原理